2018届高三数学一轮复习: 第10章 第9节 离散型随机变量的均值与方差

2018届高三数学一轮复习: 第10章 第9节 离散型随机变量的均值与方差
2018届高三数学一轮复习: 第10章 第9节 离散型随机变量的均值与方差

第九节 离散型随机变量的均值与方差

[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.

1.离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量X 的分布列为

(1)=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)方差:称D (X )=∑n

i =1

(x i -E (X ))2

p i 为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度,其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差.

2.均值与方差的性质 (1)E (aX +b )=aE (X )+b .

(2)D (aX +b )=a 2D (X )(a ,b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.( ) (2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量.( )

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,

方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小. ( )

(4)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7.( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.(教材改编)已知X 的分布列为

设Y =2X +3,则E (A.7

3 B.

4 C .-1

D.1

A [E (X )=-1×12+0×13+1×16=-1

3, 则E (Y )=2E (X )+3=3-23=7

3.]

3.设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=1

5(k =2,4,6,8,10),则D (ξ)等于( ) A .8 B.5 C .10

D.12

A [∵E (ξ)=1

5(2+4+6+8+10)=6, ∴D (ξ)=1

5[(-4)2+(-2)2+02+22+42]=8.]

4.(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是________.

3

2 [同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率P =1-? ??

??122=34. 又X ~B ? ?

?

??2,34,

∴成功次数X 的均值E (X )=2×34=3

2.]

5.若X ~B (n ,p ),且E (X )=6,D (X )=3,则P (X =1)=________.

3

1 024[∵E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,

∴p=1

2,n=12,

则P(X=1)=C112×1

2×?

?

?

?

?1

2

11=3×2-10=

3

1 024.]

同外,其余均相同的20个小球,这20个小球编号的茎叶图如图10-9-1所示.

图10-9-1

活动规则如下:从抽奖箱中随机抽取一球,若抽取的小球编号是十位数字为1的奇数,则为一等奖,奖金100元;若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数,则为二等奖,奖金50元;若抽取的小球是其余编号则不中奖.现某顾客有放回的抽奖两次,两次抽奖相互独立.

(1)求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率;

(2)记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望和方差.

【导学号:01772423】[解](1)设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i(i=1,2),没有中奖的概率为P0,

则P1+P2=3

20+5

20=

2

5,即中奖的概率为

2

5,

∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为P=C12×2

3

5=

12

25.5分

(2)X的可能取值为0,50,100,150,200.

∵P(X=0)=9 25,

P(X=50)=C12×5

20×

3

5=

3

10,

P(X=100)=5

20×

5

20+C

1

2

×

3

20×

3

5=

97

400,

P(X=150)=C12×3

20×

5

20=

3

40,

P(X=200)=3

20×

3

20=

9

400,8分

∴X的分布列为

∴数学期望为E(X)=0×9

25+50×

3

10+100×

97

400+150×

3

40+200×

9

400=

55(元).12分

∴方差D(X)=(0-55)2×9

25+(50-55)

3

10+(100-55)

97

400+(150-

55)2×3

40+(200-55)

9

400=2 737.5.

[规律方法] 1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.2.注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.

[变式训练1](2015·陕西高考)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:

(1)求T

(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.

[解](1)由统计结果可得T的频率分布为

2分以频率估计概率得T的分布列为

4分从而E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).6分

(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.

设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.8分法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.12分

法二:P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)

=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.

故P(A)=1-P(A)=0.91.12分

的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.

【导学号:01772424】

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;

(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列、数学期望和方差.

[解](1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},

A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},

B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽

奖1次能获奖}.

由题意知A 1与A 2相互独立,A 1 A 2与A 1A 2互斥,B 1与B 2互斥,且B 1=A 1A 2,B 2=A 1A 2+A 1A 2,C =B 1+B 2.2分

因为P (A 1)=410=25,P (A 2)=510=1

2, 所以P (B 1)=P (A 1A 2)=P (A 1)P (A 2)=25×12=1

5, P (B 2)=P (A 1A 2+A 1A 2)=P (A 1A 2)+P (A 1A 2) =P (A 1)P (A 2)+P (A 1)P (A 2) =P (A 1)(1-P (A 2))+(1-P (A 1))P (A 2) =25×? ?

???1-12+? ??

??1-25×12=12.4分

故所求概率为P (C )=P (B 1+B 2)=P (B 1)+P (B 2)=15+12=7

10.6分

(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以X ~B ? ?

?

??3,15.

于是P (X =0)=C 03

? ????150? ????453

=64125, P (X =1)=C 13

? ????151? ????452

=48125

, P (X =2)=C 23? ????152? ??

??451

12125,

P (X =3)=C 33

? ????153? ????450

=1125.8分 故X 的分布列为

10分

X 的数学期望为E (X )=3×15=3

5.

随机变量X 的方差D (X )=3×15? ?

?

??1-15=1225.12分

高中数学第二章概率1离散型随机变量及其分布列知识导航北师大版选修2-3

§1 离散型随机变量及其分布列 自主整理 1.随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数,这种对应称为一个_____________. 2.随机变量的取值能够_____________的随机变量称为离散型随机变量. 3.设离散型随机变量X 的取值为a 1,a 2,…,随机变量X 取a i 的概率为p i (i=1,2,…),记作 p(X=a i )=P i (i=1,2,…) 称为__________________________________________________________________________。 并且有①p i _____________0,②p 1+p 2+…=_____________. 如果随机变量X 的分布列如上表,则称随机变量X 服从这一分布(列),并记为_____________. 高手笔记 1.随机变量是将随机试验的结果数量化. 2.随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件. 3.随机变量X 取每一个值a i 的概率P(X=a i )等于其相应的随机事件A i 发生的概率P(A i ). 4.若X 为一个随机变量,则Y=aX+b(a,b 为常数)也为随机变量. 5.离散型随机变量的分布列中 第一行表述了随机变量X 的所有可能的取值,在这里要注意按一定的次序来填写;第二行表述了随机变量X 取相应上行中数值a i 的概率的大小p i =P(X=a i ),i=1,2,… 6.一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于其在这个范围内取每一个值的概率之和. 7.离散型随机变量的分布列不仅清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到取每一个值的概率大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机试验数量特征的基础. 名师解惑 1.随机变量与以前学过的变量有什么区别与联系? 剖析:随机变量作为一个变量,当然有它的取值范围,这和以前学过的变量一样.不仅如此,还有它取每个值的可能性的大小,如:从装有无差别的6只黑球、4只白球的袋中,随机抽取3只球,所得的白球个数是一随机变量X ,其取值为X=0,1,2,3;而取每个值的可能性的大小,可通过其相应的随机事件发生的大小——即其概率来反映.即“若X=2”,对应事件A 2:“取出的3只球中恰有两只白球”,其概率: P(A 2)=.1031238910123 46310 2416=??????? =C C C 若“X=3”对应事件A 3:“取出的3只球中恰有三只白球”的概率: P(A 3)=.10112389101232 34310 34=????????=C C

几个重要的离散型随机变量的分布列

几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇(鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000) 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行,新课标教材越来越受到人们的关注,新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养,而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识,掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求,也是高考必考的内容,先结合新教材,具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()() ,k k P A p P A q ==,那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==,根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布

离散型随机变量及其分布列教案

离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标:1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用,理解随机变量、离散型随机变量的概念.初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量. 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题,体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法,树立用随机观念观察、分析问题的意识. 3、发展数学应用意识,提高数学学习的兴趣,树立学好数学的信心,逐步认识 数学的科学价值和应用价值. 教学重点:随机变量、离散型随机变量的概念,以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量.教学难点:对引入随机变量目的的认识,了解什么样的随机变量便于研究. 教学方法:启发讲授式与问题探究式. 教学手段:多媒体 教学过程: 一、创设情境,引出随机变量 提出思考问题1:掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示? 启发学生:掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果.虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但可以将结果于数字建立对应关系. 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后,也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果.比如可以用1表示正面向上的结果,用0表示反面向上的结果.也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果. 再提出思考问题2:一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗? 让学生思考得出结论:投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示. 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1:任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗? 引导学生从前面的例子归纳出:如果将实验结果与实数建立了对应关系,那么随机试验的结果就可以用数字表示.由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值,因此是个变量. 问题1.2:如果我们将上述变量称之为随机变量,你能否归纳出随机变量的概念? 引导学生归纳随机变量的定义:在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示. 问题1.3:随机变量与函数有类似的地方吗? 引导学生回顾函数的理解: 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念,提出对随机变量的理解:

第2章 2.1 2.1.1 离散型随机变量

2.1离散型随机变量及其分布列 2.1.1离散型随机变量 学 习目标核心素养 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.(重 点) 2.了解随机变量与函数的区别与联系.(易混点) 3.能写出离散型随机变量的可能取值,并能解释其意义.(难点)通过学习随机变量及离散型随机变量,培养数学抽象的素养. 1.随机变量 (1)定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量. (2)表示:随机变量常用字母X,Y,ξ,η,…表示. 2.离散型随机变量 (1)定义:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. (2)特征: ①可用数值表示. ②试验之前可以判断其出现的所有值. ③在试验之前不能确定取何值. ④试验结果能一一列出. 思考:离散型随机变量的取值必须是有限个吗? [提示]离散型随机变量的取值可以是有限个,例如取值为1,2,…,n;也

可以是无限个,如取值为1,2,…,n,…. 1.下列变量中,是离散型随机变量的是() A.到2019年10月1日止,我国发射的人造地球卫星数 B.一只刚出生的大熊猫,一年以后的身高 C.某人在车站等出租车的时间 D.某人投篮10次,可能投中的次数 D[根据离散型随机变量的定义:其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个,即可以按一定次序一一列出,试验前可以判断其出现的所有值.选项A,B,C的数值均有不确定性,而选项D中,投篮10次,可能投中的次数是离散型随机变量.] 2.袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白球为止时,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为() A.1,2,3,…,6B.1,2,3,…,7 C.0,1,2,…,5 D.1,2,…,5 B[由于取到白球游戏结束,由题意可知X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.] 3.下列随机变量不是离散型随机变量的是________. ①某景点一天的游客数X; ②某手机一天内收到呼叫次数X; ③水文站观测到江水的水位数X; ④某收费站一天内通过的汽车车辆数X. ③[①②④中的随机变量X可能取的值,我们都可以按一定的次序一一列出,因此都是离散型随机变量;③中X可以取一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故③不是离散型随机变量.] 随机变量的概念 【例1】件,则下列可作为随机变量的是()

知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望,并能解决一些实际问题; 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差,并能解决一些实际问题; 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望,简称期望. 要点诠释: (1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. (2)一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令=1p =2p …n p =,则有=1p =2p … n p n 1= =,=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 (3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 2.性质: ①()E E E ξηξη+=+; ②若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,有b aE b a E +=+ξξ)(; b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下:: η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… =+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)=b aE +ξ

∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二:离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念: 已知一组数据1x ,2x ,…,n x ,它们的平均值为x ,那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -+22)(x x -+…+])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD =121)(p E x ?-ξ+22 2)(p E x ?-ξ+…+2()n i x E p ξ-?+…称为随机变量ξ的方差,式中 的ξE 是随机变量ξ的期望. ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ. 要点诠释: ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;方差(标准差)越小,随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值). ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系: 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质: 若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,2 ()D D a b a D ηξξ=+=; 要点三:常见分布的期望与方差 1、二点分布: 若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布,则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-

高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布教案

第二章 随机变量及其分布 2.1.1离散型随机变量 第一课时 思考1:掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1 , 2 ,3,4,5,6来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢? 掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果.虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上(图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化. 定义1:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable ).随机变量常用字母 X , Y ,ξ,η,… 表示. 思考2:随机变量和函数有类似的地方吗? 随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数.在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域. 例如,在含有10件次品的100 件产品中,任意抽取4件,可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化,是一个随机变量,其值域是{0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件.例如{X=0}表示“抽出0件次品” , {X =4}表示“抽出4件次品”等.你能说出{X< 3 }在这里表示什么事件吗?“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢? 定义2:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多.例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为0,1,…,10;某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为0, 1,2,…. 思考3:电灯的寿命X 是离散型随机变量吗? 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数,而所有非负实数不能一一列出,所以 X 不是离散型随机变量. 在研究随机现象时,需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量.例如,如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时,那么就可以定义如下的随机变量: ??≥?0,寿命<1000小时;Y=1,寿命1000小时. 与电灯泡的寿命 X 相比较,随机变量Y 的构造更简单,它只取两个不同的值0和1,是一个离散型随机变量,研究起来更加容易. 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量 如某林场树木最高达30米,则林场树木的高度ξ是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验 注意:(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但可以用数量来表达如投掷一枚硬币,ξ=0,表示正面向上, ξ=1,

常用离散型和连续型随机变量

常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念:设X 是一个随机变量,如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个,则称X 为离散型随机变量。其相应的概 率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分 布或分布律,表格表示形式如下: [2] 性质: ? 0i p ≥ ?11n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念:如果对于随机变量的分布函数()F x ,存在非 负的函数 ()f x ,使得对于任意实数x ,均有: ()()x F x f x dx -∞= ? 则称X 为连续型随机变量,()f x 称为概率密度函 数或者密度函数。

[2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞=? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续,则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别: [1] 由连续型随机变量的定义,连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞,对于任何x ,000 {}()()0P X x F x F x ==--=;而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间 断点,其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负,但是可以大于1,而离散型随 机变量的概率分布i p 不仅非负,而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数,因此X 取任何 给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <,连续型随机变量X 在a 与b 之间 取值的概率与区间端点无关,即:

第二章 离散型随机变量

第二章离散型随机变量 教学目的与要求 1.熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念,会求一维随机变量的分布列. 2.熟练掌握二维离散型随机变量的概念及其分布,了解常见的二维随机变量的分布. 3.掌握二维离散型随机变量的边际分布及其计算公式. 4.了解多维随机变量的概念及其分布. 5.理解随机变量相互独立的关系及其判别方法. 6.掌握一维、二维离散型随机变量函数的分布列的求法. 7.准确理解数学期望、方差的概念及其相关的性质,熟练掌握常见的几种分布的数学期 望和方差. 8.了解条件分布与条件期望及其性质. 教学重点一、二维随机变量及其分布 教学难点随机变量的分布 教学方法讲解法 教学时间安排 1~2 第一节一维随机变量及分布列 3~4 第二节多维随机变量、联合分布列和边际分布列 5~6 习题辅导 7~8 随机变量函数的分布列 9~10 数学期望的定义及性质 11~12方差的定义及性质 13~14条件分布与条件数学期望 15~16 习题辅导 教学内容

1~2. 第一节一维随机变量及分布列 一、随机变量 在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的,这就提示我们,无论什么随机试验,如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果,样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上,这种想法是可以的,为此,引入一个新概念. 定义2.1 设E 维随机试验,()ωΩ=为其样本空间,若对任意的ω∈Ω,有唯一的实数与之对应,则称()ξω为随机变量. 这样,事件可通过随机变量的取值来表示,随机变量,(),(), b a b ξξξ≤<≤等都表 示为事件,其中,a b 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件. 二、一维离散型随机变量的概念 定义 2.2 定义在样本空间Ω上,取之于实数域R ,且只取有限个或可列个值的变量 ()ξξω=,称作是一维(实值)离散型随机变量,简称为离散型随机变量.称 ()i i P a p ξ==, 1,2,i = 为随机变量()ξω的概率分布列,也称为分布律,有时就简称为分布. 离散型随机变量()ξω的分布列常常习惯地把它们写成表格的形式或矩阵形式: 121 2 a a p p ?? ??? 例2.1 在5n =的贝努里试验中,设事件A 在一次试验中出现的概率为p ,令 ξ=5次试验中事件A 出现的次数 则 55(),05k k k P k C p q k ξ-==≤≤ 于是,ξ的分布列为:

选修2-3教案2.3.1离散型随机变量的均值

§2.3.1 离散型随机变量的均值 教学目标 (1)通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义; (2)能计算简单离散型随机变量均值(数学期望),并能解决一些实际问题. 教学重点,难点:取有限值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义. 教学过程 一.问题情境 1.情景: 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的,我们把这样的随机变量称为离散型随机变量.这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢? 甲、乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产100件产品所出的不 合格品数分别用12,X X 表示,12,X X 的概率分布如下. 2.问题: 如何比较甲、乙两个工人的技术? 二.学生活动 1. 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数.从分布列来看,甲出0件废品的概率 比乙大,似乎甲的技术比乙好;但甲出3件废品的概率也比乙大,似乎甲的技术又不如乙好.这样比较,很难得出合理的结论. 2. 学生联想到“平均数”,,如何计算甲和乙出的废品的“平均数”? 3. 引导学生回顾《数学3(必修)》中样本的平均值的计算方法. 三.建构数学 1.定义 在《数学3(必修)》“统计”一章中,我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值,其中i p 为取值为i x 的频率值.

其中,120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=,则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望,记为()E X 或μ. 2.性质 (1)()E c c =;(2)()()E aX b aE X b +=+.(,,a b c 为常数) 四.数学运用 1.例题: 例1.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个小口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同.某学生一次从中摸出5个球,其中红球的个数为X ,求X 的数学期望. 分析:从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品,随机变量X 为5个球中的红球的 个数,则X 服从超几何分布(5,10,30)H . 从而 2584807585503800700425 ()012345 1.66672375123751237512375123751237513 E X =? +?+?+?+?+?=≈ 答:X 的数学期望约为1.6667. 说明:一般地,根据超几何分布的定义,可以得到0 ()r n r n M N M n r N r C C M E X n C N --===∑ . 例2.从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查,若这批产品的不合格品 率为0.05,随机变量X 表示这10件产品中不合格品数,求随机变量X 的数学期望 ()E X . 解:由于批量较大,可以认为随机变量~(10,0.05)X B , 1010()(1),0,1,2, (10) k k k P X k p C p p k -===-=

离散型随机变量的均值与方差(含答案)

离散型随机变量的均值与方差测试题(含答案) 一、选择题 1.设随机变量()~,B n p ξ,若()=2.4E ξ,()=1.44D ξ,则参数n ,p 的值为( ) A .4n =,0.6p = B .6n =,0.4p = C .8n =,0.3p = D .24n =, 0.1p = 【答案】B 【解析】由随机变量()~,B n p ξ,可知()==2.4E np ξ,()=(1)=1.44D np p ξ-,解得 6n =,0.4p =. 考点:二项分布的数学期望与方差. 【难度】较易 2.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ,若()()30,20E X D X ==,则p =( ) A .13 B .23 C .15 D .25 【答案】A 考点:二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易 3.若随机变量),(~p n B ξ,9 10 3 5==ξξD E ,,则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52 D. 5 3 【答案】A 【解析】由题意可知,()5,3 101,9E np D np p ξξ? ==????=-=?? 解得5,1,3n p =???=??故选A. 考点:n 次独立重复试验.

【题型】选择题 【难度】较易 4.若随机变量ξ的分布列如下表,其中()0,1m ∈,则下列结果中正确的是( ) ξ 0 1 P m n A .()()3 ,E m D n ξξ== B .()()2 ,E m D n ξξ== C .()()2 1,E m D m m ξξ=-=- D .()()2 1,E m D m ξξ=-= 【答案】C 考点:离散型随机变量的概率、数学期望和方差. 【题型】选择题 【难度】较易 5.已知ξ~(,)B n p ,且()7,()6E D ξξ==,则p 等于( ) A. 7 1 B. 6 1 C. 5 1 D. 4 1 【答案】A 【解析】∵ξ~(,)B n p ,∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=,∴1 49,7 n p ==,故选A. 考点:二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易 6.设随机变量ξ~(5,0.5)B ,若5ηξ=,则E η和D η的值分别是( )

离散型随机变量及其分布范文

离散型随机变量及其分布 知识点一:离散型随机变量的相关概念; 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量,a b ηξ=+,其中a 、b 是常数,则η也是随机变量 连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ??????、ξ取每一个值()1,2,i x i =???的概率为()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列 知识点二:离散型随机变量分布列的两个性质; 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤,并且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: (1) 01,2,i p i ≥=???,;12(2) 1P P ++ = 特别提醒:对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+ 知识点二:两点分布: 若随机变量X 的分布列: 则称 X 的分布列为两点分布列. 特别提醒:(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1) 为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖;买回的一件产品是 否为正品;新生婴儿的性别;投篮是否命中等等;都可以用两点分布列来研究. 知识点三:超几何分布: 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则

2020版高中数学 第二章 2.1.1 离散型随机变量学案 新人教A版选修2-3

2.1.1 离散型随机变量 学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系. 知识点一随机变量 思考1 抛掷一枚质地均匀的硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果,这种试验结果能用数字表示吗? 答案可以,可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上. 思考2 在一块地里种10棵树苗,成活的棵数为x,则x可取哪些数字? 答案x=0,1,2,3, (10) 梳理(1)定义 在随机试验中,可以确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示,数字随着试验结果的变化而变化,像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2)随机变量常用字母X,Y,ξ,η,…表示. 知识点二随机变量与函数的关系 相同点随机变量和函数都是一种一一对应关系 区别随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应,函数是实数到实数的一一对应 联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域

知识点三离散型随机变量 1.定义:所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量. 2.特征: (1)可用数字表示. (2)试验之前可以判断其出现的所有值. (3)在试验之前不能确定取何值. (4)试验结果能一一列出. 1.离散型随机变量的取值是任意的实数.( ×) 2.随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个.( √) 3.离散型随机变量是指某一区间内的任意值.( ×) 类型一随机变量的概念 例1 下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由. (1)某机场一年中每天运送乘客的数量; (2)某单位办公室一天中接到电话的次数; (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数; (4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间. 考点随机变量及离散型随机变量的概念 题点随机变量的概念 解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量. (3)明年5月1日到10月1日期间,所查酒驾的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量. (4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的,可能提前,可能准时,也可能晚点,故是随机变量. 反思与感悟随机变量的辨析方法 (1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同. (2)随机试验的结果的不确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点,则该变量即为随机变量. 跟踪训练1 掷均匀硬币一次,随机变量为( ) A.掷硬币的次数 B.出现正面向上的次数

选修2-3离散型随机变量及其分布知识点

离散型随机变量及其分布 知识点一:离散型随机变量的相关概念; 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机 变量随机变量常用希腊字母、等表示 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随 机变量叫做离散型随机变量。若 是随机变量, a b ,其中a 、b 是常数,则 也 是随机变量 连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的 变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变 量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列 出,而连续性随机变量的结果不可以 --------------------- 列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量可能取的值为X i 、X 2 X i 取每一 个值X i i 1,2, 的概率为P( X ) p ,贝U 称表 为随机变量的概率分布,简称的分布列 知识点二:离散型随机变量分布列的两个性质; 任何随机事件发生的概率都满足:0 P(A) 1,并且不可能事件的概率为0,必然事 件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: (1) P i 0, i 1,2, ; (2) RP.L 1 特别提醒:对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即P( 知识点二:两点分布: 若随机变量X 的分布列: 特别提醒:(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布,则称X 服从两点分布,而称P(X=1为成 功 率? (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 ⑶两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖;买回的一件产品是 否为正 品;新生婴儿的性别;投篮是否命中等等;都可以用两点分布列 来研究? 知识点三:超几何分布: 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则 C k C n k X k ) P( X k ) P( X k 1) L 则称X 的分布列为两点分布列

离散型随机变量的均值

2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(重点) 2.掌握两点分布、二项分布的均值.(重点) 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.(难点) [基础·初探] 教材整理1离散型随机变量的均值 阅读教材P60~P61例1,完成下列问题. 1.定义:若离散型随机变量X的分布列为: 则称E(=x1p1+x2p2+…+x i p i+…+x n p n为随机变量 2.意义:它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 3.性质:如果X为(离散型)随机变量,则Y=aX+b(其中a,b为常数)也是随机变量,且P(Y=ax i+b)=P(X=x i),i=1,2,3,…,n.E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 1.下列说法正确的有________.(填序号) ①随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化; ②随机变量的均值反映样本的平均水平;

③若随机变量X 的数学期望E (X )=2,则E (2X )=4; ④随机变量X 的均值E (X )= x 1+x 2+…+x n n . 【解析】 ①错误,随机变量的数学期望E (X )是个常量,是随机变量X 本身固有的一个数字特征.②错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③正确,由均值的性质可知.④错误,因为E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n . 【答案】 ③ 2.已知离散型随机变量X 的分布列为: 则X 的数学期望E (【解析】 E (X )=1×35+2×310+3×110=3 2. 【答案】 3 2 3.设E (X )=10,则E (3X +5)=________. 【解析】 E (3X +5)=3E (X )+5=3×10+5=35. 【答案】 35 教材整理2 两点分布与二项分布的均值 阅读教材P 62~P 63,完成下列问题. 1.两点分布和二项分布的均值 (1)若X 服从两点分布,则E (X )=p ; (2)若X ~B (n ,p ),则E (X )=np . 2.随机变量的均值与样本平均值的关系 随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的均值. 1.若随机变量X 服从二项分布B ? ? ???4,13,则E (X )的值为________. 【导学号:29472067】

人教版 选修2-3 第二章 离散型随机变量及其分布列 同步教案

离散型随机变量及其分布列辅导教案 学生姓名性别年级学科数学 授课教师上课时间年月日第()次课 共()次课 课时:2课时 教学课题人教版选修2-3 第二章离散型随机变量及其分布列同步教案 教学目标知识目标:理解离散型随机变量的概念,并会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。能力目标:通过对离散型随机变量的学习认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 情感态度价值观:通过合作与交流,让学生体会数学与生活的紧密联系,感受学习的乐趣。 教学重点 与难点 离散型随机变量的分布列的概念及求法。 教学过程 (一)离散型随机变量 知识梳理 1.离散型随机变量的定义 如果对于试验的样本空间中的每一个样本点,变量都有一个确定的实数值与之对应,则变量是样本点的实函数,记作.我们称这样的变量为随机变量.若随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量。 2.离散型随机变量的表示方法 离散型随机变量常用字母 X , Y,ξ , η,…表示. 例题精讲 【题型一、随机变量的表示方法】 【例1】写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 (1)一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数ξ; (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η

【方法技巧】随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示,对于离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出。 【题型二、随机变量的表示意义】 【例2】抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,试问:“ξ> 4”表示的试验结果是什么? 【方法技巧】在掷骰子和掷硬币的随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化. 【题型三、随机变量应用题】 【例3】某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km,则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km,则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按lkm路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量,他收旅客的租车费可也是一个随机变量 (1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式; (Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 【方法技巧】若ξ是随机变量,b a b a, , + =ξ η 是常数,则 η也是随机变量 巩固训练 1.随机变量为抛掷两枚硬币时徽花向上的硬币数,求的可能取值

离散型随机变量的均值教案

关于《离散型随机变量的均值》的说课稿 银川二中(西校区)黄海霞 说课内容:普通高中人教A版(数学选修2-3)第二章第3节第一课时─《离散型随机变量的均值》. 下面,我将分别从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计等六个方面对本节课的设计进行说明. 一、背景分析: 1、学习任务分析 《离散型随机变量的均值》是《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容,本节课是第一课时. 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念,引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念,然后推导出离散型随机变量均值的线性性质()()b E+ aX +. = X aE b 取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上,进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化,又是后续内容离散型随机变量方差的基础,所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础.离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征,是从一个侧面刻画随机变量取值的特点. 在实际问题中,离散型随机变量的均值具有广泛的应用性.因此我以为本节课的重点是:取有限值的离散型随机变量均值的概念. 2、学生情况分析 本节课之前,学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列,二项分布及其应用等基础知识,具备了学习本节知识的知识储备.本节课是一节概念新授课,教材从学生熟悉的平均值出发,从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念,这需要一定的概括和抽象能力.鉴于学生的概括、抽象能力不是太强,因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难. 基于以上认识,我以为本节课的教学难点是:离散型随机变量均值概念的形成和理解。

数学人教版3第二章离散型随机变量教案(24正态分布)

2.4正态分布 教学目标: 知识与技能:掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。 过程与方法:结合正态曲线,加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质。 教学重点:正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0,1) 。 教学难点:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质。 教具准备:多媒体、实物投影仪。 教学设想:在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口,正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。 内容分析: 1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 量无限增大时,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2.正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成: 2 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞,(σ>0) 由此可见,正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为x=μ,并在x=μ时取最大值从x=μ点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近x轴,但永不与x轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5.由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多,这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现,许多正态分布中,重点研究N(0,1),其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N(0,1),我们把N(0,1)称为标准正态分布,其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ,x∈(-∞,+∞),从而使正态分布的研究得以简化6.结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质 授课时可以借助几何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质 教学过程: 学生探究过程: 复习引入: 总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.

图解常用离散型随机变量

第 22卷第1期2019年1月 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.22,No. 1Jan. , 2019 doi : 10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2019. 01. 033 图解常用离散型随机变量 杨夜茜 (同济大学数学科学学院,上海200092) 摘要在 概 率论的学习中,一个重要章节就是常用的离散型随机变量的学习.离 散 型随机变量包括伯努利分布, 二项分布,泊松分布,几何分布,超几何分布和负二项 分布等等.在本文中,首先借 助时间流的图形表达,从伯努利 试验次数和成功次数角度 区分其中的一些常用变量;其次通过一个流程图的方式柢理这些常用的离散型随 机 变量 的定义.本文的目的在于,基于常规的离散型随机变量的分布律等介绍之余,首次尝试从不同的比较汇总角度,借 助图表方法对常用的离散型 随 机 变量进行梳理和总结 ,起 到 区 分 变 量 的 差 异 ,加 强对常用离散型随机变量概念 的 理 解 . 关键词 常 用 离 散 型 随 机 变 量 ;伯 努 利 试 验 次 数 ;成 功 次 数 ;时 间 流 ;流 程 图 中图分类号 0211 文献标识码 A 文章编号 1008-1399(2019)01 -0118-03 Explanation of Discrete Random Variable by Diagrams Y A N G Xiaohan (School of Mathematics Science, Tongji University, Shanghai 200092, China) Abstract This paper uses time flows and flow charts to describe discrete random variables , such as Ber - n o u lli , Binom ial , Poisson , Geometric , and Negative Binomial variables , based on two key points : number of tria ls , and number of successes . Keywords discrete random variable,num ber of tria ls , number of successes,time flo w , flo w chart i 引言 关于常用的离散型随机变量,它们的定义、分 布律、概率、期望和方差等,在教科书或者是文献 中,已经有非常明确的定义[1_3].在笔者多年的教学 中发现,学生在学习这些随机变量的时候,通常会 出现计算题准确率很高,但涉及定义的问题回答模 糊.因此在本文中,不重复介绍离散型随机变量的 分布律等,尝试从不同的比较和汇总的角度借助图 表方法对这些常用的离散型随机变量进行梳理.在 文献[4]中,George C asella 给出了随机变量间的关 系图,描述了大部分的离散型和连续型随机变量两 两变量之间的联系.与他的关系图侧重点不同,在 本文中,首次设计了两种图形表述方式:时间流和 收稿日期: 2017-12-19 修改日期=2018 -03 -13 作者简介:杨筱菡(1977 —),女,江苏,博士,副教授,概率统计, Email :xiaohyang @tongji . edu . cn 流程图.时间流的图形很具象,简单明了切中随机 变量定义的关键点.而在自上而下的流程图中,通 过回答每一个是与否的简单问题而找到变量的归 属.这两种图形方式,能快速理清每个常用的离散 型随机变量的定义,区分不同变量概念上的差异, 加强对概念的理解. 注这里要特别说明的是,本文中提及的常用的 随机变量仅是在本科公共基础课程“概率论与数理 统计”中提及的常用离散型随机变量,它们只是常 用离散型随机变量中的一部分,并非全部,例如二 项分布的推广一多项分布等就不在此文讨论的范 围内. 2时间流区分法 通常常用的离散型随机变量总是从讲述伯努 利试验开始,伯努利试验是一类可重复、独立的试 验,且一次试验的样本空间只有两个样本点,6卩{成 功,失败},有时把样本点“成功”描述为“事件A 发

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