创新设计浙江专用届高考数学二轮复习专题七数学思想方法第2讲分类讨论思想转化与化归思想练习
专题七 数学思想方法 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想练习
一、选择题
1.等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21,则公比q 的值是( ) A.1 B.-12
C.1或-1
2
D.-1或1
2
解析 当公比q =1时,a 1=a 2=a 3=7,S 3=3a 1=21,符合要求.
当q ≠1时,a 1q 2
=7,a 1(1-q 3)1-q =21,解之得,q =-1
2
或q =1(舍去).综上可知,q =1
或-1
2.
答案 C
2.过双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)上任意一点P ,引与实轴平行的直线,交两渐近线于R ,
Q 两点,则PR →·PQ →
的值为( )
A.a 2
B.b 2
C.2ab
D.a 2
+b 2
解析 当直线PQ 与x 轴重合时,|PR →|=|PQ →
|=a ,故选A. 答案 A
3.函数f (x )=2x +x 3
-2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2
D.3
解析 法一 函数f (x )=2x
+x 3
-2在区间(0,1)内的零点个数即函数y 1=2x
-2与y 2=-x 3
的图象在区间(0,1)内的交点个数.作图,可知在(0,+∞)内最多有一个交点,故排除C ,D 项;当x =0时,y 1=-1<y 2=0,当x =1时,y 1=0>y 2=-1,因此在区间(0,1)内一定会有一个交点,所以A 项错误.选B.
法二 因为f (0)=1+0-2=-1,f (1)=2+13
-2=1,所以f (0)·f (1)<0.又函数f (x )在(0,1)内单调递增,所以f (x )在(0,1)内的零点个数是1. 答案 B
4.已知函数f (x )=ln x -14x +34x -1,g (x )=-x 2
+2bx -4,若对任意的x 1∈(0,2),任
意的x 2∈[1,2],不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立,则实数b 的取值范围是( ) A.? ??
??-∞,
142 B.(1,+∞)
C.? ??
??1,
142 D.????
??1,
142 解析 依题意,问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ,
f (x )=ln x -14x +3
4x
-1(x >0),
所以f ′(x )=1x -14-34x =4x -x 2
-3
4x
. 由f ′(x )>0,解得1<x <3,故函数f (x )单调递增区间是(1,3),同理得f (x )的单调递减区间是(0,1)和(3,+∞),故在区间(0,2)上,x =1是函数f (x )的极小值点,这个极小值点是唯一的,所以f (x 1)min =f (1)=-1
2.
函数g (x 2)=-x 2
2+2bx 2-4,x 2∈[1,2]. 当b <1时,g (x 2)max =g (1)=2b -5; 当1≤b ≤2时,g (x 2)max =g (b )=b 2
-4; 当b >2时,g (x 2)max =g (2)=4b -8. 故问题等价于
?????b <1,-1
2≥2b -5或?????1≤b ≤2,-12≥b 2-4或????
?b >2,-12
≥4b -8. 解第一个不等式组得b <1, 解第二个不等式组得1≤b ≤14
2
, 第三个不等式组无解.
综上所述,b 的取值范围是? ??
??
-∞,142.故选A. 答案 A 二、填空题
5.若数列{a n }的前n 项和S n =3n
-1,则它的通项公式a n =________. 解析 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n
-1-(3n -1
-1)=2×3
n -1
;当n =1时,a 1=S 1=2,也
满足式子a n =2×3
n -1
,
∴数列{a n }的通项公式为a n =2×3n -1
.
答案 2×3
n -1
6.在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →,若MN →=xAB →+yAC →
,则x =________,y =________.
解析 不妨设AC ⊥AB ,有AB =4,AC =3,以A 为坐标原点,AB ,AC 所在直线分别为x 轴,
y 轴建立平面直角坐标系,如图所示.
则A (0,0),B (4,0),C (0,3),M (0,2),N ? ??
??2,32, 那么MN →=? ????2,-12,AB →=(4,0),AC →
=(0,3),
由MN →=xAB →+yAC →,可得? ????2,-12=x (4,0)+y (0,3),
即? ????2,-12=(4x ,3y ),则有?????4x =2,3y =-12,解得?????x =1
2,y =-16
.
答案 12 -1
6
7.设F 1,F 2为椭圆x 29+y 2
4=1的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知P ,F 1,F 2是一个直角三角
形的三个顶点,且|PF 1|>|PF 2|,则|PF 1|
|PF 2|的值为________.
解析 若∠PF 2F 1=90°, 则|PF 1|2
=|PF 2|2
+|F 1F 2|2
, ∵|PF 1|+|PF 2|=6,|F 1F 2|=25, 解得|PF 1|=143,|PF 2|=43,∴|PF 1||PF 2|=7
2.
若∠F 2PF 1=90°, 则|F 1F 2|2
=|PF 1|2
+|PF 2|2
=|PF 1|2
+(6-|PF 1|)2
, 解得|PF 1|=4,|PF 2|=2,∴|PF 1|
|PF 2|
=2. 综上所述,|PF 1||PF 2|=2或7
2.
答案 2或7
2
8.已知a 为正常数,若不等式1+x ≥1+x
2-x 2
2a
对一切非负实数x 恒成立,则a 的最大值
为________.
解析 原不等式即x 22a ≥1+x
2
-1+x (x ≥0),(*)
令1+x =t ,t ≥1,则x =t 2
-1,
所以(*)式可化为(t 2
-1)2
2a ≥1+t 2
-12-t =t 2
-2t +12=(t -1)
2
2
对t ≥1恒成立,
所以(t +1)2
a
≥1对t ≥1恒成立,又a 为正常数,所以a ≤[(t +1)2
]min =4,故a 的最大
值是4. 答案 4 三、解答题
9.数列{a n }中,a 1=8,a 4=2,且满足a n +2-2a n +1+a n =0. (1)求数列的通项公式;
(2)设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,求S n . 解 (1)a n +2-2a n +1+a n =0, 所以a n +2-a n +1=a n +1-a n , 所以{a n +1-a n }为常数列,
所以{a n }是以a 1为首项的等差数列, 设a n =a 1+(n -1)d ,a 4=a 1+3d , 所以d =2-83
=-2,所以a n =10-2n .
(2)因为a n =10-2n ,令a n =0,得n =5.当n >5时,a n <0; 当n =5时,a n =0;当n <5时,a n >0.所以当n >5时,
S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |
=a 1+a 2+…+a 5-(a 6+a 7+…+a n ) =T 5-(T n -T 5)=2T 5-T n =n 2
-9n +40,
T n =a 1+a 2+…+a n ,
当n ≤5时,
S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |
=a 1+a 2+…+a n =T n =9n -n 2
.
所以S n =?????9n -n 2
(n ≤5),
n 2-9n +40 (n >5).
10.已知函数g (x )=
ax
x +1
(a ∈R ),f (x )=ln(x +1)+g (x ). (1)若函数g (x )过点(1,1),求函数f (x )的图象在x =0处的切线方程; (2)判断函数f (x )的单调性.
解 (1)因为函数g (x )过点(1,1),所以1=a 1+1,解得a =2,所以f (x )=ln(x +1)+2x
x +1
.
由f ′(x )=
1x +1+2(x +1)2=
x +3
(x +1)2
,则f ′(0)=3,所以所求的切线的斜率为3.又f (0)=0,所以切点为(0,0),故所求的切线方程为y =3x .