常微分方程第三章测试卷及答案

常微分方程第三章测试卷

班级 姓名 学号 得分

一、 填空题（30分）

1， 则称函数为在R 上关于y 满足利普希兹条件。

2，存在唯一性定理中近似值与真正解在区间h x x ≤-0 内的误差估计式为

3，由解关于初值的对称性，若方程满足初始条件00)(y x y =的解是唯一的，记为),,(00y x x y ?=,则成立关系式 在解的存在范围内。

4，若函数),(y x f 以及y

f ??都在区域G 内连续，则方程的解),,(00y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内的 。

5，若函数),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部利普希兹条件，则方程的解),,(00y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内

的。

6, 微分方程的奇解是指

二、解答题（50分）

1， 求曲线0sin cos =-+p a y a x 的奇解。这里a 是参数，p 为固定常数。

2， 求2'1y y -=的奇解 ()1≤y

3， 求初值问题22y x dx dy -=及0)1(=-y ；1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

4， 讨论21

2

-=y dx dy 分别过点（0，

0），（3,2ln -）的解的存在区间。

5， 利用克莱洛方程求p

xp y 1+=的奇解，dx dy p =

三、证明题（20分）

假设函数),(y x f 于),(00y x 的邻域内是y 的不增函数，试证方程),(y x f dx

dy =满足条件00)(y x y =的解于0x x ≥一侧最多只有一个。

常微分方程第三章测试卷

一1，若存在常数L >0。使得不等式2121),(),(y y L y x f y x f -≤-，对于所有R y x y x ∈),(),,(21都成立

2，1)!

1()()(++≤-n N

n h n ML x x ??。 3，),,(00y x x y ?=

4， 连续可微的。

5,连续的

6, 一条不属于积分曲线族的特殊积分曲线，且满足积分曲线上的每一点都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切；

二

1解：由 0sin cos =-+p a y a x

0cos sin =+-a y a x

得到 222p y x =+

故所求奇解为222p y x =+

2 解：易解得其通解为：)sin(c x y +=

又21y

y y f --=?? 令∞=??y

f 则有1±=y 3 解：1,1==b a

,4),(==y x f M a x M 4

1),(==M b a M i n h L y y f

=≤=??22 故1)!

1()()(++≤-n N

n h n ML x x ??=241

;42

11631893)(7432+---=x x x x x ? 4解：显然2

12-y 在整个平面上是连续 又y y

f =??，所以=),(y x f 212-y 满足局部利普希兹条件，从而满足解的存 在唯一性定理和延拓定理的条件。

易知方程的解为x x

ce

ce y -+=11及1±=y 1、 过（0，0）的解为x x

e

e y +-=11 ),(+∞-∞∈?x ，x x

e

e y +-=11有意义，又由解的唯一性知： x x

e

e y +-=11与1±=y 不相交， 故此方程解的存在区间为),(+∞-∞

2、 过（3,2ln -）的解为：x x

e

e y -+=11 当∞→→y x ,0 故方程 的解向左只能延拓到0=x 。 又x

x

e e y -+=11与1-=y 不相交 故方程的解的存在区间为),0(+∞。

5，解：由 p xp y 1+=与012=-p

x 可得： x y 42

=

三，证明：假设满足条件00)(y x y =的解于0x x ≥有两个)(1x y ，)(2x y 则)(01x y =0y )(02x y =0y

令)(x ?=)(1x y -)(2x y 0)(=x ?

)(1x y 与)(2x y 为连续函数。 不妨假设在],(10x x 上)(1x y >)(2x y 于是],(,0)(10x x x x ∈>? 0),(),()()()(2121≤-=-=y x f y x f dx x dy dx x dy dx x d ? 又 0)(=x ? 故在[10,x x ]上0)(≤x ?矛盾，因此命题成立。