中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第七章圆第三节正多边形与圆有关的计算精讲试题

第三节正多边形与圆有关的计算,怀化七年中考命题规律)

为背景，证

,怀化七年中考真题及模拟)

求阴影部分的面积或求弧长(4次)

1．(2016怀化中考)已知扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2

，则该扇形的弧长等于__103

π__．

2．(2014怀化中考)如图，E 是长方形ABCD 的边AB 上的点，EF ⊥DE 交BC 于点F. (1)求证：△ADE∽△BEF；

(2)设H 是ED 上一点，以EH 为直径作⊙O，DF 与⊙O 相切于点G ，若DH ＝OH ＝3，求图中阴影部分的面积．(结果保留到小数点后面第一位，3≈1.73，π≈3.14)

解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°，∴∠AED ＋∠BEF＝90°，又∵∠BEF＋∠EFB＝90°，∴∠AED ＝∠EFB ，∴△ADE ∽△BEF ；(2)∵DF 与⊙O 相切于点G ，∴OG ⊥DG ，∴∠DGO ＝

90°，∵DH ＝OH ＝OG ，∴sin ∠ODG ＝OG OD ＝12，∴∠ODG ＝30°，∴∠GOE ＝120°，∴S 扇形OEG ＝120π×3

2

360

＝3π，在

Rt △DGO 中，cos ∠ODG ＝DG DO ＝DG

6＝

32，∴DG ＝33，在Rt △DEF 中，tan ∠EDF ＝EF DE ＝EF 9＝3

3

，∴EF ＝33，∴S △DEF

＝12DE ·EF ＝12×9×33＝2732，S △DGO ＝12DG ·GO ＝12×33×3＝93

2

，∴S 阴影

＝S △DEF －S △DGO －S

扇形OEG

＝

273

2

－93

2

－3π≈6.2. 3．(2013怀化中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝9，点O 是斜边AB 上一点，以O 为圆心2为半径的圆分别与AC ，BC 相切于点D ，E.

(1)求AC ，BC 的长；

(2)若AC ＝3，连接BD ，求图中阴影部分的面积．(π取3.14)

解：(1)连接OD ，OC ，OE ，∵D ，E 为切点，∴OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，OD ＝OE ＝2，∵S △ABC ＝S △AOC ＋S △BOC ，AC ＋BC ＝9，∴12AC ·BC ＝12AC ·OD ＋12BC ·OE ＝12AC ×2＋1

2BC ×2＝AC ＋BC ＝9.即AC·BC＝18.又AC ＋BC ＝9，∴AC 、BC 是方

程x 2

－9x ＋18＝0的两个根．解方程得x ＝3或x ＝6，∴AC ＝3，BC ＝6或AC ＝6，BC ＝3；(2)连接DE ，则S 阴影＝S △BDE ＋S 扇形ODE －S △ODE ，若AC ＝3，由(1)得BC ＝6.由已知可知四边形OECD 是正方形．∴EC＝OE ＝2，∴BE ＝BC －EC ＝

6－2＝4.∴S △BDE ＝12BE ×DC ＝12×4×2＝4，S 扇形ODE ＝14π×22

＝π，S △ODE ＝12

OD ×OE ＝2，∴S 阴影＝4＋π－2＝2＋π

≈5.14.

4．(2011怀化中考)如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，BE ＝OF.

(1)求证：OF∥BC；

(2)求证：△AFO≌△CEB；

(3)若EB ＝5 cm ，CD ＝10 3 cm ，设OE ＝x ，求x 值及阴影部分的面积．

解：(1)∵AB 为⊙O 直径，∴AC ⊥BC ，又∵OF⊥AC，∴OF ∥BC ；(2)∵AB⊥CD，由垂直定理可知BC ︵＝BD ︵

，∴∠

CAB ＝∠BCD，在△AFO 和△CEB 中，????

?∠FAO＝∠ECB，

∠AFO ＝∠CEB，OF ＝BE ，

∴△AFO ≌△CEB(AAS )；(3)连接DO ，设OE ＝x ，∵AB ⊥CD ，

∴CE ＝12CD ＝53 cm ，在△OCB 中，OC ＝OB ＝(x ＋5)cm ，由勾股定理可得(x ＋5)2＝(53)2＋x 2

，解得x ＝5，即OE

＝5.∴tan ∠COE ＝CE OE ＝53

5

＝3，∴∠COE ＝60°，则∠COD＝120° .∴S

扇COD ＝

120π×102

360＝100π3 cm 2

，S △COD ＝12

CD ·OE ＝12×103×5＝25 3 cm 2.∴S 阴影＝(100π3－253)cm 2

.

5．(2015怀化二模)如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG.

(1)求证：EF∥CG；

(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵

与线段CG 所围成的阴影部分的面积．

解：(1)由旋转的性质可知AF ＝CE ＝FG ，∠FAB ＝∠ECB，而∠FAB＋∠AFB＝90°，∠AFB ＋∠CFG＝

90°，∴∠ECB ＝∠GFC，∴EC ∥FG ，∴四边形EFGC 为平行四边形，∴EF ∥CG ；(2)S 阴影＝S △FCG ＋S △ABF ＋S 扇形ABC

－S 扇形AFG ＝12×(1＋2)×1＋12×2×1＋90360π×22－90360π×(22＋12

)＝52－14

π.

6．(2016原创)如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA＝∠AOE，交AB 的延长线于点D.

(1)求证：FD 是⊙O 的切线；

(2)设AC ＝DC ＝4，求⊙O 半径的长；

(3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积．

解：(1)连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO，∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE＝90°.又∵∠FCA＝∠AOE，∴∠FCA ＋∠ACO ＝∠AOE ＋∠A ＝90°，即OC⊥FC.

∵OC 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，∴FD 是⊙O 的切线；(2)∵AC＝DC ，∴∠A ＝∠D，∴∠COD ＝2∠A＝

2∠D，∵∠COD ＋∠D＝90°，即2∠D＋∠D＝90°，∠D ＝30°，∵DC ＝4，∴OC ＝CD·tan D ＝4×33＝43

3，∴⊙

O 半径的长为43

3；(3)∵∠D＝30°，∴∠COD ＝60°，∴S

阴影＝S △OCD －S 扇形OBC ＝12×OC ×CD －

60π×OC 2

360＝12×43

3

×4－60π×? ???

?4332360＝833－8

9π.

,中考考点清单

)

圆的弧长及扇形面积公式

1．牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．

2．圆锥的侧面问题转化为平面问题，如最短路线问题．

,中考重难点突破)

弧长与扇形面积

【例1】(1)(2015苏州中考)如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC∥OA，劣弧BC 的弧长为________．(结果保留π)

例1(1)题图

例1(2)题图

(2)(2016怀化二模)如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形(阴影部分)图案，则树叶形图案的周长为( )

A ．πa

B ．2πa

C .1

2

πa D ．3a

【解析】(1)连接O C ，OB ，设法求半径OB 及∠BOC 即可；(2)阴影部分的周长为AC ︵

的长的2倍．

【学生解答】解：(1)1

3π；(2)A

1．(2016武汉中考)如图，在等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝22，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是( B )

A .2π

B ．π

C ．2 2

D ．2

,(第1题图))

,(第2题图))

2．(2016深圳中考)如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵

的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( A )

A ．2π－4

B ．4π－8

C ．2π－8

D ．4π－4

3．(2016德州中考)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重

合，则图中阴影部分的面积是2－π

6

__．

圆锥的侧面积与全面积

【例2】(2015成都中考)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为________．(结果保留π)

【学生解答】68π

4．(2016聊城中考)如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为__2π__．

,(第4题图)) ,(第5题图))

5．(2016广东中考)如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA

＝13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵

的长是__10π__ cm .(结果保留π)

正多边形和圆

【例3】(2015福州中考)如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是________．

【解析】延长AB 和过CD 的直线交于E 点，可以直接计算△ABC 的面积，也可以通过计算三角形ACE 和三角形BCE 的面积差来解决问题．

【学生解答】2 3

6．(2015天津中考)正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是( B ) A . 3 B ．2 C ．3 D ．2 3

7．(2016株洲中考)如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为3的⊙O，则劣弧AB 的长度为__π__．