最优化理论

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最优化理论

一、最优化理论概述

优化是从处理各种事物的一切可能的方案中,寻求最优的方案。优化的原理与方法,在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用,便是优化问题。优化一语来自英文Optimization,其本意是寻优的过程;优化过程:是寻找约束空间下给定函数取极大值(以max表示)或极小(以min表示)的过程。优化方法也称数学规划,是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学。在生产过程、科学实验以及日常生活中,人们总希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事,获得最大的效益,在管理学中被看作是生产者的利润最大化和消费者的效用最大化,如果从数学的角度来看就被看作是“最优化问题”。在最优化的研究生教学中我们所说的最优化问题一般是在某些特定的“约束条件”下寻找某个“目标函数”的最大(或最小)值,其解法称为最优化方法。

最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统,求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案,发挥和提高系统的效能及效益,最终达到系统的最优目标。实践表明,随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展,最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法,被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域,发挥着越来越重要的作用。从数学意义上说,最优化方法是一种求极值的方法,即在一组约束为等式或不等式的条件下,使系统的目标函数达到极值,即最大值或最小值。从经济意义上说,是在一定的人力、物力和财力资源条件下,使经济效果达到最大(如产值、利润),或者在完成规定的生产或经济任务下,使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

最优化理论与方法作为一个重要的数学分支,它所研究的就是在众多的方案中怎么能找到最优、最好的方案。由于科学技术与生产技术的迅速发展,尤其是计算机应用的不断扩大,使最优化问题的研究不仅成为了一种迫切的需要,而且有了求解的有力工具,因此,发展成了一种新的科学。最优化理论与方法,狭义的主要指非线性规划的相关内容,而广义的则涵盖:连续优化:包括线性规划、非线性规划、全局优化、锥优化等;离散优化:网络优化、组合优化等;和近年来发展迅速的智能优化等。

一般而言,最优化问题的求解方法大致可分为4类:1)解析法:对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学表达式的最优化问题,一般都可采用解析法。在解决实际问题时,由于描述实际问题的解析形式的数学表达式很难找到,因此,这种表达式则缺

乏一定的实用性。2)数值解法:对于目标函数较为复杂或无明确的数学表达式或无法用解析法求解的最优化问题,一般可采用数值法来解决。基本思想是用直接搜索方法经过一系列的迭代以产生点的序列,这样逐步接近最优点。数值法通常是根据实验和经验得到的。3)解析法与数值解法相结合的求解方法;4)网络优化方法:很多工程中的系统,都可以看成是网络流。网络最优化方法是以网络图作为数学模型,用图论方法研究网络中的最短路径、最小生成树、最大流和最小成本流等问题,进而解决实际系统中的最优化问题。

二、最优化理论的发展

历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得(Euclid,公元前300年左右),他指出:在周长相同的一切矩形中,以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准则,对最优化的研究提供了某些理论基础。然而,在以后的两个世纪中,最优化技术的进展缓慢,主要考虑了有约束条件的最优化问题,发展了变分法。直到上世纪40年代初,由于军事上的需要产生了运筹学,并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题,例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。

50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化,并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支,线性规划与非线性规划是其主要内容。大型电子计算机的出现,使最优化方法及其理论蓬勃发展,成为应用数学中的一个重要分支,并在许多科学技术领域中得到应用。近十几年来,最优化方法已陆续用到建筑结构、化工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领域,并取得了显著效果。

最优化理论的发展与应用大体经历了四个阶段:1)人类智能优化:与人类史同步,直接凭借人类的直觉或逻辑思维,如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。2)数学规划方法优化:从三百多年前牛顿发明微积分算起,电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。3)工程优化:近二十余年来,计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能,非数学领域专家开发了一些工程优化方法,能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中,基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究,尤其是建模策略研究引起重视,开辟了提高工程优化效率的新的途径。4)现代优化方法:如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、神经网络算法等,并采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制,智能寻优策略迅速发展。

三、用最优化解决问题的步骤

用最优化方法解决实际问题,一般可经过下列步骤:1)提出最优化问题,收集有关数据和资料;2)建立最优化问题的数学模型,确定变量,列出目标函数和约束条件;3)分析模型,选择合适的最优化方法;4)求解,一般通过编制程序,用计算机求最优解;5)最优解的检验和实施。上述 5个步骤中的工作相互支持和相互制约,在实践中常常是反复交叉进行。

目标函数与约束条件

凡是最优化问题, 都有要达到“最优”的目标, 把它写成数学形式称为目标函数,这里以J来表示,它是n个独立变量ui(i=1,2、、、、、、n) 的函数, 简记为J=f(u)(3.1)

其中,u=(u1,u2,、、、、、、un)T (3.2)

即u为n维列向量。

当u的各分量ui( i=1,2,、、、、、、 n )为一组特定的数值时, 称为一个“决策”(因场合的不同也称为设计或控制)。实际上有些决策在技术上是不现实的或明显地不合理的,甚至是违反安全而不允许的。因此变量u的取值范围通常都有一个限制,这种限制称为约束条件。当以不等式表示时,称为不等式约束;当以等式表示时,称为等式约束。满足约束条件的点的全体集合,构成了该问题的可行域,记为R。R中的任意点,虽然不一定是最优解,但至少是可行的。当然,最优解应是可行解,如果它存在的话,必在可行域内。若R包括其边界上的所有点,称R 为闭域;若R的边界有一部分不属于它,称R为开域。

四、最优化问题的研究内容和求解方法

1、连续型优化问题

数学模型为描述:最优化的目标函数f(x),然后求使得 f(x)最小的 x点:min f (x):x∈R,

1)无约束优化问题

除了解析解法,其数值解法主要包括:①线性规划的经典解法:单纯形搜索法;对偶单纯形法;内点算法(大型)。②整数规划的经典解法:割平面法;分支定界法等;

③非线性规划的经典解法:最速下降法;Newton法;拟Newton法(主要是DFP和BFGS 算法);共轭梯度法;信赖域法等。

2)约束优化问题的解析方法主要是:Lagrange法;数值解法包括:惩罚函数法(外罚函数法、内障碍罚函数方法);广义Lagrange乘子法;内点法(大型问题)等。

3)组合优化问题

经典的组合优化问题有、旅行商问题(TSP)、加工调度问题、背包问题、装箱问题、

图着色问题、聚类问题等。这些问题描述非常简单,但最优化求解很困难,其主要原因是求解这些问题的算法需要极长的运行时间与极大的存储空间,其中有一类所谓的“NP-完全问题”,至今未发现有效算法,目前只能采用多项式界的近似算法求出组合优化问题的良好近似解。一般我们关心的不是最优解的存在性和唯一性,而是如何找到有效的算法求得一个最优解,如何衡量算法的优劣、有效与无效等问题。

4)智能优化问题

智能优化是近年来发展起来的多种智能优化算法。包括遗传算法、禁忌搜索算法、模拟退火算法和蚁群优化算法,粒子群优化算法等。这些算法不需要构造精确的数学搜索方向,不需要进行繁杂的一维搜索,而是通过大量简单的信息传播和演变方法以一定的概率在整个求解空间中探索最优解。这些算法具有全局性、自适应、离散化等特点。这些算法大大丰富了现代优化技术,也为那些传统优化技术难以处理的优化问题提供了切实可行的解决方案。

2、最优化理论在人工神经网络中的应用

人工神经网络是一个由大量简单的处理单元广泛连接组成的非线性系统,用来模拟人脑神经系统的结构和功能,具有非常好的非线性映射能力、并行信息处理能力和自适应学习能力。对人工神经网络理论的应用已经触及到很多领域,如在智能控制、模式识别、自适应滤波、信号处理、传感技术和机器人等方面。人工神经网络从结构上可分为多层前向神经网络和动态递归网络两种。其中,多层前向网络是最重要的神经网络模型之一,且结构简单、易于编程,是一个非常强的学习空间。BP神经网络是多层前向神经网络的一种,也是人工神经网络模型中最典型的一种神经网络模型。本节将重点介绍使用优化理论和方法解决BP网络的学习算法和网络结构优化的方法,以及为克服其不足提出的一些改进算法。通常,神经网络的工作方式分为两个阶段:学习期和工作期。学习期:神经元之间的连接权值,可由学习规则修改,以便使目标函数达到最小;工作期:连接权值不变,由网络的输入得到相应的输出。在理论上,对BP神经网络的研究主要在于如何获得有效的学习算法和优化其网络结构。目前应用最广泛的是BP算法和在其基础上改进的优化方法。

五、最优化方法的应用

最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制等等四个方面:1)最优设计:世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中,从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等,结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决。一个新的发展动向是最优设计和计算机辅助设计相结

合。电子线路的最优设计是另一个应用最优化方法的重要领域。配方配比的优选方面在化工、橡胶、塑料等工业部门都得到成功的应用,并向计算机辅助搜索最佳配方、配比方向发展(见优选法)。2)最优计划:现代国民经济或部门经济的计划,直至企业的发展规划和年度生产计划,尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策。3)最优管理:一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用,使最优管理得到迅速的发展。4)最优控制:主要用于对各种控制系统的优化。例如,导弹系统的最优控制,能保证用最少燃料完成飞行任务,用最短时间达到目标;再如飞机、船舶、电力系统等的最优控制,化工、冶金等工厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善和优化方法的进一步发展,还为计算机在线生产控制创造了有利条件。最优控制的对象也将从对机械、电气、化工等硬系统的控制转向对生态、环境以至社会经济系统的控制。

下面以最优化方法中的一种即遗传算法为例,说明最优化方法的应用。

遵照自然界生物进化的基本原则,适者生存、优胜劣汰,将要淘汰那些最差个体,通过交配将父本优秀的染色体和基因遗传给子代,通过染色体核基因的重新组合产生生命力更强的新的个体与由它们组成的新群体。在特定的条件下,基因会发生突变,产生新基因和生命力更强的新个体;但突变是非遗传的, 随着个体不断更新,群体不断朝着最优方向进化,遗传算法是真实模拟自然界生物进化机制进行寻优的。。

1、遗传算法的起源与发展

遗传算法( Genetic Algorithm, GA) 是模拟自然界生物进化机制的一种算法, 即遵循适者生存、优胜劣汰的法则, 也就是寻优过程中有用的保留, 无用的则去除。在科学和生产实践中表现为, 在所有可能的解决方法中找出最符合该问题所要求的条件的解决方法, 即找出一个最优解。这种算法是1960 年由Holland 提出来的,其最初的目的是研究自然系统的自适应行为, 并设计具有自适应功能的软件系统。它的特点是对参数进行编码运算, 不需要有关体系的任何先验知识, 沿多种路线进行平行搜索, 不会落入局部较优的陷阱, 能在许多局部较优中找到全局最优点, 是一种全局最优化方法。近年来, 遗传算法已经在国际上许多领域得到了应用。遗传算法是一种有广泛应用前景的算法, 但是它的研究和应用在国内尚处于起步阶段。

2、遗传算法的基本步骤

一般把Holland1975年提出的GA称为传统的GA,它的主要步骤如下:1)编码。GA 在进行搜索之前先将解空间的数据表示成遗传空间的基因型串结构数据,这些串结构数

据的不同组合便构成了不同的点;2)初始群体的生成。随机产生几个初始串结构数据,每个串结构数据称为一个个体,N个个体构成一个群体。GA以这N个串结构数据作为初始点开始迭代;3)适应性值评估检测。适应性函数表明个体或解的优劣性,问题不同,适应性函数的定义方式也不同;4)选择。选择的目的是为了从当前群体中选出优良的个体,使它们有机会作为父代为下一代繁殖子孙。进行选择的原则是适应性强的个体为下一代贡献一个或多个后代的概率大,选择实现了达尔文的适者生存原则;5)交叉。交叉操作是遗传算法中最主要的遗传操作。通过交叉操作可以得到新一代个体,新个体组合了其父辈个性的特性,交叉体现了信息交换的思想;6)变异。变异首先在群体中随机选择一个个体,对于选中的个体以一定的概率随机地改变串结构中某个串的值。同生物界一样,GA中变异发生的概率很低,通常取0.001—0.01之间。变异为新个体的产生提供了机会。

3、遗传算法的特点

遗传算法作为一种快捷、简便、容错性强的算法,在各类结构对象的优化过程中显示出明显优势:1)搜索过程不直接作用在变量上, 而是作用于参数集进行了编码的个体上。此编码操作,使得遗传算法可直接对结构对象(集合,序列,矩阵,树,图,链和表)进行操作。2)搜索过程是从一组解迭代到另一组解,采用同时处理群体中多个个体的方法,这就降低了陷人局部最优解的可能性,并易于并行化。3)遗传算法采用概率的变迁规则来指导搜索方向, 不采用确定性搜索规则。4)对搜索空间没有任何特殊要求, 只利用性信息,不需要导数等其他辅助信息,适应范围更广。

4、遗传算法的应用

GA是一种通用的优化算法,其编码技术和遗传操作比较简单,优化不受限制性条件的约束,其搜索过程是从问题解的一个集合开始的,而不是从单个个体开始的,具有隐含并行搜索特性,也就大大减小了陷人局部极小值的可能。正是由于其具有以上突出的优点,遗传算法几乎渗透到从工程到社会科学的各个领域。遗传算法可处理连续变量参数的优化问题,特别是适用于复杂非线性问题的处理。可用于NMR脉冲形状分析、RNA核苷酸测定、DNA构象分析、分子识别和设计、变量选择等,在分析化学、环境科学、机械设计中的应用也非常广泛。

5、遗传算法的优缺点

遗传算法的优点主要有:1)与问题领域无关切快速随机的搜索能力。2)搜索从群体出发,具有潜在的并行性,可以进行多个个体的同时比较。3)搜索使用评价函数启发,过程简单。4)使用概率机制进行迭代,具有随机性。5)具有可扩展性,容易与其他算法结合。遗传算法的缺点主要有:1)遗传算法的编程实现比较复杂,首先需要对

问题进行编码,找到最优解之后还需要对问题进行解码。2)另外三个算子的实现也有许多参数,如交叉率和变异率,并且这些参数的选择严重影响解的品质,而目前这些参数的选择大部分是依靠经验。3)没有能够及时利用网络的反馈信息,故算法的搜索速度比较慢,要得要较精确的解需要较多的训练时间。4)算法对初始种群的选择有一定的依赖性。

6、遗传算法的改进

人们在用遗传算法解决各种实际问题中会发现它会由于各种原因过早向目标函数的局部最优解收敛,从而很难找到全局最优解,这就是所谓的早熟现象,它是指进化计算收敛于局部最优解而不是全局最优解。于是便产生了改进的遗传算法,经典的遗传算法和改进的遗传如出一辙,所谓改进的遗传算法其实是对各种算子的改进。首先是编码的改进,总的来说,改进的编码方法可分为格雷码编码方法、浮点数编码方法、符号编码方法等方法,它们都是为了克服二进制编码的不足而产生的。然后是适应度函数的改进,采用比例选择策略时,在进化初期易引起早熟现象。在进化后期,各个体趋于无目标的随机漫游。上述情况可以通过对适应度函数进行缩放来调整。目前常用的方法有 : 对目标函数做线性变换、对目标函数作幂变换、对目标函数作指数变换。接着是最主要的选择操作的改进。常用的会导致早熟的方法赌轮法,对其进行改进的方法有:期望值法、排序选择法、最优保存策略、联赛选择法、排挤法、确定式采样选择、竞争法、窗口方法。继续是交叉操作的改进,传统的交叉操作实际上是作用在不同的父代个体上。对于相同的父对,交叉操作也能潜在地产生不同的后代。改进的交叉操作有:部分匹配交叉、顺序交叉、周期交叉、二点交又、多点交叉、一致交叉、均匀交叉。最后是变异操作的改进,变异操作的改进主要有:均匀变异、边界变异和非均匀变异。

7、改进的遗传算法与经典遗传算法的对比

1)改进的遗传算法有其适用的范围,在不连续函数中得到较好的结果。2)在有多个局部极值的情况下,比经典的遗传算法有更好的结果。3)在处理简单函数的问题上,改进的遗传算法显示了其时间的优越性。4)改进的遗传算法对于解决多维函数问题上有一定的优越性。5)对于病态的函数,改进似乎没有基本的遗传算法好,这也是有待改进。

六、结语

优化算法随着计算机技术的高速发展已经引起人们越来越多的注意,并已经应用于求解许多领域中的难题,并取得了卓越的成就。客观地说,到目前为止,还没有找到一种适合所有类型问题的通用的统一的算法。对于算法的改进也只是适用于某一特定的领域或是某一类特定的问题上。

北航最优化方法大作业参考

北航最优化方法大作业参考

1 流量工程问题 1.1 问题重述 定义一个有向网络G=(N,E),其中N是节点集,E是弧集。令A是网络G的点弧关联矩阵,即N×E阶矩阵,且第l列与弧里(I,j)对应,仅第i行元素为1,第j行元素为-1,其余元素为0。再令b m=(b m1,…,b mN)T,f m=(f m1,…,f mE)T,则可将等式约束表示成: Af m=b m 本算例为一经典TE算例。算例网络有7个节点和13条弧,每条弧的容量是5个单位。此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对,具体的源节点、目的节点信息如图所示。这里为了简单,省区了未用到的弧。此外,弧上的数字表示弧的编号。此时,c=((5,5…,5)1 )T, ×13 根据上述四个约束条件,分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x12,x13,…,x75)1× )。 13 图 1 网络拓扑和流量需求

1.2 7节点算例求解 1.2.1 算例1(b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T) 转化为线性规划问题: Minimize c T x1 Subject to Ax1=b1 x1>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序,可求得: 最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x1=20 1.2.2 算例2(b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T) Minimize c T x2 Subject to Ax2=b2 X2>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序,可求得: 最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x2=20 1.2.3 算例3(b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T) Minimize c T x3 Subject to Ax3=b3 X3>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序,可求得: 最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x3=40

最优化理论与方法

课程报告题目最优化理论与方法 学生姓名 学号 院系 专业 二O一二年十一月十日

最优化理论与方法综述 最优化方法是近几十年形成的,它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统,求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案,发挥和提高系统的效能及效益,最终达到系统的最优目标。实践表明,随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展,最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法,被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域,发挥着越来越重要的作用。这就是我理解的整个课程的流程。在这整个学习的过程当中,当然也会遇到很多的问题,不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。 20世纪40年代以来,由于生产和科学研究突飞猛进地发展,特别是电子计算机日益广泛应用,使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要,而且有了求解的有力工具。因此最优化理论和算法迅速发展起来,形成一个新的学科。至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。 最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。 最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如,工程设计中怎样选择设计参数,使得设计方案满足设计要求,又能降低成本;资源分配中,怎样分配有限资源,使得分配方案既能满足各方面的基本要求,又能获得好的经济效益;生产评价安排中,选择怎样的计划方案才能提高产值和利润;原料配比问题中,怎样确定各种成分的比例,才能提高质量,降低成本;城建规划中,怎样安排基本单位的合理布局,才能方便群众,有利于城市各行各业的发展;农田规划中,怎样安排各种农作物的合理布局,才能保持高产稳产,发挥地区优势;军事指挥中,怎样确定最佳作战方案,才能有效地消灭敌人,保存自己,有利于战争的全局;在人类活动的各个领域中,诸如此类,不胜枚举。最优化这一数学分支,正是为这些问题的解决,提供理论基础和求解方法,它是一门应用广泛、实用性强的学科。 一、最优化学习的必要性 最优化,在热工控制系统中应用非常广泛。为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说,最优化方法是一种求极值的方法,即在一组约束为等式或不等式的条件下,使系统的目标函数达到极值,即最大值或最小值。从经济意义上说,是在一定的人力、物力和财力资源条件下,使经济效果达到最大,或者在完成规定的生产或经济任务下,使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

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最优化方法及其应用 作者:郭科 出版社:高等教育出版社 类别:不限 出版日期:20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载

硕士-最优化理论与方法试题-2013

E2012-2013学年硕士《最优化理论与方法》课程试题 姓名 学号 成绩 第一部分 理论基础(每题10分,共50分) 要求:(1)请自备计算器以及excel 、lingo 、matlab 等计算软件进行计算; (2)请自行准备A4纸张答题纸,可用蓝色或黑色钢笔(或签字笔)书写解题过程、小论文,写明题目番号,但不能使用铅笔(画图除外)、红笔、圆珠笔答题;答案也可用A4纸张打印提交。提交时包含本试卷原题病写明姓名、学号。 (3)开卷考试。但请考生独立完成,严禁互相抄袭答案。一旦发现题目解答过程雷同,这些学生将统统记零分。 一、问:点 x * =(2,1)是否为以下非线性规划问题的K —T 点,为什么? ???? ?????≥=+≤+-+-0,,425})2()3min{(212122212221x x x x x x x x 二、试用共轭梯度法求二次函数2212()4f x x x =+的极小值点。 三、试用步长加速法(模矢法)求下述函数2212112min ()242f x x x x x x =+-- 的极 小点。初始点X (0)=(3,1)T ,步长△1=(0.5,0)T ,△2=(0,0.5)T ,并绘图表示整个迭代过程。 四、试用Zoutendijk 可行方向法求解下列线性约束的非线性目标函数的最优解: 其中ε1=ε2=0.1,初始点X (0)=(0,0)T ,迭代到得出X (2)和f(X (2))即可。(计算过程中尽量保持分数计算,如果以小数计算尽量保持五位以上,最终结算结果保留四位小数。 222 121212121212min ()222462..55 ,0 f x x x x x x x x R x x s t x x x x =+---∈+≤??+≤??≥? 五、用外点法(罚函数法)求解以下非线性规划的最优解。并给出罚因子M 为1、

最优化方法的Matlab实现(公式(完整版))

第九章最优化方法的MatIab实现 在生活和工作中,人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案,并通过各方面的论证从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。由于优化问题无所不在,目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域,如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等,并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术,它包含两个方面的内容: 1)建立数学模型即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2)数学求解数学模型建好以后,选择合理的最优化方法进行求解。 最优化方法的发展很快,现在已经包含有多个分支,如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 9.1 概述 利用Matlab的优化工具箱,可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题。 具体而言,包括线性、非线性最小化,最大最小化,二次规划,半无限问题,线性、非线性方程(组)的求解,线性、非线性的最小二乘问题。另外,该工具箱还提供了线性、非线性最小化,方程求解,曲线拟合,二次规划等问题中大型课题的求解方法,为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便快捷的途径。 9.1.1优化工具箱中的函数 优化工具箱中的函数包括下面几类: 1 ?最小化函数

2.方程求解函数 3.最小—乘(曲线拟合)函数

4?实用函数 5 ?大型方法的演示函数 6.中型方法的演示函数 9.1.3参数设置 利用OPtimSet函数,可以创建和编辑参数结构;利用OPtimget函数,可以获得o PtiOns优化参数。 ? OPtimget 函数 功能:获得OPtiOns优化参数。 语法:

最优化原理大作业

基于粒子群算法的神经网络在电液伺服系统中的应用 摘要:由于人工神经网络在解决具有非线性、不确定性等系统的控制问题上具有极大的潜力,因而在控制领域正引起人们的极大关注,并且已在一些响应较慢的过程控制中获得成功应用。由于电液伺服系统属 于非线性系统,因此本文利用神经网络控制电液伺服系统,并利用粒子群优化算法训练该神经网络的 权值。通过对神经网络的优化实现对电液伺服系统的控制。 关键词:神经网络电液伺服系统粒子群算法优化 近年来,由于神经网络具有大规模并行性、冗余性、容错性、本质的非线性及自组织自学习自适应能力,所以已成功地应用于众多领域。但在具有复杂非线性特性的机电设备的实时控制方面,虽然也有一些神经网络技术的应用研究,但距实用仍有一段距离。电液伺服系统就属于这类设备[1]。 神经网路在用于实时控制时,主要是利用了网络所具有的其输人——输出间的非线性映射能力。它实际上是通过学习来逼近控制对象的动、静态特性。也就是构造实际系统的神经网络模型[2]。本文利用神经网络控制一电液伺服系统,并利用粒子群优化算法训练该神经网络的权值,将结果与BP神经网络控制该系统的结果进行比较。从而得在电液伺服系统中引入神经网络是可行的。 1、粒子群算法 粒子群优化算法(Particle Swarm optimization, PSO)是一种进化计算技术, 由Eberhart博士和kennedy博士发明, 源于对鸟群捕食的行为研究, 粒子群优化算法的基本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解[3]。算法最初受到飞鸟和鱼类集群活动的规律性启发,利用群体智能建立了一个简化模型,用组织社会行为代替了进化算法的自然选择机制,通过种群间个体协作来实现对问题最优解的搜索[4]。 在找到这两个最优值时, 粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置 v[]=v[]+c1*rand()*(pbest[]-present[]) + c2*rand()*(gbest[]-present[]) present[]=persent[]+v[] 式中ω为惯性权重,ω取大值可使算法具有较强的全局搜索能力,ω取小值则算法倾向于局部搜索。一般的做法是将ω初始取0.9并使其随迭代次数的增加而线性递减至0.4,这样就可以先侧重于全局搜索,使搜索空间快速收敛于某一区域,然后采用局部精细搜索以获得高精度的解;c1、c2为两个学习因子,一般取为2;randl和rand2为两个均匀分布在(0,l)之间的随机数;i=1,2,?,m;k=1,2,?,d。另外,粒子在每一维的速度Vi都被一个最大速度Vmax所限制。如果当前粒子的加速度导致它在某一维的速度 超过该维上的最大速度Vmax,则该维的速度被限制为最大速度[5]。 粒子群算法流程如下: (一)初始化粒子群。设群体规模为m,在允许的范围内随机设置粒子的初始位置和速 度。 (二)评价每个粒子的适应值。 (三)调整每一个粒子的位置和速度。 (四)如果达到最大迭代次数genmax或误差达到最初设定数值终止迭代,否则返回(2)。 2、神经网络 神经网络一般由输入层、隐含层、输出层组成。对于输入信号,先向前传播到隐节点,经过节点作用函数后,再把隐节点的输出信息传播到输出节点,最后输出结果。节点的作用函数通常选取S 型函数f(x)=1/(1+e-x)。神经网络算法的学习过程分为正

第九章 最优化方法

第九章 最优化方法 本章主要介绍线性规划、0-1规划、非线性规划等问题的MATLAB 求解。 9.1 线性规划(Linear Programming ,简写为LP )问题 线性规划问题就是求多变量线性函数在线性约束条件下的最优值。满足约束条件的解称为可行解,所有可行解构成的集合称为可行域,满足目标式的可行解称为最优解。 MATLAB 解决的线性规划问题的标准形式为: min z f x ¢ =? .. A x b s t Aeq x beq lb x ub ì祝??? ?í??#??? 其中,,,,,f x b beq lb ub 为列向量,,A Aeq 为矩阵。 其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。 在MATLAB 中求解线性规划问题函数为linprog ,其使用格式为: [x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) 输入部分:其中各符号对应线性规划问题标准形式中的向量和矩阵,如果约束条件中有缺少,则其相应位置用空矩阵[]代替。 输出部分:其中x 为最优解,用列向量表示;fval 为最优值;exitflag 为退出标志,若exitflag=1表示函数有最优解,若exitflag=0表示超过设定的迭代最大次数,若exitflag=-2,表示约束区域不可行,若exitflag=-3,表示问题无解,若exitflag=-4,表示执行迭代算法时遇到NaN ,若exitflag=-5,表示原问题和对偶问题均不可行,若exitflag=-7,表示搜索方向太小,不能继续前进;output 表明算法和迭代情况;lambda 表示存储情况。 例1 用linprog 函数求下面的线性规划问题

最优化方法大作业答案

1.用薄钢板制造一体积5m 3,长度不小于4m ,无上盖的货箱,要求钢板耗量最小。确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。试列出问题的数学模型。 解:min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x 2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解 max f=x 1+2x 2+x 3 s .t .2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1,2,3 解:先化标准形: Min 321x x x z -+= 224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x 646321=+++x x x x 列成表格:

1 2 1 610011460105122001112----- 可见此表已具备1°,2°,3°三个特点,可采用单纯形法。首先从底行中选元素-1,由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2,标以记号,迭代一次得 1 2 1 2102310401162010021212 11-------- 再从底行中选元素-2/3,和第二列正元素1/2,迭代一次得 1 2 12 32 30 210231040116201002121211- ------ 再从底行中选元素-3,和第二列正元素2,迭代一次得 4 2 3 3 410120280114042001112--- 再迭代一次得 10 2 30 2 10 6 221023 1010213000421021013-- 选取最优解:

最优化基础理论与方法分析

目录 1.最优化的概念与分类 (2) 2. 最优化问题的求解方法 (3) 2.1线性规划求解 (3) 2.1.1线性规划模型 (3) 2.1.2线性规划求解方法 (3) 2.1.3 线性规划算法未来研究方向 (3) 2.2非线性规划求解 (4) 2.2.1一维搜索 (4) 2.2.2无约束法 (4) 2.2.3约束法 (4) 2.2.4凸规划 (5) 2.2.5二次规划 (5) 2.2.6非线性规划算法未来研究方向 (5) 2.3组合规划求解方法 (5) 2.3.1 整数规划 (5) 2.3.2 网络流规划 (7) 2.4多目标规划求解方法 (7) 2.4.1 基于一个单目标问题的方法 (7) 2.4.2 基于多个单目标问题的方法 (8) 2.4.3多目标规划未来的研究方向 (8) 2.5动态规划算法 (8) 2.5.1 逆推解法 (8) 2.5.2 顺推解法 (9) 2.5.3 动态规划算法的优点及研究方向 (9) 2.6 全局优化算法 (9) 2.6.1 外逼近与割平面算法 (9) 2.6.2 凹性割方法 (9) 2.6.3 分支定界法 (9) 2.6.4 全局优化的研究方向 (9) 2.7随机规划 (9) 2.7.1 期望值算法 (10) 2.7.2 机会约束算法 (10) 2.7.3 相关机会规划算法 (10) 2.7.4 智能优化 (10) 2.8 最优化软件介绍 (11) 3 最优化算法在电力系统中的应用及发展趋势 (12) 3.1 电力系统的安全经济调度问题 (12) 3.1.1电力系统的安全经济调度问题的介绍 (12) 3.1.2电力系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)

《最优化方法》期末试题

作用: ①仿真的过程也是实验的过程,而且还是系统地收集和积累信息的过程。尤其是对一些复杂的随机问题,应用仿真技术是提供所需信息的唯一令人满意的方法。 ②仿真技术有可能对一些难以建立物理模型或数学模型的对象系统,通过仿真模型来顺利地解决预测、分析和评价等系统问题。 ③通过系统仿真,可以把一个复杂的系统化降阶成若干子系统以便于分析,并能指出各子系统之间的各种逻辑关系。 ④通过系统仿真,还能启发新的策略或新思想的产生,或能暴露出在系统中隐藏着的实质性问题。同时,当有新的要素增加到系统中时,仿真可以预先指出系统状态中可能会出现的瓶颈现象或其它的问题。 2.简述两个Wardrop 均衡原理及其适用范围。 答: Wardrop提出的第一原理定义是:在道路的利用者都确切知道网络的交通状态并试图选择最短径路时,网络将会达到平衡状态。在考虑拥挤对行驶时间影响的网络中,当网络达到平衡状态时,每个 OD 对的各条被使用的径路具有相等而且最小的行驶时间;没有被使用的径路的行驶时间大于或等于最小行 驶时间。 Wardrop提出的第二原理是:系统平衡条件下,拥挤的路网上交通流应该按照平均或总的出行成本 最小为依据来分配。 第一原理对应的行为原则是网络出行者各自寻求最小的个人出行成本,而第二原理对应的行为原则是网络的总出行成本最小。 3.系统协调的特点。 答: (1)各子系统之间既涉及合作行为,又涉及到竞争行为。 (2)各子系统之间相互作用构成一个反馈控制系统,通过信息作为“中介”而构成整体 (3)整体系统往往具有多个决策人,构成竞争决策模式。 (4)系统可能存在第三方介入进行协调的可能。 6.对已经建立了概念模型的系统处理方式及其特点、适用范围。答:对系统概念模型有三种解决方式。 1.建立解析模型方式 对简单系统问题,如物流系统库存、城市公交离线调度方案的确定、交通量不大的城市交叉口交通控制等问题,可以运用专业知识建立系统的量化模型(如解析数学模型),然后采用优化方法确定系统解决方案,以满足决策者决策的需要,有关该方面的内容见第四、五章。 在三种方式中,解析模型是最科学的,但仅限于简单交通运输系统问题,或仅是在实际工程中一定的情况下(仅以一定的概率)符合。所以在教科书上很多漂亮的解析模型,无法应用于工程实际中。 2.建立模拟仿真模型方式 对一般复杂系统,如城市轨道交通调度系统、机场调度系统、城市整个交通控制系统等问题,可以对系统概念模型中各个部件等采用变量予以量化表示,并通过系统辨识的方式建立这些变量之间关系的动力学方程组,采用一定的编程语言、仿真技术使其转化为系统仿真模型,通过模拟仿真寻找较满意的优化方案,包括离线和在线均可以,有关该方面的内容见第七章。 模拟仿真模型比解析模型更能反映系统的实际,所以在交通运输系统中被更高层次的所使用,包括

最优化方法大作业答案

武工院你们懂的 1.用薄钢板制造一体积5m 3,长度不小于4m ,无上盖的货箱,要求钢板耗量最小。确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。试列出问题的数学模型。 解:min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x 2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解 max f=x 1+2x 2+x 3 s .t .2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1,2,3 解:先化标准形: Min 321x x x z -+= 224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x 646321=+++x x x x

列成表格: 00001216 100114 60105122001112----- 可见此表已具备1°,2°,3°三个特点,可采用单纯形法。首先从底行中选元素-1,由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2,标以记号,迭代一次得 0000 1 2 121023 10 40116201002 1 21 211-------- 再从底行中选元素-2/3,和第二列正元素1/2,迭代一次得 1 002 1232 30210231 040116201002121211-- ----- 再从底行中选元素-3,和第二列正元素2,迭代一次得 4002 3 03410120280114042001112--- 再迭代一次得

10 23021 062 21023 1010 213 000421 2 10 13- - 选取最优解: 01=x 42=x 23=x 3. 试用DFP 变尺度法求解下列无约束优化问题。 min f (X )=4(x 1-5)2+(x 2-6)2 取初始点X=(8,9)T ,梯度精度ε=0.01。 解:取I H =0,初始点()T X 9,8= 2221)6()5(4)(-+-=x x x f ??????--=?122408)(21x x x f ???? ??=?624)() 0(x f T x f d )6,24()()0()0(--=-?= )0(0)0()1(d x x α+= T )69,248(00αα--= ])669()5248(4min[)(min 2020)0(0)0(--+--?=+αααd x f )6()63(2)24()2458(8) (00)0(0)0(=-?-+-?--=+ααααd d x df 13077.013017 0≈= α ???? ??=???? ??--?+???? ??=21538.886153.462413077.098)1(x

最优化理论与方法论文

优化理论与方法

全局及个性化web服务组合可信度的动态规划评估方法摘要:随着Internet的快速发展,web服务作为一种软件构造形式其应用越来越广泛。单个web服务无法满足日益复杂的用户需求,web服务组合有效地解决了这个问题。然而,随着功能相似的web服务实例的不断出现,如何选择可信的web服务组合成为了人们关注的热点。服务选择依赖于web服务组合的评估结果,因此,本文主要从web服务组合着手,对其可信性进行研究,提供一种可信web服务组合评估方法。:针对web服务组合的全局及个性化问题,提出了基于全局的个性化web服务组合可信评估方法。从全局角度动态地调整评估模型;同时引入用户业务关注度来描述原子web服务对服务组合可信性的影响程度;结合前文的度量及评估方法,构建一个全局的个性化服务组合可信评估模型;并分析了模型的相关应用,给出了改进的动态规划模型。 关键字:web服务组合可信评价;全局个性化;动态规划; 0.引言 随着软件系统规模的日趋复杂,运行环境的不断开放,软件的可信性要求日益增加,可信软件成为了研究的热点。据《中国互联网发展状况统计报告》统计显示,截至2014年12月底,我国网民数量突破8亿,全年新增网民5580万。互联网普及率较上年底提升4个百分点,达到38。3%。因此,随着Internet 的广泛应用和网络技术的快速发展,面向服务的软件体系结构(SOA)作为一种新型的网络化软件应用模式已经被工业界和学术界广为接受。同时,网民对互联网电子商务类应用稳步发展,网络购物、网上支付、网上银行和在线旅游预订等应用的用户规模全面增长。因而,对web服务的可信性要求更高。单个

第九章 试验设计与方差分析

第九章试验设计与方差分析 在科学试验中我们常常要研究参加试验的各种条件的改变对试验结果的影响,从中选出最好的试验组合,以达到最佳试验结果。试验结果也称试验指标,试验中变化的条件称为因素( facter ) , 因素在试验中所取的每一个状态称为因素的一个水平(level )。如在考察不同温度对收率有无显著影响的药物生产中,药物收率为试验指标,温度为一个因素,生产中所取的不同温度为水平。“方差分析”是研究各个因素各个水平对试验结果影响大小的一种常用方法。本章将简要介绍试验设计的原则和方法,着重讨论单因素试验,双因素试验,多因素正交试验及其方差分析。 第一节试验设计 一、试验设计原则 任何试验都包含三个基本要素:因素,对象和效应。例如在研究用有机溶液提取中药有效成分的试验中,溶液的种类和浓度,催化剂,温度等可视为因素;所选择的中药样品为对象;而浸出率则可视为效应。根据试验的目的选择参加试验的因素,并从质量或数量上对每个因素确定不同的水平,因素及其水平在试验全过程中应保持不变。试验中选择多一些因素和水平可以提高试验效率,但并不是愈多愈好;试验对象需要具有同质性,如以小白鼠为对象做某种药理试验,小白鼠的年龄,体重及其某些生理条件必须大体相同。效应即试验指标,有数量和非数量的两种,指标要求必须是客观的和精确的。为了准确地考查因素的不同水平所产生的效应,在试验设计中应注意以下基本原则。 1.对照(control )为了更好地说明试验因素的影响和作用,常在试验中设立对照组。对照的目的在于抵消或减少非试验因素的干扰,以避免对试验效应作出错误的判断。 2.均衡( balance) 通过对照抵消非试验因素干扰的关键是试验设计的均衡性,即在试验中应使试验组和对照组在非试验因素上大致相同。如在考察某种药物疗效的试验中,试验组和对照组的对象(病人)的性别,年龄,病情等应尽量一致,而观察指标,方法,仪器,人员等应相同,以保持试验对象和试验条件的均衡。 3.随机化(randomization )利用均衡原则还不能使所有非试验因素达到真正均衡。随机化是均衡的一种补救方法,使各对象或试验条件享有均等的机会。以利于非试验因素对结果的影响。随机化的常用工具是随机数字表。 4.重复( replication ) 重复是指在相同条件下对每个个体独立进行多次的试验,它可以避免由于试验次数太少而导致非试验因素的个别极端影响而产

最优化方法大作业

发动机空燃比控制器 引言:我主要从事自动化相关研究。这里介绍我曾经接触过的发动机空燃比控制器设计中的优化问题。 发动机空燃比控制器设计中的最优化问题 AFR =a f m m && (1) 空燃比由方程(1)定义,在发动机运行过程中如果控制AFR 稳定在14.7可以获 得最好的动力性能和排放性能。如果假设进入气缸的空气流量a m &可以由相关单元检测得到,则可以通过控制进入气缸的燃油流量f m &来实现空燃比的精确控制。由于实际发动机的燃油喷嘴并不是直接对气缸喷燃油,而是通过进气歧管喷燃油,这么做会在进 气歧管壁上液化形成油膜,因此不仅是喷嘴喷出的未液化部分燃油会进入气缸,油膜 蒸发部分燃油也会进入气缸,如方程(2)。这样如何更好的喷射燃油成为了一个问题。 1110101122211ττττ?? ?? -?? ??????????=+????????-????????????-???? ? ??? ?? ????????? ?f f f v X x x u x x X x y =x && (2) 其中12、,==ff fv x m x m &&=f y m &,=fi u m &这里面,表示油膜蒸发量ff m &、fv m &表示为液化部分燃油、fi m &表示喷嘴喷射的燃油,在τf 、τv 、X 都已知的情况下,由现代控制理论知识,根据系统的增广状态空间模型方程(3) 0000001 1 011011114.70ττττ????-?? ??????????=-+-??????????????? ??????????????? ?? ??=?????? f f v v a X X u +q q m y q x x x &&& (3) 其中()0 14.7?t a q = y -m &。由极点配置方法,只要设计控制器方程(4),就可以 使得y 无差的跟踪阶跃输入,那么y 也能较好的跟踪AFR *a m /&。 12-- u =K q K x (4) 这里面的12、K K 确定,可由主导极点概念降维成两个参数12C ,C ,虽然都是最终稳态无差,但是目标是使得瞬态过程中y 和阶跃输入y r 的差异尽可能的小。所以原问

大连理工优化方法大作业MATLAB编程

function [x,dk,k]=fjqx(x,s) flag=0; a=0; b=0; k=0; d=1; while(flag==0) [p,q]=getpq(x,d,s); if (p<0) b=d; d=(d+a)/2; end if(p>=0)&&(q>=0) dk=d; x=x+d*s; flag=1; end k=k+1;

if(p>=0)&&(q<0) a=d; d=min{2*d,(d+b)/2}; end end %定义求函数值的函数fun,当输入为x0=(x1,x2)时,输出为f function f=fun(x) f=(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2; function gf=gfun(x) gf=[-4*x(1)*(x(2)-x(1)^2)+2*(x(1)-1),2*(x(2)-x(1)^2)]; function [p,q]=getpq(x,d,s) p=fun(x)-fun(x+d*s)+0.20*d*gfun(x)*s'; q=gfun(x+d*s)*s'-0.60*gfun(x)*s'; 结果: x=[0,1]; s=[-1,1]; [x,dk,k]=fjqx(x,s) x =-0.0000 1.0000 dk =1.1102e-016 k =54

function f= fun( X ) %所求问题目标函数 f=X(1)^2-2*X(1)*X(2)+2*X(2)^2+X(3)^2+ X(4)^2- X(2)*X(3)+2*X(1)+3*X(2)-X(3); end function g= gfun( X ) %所求问题目标函数梯度 g=[2*X(1)-2*X(2)+2,-2*X(1)+4*X(2)-X(3)+3,2*X(3)-X(2)-1,2*X(4)]; end function [ x,val,k ] = frcg( fun,gfun,x0 ) %功能:用FR共轭梯度法求无约束问题最小值 %输入:x0是初始点,fun和gfun分别是目标函数和梯度 %输出:x、val分别是最优点和最优值,k是迭代次数 maxk=5000;%最大迭代次数 rho=0.5;sigma=0.4;

2011年下学期最优化理论与方法考试试卷(A)

中南大学考试试卷 2011--2012学年 1 学期 时间100分钟 最优化理论与方法 课程 48 学时 学分 考试形式: 闭 卷 专业年级: 信科08、应数08 总分100分,占总评成绩 70 % 注:此页不作答题纸,请将答案写在答题纸上,可用中英文作答。 1.(15 points ) For an unconstrained optimization problem: ),(min x f Let )0(x be a given point, )0(d be a descent search direction at )0(x . (1) With the exact line search, show that there is a steplength 0α satisfying .0)()0()0(0)0(=+?d d x f T α (2)Show that when applied to a quadratic objective function, the Newton method with the exact line search terminates in at most one iteration. 2. (15 points )For an unconstrained optimization problem: .2)(min 2 221x x x f += (1) Find a descent direction )0(d of f at .)1,1() 0(T x = (2) By the Armijo line search, find a steplength 0α along )0(d at .)0(x 3.(15 points ) (1)Let .2113???? ??=A Find two directions 1d and 2d such that 1d and 2d are conjugate with respect to the matrix A . (2)Show that when applied to a quadratic objective function, with the exact line search, the PRP conjugate gradient method is equivalent to the FR conjugate gradient method.

最优化大作业

最优化方法大作业 ---------用优化算法求解函数最值问题

摘要 最优化(optimization) 是应用数学的重要研究领域.它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量),以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。最优化问题一般包括最小化问题和最大化问题,而最大化问题可以通过简单的转化使之成最最小化问题。最小化问题分为两类,即约束最小化和无约束最小化问题。在此报告中,前两个问题属于无约束最小化问题的求解,报告中分别使用了“牛顿法”和“共轭梯度法”。后两个问题属于有约束最小化问题的求解,报告中分别用“外点法”和“内点法”求解。虽然命名不一样,其实质都是构造“惩罚函数”或者“障碍函数”,通过拉格朗日乘子法将有约束问题转化为无约束问题进行求解。再此报告中,“外点法”和“内点法”分别用了直接求导和调用“牛顿法”来求解无约束优化问题。 在此实验中,用“共轭梯度法”对“牛顿法”所解函数进行求解时出现错误,报告中另取一函数用“共轭梯度法”求解得到正确的结果。此实验中所有的函数其理论值都是显见的,分析计算结果可知程序正确,所求结果误差处于可接受范围内。 报告中对所用到的四种方法在其使用以前都有理论说明,对“外点法”中惩罚函数和“内点法”中障碍函数的选择也有相应的说明,另外,对此次试验中的收获也在报告的三部分给出。 本报告中所用程序代码一律用MATLAB编写。 【关键字】函数最优化牛顿法共轭梯度法内点法外点法 MATLAB

一,问题描述 1, 分别用共轭梯度发法和牛顿法来求解一下优化问题 ()()()()()4 41432243221102510min x x x x x x x x x f -+-+-++= 2, 分别用外点法和内点发求解一下优化问题 ?? ?≥-++0 1.min 212 231x x t s x x 二、问题求解 用牛顿法求解 ()()()()()4 414 322 432 21102510min x x x x x x x x x f -+-+-++= 1.1.1问题分析: 取步长为1而沿着牛顿方向迭代的方法称为牛顿法,在牛顿法中,初始点的取值随意,在以后的每次迭代中,()[] ()k k k k x f x f x x ??-=-+1 21,直到终止条件成立时停止。 1.1.2 问题求解 注:本程序编程语言为MATLAB ,终止条件为()162 110-≤?x f ,初始取值为 [10 10 10 10] M 文件(求解函数)如下: function s=newton1(f,c,eps) %c 是初值,eps 为允许误差值 if nargin==2 eps=; elseif nargin<1 error('') % return end syms x1 x2 x3 x4

最优化理论与算法(第九章)

第九章 二次规划 §9.1 二次规划问题 称形如 1m in ()2 T T Q x x H x g x = + 1,,. 1,,T i i e T i i e a x b i m s t a x b i m m ?==??≥=+?? (9.1) 的非线性规划问题为二次规划问题。对二次规划问题,有如下的最优性条件。 定理9.1 设x *是(9.1)的局部极小点,则必存在乘子(1,,)i i m λ*= ,使得 1 0 1,, 0 1,,m i i i T i i i e i e g H x a a x b i m m i m m λλλ**=*** ?+=? ?? ??-==+????≥=+??? ∑ (9.2) 且对于一切满足于: 0, ()T i d a i E I x * =∈ 的n d R ∈,都有0T d Hd ≥。 注:1)上述定理的前后两部分分别对应于一、二阶的必要条件; 2)满足上述条件的d ,都有(,)d S x λ* * ∈; 3)当约束条件均为线性函数时,容易证明: (,)(,) (,F D x X S F D x X L F D x X * * *= =及(,)(,)S x G x λλ**** = 上面给出的是二次规划的必要性条件,下面给出充分性条件。 定理9.2 设x * 是K-T 点,λ* 是相应的Lagrange 乘子,如果对满足 0 0 () 0 () 0 T i T i T i i d a i E d a i I x d a i I x λ* **?=∈?≥∈??=∈>? 且 (9.3) 的一切非零向量n d R ∈,都有0T d Hd >,则x * 是(9.1)的局部严格极小点。

大连理工大学优化方法上机大作业

2016年大连理工大学优化 方法上机大作业 -标准化文件发布号:(9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

2016年大连理工大学优化方法上机大作业学院: 专业: 班级: 学号: 姓名: 上机大作业1: 1.最速下降法:

function f = fun(x) f = (1-x(1))^2 + 100*(x(2)-x(1)^2)^2; end function g = grad(x) g = zeros(2,1); g(1)=2*(x(1)-1)+400*x(1)*(x(1)^2-x(2)); g(2) = 200*(x(2)-x(1)^2); end function x_star = steepest(x0,eps) gk = grad(x0); res = norm(gk); k = 0; while res > eps && k<=1000 dk = -gk;

ak =1; f0 = fun(x0); f1 = fun(x0+ak*dk); slope = dot(gk,dk); while f1 > f0 + 0.1*ak*slope ak = ak/4; xk = x0 + ak*dk; f1 = fun(xk); end k = k+1; x0 = xk; gk = grad(xk); res = norm(gk); fprintf('--The %d-th iter, the residual is %f\n',k,res); end x_star = xk; end >> clear >> x0=[0,0]'; >> eps=1e-4; >> x=steepest(x0,eps)

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