第一讲不等式和绝对值不等式 (6)

第10课--绝对值不等式(经典例题练习、附答案)

第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+ ②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路,会用分类、换元、数形结合的方法解不等式; ◇知识梳理 1.绝对值的意义 ①代数意义:___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >??= =?? 时, |()|f x a >?____________; |()|f x a - 例2. 解不等式125x x -++> 变式1:12x x a -++<有解,求a 的取值范围 变式2:212x x a -++<有解,求a 的取值范围 变式3:12x x a -++>恒成立,求a 的取值范围 ◇能力提升 1.(2008湛江二模)若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|<

绝对值不等式教学设计

含有绝对值的不等式 教学目标 (1)掌握绝对值不等式的基本性质,在学会一般不等式的证明的基础上,学会含有绝对值符号的不等式的证明方法; (2)通过含有绝对值符号的不等式的证明,进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法; (3)通过证明方法的探求,培养学生勤于思考,全面思考方法; (4)通过含有绝对值符号的不等式的证明,可培养学生辩证思维的方法和能力,以及严谨的治学精神。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 ①本节重点是性质定理及推论的证明.一个定理、公式的运用固然重要,但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法,通过证明过程的探求,使学生理清思考脉络,培养学生勤于动脑、勇于探索的精神. ②教学难点一是性质定理的推导与运用;一是证明含有绝对值的不等式的方法选择.在推导定理中进行的恒等变换与不等变换,相对学生的思维水平是有一定难度的;证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换,根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点. 三、教学建议

(1)本节内容分为两课时,第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用,第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例. (2)课前复习应充分.建议复习:当时 ; ; 以及绝对值的性质: ,为证明例1做准备. (3)可先不给出含有绝对值的不等式性质定理,提出问题让学生研究:是否等于? 大小关系如何?是否等于?等等.提示学生用一些数代入计算、比较,以便归纳猜想一般结论. (4)不等式的证明方法较多,也应放手让学生去探讨. (5)用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论. (6)本节教学既要突出教师的主导作用,又要强调学生的主体作用,课上尽量让全体学生参与讨论,由基础较差的学生提出猜想,由基础较好的学生帮助证明,培养学生的团结协作的团队精神. 教学设计示例 含有绝对值的不等式 教学目标 理解及其两个推论,并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。 教学重点难点

绝对值不等式(经典题型)

1.若a >0,且|x |>a ,则____________;若a >0,且|x |c (c >0)型不等式的解法: 3.解下列不等式. (1)|2x +5|<7. (2)|2x +5|>7+x . (3)|x 2-3x +1|<5. (4)|2x -1|<2-3x . (5)1<|2-x |≤7. (6)1<|x -2|≤3 4.集合A ={x ||2-x |<5},B ={x ||x +a |≥3},且A ∪B =R ,求a 的取值范围 |x -a |+|x -b |≥c |x -a |+|x -b |≤c 5.解不等式 (1)|x -1|+|x -2|>2. (2)|x +2|-|x -1|<2 |(3)x +2|-|x -1|<2x 6.恒成立问题 (1)对任意x ∈R ,若|x -3|+|x +2|>a 恒成立,则实数a 的取值范围 . (2)关于x 的不等式a >|x -3|+|x +2|的解集非空,则实数a 的取值范围 . (3)关于x 的不等式a >|x -3|+|x +2|在R 上无解,则实数a 的取值范围 . (4)若不等式|x +3|-|x -5|x -2x 的解集是________. 10..已知函数f (x )=|x +2|-|x -1|,则f (x )的值域是________. 11. 对于x ∈R ,不等式||x +10-||x -2≥8的解集为______ 12.设函数f(x)=|3x -1|+x +2. (1)解不等式f(x)≤3; (2)若不等式f(x)>a 的解集为R ,求a 的取值范围.

绝对值不等式例题解析

典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析:解含有绝对值的不等式,通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ,将不等式中的绝对符号去掉,转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组),再去求解.去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点),将数轴分成若干段,然后从左向右逐段讨论. 解:令01=+x ,∴ 1-=x ,令032=-x ,∴2 3=x ,如图所示. (1)当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾,无解. (2)当2 31≤ <-x 时,原不等式化为2)32(1--->+x x . ∴ 0>x ,故2 30≤x 时,原不等式化为 2321-->+x x .∴6<-+-有解的条件为32 7<-a ,即1>a ; 当43≤≤x 时,得a x x <-+-)3()4(,即1>a ;

当4>x 时,得a x x <-+-)3()4(,即27+< a x ,有解的条件为42 7>+a ∴1>a . 以上三种情况中任一个均可满足题目要求,故求它们的并集,即仍为1>a . 解法二:设数x ,3,4在数轴上对应的点分别为P ,A ,B ,如图,由绝对值的几何定义,原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a . 因为1=AB ,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于1),即134≥-+-x x ,故当1>a 时,a x x <-+-34有解. 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-,求证ε<-ab xy . 分析:根据条件凑b y a x --,. 证明:ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(. 说明:这是为学习极限证明作的准备,要习惯用凑的方法. 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析:使用分析法 证明 ∵0>a ,∴只需证明b a a b a -≥-222,两边同除2 b ,即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2,即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时,b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(;当1

含绝对值的不等式解法练习题及答案

含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号:[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ]答选C. 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A.3 B.2 C.-2 D.-5 分析列出不等式. 解根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x<-2或2<x≤5,其中最小整数为-5, 答选D. 例3不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析利用所学知识对不等式实施同解变形. 解原不等式可化为4<|3x-1|≤7,即4<3x-1≤7或-7例4已知集合A={x|2<|6-2x|<5,x∈N},求A. 分析转化为解绝对值不等式. 解∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x-6|<5 因为x∈N,所以A={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件.

例5 实数a,b满足ab<0,那么 [ ] A.|a-b|<|a|+|b| B.|a+b|>|a-b| C.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<||a|+|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义. 解∵a、b异号, ∴ |a+b|<|a-b|. 答选C. 例6 设不等式|x-a|<b的解集为{x|-1<x<2},则a,b 的值为 [ ] A.a=1,b=3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 分析解不等式后比较区间的端点. 解由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b<x<a+b},由于解集又为{x|-1<x<2}所以比较可得. 答选D. 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组.例7 解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R)

含有绝对值的不等式·典型例题分析

含有绝对值的不等式·典型例题分析 例1 求下列函数的定义域和值域: 分析利用绝对值的基本概念. 解 (1)x+|x|≠0,即|x|≠-x.∴x>0. ∴定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞). (2)|x|≥x,x∈R.|x|-x≥0,∴y∈[0,+∞). (3)x+|x|>0,x∈R+.y∈R. 画出函数图象如图5-17所示.不难看出,x∈R,y∈[-1,1]. 说明本例中前三个易错,第四个要分析写出函数表达式,并画出函数图象,此法在求值域时常用. 例2 解不等式|x+1|>|2x-3|-2.

将不等式中的绝对值符号去掉,转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组),再去求解.去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点),将数轴分成若干段,然后从左向右逐段讨论. (1)当x≤-1时原不等式化为-(x+1)>-(2x-3)-2. ∴x>2与条件矛盾,无解. 综上,原不等式的解为{x|0<x<6}. 注意找零点去绝对值符号最好画数轴,零点分段,然后从左向右逐段讨论,这样做条理分明、不重不漏. 例3 解不等式|x2-4|<x+2. 分析解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:

二是根据绝对值的性质:|x|<a?-a<x<a,|x|>a?x>a或x<-a,因此本题有如下两种解法. ∴2≤x<3或1<x<2 故原不等式的解集为{x|1<x<3}. 解法二原不等式等价于-(x+2)<x2-4<x+2 例4 求使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范围. 分析此题若用讨论法,可以求解,但过程较繁;用绝对值的几何意义去求解十分简便. 解法一将数轴分为(-∞,3],[3,4],(4,+∞)三个区间 当3≤x≤4 时,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1;

高考含绝对值不等式的解法

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一:形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号,准确的去掉绝对值符号,再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时, a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(,无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 (2008年四川高考文科卷)不等式22<-x x 的解集为( ) A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解: 因为 22<-x x ,

所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x , 解得: ? ??<<-∈21x R x , 所以 )2,1(-∈x ,故选A. 类型二:形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是,该类型的不等式容易错解为: b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 (2004年高考全国卷)不等式311<+

绝对值不等式练习题知识讲解

绝对值不等式练习题

绝对值的不等式 一、选择题(8分×6=48分) 1.不等式243x 的整数解的个数为 ( ) A 0B 1C 2D 大于2 2.函数22x x y 的定义域是 ( ) A ]2,2[B ),2[]2,(C ),1[]1,(D ) ,2[3.设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 ( ) A .a =1,b =3 B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 2 3 ,21 .b a D 4.若两实数y x,满足0xy ,那么总有 ( ) A y x y x B y x y x C y x y x D.x y y x 5.已知,b c a 且,0abc 则 ( ) A c b a B b c a C c b a D c b a 6.)(13)(R x x x f ,当b x 1有),,(4)(R b a a x f 则b a,满足 ( ) A 3a b B 3b a C 3a b D 3 b a 二、填空题(8分×2=16分) 7.不等式x x 512的解集是 8.不等式x x x x 11的解集是 三、解答题(18分×2=36分) 9.解下列不等式:(1)|x +1|>2-x ;(2)|2x -2x -6|<3x

10.已知a x x x f |2||1|)(,(1)当5a 时,求)(x f 定义域; (2)若)(x f 的定义域为R ,求a 的取值范围。附加题:(10分×2=20分) 1.若不等式|1|75x x 与不等式022bx ax 同解,而k b x a x ||||的解集为非,求实数k 的取值范围 2.当10x 时,比较)1(log x a 与)1(log x a 的大小.)1,0(a a

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab ≥0时,等号成立。 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a 与-b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间。 推论1

推论2 [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证:

含绝对值的不等式解法·典型例题

含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }...≠.? 83 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 83 答 选C . 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A .3 B .2 C .-2 D .-5 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D . 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7 ≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为-≤<-或<≤.3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A . 分析 转化为解绝对值不等式. 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x -6|<5 即-<-<,->或-<-, 52x 652x 622x 62??? 即<<,>或<,12x 112x 82x 4???

解之得<<或<<.4x x 211212 因为x ∈N ,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件. 例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ] A .|a -b|<|a|+|b| B .|a +b|>|a -b| C .|a +b|<|a -b| D .|a -b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号, ∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C . 例6 设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 [ ] A .a =1,b =3 B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 D a b .=,=1232 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x|a -b <x <a +b},由于解集又为{x|-1<x <2}所以比较可得. a b 1a b 2 a b -=-+=,解之得=,=.???1232 答 选D . 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R) 分析 分类讨论. 解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为;? 若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x <m .

绝对值不等式练习题

一、选择题(8分X 6=48分) 1.不等式3x -4 v2的整数解的个数为() A0 B1 C 2 D 大于2 2.函数y = Jx2 _|x| _2的定义域是() A[-2,2] B(-::,-2] [2, ::) C(-::,-1] [1, ::) D[2,::) 3.设不等式|x —a| v b的解集为{x| —1< x v 2},贝U a, b的值为() A. a = 1, b= 3 B . a=—1, b= 3 1 3 C . a = —1, b= —3 D .a , b — 2 2 4.若两实数x, y满足xy ::: 0 ,那么总有() Cx — yvx—y D. Ax + y2 —x ; (2)| x2—2x —6|<3 x 10.已知f(x) = ,;|x 1| |x -2| a , (1) 当a—5时,求f (x)定义域; (2)若f (x)的定义域为R,求a的取值范围。

含绝对值的不等式解法练习题及答案

例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ...≠.?8 3 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 8 3 答 选C . 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A .3 B .2 C .-2 D .-5 \ 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D . 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7 ≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为 -≤<-或<≤. 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A . 分析 转化为解绝对值不等式. ' 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x -6|<5 即-<-<,->或-<-,52x 652x 622x 62??? 即<<,>或<,12x 112x 82x 4??? 解之得<< 或<<.4x x 21121 2 因为x ∈N ,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件.

例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ] A .|a -b|<|a|+|b| · B .|a +b|>|a -b| C .|a +b|<|a -b| D .|a -b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号, ∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C . 例6 设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 [ ] A .a =1,b =3 : B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 D a b .=,=123 2 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x|a -b <x <a +b},由于解集又为{x|-1<x <2}所以比较可得. a b 1a b 2a b -=-+=,解之得=,=.?? ? 123 2 答 选D . 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R) 分析 分类讨论. 、 解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为;? 若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x <m . 综上所述得:当≤时原不等式解集为; 当>时,原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1-m <x <m}. 说明:分类讨论时要预先确定分类的标准.

含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{} 51<<-x x 。(解略) (二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >??==??-++。 分析:由绝对值的意义知,a a =?a ≥0,a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于 2 x x +<0?x(x+2)<0?-2<x <0。

含绝对值的不等式解法练习题及答案

例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] 答选C. 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A.3 B.2 C.-2 D.-5分析列出不等式.|x|≤5.解根据题意得2<5,,其中最小整数为-5x<-2或2<x≤从而-5≤.选D答 .的解集为________不等式4<|1-3x|≤7例3 利用所学知识对不等式实施同解变形.分析 或-74<3x-1≤74解原不等式可化为<|3x-1|≤7,即 .,5x∈N},求A例4 已知集合A={x|2<|6-2x|<转化为解绝对值不等式.分析 可化为|6-2x|<5<解∵25<|2x-6|<2 ,1,5}.因为x∈N,所以A={0说明:注意元素的限制条件.ab<0,那么例5 实数a,b 满足[ ] |b|A.|a-b|<|a|+|a.|a+b|>-b|B|a+b|<|a-b|C.+|b||b|<||a||aD.-根据符号法则及绝对值的意义.分析 、ab异号,解∵b|.<∴ |a+b||a-.选答 C ba,的值为2}1b|x例6 设不等式-a|<的解集为{x|-<x<,则[ ] A.=3ba=1,3b1aB.=-,=3=-b,1=-a.C. 分析解不等式后比较区间的端点. 解由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b<x<a+b},由于解集又为{x|-1<x<2}所以比较可得. 答选D. 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R) 分析分类讨论. x<m.

{x|1-m<x<m}. 说明:分类讨论时要预先确定分类的标准. 分析一般地说,可以移项后变形求解,但注意到分母是正数,所以能直接去分母. 解注意到分母|x|+2>0,所以原不等式转化为2(3-|x|)≥|x|+2,整理得 说明:分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号,使过程简便. 例9 解不等式|6-|2x+1||>1. 分析以通过变形化简,把该不等式化归为|ax+b|<c或|ax+b|>c型的不等式来解. 解事实上原不等式可化为 6-|2x+1|>1 ① 或 6-|2x+1|<-1 ② 由①得|2x+1|<5,解之得-3<x<2; 由②得|2x+1|>7,解之得x>3或x<-4. 从而得到原不等式的解集为{x|x<-4或-3<x<2或x>3}. 说明:本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论. 例10已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|<a的解集是非空集合,则实数a的取值范围是 ________. 分析可以根据对|x+2|+|x-3|的意义的不同理解,获得多种方法. 解法一当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+3<a即-2x+1<a有解,而-2x+1≥5, ∴a>5. 当-2<x≤3时,不等式化为x+2-x+3<a即a>5. a∴,5>1-2x而有解,a<1-2x即a<3-x+2+x是,不等式化为3>x当. >5. 综上所述:a>5时不等式有解,从而解集非空. 解法二 |x+2|+|x-3|表示数轴上的点到表示-2和3的两点的距离之和,显然最小值为3-(-2)=5.故可求a的取值范围为a>5. 解法三利用|m|+|n|>|m±n|得 |x+2|+|x-3|≥|(x+2)-(x-3)|=5. 所以a>5时不等式有解. 说明:通过多种解法锻炼思维的发散性. 例11 解不等式|x+1|>2-x. 分析一对2-x的取值分类讨论解之. 解法一原不等式等价于: 由②得x>2. 分析二利用绝对值的定义对|x+1|进行分类讨论解之.

绝对值不等式练习题

绝对值的不等式 一、选择题(8分×6=48分) 1.不等式243<-x 的整数解的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 大于2 2.函数22--=x x y 的定义域是 ( ) A ]2,2[- B ),2[]2,(+∞--∞ C ),1[]1,(+∞--∞ D ),2[+∞ 3.设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 ( ) A .a =1,b =3 B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 23 ,21 .==b a D 4.若两实数y x ,满足0+ C y x y x -<- D.x y y x -<+ 5.已知,b c a <-且,0≠abc 则 ( ) A c b a +< B b c a -> C c b a +< D c b a -> 6.)(13)(R x x x f ∈+=,当b x <-1有),,(4)(+∈<-R b a a x f 则b a ,满足 ( ) A 3a b ≤ B 3b a ≤ C 3a b > D 3b a ≥ 二、填空题(8分×2=16分) 7.不等式x x ->+512的解集是 8.不等式x x x x ->-11的解集是 三、解答题(18分×2=36分) 9.解下列不等式:(1)|x +1|>2-x ;(2)|2x -2x -6|<3x

10.已知a x x x f +-++=|2||1|)(,(1)当5-=a 时,求)(x f 定义域; (2)若)(x f 的定义域为R ,求a 的取值范围。 附加题:(10分×2=20分) 1.若不等式|1|75+>-x x 与不等式022 >-+bx ax 同解,而k b x a x ≤-+-||||的解集为非φ,求实数k 的取值范围 2.当10<a a

两个常用绝对值不等式的应用

两个常用绝对值不等式的应用 教学目标 理解及其两个推论,并能应用它证明简单含有绝 对值不等式的证明问题。 教学重点难点 重点是理解掌握定理及等号成立的条件,绝对值不等式的证明。 难点是定理的推导过程的探索,摆脱绝对值的符号,通过定理或放缩不等式。 教学过程 一、复习引入 我们在初中学过绝对值的有关概念,请一位同学说说绝对值的定义。 当时,则有: 那么与及的大小关系怎样? 这需要讨论当 当 当 综上可知: 我们已学过积商绝对值的性质,哪位同学回答一下? . 当时,有:或. 二、引入新课

由上可知,积的绝对值等于绝对值的积;商的绝对值等于绝对值的商。 那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗? 1.定理探索 和差的绝对值不一定等于绝对值的和差,我们猜想 . 怎么证明你的结论呢? 用分析法,要证. 只要证 即证 即证, 而显然成立, 故 那么怎么证? 同样可用分析法 当时,显然成立, 当时,要证 只要证, 即证 而显然成立。 从而证得. 还有别的证法吗?(学生讨论,教师提示)

由与得. 当我们把看作一个整体时,上式逆用可得什么结 论? 。 能用已学过得的证明吗? 可以表示为. 即(教师有计划地板书学生分析证明的过程) 就是含有绝对值不等式的重要定理,即. 由于定理中对两个实数的绝对值,那么三个实数和的绝对值呢? 个实数和的绝对值呢? 亦成立 这就是定理的一个推论,由于定理中对没有特殊要求,如果用代换会 有什么结果?(请一名学生到黑板演) , 用代得, 即。 这就是定理的推论成立的充要条件是什么? 那么成立的充要条件是什么? .

例1求证. 证法:(直接利用性质定理)在时,显然成立. 当时,左边 . 三、随堂练习 1.求证. 答案: 与同号 四、小结 1.定理. 把、、看作是三角形三边,很象 三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,这样理解便于记忆,此定理在后面学习复数时,可以推广到比较复数的模长,并有其几何意义,有时也称其为“三角形不等式”. 2.平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式,但应注意两边非负时才可平方,有些证明并不容易去掉绝对值符号,需用定理及其 推论。 3.对要特别重视.

含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{} R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{} 51<<-x x 。(解略)

(二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知,a a =?a ≥0,a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +<0?x(x+2)<0?-2<x <0。 (三)、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ,02=+x ,得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间,即2-x ,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。 解:当x <-2时,得2 (1)(2)5x x x <-??---+x 时,得1, (1)(2) 5.x x x >??-++

专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)

第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义:(其几何意义是数轴的点A (a )离开原点的距离a OA =) ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法:(解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号) (1)定义法; (2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式; (3)平方法:通常适用于两端均为非负实数时(比如()()x g x f <); (4)图象法或数形结合法; (5)不等式同解变形原理:即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示,不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。(见P8) 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化,以及含字母的有关问题的讨论,渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤: (1)将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

高一数学含绝对值不等式的解法练习题

含绝对值的不等式解法 一、选择题 1.已知a <-6,化简26a -得() +6 2.不等式|8-3x |≤0的解集是() A. C.{(1,-1)} D.? ?????38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是() 4.设A ={x ||x -2|<3},B ={x ||x -1|≥1},则A ∩B 等于() A.{x |-1<x <5} B.{x |x ≤0或x ≥2} C.{x |-1<x ≤0} D.{x |-1<x ≤0或2≤x <5} 5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且,}5 {≤∈=x Z x x B 且,则B A Y 中的元素个数是() 6.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y },则M ∩N () A.{4-≥y y }B.{51≤≤-y y }C.{14-≤≤-y y }D. 7.语句3≤x 或5>x 的否定是() 53<≥x x 或53≤>x x 或53<≥x x 且53≤>x x 且二、填空题 1.不等式|x +2|<3的解集是,不等式|2x -1|≥3的解集是. 2.不等式12 11<- x 的解集是_________________. 三、解答题 1.解不等式1.02122<--x x 2.解不等式x 2-2|x |-3>0 3.已知全集U =R ,A ={x |x 2-2x -8>0},B ={x ||x +3|<2},求: (1)A ∪B ,C u (A ∪B )(2)C u A ,C u B ,(C u A )∩(C u B ) 4.解不等式3≤|x -2|<97.解不等式|3x -4|>1+2x . 5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象,并解不等式|x +1|+|x -2|<4.

高中数学 绝对值不等式高考题合集详解

绝对值不等式 1.(2015·山东卷)不等式|x -1|-|x -5|<2的解集是( ) A .(-∞,4) B .(-∞,1) C .(1,4) D .(1,5) 解析 当x ≤1时,不等式可化为(1-x )-(5-x )<2,即-4<2,满足题意; 当1a 的解集为M ,且2?M ,则a 的取值范围为( ) A.? ????14,+∞ B.???? ??14,+∞ C.? ????0,12 D.? ?? ??0,12 解析 由已知2?M ,可得2∈?R M 。 于是有???? ??2a -12≤a , 即-a ≤2a -12≤a ,解得a ≥14,故选B 。 答案 B 3.对任意x ,y ∈R ,|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4

解析 ∵|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1| =(|1-x |+|x |)+(|1-y |+|1+y |) ≥|(1-x )+x |+|(1-y )+(1+y )|=1+2=3, 当且仅当(1-x )·x ≥0,(1-y )·(1+y )≥0,即0≤x ≤1,-1≤y ≤1时取等号, ∴|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为3。 答案 C 4.(2015·重庆卷)若函数f (x )=|x +1|+2|x -a |的最小值为5,则实数a =________。 解析 当a ≤-1时, f (x )=|x +1|+2|x -a |=????? -3x +2a -1,x -1, 所以f (x )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增, 则f (x )在x =a 处取得最小值f (a )=-a -1, 由-a -1=5得a =-6,符合a ≤-1; 当a >-1时, f (x )=|x +1|+2|x -a | =????? -3x +2a -1,x <-1,-x +2a +1,-1≤x ≤a , 3x -2a +1,x >a 。 所以f (x )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增, 则f (x )在x =a 处取最小值f (a )=a +1, 由a +1=5,得a =4,符合a >-1。 综上,实数a 的值为-6或4。 答案 -6或4

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