常微分方程习题及答案.[1]
第十二章 常微分方程
(A)
一、是非题
1.任意微分方程都有通解。( )
2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( )
3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C
x y +=
2
ln 2
1 (C 为任意常数)。( )
6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9.
2
2
1xy
y x dx
dy +++=是可分离变量的微分方程。( )
二、填空题
1.在横线上填上方程的名称
①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x
y y dx
dy x
ln
?=是 。
④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。
2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06
='-''?y y y 是 阶微分方程。
7.x y 1
=所满足的微分方程是 。 8.x
y y 2='的通解为 。
9.
0=+
x
dy y
dx 的通解为 。
10.
()25
11
2+=+-
x x y dx
dy ,其对应的齐次方程的通解为 。
11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题
1.微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2
2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。
A .3
B .5
C .4
D . 2
3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -=
4.微分方程32
3y y ='的一个特解是( )。
A .13+=x y
B .()3
2+=x y C .()2
C x y +=
D . ()3
1x C y +=
5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。
A .0=+'y y
B .02=+'y y
C .0=+y y n
D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。
A .1+=x e y
B .x
e y 2= C .22x
e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?=
C .()x b x a x y cos sin *+=
D . x b x a y sin cos *+= 9.下列微分方程中,( )是二阶常系数齐次线性微分方程。 A .02=-''y y B .032=+'-''y y x y C .045=-''x y D . 012=+'-''y y
10.微分方程0=-'y y 满足初始条件()10=y 的特解为( )。 A .x e B .1-x e C .1+x e D . x e -2
11.在下列函数中,能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( )。 A .1=y B .x y = C .x y sin = D . x e y =
12.过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( )。 A .x y 2=' B .x y 2='' C .x y 2=',()31=y D . x y 2='',()31=y 13.下列微分方程中,可分离变量的是( )。 A .e x
y dx dy =+ B .
()()y b a x k dx
dy --=(k
,a ,b 是常数)
C .
x y dx
dy =-sin D . x
e y xy y ?=+'2
14.方程02=-'y y 的通解是( )。
A .x y sin =
B .x e y 24?=
C .x e C y 2?=
D .x e y = 15.微分方程
0=+x
dy y dx 满足4|3==x y 的特解是( )。
A .2522=+y x
B .
C y x =+43 C .C y x =+2
2 D .
722=-y x 16.微分方程0
1=?-
y x
dx
dy 的通解是=y ( )。
A .
x
C B .Cx C .C
x +1 D . C x +
17.微分方程0=+'y y 的解为( )。 A .x e B .x e - C .x x e e -+ D . x e -
18.下列函数中,为微分方程0=+ydy xdx 的通解是( )。
A .C y x =+
B .
C y x =+22 C .0=+y Cx
D . 02=+y Cx
19.微分方程02=-dx ydy 的通解为( )。 A .C x y =-2 B .C
x y =-
C .C x y +=
D .C x y +-=
20.微分方程xdx ydy sin cos =的通解是( )。 A .C y x =+cos sin B .C x y =-sin cos C .C y x =-sin cos D . C y x =+sin cos 21.x e y -=''的通解为=y ( )。
A .x e --
B .x e -
C .21C x C e x ++-
D .21C x C e x ++-- 22.按照微分方程通解定义,x y sin =''的通解是( )。 A .21sin C x C x ++- B .21sin C C x ++- C .21sin C x C x ++ D . 21sin C C x ++
四、解答题
1.验证函数x x e e C y 23--+?=(C 为任意常数)是方程y
e
dx
dy x
32-=-的通解,
并求出满足初始条件0|0==x y 的特解。
2.求微分方程()()
???==-++=1
|0
11022x y dy x y dx y x 的通解和特解。
解:
C x
y =-+2
211,122
2
=+y
x 3.求微分方程x
y x
y dx
dy tan
+=
的通解。
解:Cx
x y =sin
。
4.求微分方程???
?
?=+='=2|1
x y x y y x y 的特解。 解:()2ln 222+=x x y 。
5.求微分方程x e x y y sin cos -=?+'的通解。 解:()C x e y x +=-sin
6.求微分方程x
x
y dx
dy sin =+
的通解。
解:()C x x x x
y +-=
cos sin 1
7.求微分方程()()?????==+--'+=1
|012102
7
x y x y y x 的特解。
解:
()()2
23
13113
2+??????++=x x y
8.求微分方程1
22
+'=''x x y y 满足初始条件0=x ,1=y ,3='y 的特解。
解:133++=x x y
9.求微分方程y y y '=''2满足初始条件0=x ,1=y ,2='y 的特解。 解:4
arctan π
+
=x y 或??
?
?
?
+
=4tan πx y
10.验证二元方程C y xy x =+-22所确定的函数为微分方程
()y x y y x -=
'-22的解。
11.求微分方程()()0=++-++dy e e dx e e y y x x y x 的通解。 解:()()C e e y x =-+11 12.求
x x y dx
dy sec tan =?-,0|0==x y 的特解。
解:x
x y cos =
13.验证x y ωcos 1=,x y ωsin 2=都是02=+''y y ω的解,并写出该方程的通解。
14.求微分方程x
x
y y 2
2-=
'的通解。
解:x x Cx y ln 22-= 15.求微分方程01=++
'x
e
y x y 满足初始条件()01=y 的特解。
解:ex x
e
y x
-=
16.求微分方程()
3
11
2+=+-
x y x dx
dy 的通解。
解:
()()?
?
?
???+++=C x x y 21122
17.求微分方程
011=+-
+dy x
y dx y
x 满足条件()10=y 的特解。
解:()()5322233=-+-x y x y
18.求微分方程02=-'+''y y y 的通解。 解:x x e C e C y 221-+=
19.求微分方程052=+'+''y y y 的通解。 解:()x C x C e y x 2sin 2cos 21+=-
20.求微分方程044=+'+''y y y 的通解。 解:()x e x C C y 221-+=
21.试求x y =''的经过点()1,0M 且在此点与直线12
+=x y 相切的积分曲线。
解:12
1613
++
=
x x y
(B)
一、是非题
1.可分离变量微分方程不都是全微分方程。( )
2.若()x y 1,()x y 2都是()()x Q y x P y =+'的特解,且()x y 1与()x y 2线性无关,则通解可表为()()()()[]x y x y C x y x y 211-+=。( )
3.函数x x e e y 2
1
λλ+=是微分方程()02121=+'+-''y y y λλλλ的解。( )
4.曲线在点()y x ,处的切线斜率等于该点横坐标的平方,则曲线所满足的微分方程是C x y +='2(C 是任意常数)。( )
5.微分方程y x e y -='2,满足初始条件0|0==x y 的特解为12
12+=
x
y e
e 。( )
二、填空题
1.x y cos 1=与x y sin 2=是方程0=+''y y 的两个解,则该方程的通解为 。 2.微分方程032=-'-''y y y 的通解为 。 3.微分方程02=+'-''y y y 的通解为 。 4.微分方程x e y 2='''的通解是 。 5.微分方程'y y =''的通解是 。 6.微分方程xy
dx
dy 2=的通解是 。
三、选择题
1.微分方程044=+'-''y y y 的两个线性无关解是( )。
A .x e 2与x e 22?
B .x e 2-与x e x 2-?
C .x e 2与x e x 2?
D . x e 2-与x e 24-?
2.下列方程中,不是全微分方程的为( )。
A .()()046632222=+++dy y y x dx xy x
B .()02=-?+dy y e x dx e y y
C .()022=--dy x dx y x y
D . ()02=--xdy dx y x 3.下列函数中,哪个函数是微分方程()g t s -=''的解( )。 A .gt s -= B .2gt s -= C .2
21gt
s -
= D . 2
2
1gt
s =
4.下列函数中,是微分方程0127=+'-''y y y 的解( )。 A .3x y = B .2x y = C .x e y 3= D . x e y 2= 5.方程()012='--y x y x 的通解是( )。 A .2
1x C y -= B .2
1x
C y -=
C .Cx
x y +-
=3
2
1 D . 2
2
1x
Cxe
y -
=
6.微分方程ydy x xdx y ln ln ?=?满足1|1==x y 的特解是( )。 A .y x 22ln ln = B .1ln ln 22=+y x C .0ln ln 22=+y x D . 1ln ln 22+=y x
7.微分方程()()01122=+++dx y dy x 的通解是( )。
A .C y x =+arctan arctan
B .
C y x =+tan tan C .C y x =+ln ln
D . C y x =+cot cot 8.微分方程()x y -=''sin 的通解是( )。 A .()x y -=sin B .()x y --=sin C .()21sin C x C x y ++--= D . ()21sin C x C x y ++-= 9.方程3=+'y y x 的通解是( )。 A .3+=
x
C y B .C
x y +=
3 C .3
--
=x
C y
D . 3-=
x
C y
四、解答题
1.求微分方程()x x x y y 3sin 23cos 6249--=+''的通解。 解:()()x x x x C x x C y 3sin 23cos 221-+++= 2.求微分方程x y y y sin 67=+'-''的通解。 解:()x x e C e C y x x sin 5cos 774
1261++
+=
3.求微分方程()()0223222=-+-+dy xy x dx y xy x 的通解。 解:x
C x xy y =
--22
(C)
一、是非题
1.只要给出n 阶线性微分方程的n 个特解,就能写出其通解。
2.已知二阶线性齐次方程()()0=?+'?+''y x Q y x P y 的一个非零解y ,即可求出它的通解。( ) 二、填空题
1.微分方程054=++''y y y 的通解是 。
2.已知1=y ,x y =,2x y =某二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为 。
3.微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 。 三、选择题
1.微分方程(
)
112
+=
+
'x x x
y y 的通解为( )。
A .C x +arctan
B .()
C x x
+arctan 1
C .C x x
+arctan 1
D .x
C x +
arctan
2.微分方程1=-'y y 的通解是( )。
A .x e C y ?=
B .1+?=x e
C y C .1-?=x e C y
D .()x e C y ?+=1
3.???==+'=0|31
x y y y x 的解是( )。
A .???
?
?
-
=x y 113 B .()x y -=13 C .x y 11-
= D . x y -=1
4.微分方程x
y x y dx
dy tan
+=
的通解为( )。
A .Cx
x
y =sin
B .Cx
x y 1sin = C .Cx y
x =sin
D . Cx
y
x 1sin
=
5.已知微分方程()()25
1+=+'x y x p y 的一个特解为()27
*13
2+=
x y ,则此微分
方程的通解是( )。
A .
()
()27
2
13
21++
+x x C
B .
()
()27
2
11121++
+x x C
C .()()27
2
111
2
1++
+x x C D . ()
()27
2
13
21++
+x x
6.微分方程1+='-''x e y y 的一个特解应具有形式(式中a ,b 为常数)( )。
A .b ae x +
B .b axe x +
C .bx ae x +
D . bx axe x +
四、解答题
1.设x e y =是微分方程()x y x p y x =+'的一个解,求此微分方程满足条件
|2ln ==x y 的特解。
解:代入x e y =到方程()x y x p y x =+'中,得()x xe x p x -=- 原方程为()x y x xe y x x =?-+'-
()x e x e C e y -?+=1,()11=?-+'y e y x ∵2ln =x ,0=y ∴2
1--=e
C 。
???
?
?
?
-=--2
11x
e x
e
e y 。 2.已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程。
解:x e y y -=-31,x x e e y y --=-2223均是齐次方程的解且线性无关。
(
)x
x
x
e
e
C e
C ---+2221是齐次方程的通解。当21
=C
,12=C 时,齐次方程的
特解为x e 2
x
e
- 、x e 2都是齐次方程的解且线性无关。
∴x x e C e C 221+-是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1,2,故特征方程022=--r r 。 相应的齐次方程为02=-'-''y y y 故所求的二阶非齐方程为 ()x f y y y =-'-''2
1y 是非齐次方程的特解代入上式得
()()x
e
x x f ?-=21
所以()x e x y y y 212-=-'-''为所求的微分方程。
3.已知()2
10=
f ,试确定()x f ,使()[]()0=++dy x f ydx x f e x 为全微分方程,并
求此全微分方程的通解。
解:()()y x f e P x +=,()x f Q =,由
y
P x
Q ??=??得
()()x f e x f x +=',即()()x e x f x f =-'
∴()[]
()C x e
C e e
e x
f x
dx
x
dx
+=+?
=??
---
∵()C
f ==
2
10,∴()??
?
?
?+
=21x e x f x , 得全微分方程:02121=??? ?
?
++?????
???? ?
?+
+dy x e ydx x e e x x x
解得()y
x e dy x e dx y x u x y x x ??? ?
?
+=??? ??++
=
?
?
21210,0
。
故此全微分方程的通解为C y x e x =??
?
?
?+
21。
第十二章 微分方程
(A)
一、是非题
1.×;2.×;3. √;4.×;5.√;6.×;7.×;8.√;9.√。 二、填空题
1.在横线上填上方程的名称
①可分离变量微分方程;②可分离变量微分方程;③齐次方程; ④一阶线性微分方程;⑤二阶常系数齐次线性微分方程。 2.3;3.21241
C x C e x ++-; 4.21cos 2sin 4
1C x C x x +++-
5.3;
6.2;7.02=+'y y ;8.2Cx y =; 9.C y x =+22;
10.()21+=x C y ; 11.2
2
x
Cxe y =;12.3216120
1C x C x C x y +++=
2
。
三、选择题
1.D ; 2.A ;3.B ; 4.B ;5.C ;6.A ;7.B ;8.C ;9.A ;10.A ;11.C ;12.C ;13.B ;14.C ;15.A ;16.B ;17.B ;18.B ;19.A ;20.D ;21.C ; 22.A . 四、解答题
1.验证函数x x e e C y 23--+?=(C 为任意常数)是方程y
e
dx
dy x
32-=-的通解,
并求出满足初始条件0|=x y 的特解。
2.求微分方程()()
???==-++=1
|011022x y dy x y dx y x 的通解和特解。
解:
C x
y =-+2
211,122
2=+y
x 。 3.求微分方程
x
y x
y dx
dy tan
+=的通解。
解:Cx
x
y =sin
。
4.求微分方程???
??=+='=2|1
x y x y y x y 的特解。
解:()2ln 222+=x x y 。
5.求微分方程x e x y y sin cos -=?='的通解。 解:()C x e y x +=-sin 。 6.求微分方程x
x y dx
dy sin =+的通解。
解:()C x x x x
y +-=
cos sin 1。
7.求微分方程()()?????==+--'+=1
|012102
7
x y x y y x 的特解。
解:
()()2
23
13113
2+??????++=x x y 。
8.求微分方程
1
22
+'=
''x x y y 满足初始条件0=x ,1=y ,3='y 的特解。
解:133++=x x y 。
9.求微分方程y y y '=''2满足初始条件0=x ,1=y ,2='y 的特解。 解:4
arctan π
+
=x y 或??
?
?
?
+
=4tan πx y 。
10.验证二元方程C y xy x =+-22所确定的函数为微分方程
()y x y y x -=
'-22的解。
解:略。
11.求微分方程()()0=++-++dy e e dx e e y y x x y x 的通解。 解:()()C e e y x =-+11。 12.求
x x y dx
dy sec tan =?-,0|0==x y 的特解。
解:x
x y cos =。
13.验证x y cos 1=,x y ωsin 2=都是02=+''y y ω的解,并写出该方程的通
解。
解:略。
14.求微分方程x
x
y y 2
2-=
'的通解。
解:x x Cx y ln 22-=。 15.求微分方程01=++'x
e
y x
y 满足初始条件()01=y 的特解。
解:ex x
e
y x
-=
。
16.求微分方程()
3
11
2+=+-
x y x dx
dy 的通解。
解:
()()?
?
?
???+++=C x x y 21122
。
17.求微分方程
011=+-
+dy x
y dx y
x 满足条件()10=y 的特解。
解:()()5322233=-+-x y x y 。 18.求微分方程02=-'+''y y y 的通解。 解:x x e C e C y 221-+=。
19.求微分方程052=+'+''y y y 的通解。 解:()x C x C e y x 2sin 2cos 21+=-。 20.求微分方程044=+'+''y y y 的通解。 解:()x e x C C y 221-+=。
21.试求x y =''的经过点()1,0M 且在此点与直线12
+=x y 相切的积分曲线。
解:12
1613
++
=
x x y 。
(B)
一、是非题
1.×;2.√;3.√;4.×;5.×。 二、填空题
1.x C x C y sin cos 21+=; 2.x x e C e C y 321+=- ;3.()x e x C C y 21+=; 4.322
1281C x C x C e
y x
+++=;5.21C e C y x += 6.2
x
e C y ?=
三、选择题
1.C ;2.C ;3.C ;4.C ;5.D ;6.A ;7.A ;8.C ;9.A .
四、解答题
1.求微分方程()x x x y y 3sin 23cos 6249--=+''的通解。 解:()()x x x x C x x C y 3sin 23cos 221-+++=。 2.求微分方程x y y y sin 67=+'-''的通解。 解:()x x e C e C y x x sin 5cos 774
1261++
+=。
3.求微分方程()()0223222=-+-+dy xy x dx y xy x 的通解。 解:x
C x xy y =
--22。
(C)
一、是非题
1.×;2.√; 二、填空题
1.()x C x C e y x sin cos 212+=; 2.()()111221+-+-=x C x C y ; 3.()1sin cos 21++=x C x C e y x 三、选择题
1.B ;2.C ;3.A ;4.A ;5.D ;6.D .
四、解答题
1.设x e y =是微分方程()x y x p y x =+'的一个解,求此微分方程满足条件
|2ln ==x y 的特解。
解:代入x e y =到方程()x y x p y x =+'中,得()x xe x p x -=- 原方程为()x y x xe y x x =?-+'-
()x e x e C e y -?+=1,()11=?-+'y e y x
∵2ln =x ,0=y ∴2
1-
-=e
C 。
???
?
?
?-=--2
11x
e x e
e y 。 2.已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程。
解:x e y y -=-31,x x e e y y --=-2223均是齐次方程的解且线性无关。
(
)x
x
x
e
e
C e
C ---+2221是齐次方程的通解。当21
=C
,12=C 时,齐次方程的
特解为x e 2
x
e
- 、x e 2都是齐次方程的解且线性无关。
∴x x e C e C 221+-是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1,2,故特征方程022=--r r 。 相应的齐次方程为02=-'-''y y y 故所求的二阶非齐方程为 ()x f y y y =-'-''2
1y 是非齐次方程的特解代入上式得
()()x
e
x x f ?-=21
所以()x e x y y y 212-=-'-''为所求的微分方程。 3.已知()2
10=
f ,试确定()x f ,使()[]()0=++dy x f ydx x f e x 为全微分方程,
并求此全微分方程的通解。
解:()()y x f e P x +=,()x f Q =,由
y
P x
Q ??=??得
()()x f e x f x +=',即()()x e x f x f =-'
∴()[]
()C x e
C e e
e x
f x
dx
x
dx
+=+?
=??
---
∵()C
f ==
2
10,∴()??
?
?
?+
=21x e x f x ,
得全微分方程:02121=??? ?
?
++?????
?
??? ?
?
+
+dy x e ydx x e e x x x
解得()y
x e dy x e dx y x u x y x x ??? ?
?
+=??? ??++
=
?
?
21210,0
。
故此全微分方程的通解为C y x e x =??
?
?
?+21。
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.
常微分方程试题库
常微分方程试题库 二、计算题(每题6分) 1. 解方程:0cot tan =-xdy ydx ; 2. 解方程:x y x y e 2d d =+; 3. 解方程:; 4. 解方程: t e x dt dx 23=+; 5. 解方程:0)2(=+---dy xe y dx e y y ; 6. 解方程:0)ln (3=++dy x y dx x y ; 7. 解方程:0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ; 8. 解方程:0485=-'+''-'''x x x x ; 9. 解方程:02)3()5()7(=+-x x x ; 10. 解方程:02=-''+'''x x x ; 11. 解方程:1,0='-'='+'y x y x ; 12. 解方程: y y dx dy ln =; 13. 解方程:y x e dx dy -=; 14. 解方程:02)1(22=+'-xy y x ; 15. 解方程:x y dx dy cos 2=; 16. 解方程:dy yx x dx xy y )()(2222+=+; 17. 解方程:x xy dx dy 42=+; 18. 解方程:23=+ρθ ρ d d ; 19. 解方程:22x y xe dx dy +=; 20. 解方程:422x y y x =-'; 选题说明:每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准:(每题6分) 1. 解方程:0cot tan =-xdy ydx 解: ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解, (2分) 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时,原方程可化为: 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y , (2分) 积分得原方程的通解为: C x y =cos sin . (2分) 2. 解方程: x y x y e 2d d =+ 解:由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p (2分) x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分) (分) (22 3. 解方程: 解:由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p (2分) =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx (2分) ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. (2分) 4. 解方程: t e x dt dx 23=+ 解:由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p (2分) =??+?-)(323dt e e C e dt t dt (2分) ?+=-)(53dt e C e t t
常微分方程习题及答案
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1.任意微分方程都有通解。( ) 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9. 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1.在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7.y 1 = 所满足的微分方程是 。
8.x y y 2='的通解为 。 9. 0=+x dy y dx 的通解为 。 10.()2511 2+=+-x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1.微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A .3 B .5 C .4 D . 2 3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -= 4.微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A .13+=x y B .()3 2+=x y C .()2 C x y += D . ()3 1x C y += 5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A .0=+'y y B .02=+'y y C .0=+y y n D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A .1+=x e y B .x e y 2= C .2 2x e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?= C .()x b x a x y cos sin *+= D . x b x a y sin cos *+= 9.下列微分方程中,( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程,称为变量分离方程, 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程,称为伯努利方程, 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程,称为 欧拉方程,这里 5、设的某一解,则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax(A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即(0)=E),证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2
一、填空题:(30%) 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项,则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解,则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解:(40%) 1、 2、 3、 4、 5、求解方程. 三、求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计. (10分)
四、求解微分方程组 满足初始条件的解. (10%) 五、证明题:(10%) 设,是方程 的解,且满足==0,,这里在上连续,.试证明:存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1.辨别题 指出下列方程的阶数,是否是线性方程:(12%) (1)(2)(3) (4)(5)(6) 2、填空题(8%) (1).方程的所有常数解是___________. (2).若y=y1(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________. (3).若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程,同它的通积分是 ________________. (4).设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) (1).方程是().
常微分方程试题(卷)
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则(). A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
常微分方程期末试题B答案
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷(B) 一、填空题(每空2 分,共16分)。 1.李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件. 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线. 3.线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个,其中R ∈ x,n R Y∈. 4.二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关. 5.方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6.变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7.性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W. 8.方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题(每小题3 分,共15分)。 9.两个不同的线性齐次微分方程组( D )的基本解组. (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10.方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是(D ). (A)稳定焦点(B)不稳定焦点(C)鞍点(D)不稳定结点11.方程x(y2-1)d x+y(x2-1)d y=0的所有常数解是( C ). (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ). (A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间 (C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间 13.方程4d d +-=x y x y ( A )奇解. (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题(每小题8分,共48分) 。 14.求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解:令x y u =,则u x u y '+=', u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时,等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15.求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解:积分因子21)(x x =μ, 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程.取10=x ,00=y ,于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16.求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y =',得到2 2 2x xp p y +-= (*) ,两端同时关于求导,
(整理)常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分,共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a,则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数,作变量变换________,方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数,则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续,y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上,满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy,满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…,n是〔a,b〕上的连续函数,又x1(t),x2(t),…,x n(t)为方程n 个线性无关的解,则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是:________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵,x1(t),x2(t),…,x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为:x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵,-2为A的三重特征值,则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
常微分方程期末考试练习题及答案
一,常微分方程的基本概念 常微分方程: 含一个自变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为:F(x,y,y,.....y(n))=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如:f(x)(3)+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f(x)使常微分方程两端恒等,则f(x)称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F(t,x(3))=0的通解的形式为:x(t)=c1x(t)+c2x(t)+c3x(t)。 4.满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一,亦可能不存在)。 5.常微分方程之线性及非线性:对于F(x,y,y,......y(n))=0而言,如果方程之左端是y,y,......y(n)的一次有理式,则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与自变量无关)。如:xy(2)-5y,+3xy=sinx 为2阶线性微分方程;y(2)+siny=0为非线性微分方程。 注:a.这里主要介绍几个主要的,常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解,初值条件,初值问题等概念这里予以略去。另外,有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义:形如 dx dy =f (x)φ(y)的方程,称为分离变量方程。这里f (x ),φ(x )分别是x ,y 的连续函数。 2.解法:分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. (*) 说明: a 由于(*)是建立在φ(y )≠0的基础上,故而可能漏解。需视情况补上φ(y )=0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于一式中) b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解:由题意分离变量得:04 2=+-y dy x dx 即: 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之,得:c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为:cx y x =-4)4( (c 为任意常数),特 解y=0包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x )满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ,则f (x )是? 解:对给定的积分方程两边关于x 求导,得: )(2)('x f x f = (变上限求积分求导) 分离变量,解之得:x Ce x f 2)(= 由原方程知: f (0)=ln2, 代入上解析式得: C=ln2, B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想:即把遇到的新问题,结合已知
2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.5 2.ydy x xdy ydx 2=- 。 解: 2x ,得: ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4. xy x y dx dy -= 解:两边同除以x ,得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=, 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6.()01=-+xdy ydx xy 解:0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21
即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解:令 u x y = 则: 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10. 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解:令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=,c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解: y x xe dx dy +=+1
2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数,是线性方程还是非线性方程,并说明理由; (1) t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 (2) dx dy =x 2+y 2 ; (3)dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4.验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解,进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7.什么是求解常微分方程的初等积分法 8.分离变量一阶方程的特征是什么 9.求下列方程的通解 (1) y ` =sinx (2) x 2 y 2 y ` +1=y (3) tgx dx dy =1+y (4) dx dy =exp(2x-y) (5) dx dy =21y 2- (6) x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx (7)( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11.试给出一阶方程y ` =f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12.求解齐次方程通常用什么初等变换,新旧函数导数关系如何 13.求解下列方程 dx dy =2 22y x xy - 14.求解下列方程 (1)(x+2y )dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
常微分方程试题库.
常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答:1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答:(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答:形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x),定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组,x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答:X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限,则有|%x)M n(x)W 答:MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程,若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答:形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答:开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答:D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答:y =k二,k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x),…,气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答:充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答:线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答:e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续,则方程d^= 应 用 题(每题10分) 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零,又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=,求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= (1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?,求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导,()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=,且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ,求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续,5 (1)2 f =,且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??,求()f x 。 6、求连续函数()f x ,使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?,试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=, 其中21 ()01x x x ?=?>? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程,且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ,其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分。 (1)求曲线()y f x =的方程; (2)已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ,试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为 1.第1题 微分方程是 ( ). A.n阶常系数非齐次线性常微分方程; B.n阶常系数齐次线性常微分方程; C.n阶变系数非齐次线性常微分方程; D.n阶变系数齐次线性常微分方程. 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2.0 2.第2题 设有四个常微分方程: (i) , (ii) , (iii) , (iv) . A.线性方程有一个; B.线性方程有两个; C.线性方程有三个; D.线性方程有四个. 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2.0 3.第3题 是某个初值问题的唯一解,其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案:A 题目分数:2 此题得分:2.0 4.第5题 是某个初值问题的唯一解,其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . A.A B.B C.C D.D 您的答案:A 题目分数:2 此题得分:2.0 5.第7题 满足初始条件和方程组的解为 ( ). A. ; B. ; C. ; D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2.0 6.第8题 可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ). A.; B. ; C.; D.. A.. B.. C.. D.. 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2.0 7.第10题 可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A. ; B. ; C. ; D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2.0 8.第12题 下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个. 第一章习题 1-1求下列两个微分方程的公共解。 (1)422x x y y -+=' (2)2422y y x x x y --++=' 解 两方程的公共解满足条件 4224222x x y y y x x x -+=--++, 即 022224=-+-y x y x , 0))(122(22=-++y x y x , 所以2 x y =或2212 x y +-=。 代入检验可知2 212 x y +-=不符合,所以两方程的公共解为2x y =。 评注:此题是求解方程满足一定条件的解,即求两个微分方程的公共解。在求解时由于令其导数相等,很容易产生增解,因而要对所求结果回代原方程进行检验,舍去增解。 1-2 求微分方程02 =-'+'y y x y 的直线积分曲线。 解 设直线积分曲线为b ax y +=,则a y =',代入原方程得 02≡--+b ax xa a , 即0)()(2 ≡-+-b a a a x , 所以 ???=-=-0 02b a a a , 可得0==b a 或1==b a 。 因而所求直线积分曲线为0=y 或1+=x y 。 评注:此题是求解方程的部分解,采用的是待定系数法。待定系数法是求解常微分方程常用的方法之一,有待定常数法和待定函数法。本题首先设出满足题设条件的含有待定常数 的解,然后代入原方程来确定待定常数,解决此类问题的关键在于正确地设出解的形式。 1-3 微分方程32224xy y y x =-',证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。 证 设)(x y ?=满足微分方程,只须证明)(x y --=?也满足方程即可。 作变换x t -=,则证明)(t y ?-=满足方程即可,代入方程两端,并利用)(x y ?=满足此方程,得 左=)())((42222t dx dt t t ??-', )()1)((42222t t t ??--'= )()(4222t t t ??-'=)(3t t ?==右 故)(t y ?-=也满足方程32224xy y y x =-'。 评注:为了验证)(x y --=?也满足方程,利用积分曲线的性质,进行变量代换x t -=,将)(x y --=?变换成)(t y ?-=后,问题就很容易解决了。 1-4 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比,如果物体在20分钟内由100℃冷却至60℃,那么,在多长时间内,这个物体由100℃冷却至30℃?假设空气的温度为20℃ 解 设物体在空气中时刻t 的温度为)(t T T =,则依牛顿冷却定理得 )20(--=T k dt dT , 其中k 是比例常数。 两边积分,得通解为kt Ce T -+=20。 由于初始条件为:,100)0(=T 故得80=C ,所以kt e T -+=8020。 将60,20==T t 代入上式后即得:202ln = k , 即 20202ln )2 1(80208020t t e T ?+=+=-。 故当30=T 时,有20)2 1(802030t ?+=,从中解出60=t (分钟),因此,在一小时内,可使物体由100℃冷却至30℃。 《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题(每个空格4分,共80分) 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C (C 为任意常数) ,方程与通过点(2,3)的特解为 2 1=-y x ,与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ,满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ,可将其化为变量可分离方程,其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程 21d d y x y -=过点)1,2 (π 共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ,满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 x x y x y +-=d d 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 y x y =d d 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ,该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ??==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。 常微分方程练习题及答案(复习题) 常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解. 常微分方程试题库 (一)、填空题(每空3分) 1、 当_______________时,方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程,或称全微分方程,其原函数为: 。 2、形如________________的方程,称为齐次方程。 3、求),(y x f dx dy =满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解,)(x ?是其对应齐线性方程于区间I 上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为: 。 5、若)(),...(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组X t A dt dX )(=的_________________,称之为X t A dt dX )(=的一个基本解组。 7、若)(t Φ是常系数线性方程组 AX dt dX =的基解矩阵,则At exp = 。 8、方程 称为一阶线性方程,它有积分因子 ,其通解为 。 9、设)(),(21x x ??是与二阶线性方程: )()()(21x f y x a y x a y =+'+'',对应的齐次线性方程的基本解组,则的二阶线性方程全部解的共同表达式为: .10、形如 的方程称为欧拉方程。 11、若)(t Φ和)(t ψ都是X t A dt dX )(=的基解矩阵,则)(t Φ和)(t ψ具有的关系: 。 12、若向量函数);(y t g 在域R 上 ,则方程组0000),;(),;(y y t t y t g dt dy ==?的解?存在且惟一。 13、方程),,,,(y )1((n)-'=n y y y x f 经过变换 ,可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。 14、方程04=+''y y 的基本解组是 . 15、向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的 2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB 卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业 填空题(每题4分,共20分) 1. 形如)()('x Q y x P y += ()(),(x Q x P 连续)的方程是 一阶线性微分 方程,它的通解为?? ? ???+?-? =c dx dx x P e x Q dx x P e y )()()( . 2. 形如0y y '''-=的方程是 3 阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=. 3. 形如1 111110n n n n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx ----++++=L L 的方程为 欧拉 方程, 可通过变换t x e =把它转化成常系数方程. 4. 2 (1)0,y dx x dy ++= 满足初始条件:x =0, y =1的特解1 1ln 1y x = ++ 5.5.微分方程0000(,),(),:,dy f x y y x y R x x a y y b dx ==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是: (,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件 一、下列微分方程的解(每题5分,共30分) 1. dx dy =2) (1y x + 解:令x+y=u ,则 dx dy =dx du -1 (3) dx du -1=21 u u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. (5) 2.()()053243 =+++xdy ydx y xdy ydx x 解:两边同乘以y x 2得: ()() 0532******* =+++ydy x dx y x ydy x dx y x (3) ()() 05324=+y x d y x d 故方程的通解为:c y x y x =+5324 (5) 3.2 ? ? ? ??-=dx dy y x 解:令 p dx dy =,则2p x y +=, 两边对x 求导,得 dx dp p p 21+= p p dx dp 21-=, (3) 解之得 ()c p p x +-+=2 1ln 2, 所以()c p p p y +-++=2 21ln 2, (4) 且y=x+1也是方程的解,但不是奇解. (5) 4. 04)5(='''-x x 解:特征方程0435=-λλ 有三重根0=λ,42λ=,52λ=- ............................3 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=- . (5) 5. 4523x x x t ''''''--=+ 解:特征方程32450λλλ--=有根=1λ0,231,5λλ=-= 齐线性方程的通解为x=5123t t c e c e c t -++ (3) 又因为=λ0是特征根,故可以取特解行如2x At Bt =+%代入原方程解得A=14 25 ,常微分方程应用题和答案
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