第一章 集合

苏教版高中数学必修一

第一章集合

二、重点难点

重点：

集合的表示方法；子集的概念；集合的交、并运算；

难点：

集合概念的理解；集合的补集运算；交与并的区别；

第一课时集合的含义

1．初步理解集合的含义，常用数集及其记法；

2．集合中的元素的特性；

3．理解属于关系和相等的意义；集合的分类；

4．集合的分类.

自学评价

1．集合的含义：一般地，一定范围内某些 ___， ___对象的全体构成一个集合(set).

注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.

（2）集合是一个“整体.

（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的

2．集合中的元素：

集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.

集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A,B,C……

元素一般用小写拉丁字母表示.如a,b,c……等.

思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？

【答】不是，只要是一定范围内某些确定的，不同的对象的全体都可以构成一个集合。

3．集合中元素的特性：

（1）确定性.设A 是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.

（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.

4．常用数集及其记法：

一般地，自然数集记作_ ____；正整数集记作_ ____或_ ____；

整数集记作_ ____有理数记作_ ____；实数集记作_ ____

5．元素与集合的关系：

如果a是集合A的元素，就记作_ ____，读作“__ ___ _____”；

如果a不是集合A的元素，就记作_ ____或__ ____，读作“__ ___ ____”；6．集合的分类：

按它的元素个数多少来分：

（i） __集合里含有 ___元素的集合 ___叫做有限集；

（ii）______集合里含有 ___元素的集合______叫做无限集；

（iii） ___ _______ 叫做空集，记为___ ___

【精典范例】

一、运用集合中元素的特性来解决问题

例1．下列研究的对象能否构成集合

（1）世界上最高的山峰 （2）高一数学课本中的难题 （3）中国国旗的颜色 （4）充分小的负数的全体 （5）book 中的字母 （6）立方等于本身的实数 （7）不等式2x-8<13的正整数解

【解】（1）能 （2）不能 （3）能 （4）不能 （5）能 （6）能 （7）能 点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么

是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，即元素确定性. 例2：集合M 中的元素为1，x ，x 2-x ，求x 的范围？

分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同，联列不等式组. 【解】

?????-≠-≠≠x x x x x x

22

11 ? ?

????≠≠±≠≠2

02511x x x x 或 所以x 的范围是：?

?????≠≠±≠

≠2025

11|x x x x x 或或或 点评: 元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点. 例3：三个元素的集合1，a ，

b

a

，也可表示为0，a 2，a+b ，求a 2005+ b 2006的值． 分析：三个元素的集合也可表示另外一种形式，说明这两个集合相同，而该题目从特殊元素0入手，可以省去繁琐的讨论． 【解】 依题意得

0=a

b

则b=0 所以12=a 则1±=a 由互异性知1-=a 所以 a 2005+b 2006=-1

点评:从特殊元素入手，灵活运用集合的三个特征．

二、运用元素与集合的关系来解决一些问题

例4：集合A 中的元素由

∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系？ （1）0 （2

（3

分析：先把x 写成

a ，

b 是否为整数. 【解】（1）因为2000?+=，所以A ∈0 （2）因为

2111

21?+=-，所以

A ∈-1

21

（3）因为

,2132

31+=-Z ?3， 所以

Z ?-2

31

点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达

形式.

例5：不包含-1，0，1的实数集A 满足条件a ∈A ，则

11a

a

+-∈A ，如果2∈A,求A 中的元素？ 分析：该题的集合所满足的特征是由抽象的语句给出的，把2这个具体的元素代入求出A 的另一个元素，但该题要循环代入，求出其余的元素，同学们可能想不到. 【解】

∵ 2∈A ∴ -3∈A ∵ -3∈A ∴ 12-

∈A ∵ 12-∈A ∴ 13∈A ∵ 1

3

∈A ∴ 2∈A 综上所述，集合A 中的元素为：2，-3，12-，1

3

追踪训练

1．下列研究的对象能否构成集合

① 某校个子较高的同学； ② 倒数等于本身的实数 ③ 所有的无理数 ④ 讲台上的一盒白粉笔 ⑤ 中国的直辖市 ⑥ 中国的大城市 2．下列写法正确的是___________________

Q ②当n ∈N 时，由所有(-1)n

的数值组成的集合为无限集

R ④-1∈Z ⑤由book 中的字母组成的集合与元素k ，o ，b 组成的集合是同一个集合 把正确的序号填在横线上 ______________ 3．用∈或?填空

1______N -3_____N 0_____N 1_____Z -3_____Q

0_____Z

0____N* π_____R

22

7

_____Q cos300_____Z

4． 由实数-x ，|x|x ，组成的集合最多含有元素的个数是_________________个

【选修延伸】

例6：设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1∈S ，②若a S ∈，则

1

1S a

∈-，请解答下列问题： （1）若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a S ∈，则1

1S a

-

∈ （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素. 【解】（1）-1,1/2（2）略（3）集合S 中的元素不能只有一个.

证明：假设集合S 中只有一个元素，则根据题意知a=

11a -,此方程无解，∴a ≠11a

-∴集合S 中的元素不能只有一个.（4）证明：有（2）知，a S ∈，1

1S a

-∈，

现在a ，11a -，11a -三个数互不相等. ①若a=11a -,此方程无解，∴a ≠1

1a -

②若a=11a -，此方程无解，∴a ≠11a - ③若11a -=11a -，此方程无解，∴11a -≠1

1a

-

综上所述，集合S 中至少有三个不同的元素.

点评: （4）证明中需说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.数学是一门非常严谨的科学.

第二课时集合的表示

学习要求

1．集合的表示的常用方法：列举法、描述法；

2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用，

3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.

自学评价

1. 集合的常用表示方法：

（1）列举法

将集合的元素___ _____出来，并___ ___ ___ ______表示集合的方法叫列举法. 注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开；

②集合的元素必须是明确的；

③各元素的出现无顺序；

④集合里的元素不能重复；

⑤集合里的元素可以表示任何事物.

（2）描述法

将集合的所有元素 ___的性质__( ___ ___)__表示出来，写成_ ___ ____的形式, 称之为描述法.

注意：①写清楚该集合中元素满足性质；

②不能出现未被说明的字母；

③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；

④所有描述的内容都要写在集合的括号内；

⑤用于描述的语句力求简明，准确.

思考:还有其它表示集合的方法吗？

【答】有，图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.

文字描述法：是一种特殊的描述法，如：{正整数}，{三角形}

2.集合相等

如果两个集合A，B所含的元素 ___ _，_A中任意一个元素都是B中的元素，同时B中的任意一个元素都是A中的元素__ 则称这两个集合相等，记为：_ ____

【精典范例】

一、用集合的两种常用方法具体地表示集合

例1．用列举法表示下列集合：

（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics中的字母的集合；

（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足

240

121

x

x x

+>

?

?

+≥-

?

的整数解的集合；

（5）由||||

(,)

a b

a b R

a b

+∈所确定的实数集合.（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }

分析：先求出集合的元素，再用列举法表示.

【解】

（1）{红，黄}；（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；（3）{2，3，5，7 }；（4）{-1，0，1，2}；（5）{-2，0，2}；（6）{(0，8)，(2，5)，(4，2)} 点评:（1）用列举法表示集合的步骤为：

①求出集合中的元素

②把这些元素写在花括号内

（2）用列举法表示集合的优点是元素一目了

然；缺点是不易看出元素所具有的属性.

例2．用描述法表示下列集合：

（1）所有被3整除的整数的集合；（2

）使y

x

=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；

（5）图中阴影部分内点的集合；-1

2

-1

1

o

y

x

分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.

【解】

（1）{x|x=3k，k∈Z} （2）{x|x≤2且x≠0 }（3）?（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}

（5）{(x,y)|

02

01

x

y

≤≤

?

?

≤≤

?

或

02

01

x

y

≤≤

?

?

≤≤

?

}

点评: 用描述法表示集合时，注意确定和简化集合的元素所具有的共同特性.

追踪训练一

1.用列举法表示下列集合：

(1) {x|x2+x+1=0} (2){x|x为15的正约数}

(3) {x|x为不大于10的正偶数} (4){(x,y)|0≤x≤2，0≤y<2，x，y∈Z}

2.用描述法表示下列集合：

(1) 奇数的集合；(2)正偶数的集合；

(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的3. 下列集合表示法正确的是

(1) {1，2，2}；(2) {Ф}；(3) {全体有理数}；

(4) 方程组

314

20

x y

x y

+=

?

?

-=

?

的解的集合为{2，4}；

（5）不等式x2-5>0的解集为{x2-5>0}.

例3．已知A={a|

6

,3N a Z a

∈∈-}， 试用列举法表示集合A ．

分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪些条件． 【解】

当a=2时，

666332N a ==∈-- 当a=1时，663331N a ==∈-- 当a=0时，

662330N a ==∈-- 当a=-1时，66331N a =?-+ 当a=-2时，

6635N a =?- 当a=-3时，66136

N a ==∈- ∴ A={2，1，0，-3}

点评:本题实际上是要求满足6被3-a 整除的整数a 的值，若将题目改为

6

3Z a

∈-， 则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}. 二、有关集合相等方面的问题

例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a 2,b 2}，且Q=P ，求1+a 2+b 2的值．

分析：含字母的两个集合相等，并不意味着 按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的

元素的互异性和无序性.

【解】 分两种情况讨论：

① 221001a a a a b b b b ?===???????===????或?1+a 2+b 2

=2 ②2

2

0101a b a a b b b a

?===???????===????或 这与集合的性质矛盾， ∴ 1+a 2+b 2=2

追踪训练

1．集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1} }，这三个集合的关系？

2．已知A={x|

12

,6N x N x

∈∈-}，试用列举法表示集合A ．

思维点拔：

例5． 已知集合B={x|

2

12x a

x +=-}有唯一元素，用列举法表示a 的值构成的集合A . 点拔：本题集合B={x|2

12

x a

x +=-}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次

方程的判别式为0，事实上当a=一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论 . 【解】 当x 2

-2≠0时，x+a=x 2

+a ⊿=0?a=-94，此时，x=1

2

，符合题意，

当1，符合题意， 当x=1

∴ A={9

4

-

第三课时 子集、全集、补集

【学习导航】

知识网络

1．了解集合之间包含关系的意义；

2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示； 3．子集、真子集的性质；

4．了解全集的意义，理解补集的概念．

自学评价

1．子集的概念及记法：

如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（ ），则称集合 A 为集合B 的子集（subset ）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”

注意：（1）A 是B 的子集的含义：任意x ∈A ，能推出x ∈B ；

（2）不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合.因为集合A 可能为空集。 2．子集的性质：

① A ? A ② A ?? ③ ,A B B C ??,则A C ?

思考:A B ?与B A ?能否同时成立？【答】 _________ 3．真子集的概念及记法：

如果A B ?，并且A ≠B ，这时集合 A 称为集合B 的真子集（proper set ）,记为_________或_________，读作“____________________”或“__________________” 4．真子集的性质：

①?是任何非空集合的真子集，符号表示为___________________ ②真子集具备传递性，符号表示为___________________ 5．全集的概念：

如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集（universal set ）全集通常记作__ _ __ 6．补集的概念：

设____________，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集（complementary set ）, 记为___________，读作“__________________________”，即：

U C A =_______________________

7．补集的性质：

① U C ?=__________________ ② U C U =__________________ ③ ()U U C C A =______________

【精典范例】

一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式

例1．

① 写出集合{a ，b }的所有子集及其真子集； ② 写出集合{a ，b ，c }的所有子集及其真子集；

分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，但应注意两个特殊的子集：?和本身． 【解】

①集合{a ，b }的所有子集为： ?，{a }，{ b }，{a ，b }； ②集合{a ，b ，c }的所有子集为：

?，{a }，{ b }，{c }，{a ，b } {a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }． 点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．

①一个集合里有n 个元素，那么它有2n 个子集； ②一个集合里有n 个元素，那么它有2n -1个真子集； ③一个集合里有n 个元素，那么它有2n -2个非空真子集． 二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系 例2：

以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．

（1）a 与{a} 0 与 ? （2）?

与{20，

3

5

?} （3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}， B={-2，2}； （4）S=R ，A={x|x ≤0，x ∈R }，B={x|x>0 ，x ∈R }；

（5）S={x|x 为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x 为外国人 }

【解】 点评:

① 判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等．

②元素与集合之间用_______________；集合与集合之间用_______________

追踪训练一

1．判断下列表示是否正确：

(1) a ?{a } (2) {a }∈{a ，b } (3) {a ，b } ?{b ，a }

(4) {-1，1} {-1，0，1} (5) ? {-1，1}

2．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系．

(1) A={-1，1}，B=Z ； (2)A={1，3，5，15}，B={x|x 是15的正约数}； (3) A = N*，B=N (4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*} B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}

3．（1）已知{1，2 }?M ?{1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有多少个？ （2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7, 8，9}，集合P 满足：P ?M ，

且若P α∈，则10-α ∈P ，则这样的集合P 有多少个？

4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．

(1) ?___{0} (2) {-1，1}___{1，-1} (3) {(a,b)} ___{(b,a)} (4) ?___{0，1，?} 三、运用子集的性质

例3：设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ?A ，求实数a 的取值范围．

≠

? ?

≠

分析：首先要弄清集合A 中含有哪些元素，在由B ?A ，可知，集合B 按元素的多少分类讨论即可． 【解】

A={x|x 2+4x =0，x ∈R}={0，-4} ∵ B ?A ∴ B=?或{0}，{-4}，{0，-4} ①当B=?时，⊿=[2(a+1)]2-4?(a 2-1)<0 ∴ a< -1 ②当B={0}时，2

02(1)01

a a =-+??

=-? ∴ a=-1 ③当B={-4}时，2

442(1)161

a a --=-+??

=-? ∴ a=?

④当B={0，-4}时，2

402(1)

01

a a -+=-+??=-? ∴ a=1 ∴ a 的取值范围为：a<-1，或a=-1，或a=1． 点评: B=?易被忽视，要提防这一点． 四、补集的求法 例4：①方程组210

360

x x +>??

-≤?的解集为A ，U=R ，试求A 及u C A ．

②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，B 是R C A 的真子集，求实数a 的取值范围． 【解】 ① A={x|122x -

<≤}， u C A ={x|x ≤1

2

-或x>2} ② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ， R C A ={x|x ≤1} ∵ B 是R C A 的真子集 如图所示：

x

1

-a ∴ -a ≤ 1即a ≥-1

点评:

求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．

追踪训练二

1．若U=Z ，A={x|x=2k ，k ∈Z}，B={x|x=2k+1， k ∈Z}，则 U C A ___________ U C B ___________： 2．设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b ，2}，U C A ={5}，求实数a ，b 的值．

3．已知集合A={x|x=a+16，a ∈Z}，B={x|x=123b -，b ∈Z}，C={x|x=1

26

c +，c ∈Z}，试判断A 、B 、C 满足的关系

4．已知集合A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0}，B ? A ，求a ，b 的取值范围．

第四课时集合的运算---交集

【学习导航】

知识网络

学习要求

1．理解交集的概念及其交集的性质；

2．会求已知两个集合的交集；

3．理解区间的表示法；

4．提高学生的逻辑思维能力.

自学评价

1．交集的定义：

一般地，_________________________________________________，称为A与B交集(intersection set)，记作____________读作“___________”.交集的定义用符号语言表示为：__________________________________

交集的定义用图形语言表示为：

_________________________________

注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的集合.

（2）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=?.

2．交集的常用性质：

（1） A∩A = A；

（2） A∩?=?；

（3） A∩B = B∩A；

（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；

（5） A∩B ?A， A∩B?B

3．集合的交集与子集：

思考:

A∩B=A，可能成立吗？

【答】

结论：

A∩B = A? A?B

4．区间的表示法：

设a，b是两个实数，且a

[a， b] = _____________________

（a， b）= _____________________

[a ，b）= _____________________

（a ，b] = ______________________

（a，+∞）=______________________

（-∞，b）=______________________

（-∞，+∞）=____________________

其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、

开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭

区间；a，b叫做相应区间的端点.

注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言.

（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号隔开.

（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.

【精典范例】

一、求已知两个集合的交集

例1．

（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；

（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；

（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；

A∩C；C∩B；D∩B；

【解】

（1）A∩B={0，1}；

（2）A∩B={x|0

（3）A∩B= A∩C= C∩B=

D∩B= D

点评:

不等式的集合求交集时，运用数轴比较直观，形象.

例2：

已知数集A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．

【解】

∵A∩B={-3}

∴-3 ∈A -3 ∈B

当a-3=-3时，即a= 0时，B={-3，-2，1}，

A={0，1，-3}不满足题意；

当a-2=-3时，即a=-1时，B={-4，-3，2}，

A={1，0，-3}满足题意；

∴ a = -1

点评:

在集合的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证集合的特性．

例3：

（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；

（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2+2x+3

4

，x∈R}，求A∩B；

先求出两个集合的元素，或者集合中元素的范围，再进行交集运算．特别注意（1）、（2）两题的区别，这是同学们容易忽视的地方． 【解】

（1） 两个集合表示的是y 的取值范围， ∵A={y|y=x 2-2x+3，x ∈R}= {y|y ≥2}， B={y|y=-x 2+2x+10，x ∈R}= {y|y ≤11}， ∴ A ∩B={y|2≤y ≤11}；

（2）A ∩B= {(x,y)|y=x+1，x ∈R}∩{(x,y)|y=-x 2+2x+

3

4

，x ∈R} ={(x,y)| 2

1324

y x y x x =+??

?=-++??} ={13(,)22

}

点评:

求集合的交集时，注意集合的实质，是点集还时数集．是数集求元素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的集合．

追踪训练一

1. 设集合A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A ∩B ；

2. 设集合A={x|x ≥0}，B={x|x ≤0,x ∈R}，求A ∩B ；

3. 设集合A={(x,y)|y=-4x+6，x ∈R}，B={(x,y)|x=y 2-1}求A ∩B ；

4. 设集合A={x||x=2k+1，k ∈Z}，B={y|y=2k-1，k ∈Z}，C={x|x=2k ，k ∈Z}， 求A ∩B ，B ∩C ．

二、运用交集的性质解题

例4：

已知集合A={2，5}，B={x|x 2+px+q=0，x ∈R} （1）若B={5}，求p ，q 的值．

（2）若A ∩B= B ，求实数p ，q 满足的条件．

（1）由B={5}，知：方程x 2+px+q=0有两个相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p ，q 的值．

（2）由A ∩B= B 可知：B ? A ，而A={2，5}从而顺利地求出实数p ，q 满足的条件． 【解】

（1）∵ A ∩B={5}

∴ 方程x 2+px+q=0有两个相等的实根5 ∴ 5+5=-p 5?5=q ∴ p=-10，q=25

（2） ∵ A ∩B= B ∴ B ? A

当B=?时，⊿=p 2-4q<0，即 p 2<4q ； 当B={2}时，可求得p=-4，q=4； 当B={5}时，p=-10，q=25；

当B={2，5}时，可求得p=-7，q=10； 综上所述：

实数p ，q 满足的条件为p 2<4q ；

或44p q =-??=? 或10

25p q =-??=?

或7

10

p q =-??=?

点评:

利用性质：A ∩B = A ? A ?B 是解题的关键，提防掉进空集这一陷阱之中．

追踪训练二

1.已知集合A={x|x 2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，若A ∩B =B ，求实数m 所构成的集合M ．

2.已知集合M={x|x ≤-1}，N={x|x>a-2}，若M ∩N ≠?，则a 满足的条件是什么？

三、借助Venn 图解决集合的运算问题

例5：

已知全集U={不大于20的质数}，M,N 是U 的两个子集，且满足M ∩(U C N )={3，5}，

()U C M N = {7，19}，()()U U C M C N = {2，17}，求M ，N 的值．

分析：用Venn 图表示集合M ，N ，U ，将符合条件的元素依次填入即可． 【解】 点评:

Venn 图的形象直观，简化了运算过程，降低了思维难度，因此我们要善于灵活运用Venn 图来进行集合间的运算，特别是抽象集合（或较为复杂集合）间的运算问题．

第五课时集合的运算---并集

【学习导航】

知识网络

学习要求

1．理解并集的概念及其并集的性质；

2．会求已知两个集合的并集；

3．初步会求集合的运算的综合问题；

4．提高学生的分析解决问题的能力.

自学评价

1．并集的定义：

一般地，_________________________________________________，称为集合A与集合B的并集(union set) 记作__________，读作“___________”.交集的定义用符号语言表示为：__________________________________

交集的定义用图形语言表示为：

_________________________________

注意：

并集（A∪B）实质上是A与B的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.

2．并集的常用性质：

（1） A∪A = A；

（2） A∪?= A；

（3） A∪B = B∪A；

（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)；

（5） A?A∪B， B?A∪B

3．集合的并集与子集：

思考:

C A是什么

A∪B=A，可能成立吗？A∪

U

集合？

【答】________________________

结论：

A∪B = B ? A?B

【精典范例】

一、求集合的交、并、补集 例1．

根据下面给出的A 、B ，求A ∪B ①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}； ②A={y|y=x 2-2x}，B={x||x|≤3}； ③A={梯形}，B={平行四边形}． 【解】

① A ∪B={-1，0，1，2，3}； ② A ∪B={ x| x ≥-3}；

③ A ∪B= { 一组对边平行的四边形}

例2．

已知全集U=R ，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3]，P={x|x ≤0，或x ≥5

2

}，求： ①(A ∪B)∩P ②()U C B ∪P ③ (A ∩B)∪()U C P ． 【解】

① ∵A ∪B=[-4，3]， ∴ (A ∪B)∩P=[-4，0]∪[

5

2

，3] ② U C B =(-∞，-1]∪(3，+∞) ∴ ()U C B ∪P= P={x|x ≤0，x ≥52} ③ A ∩B=(-1，2)， U C P =（0，52

） ∴ (A ∩B)∪()U C P =（-1，

52

）． 点评:求不等式表示的数集的并集时，运用数轴比较直观，能简化思维过程

例3：

已知集合A={y|y=x-1，x ∈R}，B={(x,y)|y=x 2-1，x ∈R}，C={x|y=x+1，y ≥3}， 求()A C B .

分析：首先弄清楚A ，B ，C 三个集合的元素究竟是什么？然后再求出集合的有关运算. 【解】

∵ A={y|y=x-1，x ∈R}=R 是数集，

B={(x,y)|y=x 2-1，x ∈R}是点集，

C={x|y=x+1，y ≥3}={x|x ≥2} ∴ ()A C B =?

点评:

本题容易出现的错误是不考虑各集合的代表元，而解方程组． 突破方法是：进行集合运算

时，应分析集合内的元素是数，还是点，或其它．

追踪训练一

1.设A=(-1，3]，B=[2，4），求A ∪B ；

2.已知A={y|y=x 2-1}，B={y|x 2=-y+2} 求A ∪B ；

3.写出阴影部分所表示的集合：

图1

B

U

A

C U

B A

图2

4.集合U={1，2，3，4，5，6}，B={1，4}， A={2，3，5} 求：()U C A B 与()()U U C A C B ．

二、运用并集的性质解题

例4：

已知集合A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0}，A ∪B=A ，求a ，b 的值或a,b 所满足的条件．

分析：由于A ∪B=A ，可知：B ? A ，而A={1，-1}，从而顺利地求出实数a ，b 满足的值或范围． 【解】

∵ A={x|x 2-1=0 }={1，-1} ∵A ∪B=A ， ∴ B ?A

①当B=?时 , ⊿=4a 2

-4b<0 ②当B={-1}时，a=--1，b=1

③当B={1 }时，2a=1+1=2，即a=b=1

④当B={-1，1}时，B=A={-1，1 }，

此时a=0，b=-1

综上所述a,b的取值范围为：

⊿=4a2-4b<0或a=-1，b=1

或a=0，b=-1 或a=--1，b=1

点评:

利用性质：A∪B=A? B ?A是解题的关键，提防掉进空集这一陷阱之中．

追踪训练二

1.若集合P={1，2，4，m}，Q={2，m2}，满足P∪Q={1，2，4，m}，求实数m的值组成的集合．

2.已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x2-ax+m=0}，且A∪B=A求a，m的值或取范围.

思维点拔：

例5：

若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，

（1）若A∪B=A∩B，求a的值；

（2）? A∩B，A∩C=?，求a的值．

?≠

点拔：

解决本题的关键是利用重要结论：A∪B=A∩B? A=B

第六课时 交集、并集

【学习导航】 学习要求：

1、熟练掌握交集、并集的概念及其性质。

2、注意用数轴、文氏图来解决交集、并集问题。

3、分类讨论思想在解题中的应用。

【精典范例】

一、交集并集性质的应用

例1、已知集合A={(x,y)|x 2－y 2－y=4}，B={(x,y)|x 2－xy －2y 2=0}，C={(x,y)|x －2y=0}，D{(x,y)|x+y=0}。

(1)判断B 、C 、D 间的关系； (2)求A ∩B 。

【解】：

(1) B=C ∪D

(2) A ∩B={(3

4

,38),(－2, －1)，(4，－4)}.

二、交集、并集在实际生活中的应用

例2、某学校高一(5)班有学生50人，参加航模小组的有25人，参加电脑小组的有32人，求既参加航模小组，又参加电脑小组的人数的最大值和最小值。

思维分析：题目以应用为背景，解题关键是将文字转化为集合语言，用集合运算来解决错综复杂的现实问题。

解：由文氏图易得，既参加航模小组又参加电脑小组的人数最大值是25人，最小值是7人。

三、数形结合思想与交集并集的应用

例3、已知集合A={x|－20}，B={x|a ≤x ≤b}，满足A ∩B={x|0－2}，求a 、b 的值。

答案：a=－1，b=2.

评注：此题应熟悉集合的交与并的含义，掌握在数轴上表示集合的交与并的方法.

四、分类讨论思想与交集并集的综合应用

例4、已知集合A={x|x2－4x+3=0}，B={x|x2－ax+a－1=0}，C={x|x2－mx+1=0}，且A ∪B=A，A∩C=C，求a,m的值或取值范围。

分析：先求出集合A，由A∪B=A A

?，由A∩C=C?C?A,然后根据方程根的情

B?

况讨论。

答案：a=2或a=4, －2

评注：本例考查A与B，A与C的关系和分类讨论的能力。

追踪训练

1、集合A={x|x<－3，或x>3}，B={x|x<1，或x>4}，则A∩B=__________.

答案：{x|x<－3,或x>4}

2、集合A={a2，a+1，－3}，B={a－3，2a－1，a2+1}，若A∩B={－3},则a的值为___________.

A、0

B、1

C、2

D、－1

答案：D

3、已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值。

答案：P=8, a=5 ,b=－6

4、集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是___________.

答案：x≠－1且x≠0且x≠3

5、设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.

(1)若A∪B=B, 求实数a的值。

(2)若A∩B=B，求实数a的值。(答案：(1)a=1；(2)a=1或a≤－1；)