新版新人教版2017学年九年级数学上册21一元二次方程学案含答案

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答案

第二十一章 一元二次方程

21．1 一元二次方程

1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．

2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．

重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．

一、自学指导．(10分钟) 问题1：

如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2

，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－

2x)cm __．列方程__(100－2x)2(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2

－75x ＋350＝0__．①

问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为__437＝28__．

设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1）2＝28__，化简整理，得__x 2

－x －56＝0__．② 探究：

(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__．

归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．

1．一元二次方程的定义

等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)．

这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax 2

__是二次项，__a__是二次项系数，

__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．

点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？

(1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2

＝1；

(3)5x 2－2x －14＝x 2

－2x ＋35

；

(4)2(x ＋1)2

＝3(x ＋1)；

(5)x 2－2x ＝x 2＋1; (6)ax 2

＋bx ＋c ＝0. 解：(2)(3)(4)． 点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．

2．将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

解：去括号，得3x 2－3x ＝5x ＋10.移项，合并同类项，得3x 2

－8x －10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.

点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)

1．求证：关于x 的方程(m 2

－8m ＋17)x 2

＋2mx ＋1＝0，无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．

证明：m 2－8m ＋17＝(m －4)2

＋1，

∵(m －4)2

≥0，

∴(m －4)2＋1>0，即(m －4)2

＋1≠0.

∴无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．

点拨精讲：要证明无论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2

－8m ＋17≠0即可．

2．下面哪些数是方程2x 2

＋10x ＋12＝0的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x ＝－2或x ＝－3是一元

二次方程2x 2

＋10x ＋12＝0的两根．

点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．判断下列方程是否为一元二次方程．

(1)1－x 2＝0; (2)2(x 2

－1)＝3y ；

(3)2x 2

－3x －1＝0; (4)1x 2－2x

＝0；

(5)(x ＋3)2

＝(x －3)2;

(6)9x 2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是．

2．若x ＝2是方程ax 2

＋4x －5＝0的一个根，求a 的值．

解：∵x＝2是方程ax 2

＋4x －5＝0的一个根， ∴4a＋8－5＝0， 解得a ＝－3

4

.

3．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ； (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.

解：(1)4x 2＝25，4x 2－25＝0；(2)x(x －2)＝100，x 2

－2x －100＝0.

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)，特别强调a≠0. 3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2 解一元二次方程 21．2.1 配方法(1)

1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．

2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．

重点：运用开平方法解形如(x ＋m)2

＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．

难点：通过根据平方根的意义解形如x 2

＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意

义解形如(x ＋m)2

＝n(n≥0)的方程．

一、自学指导．(10分钟)

问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2

，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为__6x 2__dm 2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：

__1036x 2

＝1500__，

由此可得__x 2

＝25__，

根据平方根的意义，得x ＝__±5__， 即x 1＝__5__，x 2＝__－5__．

可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm .

探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x －1)2＝5及方程x 2

＋6x ＋9＝4?

方程(2x －1)2

＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可

将方程变形为，即将方程变为两个一元一次方程，从而得到方程(2x －1)2

＝5的两个解为22

．

在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．

方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x ＋__3__)2

＝4，进行降次，

得到 __x ＋3＝±2__ ，方程的根为x 1＝ __－1__，x 2＝__－5__.

归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x 2

＝p(p≥0)或(mx ＋n)2

＝p(p≥0)的形式，那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 解下列方程：

(1)2y 2＝8； (2)2(x －8)2

＝50；

(3)(2x －1)2＋4＝0; (4)4x 2

－4x ＋1＝0.

解：(1)2y 2＝8， (2)2(x －8)2

＝50， y 2＝4， (x －8)2

＝25， y ＝±2， x －8＝±5，

∴y 1＝2，y 2＝－2； x －8＝5或x －8＝－5， ∴x 1＝13，x 2＝3；

(3)(2x －1)2＋4＝0， (4)4x 2

－4x ＋1＝0，

(2x －1)2＝－4<0， (2x －1)2

＝0， ∴原方程无解； 2x －1＝0，

∴x 1＝x 2＝1

2

.

点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x 2

＝p(p≥0)或(mx ＋n)2

＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)

1．用直接开平方法解下列方程：

(1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2

＋2y ＋1＝24；

(3)9n 2

－24n ＋16＝11.

解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±11

3

.

点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p (p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负

根．

2．已知关于x 的方程x 2＋(a 2

＋1)x －3＝0的一个根是1，求a 的值． 解：±1.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解下列方程：

(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2

－4x ＋4＝5；

(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2

－1＝0；

(5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2

＝25；

(7)x 2

＋2x ＋1＝4.

解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2； (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；

(3)x 1＝－1，x 2＝1

3；

(4)x 1＝16，x 2＝－1

6

；

(5)x 1＝92，x 2＝－9

2；

(6)x 1＝0，x 2＝－10；

(7)x 1＝1，x 2＝－3.

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解“降次”思想．

3．理解x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2

＝p(p≥0)中，为什么p ≥0?

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2.1 配方法(2)

1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．

2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．

重点：掌握配方法解一元二次方程．

难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2

＝b 的过程．

(2分钟)

1．填空：

(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2

；

(2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2

； (3)x 2

＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p 2

__)2.

2．若4x 2

－mx ＋9是一个完全平方式，那么m 的值是__±12__．

一、自学指导．(10分钟)

问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少米？

设场地的宽为x m ，则长为__(x ＋6)__m ，根据矩形面积为16 m 2

，得到方程__x(x ＋6)

＝16__，整理得到__x 2

＋6x －16＝0__．

探究：怎样解方程x 2

＋6x －16＝0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4，可以发现方程x 2

＋6x ＋9＝4的左边

是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x 2

＋6x －16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？

解：移项，得x 2

＋6x ＝16，

两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x 2

＋bx ＋(b 2

)2的形式，得

__x 2

__＋6__x__＋9＝16＋__9__，

左边写成平方形式，得

__(x ＋3)2

＝25__，

开平方，得