【数学】河北省保定市高阳中学2014-2015学年高二下学期第二次月考(文)

河北省保定市高阳中学2014-2015学年高二下学期

第二次月考（文）

第Ⅰ卷(选择题

共60分)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8

C ．7

D ．6

2．设函数f (x )＝????

?

x 2

＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (4))＝( )

A.

1

2

B ．2 C.

32

D.

54

3．已知直线l 的参数方程为???

x ＝1＋t

2，

y ＝2＋3

2

t (t 为参数)，则其直角坐标方程为( )

A.3x ＋y ＋2－3＝0

B.3x －y ＋2－3＝0

C ．x －3y ＋2－3＝0

D ．x ＋3y ＋2－3＝0

4．在极坐标系中，点(2，π

3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )

A ．2

B ．

4＋π2

9

C.

1＋π2

9

D ． 3

5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )

A ．－14

B ．2

C ．4

D ．－12

6．函数y ＝

1

3x －2

＋lg(2x －1)的定义域是( ) A.????23，＋∞ B.???

?1

2，＋∞ C.????23，＋∞

D.????

12，23

7．当0

A ．(12)x ＋1>(12

)1－

x B ．log (1＋x )(1－x )>1 C ．0<1－x 2<1 D ．log (1－x )(1＋x )>0

8．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换???

??

x ′＝5x ，

y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线

'2'2()()1x y +=，则曲线C 的方程为( )

A ．25x 2

＋9y 2

＝1 B ．9x 2

＋25y 2

＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D ．x 225＋y 2

9

＝1

9．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1

B ．y ＝x ＋2

x ＋1

(x ∈(0，＋∞))

C ．y ＝1

x 2＋2x ＋1

(x ∈N)

D ．y ＝1

|x ＋1|

10．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)和(0，＋∞)

D ．R

11．曲线?

????

x ＝－2＋5t ，

y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )

A ．(0，25)、(1

2，0)

B ．(0，15)、(1

2，0)

C ．(0，－4)、(8,0)

D ．(0，5

9

)、(8,0)

12．具有性质：f ????

1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1

x ；③y ＝?????

x ，0

0，x ＝1，－1

x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案写在答题卡的横线上） 13.若函数12x y m -+=+的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是________． 14．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________________．

15．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝________. 16．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射

线θ＝π

4与曲线2

1,(1)x t y t =+??=-?

(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为

________．

三．解答题（本大题共６小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）．

17．(本题满分10分)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(?I M )∩N ；

(2)记集合A ＝(?I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R}，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．

18．(本题满分12分) 在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝22sin ???

?θ＋π

4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为?

????

x ＝t ，

y ＝1＋2t (t 为参数)，

判断直线l 和圆C 的位置关系．

19．(本题满分12分) ．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x . (1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值．

20．(本题满分12分) ．直角坐标系xOy 的原点和极坐标系Ox 的极点重合，x 轴正半轴与

极轴重合，单位长度相同．在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为?

???

?

x ＝4cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．

(1)在极坐标系下，曲线C 与射线θ＝π4和射线θ＝－π

4分别交于A ，B 两点，求△AOB 的面

积；

(2)在直角坐标系下，直线l 的参数方程为?

??

x ＝62－2t ，

y ＝t －2(t 为参数)，求曲线C 与直线l

的交点坐标．

21．(本题满分12分) 在极坐标系中，已知点A (2，0)到直线l ：ρsin(θ－π

4)＝m (m >0)的距

离为3.

(1)求实数m 值；

(2)设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足|OP ||OQ |＝1，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．

22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋m (a >0)．

(1)若a ＝1时函数f (x )有三个互不相同的零点，求实数m 的取值范围；

(2)若对任意的a ∈[3,6]，不等式f (x )≤1在[－2,2]上恒成立，求实数m 的取值范围．

参考答案

1．解析：选B ∵P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，∴当a ＝0时，a ＋b 的值为1,2,6；当a ＝2时，a ＋b 的值为3,4,8；当a ＝5时，a ＋b 的值为6,7,11，∴P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P ＋Q 中有8个元素．

2．解析：选D f (4)＝

12， 2115((4))()()1224

f f f ==+=. 3．解析 选B ∵???

x －1＝t 2

，

y －2＝3

2

t ， ∴y －2＝3(x －1)，

即3x －y ＋2－3＝0.

4．解析：选D 由???

x ＝ρcos θ＝2cos π

3

＝1，

y ＝ρsin θ＝2sin π

3

＝3

可知，点(2，π

3

)的直角坐标为(1，3)，圆

ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.

5．解析：选C ∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，

∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.

6．解析：选C 由?

????

3x －2>0，2x －1>0得x >2

3.

7．解析：选C 法一：考查答案A ：∵01－x .∴(12)x ＋1<(12)1－

x ，故A 不正

确；考查答案B ：∵01,0<1－x <1.∴log (1＋x )(1－x )<0，故B 不正确；

考查答案C ：∵01.∴log (1－x )(1＋x )<0.故D 不正确． 方法二：(特值法)取x ＝1

2，验证立得答案C.

8．答案 A

9．解析：选D 选项A 中y 可等于零；选项B 中y 显然大于1；选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)；选项D 中|x ＋1|>0，故y >0.

10．解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋e

x

>0，故单调增区间是(0，＋∞)．

11．解析：选B 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为(0，1

5

)；

当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为(1

2

，0)．

12．解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ????1x ＝1x

－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ????1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ????1x ＝?????

1x ，0<1

x

<1，0，1

x ＝1，

－x ，1x >1，

即f ????

1x ＝????

?

1

x

，x >1，0，x ＝1，

－x ，0

故f ????1x ＝－

f (x )，满足．综上，满足“倒负”变换的函数是①③.

13. 答案： m ≤－2

14．答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝0 解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴由互化公式知x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－2y －4x ＝0.

15．答案 2 解析 f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2. 当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；

当0

16．答案： (52，52) 解析 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π

4，转化为直角坐标方程为

y ＝x (x ≥0)，曲线为y ＝(x －2)2，联立上述两个方程得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5，故线段AB 的中点坐标为(52，5

2

)．

17．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴?I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(?I M )∩N ＝{2}．……………… 5分 (2)A ＝(?I M )∩N ＝{2}，

∵A ∪B ＝A ，∴B ?A ，∴B ＝?或B ＝{2}， 当B ＝?时，a －1>5－a ，∴a >3；

当B ＝{2}时，?????

a －1＝2，

5－a ＝2，

解得a ＝3，

综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．……………… 10分

18．解：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1，………2分 ρ＝22sin ????θ＋π

4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，……… 6分

得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，………8分 圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝25

5<2，……………11分

所以直线l 和圆C 相交．………………12分

19．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3≥0在[1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤???

?3

2???

?x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)． ∴a 的取值范围为(－∞，3]．……………… 6分 (2)∵f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，x ∈[1,5]， f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.

令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝1

3(舍去)．

当10， 即当x ＝3时，f (x )取极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，

∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15. …………12分 20．解：(1)曲线C 在直角坐标系下的普通方程为x 216＋y 2

4＝1，

将其化为极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ

4＝1，

分别代入θ＝π4和θ＝－π4，得|OA |2＝|OB |2＝32

5

，

因为∠AOB ＝π2，故△AOB 的面积S ＝12|OA |·|OB |＝16

5.……………6分

(2)将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得 (t －22)2＝0，

即t ＝22，代入l 的参数方程，得x ＝22，y ＝2，

所以曲线C 与直线l 的交点坐标为(22，2)．……………12分

21．解：(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系．则点A 的直角坐标为(2，0)，直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2m ＝0.

由点A 到直线l 的距离为d ＝

|2＋2m |

2

＝1＋m ＝3，∴m ＝2. …………4分 (2)由(1)得直线l 的方程为ρsin(θ－π

4

)＝2，

设P (ρ0，θ0)，Q (ρ，θ)，则?????

ρρ0＝1，

θ＝θ0???

???

ρ0＝1

ρ，θ0＝θ.

①………8分

因为点P (ρ0，θ0)在直线l 上，所以ρ0sin(θ0－π

4

)＝2.②

将①代入②得1ρsin(θ－π4)＝2，则点Q 轨迹方程为ρ＝12sin(θ－π

4)．化为直角坐标方程为(x

＋

28)2＋(y －28)2＝1

16

.………11分 则点Q 的轨迹是以(14，3π4)为圆心，1

4为半径的圆．……………12分

22．[解] (1)当a ＝1时f (x )＝x 3＋x 2－x ＋m . ∵函数f (x )有三个互不相同的零点，

∴x 3＋x 2－x ＋m ＝0即m ＝－x 3－x 2＋x 有三个互不相等的实数根． 令g (x )＝－x 3－x 2＋x ，

则g ′(x )＝－3x 2－2x ＋1＝－(3x －1)·(x ＋1)，

∴g (x )在(－∞，－1)和????13，＋∞上均为减函数，在????－1，1

3上为增函数， ∴[g (x )]极小值＝g (－1)＝－1， [g (x )]极大值＝g ????13＝5

27，

∴m 的取值范围是????－1，5

27.……………………6分 (2)∵f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3????x －a

3(x ＋a )， 且a >0，

∴当x <－a 或x >a

3时，f ′(x )>0；

当－a

3

时，f ′(x )<0.

∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )和????a 3，＋∞，单调递减区间为????－a ，a 3. 当a ∈[3,6]时，a

3∈[1,2]，－a ≤－3.又x ∈[－2,2]，

∴[f (x )]max ＝max{f (－2)，f (2)}， 又f (2)－f (－2)＝16－4a 2<0， ∴[f (x )]max ＝f (－2)＝－8＋4a ＋2a 2＋m . 又∵f (x )≤1在[－2,2]上恒成立， ∴[f (x )]max ≤1即－8＋4a ＋2a 2＋m ≤1， 即当a ∈[3,6]时，m ≤9－4a －2a 2恒成立． ∵9－4a －2a 2在[3,6]上的最小值为－87，

∴m 的取值范围是(－∞，－87]．………………………12分