2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数

2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数

一、选择题

1 ．（2013浙江卷（理） ）已知2

10

cos 2sin ,=

+∈αααR ,则=α2tan A.

34 B. 4

3 C.43- D.34-

【答案】C

2 ．（2013陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若

cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

【答案】B

3 ．（2013天津卷（理））在△ABC 中

, ,3,4

AB BC ABC π

∠==

=则sin BAC ∠ =

【答案】C

4 ．（2013山东卷（理））将函数sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移8

π个单位后,

得到一个偶函数的图象,则?的一个可能取值为

(A) 34π (B) 4π

(C)0 (D) 4π-

【答案】B

5 ．（2013辽宁卷（理））在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为

,,.a b c 1

sin cos sin cos ,2

a B C c B A

b +=且a b >,则B ∠=

A.

6π B.3

π

C.23π

D.56π

【答案】A

6 ．（2013大纲卷（理））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是

(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2

x π

=对称

(C)()f x

的最大值为

2

(D)()f x 既奇函数,又是周期函数 【答案】C

7 ．（2013山东卷（理））函数cos sin y x x x =

+的图象大致为

【答案】D

8 ．（2013年高考四川卷（理））函数

()2sin(),(0,)22

f x x π

π

ω?ω?=+>-

<<的部分图象如图所示,则,ω?的值分别是( )

(A)2,3

π

-

(B)2,6

π

-

(C)4,6

π

-

(D)4,

3

π 【答案】A

9 ．（2013上海春季）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )

(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =

【答案】B

10．（2013重庆卷（） 0

4cos50tan 40-= ( )

D.1 【答案】C

11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ?,角,A B 所对的边长分别为,a b .若

2sin ,a B A =则角等于

A.

12π B.6π C.4π D.3

π 【答案】D

12．（2013年高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =

+∈的图像向左平移

()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( )

A.

12

π

B.

6

π

C.

3

π

D.

56

π

【答案】B 二、填空题

13．（2013浙江卷）ABC ?中,0

90=∠C ,M 是BC 的中点,若3

1sin =

∠BAM ,则=∠BAC sin ________.

14．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大

值,则cos θ=______

【答案】. 15．（2013

福建卷（理））如图

ABC ?中,已知点D 在BC 边

上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠=

==则BD 的长为_______________

16．（2013上海春季）函数2sin y x =的最小正周期是_____________

【答案】2π

17．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin α

α=-,(,)2

π

απ∈,则tan 2α的值是

_________.

18．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin

,sin 2sin 223

x y x y x y +=+=,

则sin()________x y +=

【答案】2

sin()3

x y +

=

. 19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,

若222

32330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)

【答案】1

arccos 3

C

π=-

20．（2013大纲卷（理））已知α是第三象限角,1

sin 3

a =-,则cot a =____________.

【答案】

21．（2013江苏卷）函数)4

2sin(3π

+

=x y 的最小正周期为___________.

【答案】π

22．（2013上海春季）在

ABC ?中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若

5 8 60a b B === ，，,则b=_______

【答案】7

23．（2013安徽卷（理））设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,

则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.

【答案】

π3

2

24．（2013新课标版Ⅱ（理））设

θ为第二象限角,若1

tan()42

πθ+=,则

sin cos θθ+=________.

【答案】5

-

25．（2013年高考江西卷（理））函数2

sin 2sin y x x =+的最小正周期为T 为

_________.

【答案】π

26．（2013上海春季）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________ 【答案】5 三、解答题

27．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .

(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.

【答案】解:(I)因为a =3,b =2

,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得

3sin A =所以2sin cos sin A A A =.故cos A =

(II)由(I)知cos A =

,所以s i n

A ==

.又因为∠B=2∠A,所以

21

cos 2cos 13

B A =-=.所以sin 3B ==.

在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a C

c A

=

=.

28．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1

(cos ,),,cos2),2

x x x x =-=∈a b R , 设

函数()·f x =a b .

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π??

????

上的最大值和最小值.

【答案】解:(Ⅰ)

()·f x =a b =)6

2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π

-=-=-

?x x x x x x . 最小正周期ππ

==

2

2T . 所以),6

2sin()(π

-=x x f 最小正周期为π.

(Ⅱ)

上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[π

πππππx y x x =∈-∈.

]1,2

1

[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .

所以,f (x) 在0,2π??

????

上的最大值和最小值分别为21,1-.

29．（2013重庆卷（理））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且

222a b c +=.

(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5

A B A B ααα++==,求tan α的值.

【答案】

由题意得

30．（2013天津卷（理））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π?

?=++- ?+?

?∈R .

(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;

(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π??

????

上的最大值和最小值.

【答案】

31．（2013辽宁卷（理））设向量)

(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π??

=

=∈????

(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =

求的最大值

【答案】

32．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω

>;

(1)若()y f x =在2[,]43

ππ

-

上单调递增,求ω的取值范围;

(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移

6

π

个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.

【答案】(1)因为0ω>,根据题意有

342

0243

2π

πωωππω?-≥-???<≤?

?≤?? (2) ()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163

g x x x π

π

=+

+=++

1()0sin(2)323g x x x k πππ=?+=-?=-或7

,12

x k k Z ππ=-∈,

即()g x 的零点相离间隔依次为

3

π和23π

,

故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333

πππ

?

+?=

. 33．（2013大纲卷（理））设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为

,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.

(I)求B

(II)

若sin sin A C =

,求C . 【答案】

34．（2013年高考四川卷（理））在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且

2

3

2cos cos sin()sin cos()25

A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;

(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC

方向上的投影.

【答案】解:()I 由()()2

3

2cos

cos sin sin cos 25

A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3

cos 1cos sin sin cos 5

A B B A B B B -+---=-????, 即()()3

cos cos sin sin 5

A B B A B B ---=-, 则()3cos 5A B B -+=-

,即3cos 5

A =- ()

II 由3cos ,05A A π=-<<,得4

sin 5

A =, 由正弦定理,有

sin sin a b

A B

=

,所以

,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4

B π

=.

根据余弦定理,

有(2

2235255c c ??

=+-??- ???

,

解得1c =或7c =-(舍去).

故向量BA 在BC

方向上的投影为cos 2

BA B =

35．（2013山东卷（理））设△

ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且

6a c +=,2b =,7cos 9

B =

. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.

【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2

2

2

2cos b a c ac B =+-,得

()2

22(1cos )

b a

c ac B =+-+,

又6a c +=,2b =,

7

cos 9B =

,所以9ac =,解得3a =,3c =.

(Ⅱ)在△ABC 中

,

sin 9B ==

,

由正弦定理得

sin sin 3a B A b =

=,

因为a c =,所以A 为锐角,

所以

1

cos 3A ==

因此

sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=

.

36．（2013安徽卷（理））已知函数()4cos sin (0)4f x x x π?????

=?+

> ??

?

的最小正周期为π.

(Ⅰ)求?的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.

【

答

案

】

解:

(Ⅰ)

2)4

2sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+?π

ωωωωωωx x x x x x

122=?=?

ωπωπ.所以1,2)4

2sin(2)(=++=ωπ

x x f (Ⅱ) ；

解得，令时，当8

242]4,4[)42(]2

,

0[π

ππππππ

π

==++∈+∈x x x x 所以.]2

8[]8,

0[)(上单调递减，上单调递增；在在π

ππ

x f y =

37．（2013福建卷（理））已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的周期为π,

图像的一个对称中心为(

,0)4

π

,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵

坐标不变),在将所得图像向右平移

2

π

个单位长度后得到函数()g x 的图像.

(1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(

,)64

x ππ

∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若

存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.

(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.

【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ω?=+的周期为π,0ω

>,得2ω=

又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4

π

,(0,)?π∈

故()sin(2)04

4

f ππ

?=?

+=,得2

π

?=

,所以()cos 2f x x =

将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移

2

π

个单位长度后得到函数()sin g x x =

(Ⅱ)当(

,)64x ππ

∈时

,1sin 2x <<

,1

0cos 22

x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>

问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64

ππ

内是否有解

设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(

,)64

x ππ

∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(

,)64x ππ

∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64

ππ

内单调递增 又1

()06

4

G π

=-

<

,()04G π=

> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64

ππ

内存在唯一零点0x ,

即存在唯一的0(

,)64

x ππ

∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=

当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x

a x

=-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x

h x x

=-

,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况

22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0

h x '=,得2x π=或32

x π

= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表

)当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞

当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞

故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点

由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=?,所以67121342n =?=

综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点

38

．

（

2013

江

苏

卷

）

本小题满分14分.已知

(c o s ,s i n )a b ααββ= ＝，,παβ<<<0.

(1)若||a b -= 求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =

,若a b c += ,求βα,的值.

【答案】解:(1)∵2||=

- ∴2||2

=- 即()

222

22

=+-=-,

又

∵1sin cos ||2222

=+==ααa a ,1sin cos ||2

222

=+==ββb b ∴222=-b a ∴

0=∴⊥

(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴???=+=+1sin sin 0

cos cos βαβα即

?

?

?-=-=βαβ

αsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴2

1

sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα6

1

,65==

39．（2013广东卷（理））已知函数()12f x x π?

?=

- ??

?,x ∈R .

(Ⅰ) 求6f π??-

???的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ??∈ ???,求23f πθ?

?+ ??

?.

【答案】(Ⅰ)1661244f πππππ??????

-

=--=-== ? ? ???????

;

(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ?

?

???

?+=+-=+=- ? ? ??

????

? 因为3cos 5θ=

,3,22πθπ??∈ ???

,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227

cos 2cos sin 25

θθθ=-=- 所以23f πθ?

?

+

?

?

?

cos2sin 2θθ=-72417

252525??=---= ???. 40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数

2()sin()cos().()2sin 632

x f x x x g x ππ=-+-=.

(I)若α是第一象限角,且()f α=

求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.

【

答

案

】

解:

(I)5

3

3sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(=

=?=++-=

ααf x x x x x x f . 5

1

cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===?∈=?ααααπααg 且

(II)2

1

)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+?

-≥?≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈?+

+

∈+

?],3

22,2[]652,6

2[6

π

πππππ

ππ

41．（2013江苏卷）本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处

有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为m in /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为m in /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =

A ,5

3

cos =C . (1)求索道AB 的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

【答案】解:(1)∵1312cos =

A ,5

3cos =C ∴）

，（、2

0π

∈C A ∴135sin =A ,5

4sin =C ∴[]65

63

sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C AC

AB 1040sin sinB

==

(2)

设

乙

出

发

t

分

钟

后

,

甲

.

乙

距

离

为

d,

则

13

12

)50100(1302)50100()130(222?

+??-++=t t t t d ∴)507037(2002

2

+-=t t d ∵130

1040

0≤≤t 即80≤≤t ∴3735=

t 时,即乙出发37

35分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理

sinB

sinA AC

BC =

得50013565

631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V m in /m ,则

350

710

500≤-v ∴3507105003≤-≤

-v ∴14

625

431250≤

≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在

??

?

???14625,431250范围内 法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k ,

AB =52k ,由AC =63k =1260m,

知:AB =52k =1040m.

C

B

A

(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),

由余弦定理得:MN 2

=AM 2

+AN 2

-2 AM ·AN cos A =7400 x 2

-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =35

37 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.

(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =126

5

(min).

若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:86

5 (min) .

此时乙的速度最小,且为:500÷865 =1250

43

m/min.

若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:56

5 (min) .

此时乙的速度最大,且为:500÷565 =625

14 m/min.

故乙步行的速度应控制在[125043 ,625

14 ]范围内.

42．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ?中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .

已知()cos23cos 1A B C -+=.

(I)求角A 的大小;

(II)若ABC ?

的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.

【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=

22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1

cos 2

A =

,角60A =?

(II)1sin 2

S bc A ==4c ?=,由余弦定理得:2

21a =,()222228sin a R A =

= 25

sin sin 47

bc B C R ∴=

= 43．（2013新课标版Ⅱ（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知

C

B

A

D

M

N

cos sin a b C c B =+.

(Ⅰ)求B ;

(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.

【答案】

44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC

内一点,∠BPC=90°

(1)若PB=1

2

,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA

【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=

o 60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得

2PA =o 1132cos3042+

-=74; (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理

得o

sin sin(30)

αα=-,化简得4sin αα=,

∴tan α

,∴tan PBA ∠

. 45．（2013上海春季）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.

在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x

是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *

∈.

(1)若31

arctan

3

θ=,求点A 的坐标; (2)若点A

的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.

【答案】[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,1

2

n n x -=.由31arctan

3θ=,知31

tan 3

θ=, 而3

443343

223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t t

θ--=∠-∠===+?++?

, 所以

2

41

323

t t =+,解得4t =或8t =. 故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，.

(2)由题意,点n P 的坐标为1

(2 0)n -，

,1

tan n n OAP -∠=

.

1

11212tan tan()12n n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===.

n ≥

所以tan n

θ≤=,

当且仅当2n

n =,即4n =时等号成立. 易知0 tan 2

n y x π

θ<<

=，在(0 )2π

，

上为增函数

,

因此,当4n =时,n θ最大,其最大值为arctan

4

. 46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知

cosC+(conA-sinA)cosB=0.

(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围

【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++-=

即有sin sin cos 0A B A B =

因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3

B π

=

.

(2)由余弦定理,有2

2

2

2cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有2

2113()24

b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有1

12

b ≤<.