2014-2015海淀区高三第一学期期末数学(理)试卷及答案_精华学校

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学（理）答案及评分参考 2015.1

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）15 （10）23 （11）3 （12）

2π3 （13）1

3

；4 （14）11,,A B D 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）?的值是

π

6. ………………2分 0x 的值是5

3

. ………………5分

（Ⅱ）由题意可得：11ππ

()cos(π())cos(π)sin π3362

f x x x x +=++=+=-.

………………7分

所以 1

π

()()cos(π)sin π3

6f x f x x x ++=+- ππ

cos πcos sin πsin sin π66

x x x =-- ………………8分

31

πsin πsin π2

x x x =

-- 33π

πsin π3π)23

x x x =-=+. ………………10分 因为 11[,]23x ∈-

， 所以 ππ2π

π633

x -≤+≤.

所以 当π

π03

x +=，即13x =-时，()g x 3

当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x 取得最小值2

- ………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为

530350?=，女同学的人数为5

20250

?=. ………………4分

（Ⅱ）由题意可得：23

235

51

(3)10

A A P X A ===. ………………6分 因为 32

1105

a b +++=， 所以 1

5

b =

. ………………8分 所以 1132

32101105105

EX =?

+?+?+?=. ………………10分 （Ⅲ）22

12

s s =. ………………13分

（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接1BC .

在正方形11ABB A 中，1AB BB ^.

因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B

平面111BB C C BB =，AB ì平面

11ABB A ，

所以 AB ^平面11BB C C . ………………1分 因为 1B C ì平面11BB C C ，

所以 1AB B C ^. ………………2分 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^.

因为 1BC ì平面1ABC ，AB ì平面1ABC ，1

BC AB B =，

所以 1B C ^平面1ABC . ………………4分 因为 1AC ì平面1ABC ，

所以 1B C ⊥1AC . ………………5分 （Ⅱ）EF ∥平面ABC ，理由如下： ………………6分

C

B

C 1

B 1

1

A

取BC 的中点G ，连接,GE GA . 因为 E 是1BC 的中点， 所以 GE ∥1BB ，且GE 11

2

BB =. 因为 F 是1AA 的中点， 所以 AF 11

2

AA =

. 在正方形11ABB A 中，1AA ∥1BB ，1AA 1BB =.

所以 GE ∥AF ，且GE AF =. 所以 四边形GEFA 为平行四边形.

所以 EF ∥GA . ………………8分 因为 EF ?平面ABC ，GA ì平面ABC ，

所以 EF ∥平面ABC . ………………9分 （Ⅲ）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ^.

由（Ⅰ）可知：AB ^平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以1,BA BB 所在的直线为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设(2,0,0)A ，则1(0,2,0)B . 在菱形11BB C C 中，11=60BB C ∠，所以 (0,3)C -，1(0,13)C . 设平面1ACC 的一个法向量为(,,1)x y =n .

因为 10,0AC CC ??=???=??n n 即(,,1)(2,3)0,(,,1)(0,2,0)0,x y x y ??--=???=?

?

所以 3

20,x y ?=

???=?

即

3

(

2

=n . ………………11分 由（Ⅰ）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量. ………………12分

G

F

E

C

B

C 1

B 1

A 1

A

所以

111

3

((0,3,2cos ,CB CB CB ?

?<>=

=

=?n n n . 所以 二面角1B AC C -- ………………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）由22

143

x y +=得：2,3a b =.

所以 椭圆M 的短轴长为23 ………………2分 因为 221c a b =-=， 所以 1

2

c e a ==，即M 的离心率为12. ………………4分

（Ⅱ）由题意知：1(2,0),(1,0)C F --，设000(,)(22)B x y x -<<，则22

00

143

x y +=.

………………7分

因为 10000(1,)(2,)BF BC x y x y ?=---?---

2

2

00023x x y =+++ ………………9分 2

0013504

x x =

++>， ………………11分 所以 π(0,)2

B ∠∈.

所以 点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.

………………13分

另解：由题意可设直线l 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y .

由22

1,431x y x my ?+=???=-?

可得：22

(34)690m y my +--=. 所以 122634m y y m +=

+，122

9

34

y y m -=+. ………………7分 所以 1122(2,)(2,)CA CB x y x y ?=+?+ 2

1212(1)()1m y y m y y =++++ 2

22

96(1)

13434

m

m m m m -=++?+++ 25

034

m -=

<+. ………………9分

因为 cos (1,0)CA CB C CA CB

?=

∈-?，

所以 π(,π)2

C ∠∈. ………………11分

所以 π

(0,)2

B ∠∈.

所以 点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.

………………13分

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）函数()f x 是偶函数，证明如下： ………………1分 对于ππ[,]22x ?∈-

，则ππ

[,]22

x -∈-. ………………2分 因为 ()cos()sin()cos sin ()f x a x x x a x x x f x -=---=+=，

所以 ()f x 是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）当0a >时，因为 ()cos sin 0f x a x x x =+>，ππ

[,]22

x ∈-

恒成立， 所以 集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0. ………………5分

当0a =时，令()sin 0f x x x ==，由ππ[,]22

x ∈-， 得 0x =.

所以 集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1. ………………6分 当0a <时，因为 π'()sin sin cos (1)sin cos 0,(0,)2

f x a x x x x a x x x x =-++=-+>∈，

所以 函数()f x 是π[0,]2上的增函数. ………………8分

因为 ππ

(0)0,()022f a f =<=>，

所以 ()f x 在π

(0,)2

上只有一个零点.

由()f x 是偶函数可知，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2. ………………10分 综上所述，当0a >时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0；当0a =时，集合

{|()0}A x f x ==中元素的个数为1；当0a <时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为

2.

（Ⅲ）函数()f x 有3个极值点. ………………13分 （20）（共14分）

解：（Ⅰ）因为 123224(,),(,),(,)a a a a a a T ∈，

所以 21(,)0T d a a =，23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =.

………………1分

因为 24(,)a a T ∈，所以 42(,)0T d a a =.

所以 4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a =++≤++=.

所以 当244143(,),(,),(,)a a a a a a T ∈时，4()T l a 取得最大值2. ………………3分 （Ⅱ）由(,)T d a b 的定义可知：(,)(,)1T T d a b d b a +=.

所以

122113311

()[(,)(,)][(,)(,)]n

T

i T T T T i l

a d a a d a a d a a d a a ==+++∑

1111[(,)(,)][(,)(,)]

T n T n T n n T n n d a a d a a d a a d a a --+???+++???++

2

1

(1)2

n C n n ==

-. ………………6分

设删去的两个数为(),()T k T m l a l a ，则1

()()(1)2

T k T m l a l a n n M +=

--. 由题意可知：()1,()1T k T m l a n l a n ≤-≤-，且当其中一个不等式中等号成立，不放设

()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =.

所以 ()2T m l a n ≤-. ………………7分 所以()()1223T k T m l a l a n n n +≤-+-=-. 所以 1()()(1)232T k T m l a l a n n M n +=

--≤-，即1

(5)32

M n n ≥-+. ………………8分

（Ⅲ）对于满足()1T i l a n <-（1,2,3,

,i n =）的每一个集合T ，集合S 中都存在三个

不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立，理由如下：

任取集合T ，由()1T i l a n <-（1,2,3,

,i n =）可知， 12(),(),,()T T T n l a l a l a ???中

存在最大数，不妨记为()T l f （若最大数不唯一，任取一个）.

因为 ()1T l f n <-，

所以 存在e S ∈，使得(,)0T d f e =，即(,)e f T ∈. 由()1T l f ≥可设集合{|(,)}G x S f x T =∈∈≠?.

则G 中一定存在元素g 使得(,)1T d g e =. 否则，()()1T T l e l f ≥+，与()T l f 是最大数矛盾.

所以 (,)1T d f g =，(,)1T d g e =，即(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=.

………………14分