高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
1. 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证
.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n 例2 已知函数
bx
a x f 211
)(?+=
，若5
4
)1(=
f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：
.2
1
21)()2()1(1
-+
>++++n n n f f f 例3 求证),1(2
2
1321
N n n n C C C C
n n n
n
n
n
∈>?>++++- .
例4 已知2221
2
1n a a a ++
+=，222
121n x x x ++
+=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.
2．利用有用结论
例5 求证.12)1
21
1()511)(311)(11(+>-+++
+n n 例6 已知函数
.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤
n a n x f x
x x x 给定
求证：
)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1
1211
1,(1).2
n n n
a a a n n +==+
++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；
)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828
e ≈）
例8 已知不等式
211
11
[log ],,223
2
n n N n n *+++
>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤
>=--n a n na a b b a n n n 求证.3,]
[log 222≥+ a n 再如：设函数 ()x f x e x =-。 （Ⅰ）求函数()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N * ∈，有 1 ().1n n k k e n e =<-∑ 例9 设n n n a )1 1(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4 3. 部分放缩 例10 设++ =a n a 21111 ,23 a a a n ++ ≥,求证：.2 例11 设数列 {}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有： 2)(+≥n a i n ； 2 111 1111)(2 1 ≤ ++++++n a a a ii . 4 . 添减项放缩 例12 设N n n ∈>,1，求证) 2)(1(8 )32(++< n n n . 例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1 ,211 =+==+n a a a a n n n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立； 5 利用单调性放缩: 构造函数 例14 已知函数 2 23)(x ax x f - =的最大值不大于 61，又当]21,41[∈x 时 .8 1 )(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=< 1 011，证明.11+< n a n 例15 数列 {}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211??? ? ? ?+ =+n n n x a x x N n ∈． （I ） 证明：对2≥n 总有a x n ≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x 6 . 换元放缩 例16 求证).2,(1 2 11≥∈-+ << *n N n n n n 例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4 )1(2 2-> a n a n . 7 转化为加强命题放缩 例18 设10< n += +=+1 ,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,21 2211n x x x x n n n +==+证明.10012001 例20 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝ 3 2 ，且a n ＝ n 1 n 13na n 2n N 2a n 1 *≥∈－－（，） ＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1?a 2?……a n <2?n ！ 8. 分项讨论 例21 已知数列}{n a 的前 n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n （Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有 8 7 11154<+++m a a a . 9. 借助数学归纳法 例22（Ⅰ）设函数 )10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数 n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，求证： n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log 10. 构造辅助函数法 例23 已知 ()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()() *11 2 ,02 11 N n a f a n a n ∈=<<-++ （1）求 ()f x 在?? ? ???-021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<; （3）判断n a 与1()n a n N * +∈的大小，并说明理由. 例24 已知数列{}n a 的首项1 35a = ，1321 n n n a a a +=+，1 2n =，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ??- - ?++?? ≥，12n =，，； （Ⅲ）证明：2 12 1 n n a a a n ++ +>+． 例25 已知函数f(x)=x 2 -1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n ∈N * ). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1 n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由； （Ⅲ）若x 1 =2，求证：.3 1 211111121-≤++++++n n x x x 例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=2 12 1)1(+=++<+ )21(1 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2 +<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 b a a b +≤ ，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(2 1 +> ++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 [简析] 411 ()11(0)141422 x x x x f x x ==->-≠++?1 (1)()(1)22 f f n ?++>- ?2 11 (1)(1)2222 n +-++- ?? 1111111 (1).42 222 n n n n -+=-++ + =+- 例3 简析 不等式左边1 23 n n n n n C C C C +++ +=12222112-++++=-n n n n n 1 22221-?????> =2 1 2 -?n n ，故原结论成立. 例4 22 2222 1122 112222 2n n n n a x a x a x a x a x a x +++++ +≤++ + 22 222 2121211 1.2 2 22 n n a a a x x x ++++++=+ = += 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。本题还可以推广为： 若 2221 2 n p a a a ++ +=，22 2 12(,0)n q p q x x x ++ +=>， 试求n n x a x a x a +++ 2 211的最大值。 请分析下述求法：因为2 2 (,)2 x y xy x y R +≤ ∈，所以有222222 1122 1122 22 2n n n n a x a x a x a x a x a x +++++ +≤++ + 22 2 22 21212.2 2 2n n a a a x x x p q +++++++=+ = 故n n x a x a x a +++ 2211的最大值为 2 p q +，且此时有(1,2, ,)k k a x k n ==。 上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是(1,2, ,)k k a x k n = =， 即必须有2 21 1 n n k k k k a x ===∑∑， 即只有p=q 时才成立！那么， p q ≠呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化： 222222122 2 2 2 1, 1, ( )() () ()n n p q q q a x x x + =+ ++ = 则有 1122 n n a x a x a x ++ += 222 2 22122 2 2 2 )( )] () () () ()n n pq p q q q a x x x ≤ + + + ++ = 于是，1122 max ()n n a x a x a x ++ +=1,2,,). k n = = 结合其结构特征，还可构造向量求解：设1212(,,,),(,,,)n n m a a a n x x x ==，则 由||||||m n m n ?≤立刻得解： 22 222 2 1122 1212||.n n n n a x a x a x a a a x x x pq ++ +≤++ +++ += 且取“＝”的充要条件是：12 12 n n x x x a a a == 。 2．利用有用结论 例5 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 >-??122563412n n =+??n n 212674523 )12(212654321+?-??n n n ?12)1 22563412(2 +>-??n n n 即.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n 法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+ *x x n N n nx x n 的一个特例 1 2121)1211(2-? +>-+k k (此处)得121,2-= =k x n ，=-+∏?-+>-+=)1 211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏ =n k k n k 例 6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明，；这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a 1 21 2 21 ])([的简捷证 法： ?>)(2)2(x f x f >?+-++++n n a n x x x x 2222)1(321lg n n a n x x x x ?+-++++)1(321lg 2 2])1(321[x x x x n a n ?+-++++? ])1(321[2222x x x x n a n n ?+-++++?< 而由Cauchy 不等式得2))1(1312 111(x x x x n a n ?+-?++?+?+? ?++<)11(22 ])1(321[22222x x x x n a n ?+-++++ (0=x 时取等号) ≤ ])1(321[2222x x x x n a n n ?+-++++? （10≤ 例7 [解析] )(II 结合第)(I 问结论及所给题设条件ln(1)x x +<（0x >）的结构特征，可得放缩思路： ?+++ ≤+n n n a n n a )21 11(211211ln ln(1)ln 2n n n a a n n +≤++++n n n n a 211ln 2+++≤。 于是n n n n n a a 21 1ln ln 21 ++≤ -+， .221122 11)21(111ln ln )2 11()ln (ln 1 1211 11 1 <--=--+-≤-?++≤---=+-=∑ ∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即 .2ln ln 21e a a a n n 【注】：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可 用结论)2)(1(2 ≥->n n n n 来放缩：?-+-+ ≤+) 1(1))1(11(1n n a n n a n n 11 1(1)(1)(1)n n a a n n ++≤++- 111 ln(1)ln(1)ln(1).(1)(1) n n a a n n n n +?+-+≤+ <--11 1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2112<-<+-+?-<+-+?∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 例8 【简析】 当2≥n 时n a a a n a a n na a n n n n n n n 1 1111111+=+≥?+≤ -----，即 n a a n n 1111≥--.1)11(212k a a n k k k n k ∑∑=-=≥-?于是当3≥n 时有?>-][log 211121n a a n .][log 222n b b a n +< 注：本题涉及的和式 n 1 3121+++ 为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论 ][log 2 1 131212n n >+++ 来进行有效地放缩； 再如：【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1x e x ≥+，对x>－1有(1)n nx x e +≤，利用此结论进行巧妙赋值：取 1,1,2, ,k x k n n =-=，则有12101 1()1211 111()()()()()()()111n n n n n n n e e n n n e e e e e e e ---++ +≤++++= <=--- 即对于任意n N * ∈，有 1().1n n k k e n e =<-∑ 例9 [解析] 引入一个结论：若0>>a b 则)()1(11a b b n a b n n n -+<-++，（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明， 略） 整理上式得].)1[(1 nb a n b a n n -+>+（?） ，以n b n a 1 1,111+=++=代入（?）式得>++ +1)111(n n .)11(n n +。即}{n a 单调递增。以n b a 21 1,1+==代入（?）式得.4)21 1(21)211(12<+??+ >n n n n 。此式对一切正整数n 都成立，即对一切偶数有4)11(<+n n ，又因为数列} {n a 单调递增，所以对一切正整数n 有4)11(<+ n n 。 注：上述不等式可加强为.3)1 1(2 <+≤n n 简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： .1111)11(221n n n n n n n n C n C n C n a ++?+?+=+= 只取前两项有.2111=?+≥n C a n n 对通项作如下放缩： .212211!111!111-=?≤<+-?-??=k k k n k n k n n n n n k n C 故有.32/11)2/1(12122 12121111 12<--?+=+++++<--n n n a 3. 部分放缩 例10 [解析] ++=a n a 211.1312111312 22n n a a ++++≤++ 又2),1(2 ≥->?=k k k k k k （只将其中一个k 变成1-k ，进行部分放缩），k k k k k 1 11)1(112--=-<∴ ， 于是)111()3121()211(11312112 22n n n a n --++-+-+<++++ ≤ .212<-=n 例11 【解析】 )(i 用数学归纳法：当1=n 时显然成立，假设当k n ≥时成立即2+≥k a k ， 则当1+=k n 时312)2(1)2(1)(1+>+?+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ，成立。 )(ii 利用上述部分放缩的结论121 +≥+k k a a 来放缩通项，可得 ?+≥++)1(211k k a a 111112(1)242k k k k a a --++≥ ≥+≥?= 11112k k a +? ≤+111 1 1()1 1112.11242 12 n n n i i i i a +==-?≤=? ≤+-∑∑ 【注】上述证明)(i 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：31)2)(2(1 +>+-++≥+k k k k a k ； 证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121+≥+k k a a 。 例12 [简析] 观察n )32( + 12n ≥+ +即8 )2)(1()211(++>+n n n ，得证. 例13[简析] 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有 法1 法.1,,2,1,22 21-=>-+n k a a k k 则?+>+>?->-1222)1(22 212 n n a n a a n n 12+>n a n 例14 [解析] （Ⅰ）a =1 ；（Ⅱ）由),(1 n n a f a =+得6 161)31(232322 1≤+--=-=+n n n n a a a a 且.0>n a 用数学归纳法（只看第二步）： 则得 .2 1)11(2311)11( )(21+<+-+=+<=+k k k k f a f a k k 例15 [解析1+=k n 时??? ? ??+=+k k k x a x x 211在),[+∞a 递增，故.)(1a a f x k =>+。对(II)有=-+1n n x x ? ?? ? ? ?-n n x a x 21，构造函数 ,21)(?? ? ??-=x a x x f 它在),[ +∞a 上是增函数，故有= -+1n n x x ≥???? ??-n n x a x 210)(=a f ，得证。 【注】①数列{}n x 单调递减有下界因而有极限：).(+∞→→ n a a n ② ??? ??+= x a x x f 21)(是递推数列??? ? ??+=+n n n x a x x 211的母函数，研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。 例16 [简析] ),1(0>>n h n 则有 )1(12 02)1()1(2>-< +=n n h h n n h n n n n n ，从而有.1 2111-+ <+= ，则0>b ，b a =-1，应用二项式定理进行部分放缩有 注意到N n n ∈≥,2，则4 2)1(222b n b n n ≥ -（证明从略），因此4 )1(2 2-> a n a n . 7 转化为加强命题放缩 例18 [解析] 用数学归纳法推1+=k n 时的结论11>+n a ，仅用归纳假设1>k a 及递推式 a a a k k += +1 1是难以证出的，因为k a 故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数n 有.11 1a a n -<<（证略） 例19 [简析] .21412)2(1222221 +<+=?+≤+=+k k k k k k x x x k k k 。因此对一切* ∈N x 有.2n x n ≤ 例20 [解析]：（1）将条件变为：1－ n n a ＝n 1 1n 113 a －－（－），因此｛1－n n a ｝为一个等比数列，其首项为1－ 1 1a ＝ 13，公比13 ，从而1－ n n a ＝n 13 ，据此得a n ＝n n n 331 ?－（n ≥1）……1? （2）证：据1?得，a 1?a 2?…a n ＝ 2n n 111111333 ?！ （－）（－）…（－） ，为证a 1 ?a 2 ?……a n <2?n ！， 只要证n ∈N *时有2n 1 111113 33?（－）（－ ）…（－）>12……2? 显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式： 对每个n ∈N *，有2n 111111333?（－ ）（－）…（－） ≥1－（2n 111333＋＋…＋）……3? （用数学归纳法，证略）利用3?得2n 1 111113 33?（－）（－ ）…（－） ≥1－（2n 111333＋＋…＋） ＝1－n 111331 13 〔－（）〕 － ＝1－n n 11111123223〔 －（）〕＝＋（）>12。故2?式成立，从而结论成立。 8. 分项讨论 例21 [简析] （Ⅰ）略，（Ⅱ） [] .)1(23 212---+= n n n a ；（Ⅲ）由于通项中含有n )1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当3≥n 且n 为奇数时 1 2222223)121121(23112 1321 2121--++?=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )2121(2322223123212-----+?=+? 且m 为偶数时， =+++m a a a 1 1154 )11()11(11654m m a a a a a +++++- .87 8321)211(412321)212121(23214243=+<-??+=++++< --m m ②当4>m 且m 为奇数时， <+++m a a a 11154 1 541 111+++++m m a a a a （添项放缩） 由①知 .8 7 1111154<+++++m m a a a a 。由①②得证。 9. 借助数学归纳法 例22 [解析] 科学背景：直接与凸函数有关！（Ⅰ）略，只证（Ⅱ）： 考虑试题的编拟初衷，是为了考查数学归纳法，于是借鉴詹森不等式的证明思路有： 法1（用数学归纳法） （i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立。（ii ）假定当 k n =时命题成立，即若正数 1,,,221221=+++k k p p p p p p 满足， 则 .log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++ 当1+=k n 时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p 满足（*） 为利用归纳假设，将（*）式左边均分成前后两段： 令.,,,,222211221x p q x p q x p q p p p x k k k ===+++= 则k q q q 221,,, 为正数，且 .1221=+++k q q q 由归纳假定知.log log log 22222212 1k q q p p p q k k -≥+++ k k k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++ ,log )()log 22x x k x x +-≥+ （1） 同理，由 x p p p k k k -=++++++1122212 得 1122212212log log ++++++k k k k p p p p ).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥（2） 综合（1）（2）两式 11222222121log log log +++++k k p p p p p p ).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x 即当1+=k n 时命题也成立. 根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. 法2 构造函数那么常数)),,0(,0)((log )(log ) (22c x c x c x c x x x g ∈>--+= ],log )1(log )1(log [)(222c c x c x c x c x c x g +--+= 利用（Ⅰ）知，当 .)(,)2 (21取得最小值函数时即x g c x c x == 对任意都有,0,021>>x x 2 log 22log log 2 1 221222121x x x x x x x x ++? ≥+]1)()[log (21221-++=x x x x ② （②式是比①式更强的结果）. 下面用数学归纳法证明结论. （i ）当n=1时，由（I ）知命题成立. （ii ）设当n=k 时命题成立，即若正数 有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p 1 1111122212212222121221221222222121log log log log . 1,,,,1. log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p p p k n k p p p p p p 令满足时当 对（*）式的连续两项进行两两结合变成k 2项后使用归纳假设，并充分利用②式有 , 1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H 因为 由归纳法假设 ,)(log )()(log )(11112 12221221221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++-- 得).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H k k 即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立. 【评注】（1）式②也可以直接使用函数x x x g 2log ) (=下凸用（Ⅰ）中结论得到； （2）为利用归纳假设，也可对（*）式进行对应结合：i i i n p p q +-+=12而变成k 2项； （3）本题用凸函数知识分析如下： 先介绍詹森（jensen ）不等式：若 ()f x 为],[b a 上的下凸函数，则 对任意1),,,1(0],,[1=++=>∈n i i n i b a x λλλ ，有 ).()()(1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≤++ 特别地，若n i 1= λ，则有)].()([1 )(11n n x f x f n n x x f +≤++ 若为上凸函数则改“≤”为“≥”。 由) (x g 为下凸函数 得 ) 2 ( 2 ) ()()(221221n n n n p p p g p g p g p g +++≥+++ ，又 1 2321=++++n p p p p ， 所以 ≥++++n n p p p p p p p p 222323222121log log log log .)2 1 ( 2n g n n -≥ （4）本题可作推广如下：若正数 n p p p ,,,21 满足121=+++n p p p ，则 .ln ln ln ln 2211n p p p p p p n n -≥+++ 。简证：构造函数1ln )(+-=x x x x f ， 易得 .1ln 0)1()(-≥?=≥x x x f x f ?-≥?1)ln()(i i i np np np .1)ln(n p np p i i i -≥ 故 .0ln ln 01])ln([1 1 ≥+?=-≥∑∑∑==i n i i i n i i i p p n p np p 10. 构造辅助函数法 例23 【解析】(1) 求导可得 ()f x 在1-,0 2?? ???? 上是增函数,()()max min 5f =2;f -ln2.2x x ∴= （2）（数学归纳法证明）①当1n =时，由已知成立；②假设当n k =时命题成立，即1 02 k a - <<成立， 那么当 1n k =+时，由（1）得1 15 2 ()(l n 2,2)2 k k a f a ++=∈-，1135ln 222 22k a ++<-<<， 11112k a +<+<， 1102 k a +∴-<<，这就是说1n k =+时命题成立。由①、②知，命题对于n N * ∈都成立 （3） 由()1 1112 22n n n a a a n f a ++++-=-, 构造辅助函数()()12+-=x x f x g ，得 () 4ln 4212ln 2)()('1x x x x f x g --=-'=+，当102x - <<时，1 21,4 1.22 x x <<<< 故112 41022x x --<- -<，所以)('x g <0 得g(x)在?? ? ???021-， 是减函数， ∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0，∴ ()n a n a f +-12>0,即n n a a ++-+1122 1 >0，得1+n a >n a 。 例24 【解析】（Ⅰ）332 n n n a =+．（Ⅱ）提供如下两种思路： 思路 法1 由（Ⅰ）知3032n n n a =>+，21121(1)3n x x x ?? -- ?++?? 2112111(1)3n x x x ?? = -+-- ?++?? 2 111(1)1(1)n x x x a ??=--+??++?? 2 112 (1)1n a x x =-+++ 2 1 11n n n a a a x ?? =- -+ ?+?? n a ≤，∴原不等式成立． 思路2 将右边看成是关于x 的函数，通过求导研究其最值来解决： 法2 设 2112()1(1)3n f x x x x ??= -- ?++?? ，则 2222 22(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ???? -+--+- ? ?????'=--= +++ 0x >，∴当2 3n x < 时， ()0f x '>；当23n x > 时， ()0f x '<， ∴当23n x = 时， ()f x 取得最大值2 123 13n n n f a ??== ???+ ．∴原不等式成立． （Ⅲ）思路1 考虑本题是递进式设问，利用（Ⅱ）的结论来探究解题思路： 由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有 122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ????+++--+-- ? ?++++????≥ 21121(1)3n x x x ??++-- ?++?? 22 12221(1)333n n nx x x ??= -+++ - ?++??．∴取2 2111222113311333313n n n x n n n ?? - ???????=+++==- ? ??????? - ??? ， 则22 12 1111 11133n n n n n n a a a n n n ++ +=> +??+-+- ??? ≥．∴原不等式成立． 【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的x 进行巧妙赋值，当然，赋值方法不止一种，如：还可令1 x n = ，得 22 212221111111(1)3333 1(1)n n n n nx n x x n n n ????-+++-=---? ? ?++????++2 2211.1131(1)n n n n n n =+?>+++ 思路2 所证不等式是与正整数n 有关的命题，能否直接用数学归纳法给予证明？尝试： 12 2 12333.3232 321 n n n n ?++ +>++++ （1）当1n =时121 3311325211=>=++，成立； （2）假设命题对n k =成立，即12 2 12333.3232 321 k k k k ++ +>++++ 则当1n k =+时，有 12 121 1211333333232 3232132 k k k k k k k k ++++++ ++>+ ++++++， 只要证明 212 13(1)1322 k k k k k k ++++>+++；即证1223221 2 3(1)(1)(2)31 3221(2)(1)32 k k k k k k k k k k k k k k k ++++-+++>-==+++++++， 即证12121212 32232121 322(32)32323232 k k k k k k k k k k k k +++++-++->?++++++++ 用二项式定理（展开式部分项）证明，再验证前几项即可。如下证明是否正确，请分析：易于证明3321 n n n n a n =>++对任意n N * ∈成立；于是 2 3.3211 n n n n n a n n =>=+++∑∑ ∑ 【注】上述证明是错误的！因为： ()1 k f k k = +是递增的，不能逐步“缩小”到所需要的结论。可修改如下： 考虑21n n +是某数列{}n b 的前n 项和，则2222(1)1 1n n n n n b n n n n -+-=-=++， 只要证明22231 322 2.32k k k k k k k a b k k k k +->?>?>+-++ 思路3 深入观察所证不等式的结构特征, 利用均值不等式可得如下妙证： 由1321 n n n a a a +=+取倒数易得：3032n n n a =>+，用n 项的均值不等式： 121212 11122211133 3 n n n a a a n n n a a a ++ +> = +++++++++1 111 [1()]12331 313 n n n n n n n = = >+-+- +-， 2 12.1 n n a a a n ?++ +>+ 例25 【解析】(Ⅰ) .2121 n n n x x x +=+（Ⅱ）使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件是x 1 ≥1. (Ⅲ) 基本思路：寻求合适的放缩途径。 探索1 着眼于通项特征，结合求证式特点，尝试进行递推放缩： ?+=+ +n n n x x x 2)1(121 )2(12) 1(2)1(2)1(21112 11211≥+≤+-+=+=+-----n x x x x x x n n n n n n 即)2(12111≥+≤+-n x x n n 。于是由此递推放缩式逐步放缩得.3 2121212111 11221----=+≤≤+≤+≤+n n n n n x x x x 探索2 从求证式特征尝试分析：结论式可作如下变形： .3 12)2221(311111111221-=++++≤++++++-n n n x x x 逆向思考，猜想应有： .32111-≤+n n x （用数学归纳法证明，略）。 探索3 探索过渡“桥”，寻求证明加强不等式：由（2）知x n ≥1，由此得 )2(2 1 11≥≤+n x n 。有 .2 1 3111111121-+≤++++++n x x x n 尝试证明3122131-≤-+ n n .1321+≥?+n n 证法1（数学归纳法，略）； 法2 （用二项展开式部分项）：当n ≥2时2n =(1+1)n ≥2 2 2210++=++n n C C C n n n .02 )1(213221322 2≥-=--++≥+-n n n n n n 此题还可发现一些放缩方法，如： )(11111121* ∈<++++++N n n x x x n 。 （每一项都小于1），而再证312-≤n n 即132+≥n n ，则需要归纳出条件n ≥4.(前4项验证即可) 技巧积累:(1)??? ??+--=-< =121121 2144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-< =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9)?? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1!1! )1(+- = +n n n n (11)2 12121 21222)1212(21-++ = -++= --+ (11) )2(1 21121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211 12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 111)1(1)1(1)1)(1(11 1 2 3--+????? ??+- -=+-< ?= n n n n n n n n n n n n 1111211111 1 +--<-++? ??? ??+--=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(2221n n n n n n n n n <-?>-?>-?>?-=?=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1≥--<+n n n n n (15) 1 1 1) 11)((1122222 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 忽略此处.. 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 用放缩法证明不等式 欧阳光明（2021.03.07） 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证 143 ＜＋＜a b 。 证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋ b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14 （a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14 （a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： 证明：因为 a a b b a b b a b a b a b 22222 2342 22++= +++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。 所以 a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证： 12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞ ，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以 a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角 形的边，故b +c ＞a ，则a b c +为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c +++＜2， 故a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 131211＜…+ +++。 证明：因为，则11213+ ++ 利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证： 解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．． ∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为， 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性， 对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程， 在使用 放缩法证题时要注意放和缩的 度”否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可 以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. 添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1.设a ，b 为不相等的两正数，且a 3— b 3 = a 4 5 — b 2，求证1a 2+ ab + b 2= a + b ，又 a + b >0，得 a + b > 1，又 ab < 4 （a + b ） 2，而（a + b ） 2 = a + b + ab 2 （a b C ） 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加 上同一个正数则分式值变大，禾U 用这些性质，可达到证题目的。 b 2 bc c 2 > b C ， ?. c 2 ac a 2 > C a 。 5 2 所以 a 2 ab b 2 b 2 bc C 2 心 ac a 2 > 2 （ a b C ） 二. 分式放缩 例3.已知a b 、C 为三角形的三边，求证：1< L + L + J < 2 o b C a C a b 证明：由于a b 、C 为正数，所以严> —,4 > J ,七 > —,所以 b C a b c a C a b c a b a b C 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 用放缩法证明与数列和有关的不等 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+? 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T << 例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++< 高考数学数列放缩法技巧全汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法 主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3,n =L 。设2n n n T S =，1,2,3,n =L ，证明： 1 3 2 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--11 32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231 11 3113111111 ()()221212212121212121n n i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑L = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ， 2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥ 。 证明：（I ）1111111 ()2322122n n T T n n n n n n +-=+++-++++++++L L 11121221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+Q L 1221122n n T T T T S --=+++++L 由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥L ，又11217,1,212T S T = ==， 12211222n n n S T T T T S --∴=+++++L 21171711 (1)(1)112212 n n T T S n +≥-++=-++= 即当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+L 的 放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。 1、 先放缩再求和 例1 （05年湖北理）已知不等式],[log 2 1131212n n >+++Λ其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。设数列{}n a 的各项为正且满足111),0(--+≤>=n n n a n na a b b a )4,3,2(Λ=n ，证明：] [log 222n b b a n +<，Λ5,4,3=n 分析：由条件11--+≤ n n n a n na a 得：n a a n n 1111+≥- n a a n n 1111≥-∴- )2(≥n 1111 21-≥---n a a n n (2) 11112≥-a a 以上各式两边分别相加得： 2 1111111++-+≥-Λn n a a n 2 111111++-++≥∴Λn n b a n ][log 2 112n b +> )3(≥n =b n b 2][log 22+ ∴ ][log 222n b b a n +< )3(≥n 本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。 例2 （04全国三）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8 711154<+++m a a a Λ 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2； ⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+- 2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32) 1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-n n a }是以3 21+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n n n a ∴22[2(1)]3 n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3 n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=232451113111[]221212(1) m m m a a a -+++=+++-+--L L ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121+>++-， 43432121121121+<-++，因此，可将1 212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时， m a a a 11154+++Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++=-Λ )2 12121(2321243-++++< m Λ )2 11(4123214--?+=m 8321+<87=高中数列放缩法技巧大全
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