非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第十章概率分层限时跟踪练55

分层限时跟踪练(五十五)

(限时40分钟) [基 础 练]

扣教材 练双基

一、选择题

1．(20152韶关模拟)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x ，则x 满足2x －1≥0的概率为( )

A.34

B.12

C.14

D.13

【解析】 由2x －1≥0得x ≥1

2，故所求概率P ＝2－

1

22－0＝34.

【答案】 A

2．如图10-3-2，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )

图10-3-2

A.1

5 B.14 C.13 D.12

【解析】 由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π

2，所以所求概率为1－23

π22π＝12.

【答案】 D

3．在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( )

A.

127 B.2627 C.827 D.1

8

【解析】 正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13

＝1，而原正方体的体积为V ＝33

＝27，

故所求的概率为P ＝V 1V ＝1

27

.

【答案】 A

4.(20152河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数

f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )

A ．1－π8

B ．1－π4

C ．1－π2

D ．1－3π4

【解析】 函数f (x )＝x 2

＋2ax －b 2

＋π2

有零点，需Δ＝4a 2

－4(－b 2

＋π2

)≥0，即a

2

＋b 2

≥π2

成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2

＋b 2

≥π，点(a ，b )如图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π32π－π3

2π32π＝4π2

－π3

4π2

＝1－π

4

. 【答案】 B

5．(20152昌平模拟)设不等式组????

?

x －2y ＋2≥0，x ≤4，

y ≥－2

表示的平面区域为D .在区域D

内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( )

A.4

13 B.513 C.825

D.925

【解析】 作出平面区域D ，可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2.

∴P ＝S △AED S △ABC ＝1

23633

1231035＝925

.

【答案】 D 二、填空题

6．(20152烟台模拟)在区间??????－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．

【解析】 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π

2，由几

何概型概率公式得P ＝1

3

.

【答案】 1

3

7．(20152武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两数，则这两数之和小于6

5的概率是

________．

【解析】 设随机取出的两个数分别为x ，y ，则0＜x ＜1,0＜y ＜1， 依题意有x ＋y ＜6

5，由几何概型知，

所求概率为

P ＝12

－123? ????1－153? ???

?1－1512

＝17

25. 【答案】

1725

8．如图10-3-3所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM ＜1的概率为________．

图10-3-3

【解析】 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°， 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝

AD

tan 60°

＝1，∠BAD ＝30°.

记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM ＜1”，则可得∠BAM ＜∠BAD 时事件N 发生．

由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝2

5.

【答案】 2

5

三、解答题

9．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M -ABCD 的体积小于1

6

的概率．

【解】 如图， 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1. 设M -ABCD 的高为h ， 则133S ABCD 3h ＜16， 又S ABCD ＝1，∴h ＜12，

即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率P ＝1

2V 正方体V 正方体＝1

2

.

10．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A ，B 两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A ，B 两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．

【解】 设姐姐到的时间为x ，弟弟到的时间为y ，建立坐标系如图，由题意可知，当|y －x |≤16时，姐弟俩会面，又正方形的面积为14，阴影部分的面积为5

36，所求概率P ＝5361

4＝

59

.

[能 力 练]

扫盲区 提素能

1．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )

A.16

B.13

C.12

D.23

【解析】 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12

.

【答案】 C

2．(20152佛山二模)已知函数f (x )＝x 2

＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件???

?

?

f 2 ≤12，f －2 ≤4

为事件A ，则事件A 发生的概率为( )

A.14

B.5

8 C.12

D.38

【解析】 由题意，得?????

4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，

0≤b ≤4，

0≤c ≤4，

即?????

2b ＋c －8≤0，

2b －c ≥0，0≤b ≤4，0≤c ≤4表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，

所以所求概率为12

，

故选C.

【答案】 C

3．如图10-3-4所示，图②中实线围成的部分是长方体(图①)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1

4

，则此长方体的体积是________．

图10-3-4

【解析】 设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h 2h ＋2 2h ＋1 ＝14，解得h ＝3或h ＝－1

2

(舍去)，

故长方体的体积为13133＝3. 【答案】 3

4.如图10-3-5，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是____________．

图10-3-5

【解析】 如图，设OA ＝2，S 扇形AOB ＝π，S △OCD ＝1

2

3131

＝12

，S 扇形OCD

＝π4，∴在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π2－2? ??

??π4－12＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率P ＝π－132π＝1－2

π

.

【答案】 1－2

π

5．将一个质点随机投放在关于x ，y 的不等式组????

?

3x ＋4y ≤19，x ≥1，

y ≥1

所构成的三角形区

域内，求该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率．

【解】 画出关于x ，y 的不等式组????

?

3x ＋4y ≤19，x ≥1，

y ≥1，

所构成的三角形区域，如图，

三角形ABC 的面积为S 1＝123334＝6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S 2＝1

2π，

所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P ＝1－π

26＝1－π

12

.

6．已知关于x 的一元二次方程x 2

－2(a －2)x －b 2

＋16＝0.

(1)若a ，b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．

【解】 (1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a －2＞0,16－b 2

＞0，Δ≥0，即a ＞2，－4＜b ＜4，(a －2)2

＋b 2

≥16.

设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝1

9

.

(2)试验的全部结果构的区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16. 设“一元二次方程没有实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，

b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2＜16}，其面积为S (B )＝14

3π342＝4π.

故所求的概率为P (B )＝4π16＝π

4

.

7．(20152山西质量检测)如图10-3-6，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.

图10-3-6

规定：击中A ，B ，C ，D 区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分．

(1)甲射击时脱靶的概率为0.02，若未脱靶则等可能地击中靶子上的任意一点，求甲射击一次得分的数学期望；

(2)已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.

①乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；

②乙、丙二人各射击一次，记U ，V 分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U ，

V 取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获取(即U ＜V )的概率．

【解】 (1)设甲射击一次得分为X ，则X 的所有可能取值为5,3,2,1,0，

P (X ＝5)＝

π

72

π

3(1－0.02)＝0.02， P (X ＝3)＝32

π－π

72π3(1－0.02)＝0.16，

P (X ＝2)＝52

π－32

π

72

π3(1－0.02)＝0.32， P (X ＝1)＝72

π－52

π

72

π

3(1－0.02)＝0.48， P (X ＝0)＝0.02，

故X 的数学期望E (X )＝530.02＋330.16＋230.32＋130.48＋030.02＝1.7. (2)①设乙、丙射击一次的得分分别为Y ，Z ，则Y 的所有可能取值为5,3,2，Z 的所有

可能取值为5,3,2，

P (Y ＝5)＝π4π＝116，P (Y ＝3)＝32

π－π4π＝8

16，

P (Y ＝2)＝42

π－32

π42

π＝7

16

， P (Z ＝5)＝π52π＝125，P (Z ＝3)＝32

π－π52π＝8

25，

P (Z ＝2)＝52

π－32

π52

π＝16

25

. 故所求概率P 1＝1163825＋11631625＋81631625＝19

50

.

②由题意得?

??

??

0≤U ≤4，

0≤V ≤5.不等式组????

?

0≤U ≤4，0≤V ≤5，

U ＜V

所表示的可行域如图中阴影部分

所示，

根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率P 2＝1

23 1＋5 34435＝3

5.