杨辉三角导学案(定稿)
§1.3.2杨辉三角
一．复习回顾
二项式定理：________________________________________________； 通项： ； 二项式系数：______________________________________________； 二．探求新知
杨辉三角：(a+b)1 …………………………………………………1 1
(a+b)2…………………………………………………1 2 1
(a+b)3………………………………………………1 3 3 1 (a+b)4……………………………………………1 4 6 4
1
(a+b)5…………………………………………1 5 10 10 5 1
(a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1
…………………………
杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？ （1） （2） （3） 三、释疑引论
二项式系数的性质：
1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
反思：为什么二项式系数有对称性？
2、增减性与最大值：
设函数()r
n C r f =，函数的定义域是 观察n=6, n=7时的函数图像，函数图象有何特点？
（由特殊到一般）
从图象得知，函数()r
n C r f =的图像的对称轴为直线 ，它的左边二项式
系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .
当n 是偶数时，中间项共有 项，它的二项式系数是 ，是第 项，取得最大值；
当n 是奇数时，中间项共有 项，它的二项式系数分别是 和 ，分别是第 项和第 项，且同时取得最大值。
3、各二项式系数的和：（赋值法）
在n
n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++???++=+-- 110)(展开式中，
思考：
=++++n
n n n n C C C C 210 四、典型例题
例1、
变式 课下思考：在n b a )(+展开式中，奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等吗？
例2、已知()21n
x -展开式的各项二项式系数之和等于1024，求展开式中含6x 的项。
五、课堂练习
1、在(a ＋b)6展开式中，与倒数第3项二项式系数相等的是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b ）n 的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等， 则n=_________
3、在4)2(x -的展开式中，二项式系数最大项为 。
4、若1n x x
??+ ??
?
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．120
5、 展开式的各项系数之和大于8且小于32, 求展开式中的常数项.
6、已知 的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项。
六、课堂小结：
1、二项式系数的三个性质
（1）对称性 （2）增减性与最大值 （3）各二项式系数的和 2、数学思想：函数思想
012:.......2n
n n n n n C C C C +++=求证n
1x x +（）
n
1x x
+（）
3、数学方法：赋值法
七、作业
P31 6题、P35页 12题
高中数学 第八章 解三角形 8.3 解三角形的应用举例(二)学案 湘教版必修4
8.3 解三角形的应用举例(二) [学习目标] 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神. [知识链接] “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘. [预习导引] 1.仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图. 2.高度问题 测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题. 要点一测量底部不能到达的建筑物的高度 例1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.
解 在△ABC 中， ∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α， ∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 根据正弦定理得AC sin∠ABC ＝BC sin∠BAC ， 即 AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β) ， ∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos α sin (α－β) . 在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin∠CAD ＝AC sin β ＝ h cos αsin β sin (α－β) . 即山的高度为 h cos αsin β sin (α－β) . 规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化. 跟踪演练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________m(精确到1m.2≈1.4142，sin35°≈0.5736). 答案 811 解析 过点D 作DE∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°.在△ABD 中，
九年级下数学锐角三角函数导学案 (1)
C B A C B A C B A B 课题：28．1锐角三角函数（1） 【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 二、合作交流： 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是 一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边 的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系． 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形
7.6用锐角三角函数解决问题(2)学案
7.6用锐角三角函数解决问题(2)学案 学习目标: 通过具体的一些实例,能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。 教学过程: 一、复习巩固: 1、在△ＡBC中，∠C=9０°,∠Ａ=45°,则ＢＣ：AC:AB = 。 2、在△ABC中，∠Ｃ＝90°。 （1)已知∠A＝30°,BC=8cｍ，（2)已知∠A=60°,ＡC＝3ｃm, 求:AB与AC的长; 求：ＡB与ＢC的长。 二、例题学习： 问题1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20ｍ，旋转１周需要１2ｍin。小明乘坐最底部的车厢(离地面约０．３m)开始1周的观光,2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)？ 拓展延伸：１、摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达15.３m? 2、小明将有多长时间连续保持在离地面3０.3m以上的空中? 三、练习巩固
, B B A 1、如图，单摆的摆长A B 为90cm ，当它摆动到∠B ＡB '的位置时,∠BAB '＝30°。问这时摆球B ＇ 较最低点B 升高了多少? 2、已知跷跷板长4m ，当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面32m.求此时跷跷板与地面的夹角. 3、如图,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子 拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米收绳.问：8秒后船向岸边移动了多少米?（结果精确到0.１米) 四、小结 五、课堂作业
B A O B A 初三数学课堂作业 １、如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为５米，那么这两树在坡面上的距离A Ｂ为 （ ） A. αcos 5 B. αcos 5 C ． αsin 5 D. αsin 5 第１题 第3题 第４题 2.(０9甘肃定西)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角）不能大于6０°,否则就有危险，那么梯子的长至少为 （ ） A ．8米??B.83米? C .833米? Ｄ.433 米 3.(0９潍坊)如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的距离为( )米. A ．２5 ??Ｂ.253 C.10033 ?D ．25253+ ４．已知跷跷板长4m ，当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面2m 。时跷跷板与地面的夹角为＿＿＿__ ＿＿__。 7.如图,秋千链子的长度为3m,当秋千向两边摆动时,两边摆动的角度均为30°.求它摆动到最高位置与最低 位置的高度之差。 5.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B 到Ｃ处的距离. 6. 单摆的摆长ＡB 为90cm,当它摆动到A Ｂ’的位置时, ∠BAB’＝11°,问这时摆球B’ 较最低点B 升高了多少(精确到1ｃm)? sin110.191?≈cos110.982?≈tan110.194?≈
北师大版必修5高中数学2.3《解三角形的实际应用举例》word导学案
2016北师大版必修5高中数学2.3《解三角 形的实际应用举例》 w o r d导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
陕西省咸阳市泾阳县云阳中学高中数学 2.3解三角形的实际应用举 例导学案北师大版必修5 个性笔记【学习目标】 1.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确 定解三角形的方法； 2．搞清利用正余弦定理可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关 系. 【学习重点】 灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决实际生活中与解三 角形 有关的问题。 【使用说明】 1.规范完成导学案内容，用红笔做好疑难标记，要求在40分钟 独立完成 2.该学案分A,B,C三个层次，其中A,B层次必须每一位同学都 完成，C层次供学有余力的同学完成。 【学习过程】 （一）基础学习 【A】预备知识：1．有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内 角和定理、三角形面积公式等）； 2. 正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有： 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问 题、航海问题、物理问题等； 3. 实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线 和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角； 在水平视线下方的角 叫俯角 （2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 【B】课前热身1. 某人朝正东方走x km后，向左转1500，然后朝新 方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那么x等于 （） A 3 B3 2 D 3 2 C 3或3 60，从甲楼 2. 甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为0 30，则甲、乙两楼的高分别是 顶望乙楼顶的俯角为0 （）
解三角形(学案)
第一章 解三角形（学案） 1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于（ ）A 4 B 2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（ ）A 36 B 26 C 21 D 2 3 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150° 4.△ABC ABC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 5.△ABC 中，60B =，2 b a c =，则△ABC 一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 7. △ABC 中，8b =，16ABC S =，则A ∠等于 （ ） A o 30 B o 60 C o 30或o 150 D o 60或o 120 8.△ABC 中，若60A =， ）A 2 B 21 C 3 D 2 3 ABC ，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） C. 200米 12 海上有A 、B 两个小岛相距10 海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°视角， 从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角， 则B 、C 间的距离是 ( ) A.10 海里 B.5海里 海里 海里 13.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。 14.在△ABC ，150c =，30B =，则边长a = 。 15.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。 16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。
中考数学总复习学案：第27课时 锐角三角函数
第27课时 锐角三角函数 一、填空题 1．在△ABC 中，AB=2，的度数是______． 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________． 3．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____． 4．在△ABC 中，若AC=3，则cosA=________． 第5题图 第6题图 5．如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°这时测得大树在地面 上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（? 6．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，?需要修一个如图所示的育苗棚，棚宽a=3m ， 棚顶与地面所成的角约为25°，长b=9m ，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需________m 2．（利用计算器计算，结果精确到1m 2） 二、选择题 7．若Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．sinB=23 B ．cosB=23 C ．tanB=23 D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．，12） B ．（12） C ．（-，-12） D ．（-12，-32） 9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆 12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，?若这位同学的目高 1.6米，则旗杆的高度约为（ ） A ．6.9米 B ．8.5米 C ．10.3米 D ．12.0米 10.．某市在“旧城改造”中，?计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环 境．已知这种草皮每平米售价30元，则购买这种草皮至少需要（? ）
北师大版广东省阳江第一中学高中数学 《解三角形》小结与复习导学案 必修5
高中数学 广东省阳江第一中学高中数学 《解三角形》小结与复习导学案 必 修5 【问题导学】阅读课本P 23后回答下列问题： 2、三角形的面积公式： _____________________________________________________________ 4、在△ABC 5、在△ABC 中，0 45,30,2===C A a ，则△ABC 的面积S=__________。 【课内探究】 例1、在△ABC 中，若B c a C b cos )2(cos -=：(1) 求B 的大小； (2) 若4,7=+=c a b ，求△ABC 的面积S 。 例2、在△ABC 中，若)cos(2cos ,2C B A a +==，2=?，求角A 及b 、c 的大小。
高中数学 例3：如右图所示，在坡度一定的坡上的一点A 顶端C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进100米后到达B 顶端C 对于山坡的斜度为 45 ，已知建筑物高CD=50水平面倾斜角θ的余弦值。 【总结提升】 【课后作业】 1、△ABC 中，C c B b sin sin =，且C B A 222sin sin sin +=，则它是( ) 三角形 A 、 等腰 B 、直角 C 、等腰直角 D 、等腰或者直角 2、△ABC 中，6c =，0 120,30==B A ，则△ABC 的面积S=( ) A 、9 B 、18 C 、39 D 、318 3、△ABC 中，8,5a b ==,ABC ?的面积S=12，则=C 2cos ________。 4、锐角△ABC 中，A c a sin 23=：(1) 求角C 的大小； (2) 若7= c ，△ABC 的面积为，求b a +的值。 5、如图，某观测站C 在港口A 的南偏西20°方向上，在港口A 南偏东40°方向上的B 处有一艘船正向港口A 驶去，行驶了20 km 后，到达D 处，在观察站C 测得C ，B 间的距离为31 km ，C ，D 间的距离为21 km ：(1)求观察站C 与港口A 之间的距离；(2)这艘船到达港口A 还需行驶多少km? A C D 200 400
模式1中考数学第一轮复习导学案-锐角三导学案-锐角三角函数100
锐角三角函数 ◆ 课前热身 1．sin30°的值为（ ） A ． 32 B ． 22 C ． 12 D ． 33 2.在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90o，则sin A 等于（ ） A ． 12 B ． 22 C ．32 D ．1 3.在Rt ABC △中，9032C AB BC ∠===°，，，则cos A 的值是 ． 4．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA= 4 3 ，则AC 的长是 5.计算：tan 60°=________． 【参考答案】 ** 2.B 3. 4.6 5. ◆考点聚焦 知识点 锐角三角函数、锐角三角函数值的符号、锐角三角函数值的变化规律、特殊角三角函数值 大纲要求 1．了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系，?这也是本节的重点和难点． 2．准确记忆30°、45°、60°的三角函数值． 3．会用计算器求出已知锐角的三角函数值． 4．已知三角函数值会求出相应锐角． 5．掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点． 考查重点与常见题型 1.求三角函数值，常以填空题或选择题形式出现； 2.考查互余或同角三角函数间关系，常以填空题或选择题形式出现； 3.求特殊角三角函数值的混合运算，常以中档解答题或填空题出现.
◆备考兵法 充分利用数形结合的思想，对本节知识加以理解记忆． ◆考点链接 1．sin α，cos α，tan α定义 sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值 ◆典例精析 例1（内蒙古包头）已知在Rt ABC △中，3 90sin 5 C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ． 34 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c =， tan b B a =和222a b c +=； 由3 sin 5 A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44 tan 33 b x B a x ===，所以选A ． 【答案】A 例2（湖北荆门）104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---=3313412222 ??? ?+--= ???，故填3 2． 【答案】 3 2 例3（黑龙江哈尔滨）先化简．再求代数式的值．22 ()211 1a a a a a ++÷+-- 其中a ＝tan60° －2sin30°． 30° 45° 60° sin α cos α tan α α a b c
第二十八章锐角三角函数学案
第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时 1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律. 2.理解并掌握锐角的正弦的定义. 3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值. 一、温故互查： 1. 什么叫Rt△？它的三边有何关系？ 2.Rt△中角、边之间的关系是：①°② 二、设问导读： 阅读教材P74-77页，自学两个思考及探究，自学例1. ①在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c；∠A的对边与斜边的比叫做∠A的_______，即sinA=________. ②在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3、b=4，则sinB=______. ③在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sinA= )()( =____. ④在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA= )()( =____. ⑤在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则sinA= )()( =____. 三、自我检测： 1如图，求sinA和sinB的值. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是________. 3.正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=_________. 第3题图第6题图 4在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦值________.
5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC=2，sinA= 3 2 ，则求AC 的长. 6.如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP ＝5，PA ＝4，则sin ∠APO=_______. 四、巩固训练： 1.如图长5米的梯子以倾斜角∠CAB 为30°靠在墙上，则A 、B 间的距离为多少？ 2.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A 、B 间距离为多少？ 3.若长5米的梯子靠在墙上，使A 、B 间距为2.5米，则倾斜角∠CAB 为多少度？ 4.点P （2，4）与x 轴的夹角为α，则sinα=______. 5.在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，∠C 是直角，求证：sin 2A+sin 2B=1. 6.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AD ＝5，BC ＝6，则sin ∠BCD=______. 五、拓展延伸 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，求证：sinA+sinB=5 7. 六、 课堂小结 七、作业|：《名校课堂》第53页——第54页
人教a版必修5学案：第1章《解三角形》章末整合(含答案)
章末整合 知识概览 对点讲练 知识点一正、余弦定理解三角形的基本问题 例1在△ABC中， (1)已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C、c； (2)已知sin A∶sin B∶sin C＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角． 回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍． 变式训练1(1)△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠C＝30°，求△ABC的面积； (2)已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．
知识点二 正、余弦定理在三角形中的应用 例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2 ＝ac －bc . (1)求角A 的大小；(2)求b sin B c 的值． 回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系． (2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sin A ，cos( B ＋ C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A 2 等，进行三角变换的运算． 变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝7 2 . (1)求角A 的度数； (2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值． 知识点三 正、余弦定理在实际问题中的应用 例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．
《锐角三角函数》第一课时导学案
28．1《锐角三角函数》第一课时——正弦 【学习目标】 1:经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2:能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】 理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】 当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 B 【导学过程】 一、自学提纲：A C 1、如图在△ R t ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，?求AB 2、如图在△ R t ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，?求BC A B C 二、合作交流： 问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在△ R t ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？B A C 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值
BC B ' C ' 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个 △R t ABC 中，∠C=90°，当∠A=30° 时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的 对边与斜边的比都等于 2 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问： 当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画 Rt△ABC 和 Rt △A ′B′C′，使得∠C=∠C′=90°， ∠A=∠A′=a，那么 与 AB A ' B ' 有什么关系．你能解释一下吗？ 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大 小如何，?∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念： 规定：在 Rt △B C 中，∠C=90， ∠A 的对边记作 a ，∠B 的对边记作 b ，∠C 的对边记作 A 斜边c b B 对边a C c ． 在 △R t BC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作 sinA ，即 sinA= = a c ． sinA ＝ ∠ A 的对边 a = ∠ A 的斜边 c 例如，当∠A=30°时，我们有 sinA=sin30°= ； 当∠A=45°时，我们有 sinA=sin45°= ． 四、学生展示： 例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和 sinB 的值． B 3 B 3 5 13 A 4 C C A (1) (2)
《用锐角三角函数解决问题(3)》导学案
7.6 用锐角三角函数解决问题（3）学案 学习目标： 进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 学习过程： 课前准备 仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与 水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角． 探究新知 例题1、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m ，此时观测气球，测得仰角为40°。若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢？ 例2、在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公 x m h m A D B 27 50m 40
楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58） 知识运用 1.如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。 （参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65） 2、为了改善楼梯的安全性能，准备将楼梯的倾斜角由65度调整为40度，已知原来的楼梯的长为4米，调整后的楼梯要占多长的一段楼梯地面. 当堂反馈 1、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为? 60，看这栋高楼底部的俯角为? 30，热气球与高 楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到 C A B
解三角形学案
解三角形知识点 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
《锐角三角函数》学案
1.1锐角三角函数（1）学案 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1.千年古寺青檀寺中有一座报国塔，小明很想知道 古塔的高度，但小明没有足够长的尺子，怎么办呢？于 是聪明的小明想了这样的办法：小明在塔前的A 处仰望 塔顶，测得仰角∠1的大小，再往塔的方向前进50米到 B 处又测得仰角的大小，根据这些他就求出了塔的高 度．你知道他是怎么做的吗？ 通过本章的学习，我们就会揭开小明这样做的谜 底．从今天这节课开始，我们就来学习九年级（下）第一章的内容：直角三角形的边角关系． 2．你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 3⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ A B 1 2
二、呈现问题，探索新知 ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? （5）概念的生成 由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随 之确定，因此我们有如下定义： 如图，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之 比便随之确定，这个比叫做∠A 的 (tangent)，记作tanA ，即 tanA ＝ ． 三、巩固提高，应用新知 例1 如图是甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 坡度 如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向 上每前进100m 就升高60m ,那么山坡的坡度i (即tan α)就是: 603tan 1005 i α===．
高中数学必修五导学案 解三角形答案
必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.
(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.
解三角形学案高三公开课
解三角形 【考纲要求】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题. 【重难点】三角形中的边角互化、恒等变换问题． 【知识梳理】 1.正、余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R a 2＝_____________； b 2＝_____________； c 2＝_____________ 常见 变形 (1)a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____； (2)sin A ＝____，sin B ＝____，sin C ＝____； (3)a ∶b ∶c ＝____________________； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝_____， cos A ＝_____________； cos B ＝_____________； cos C ＝_____________ 2.三角形的面积公式：=?ABC S _________________________________________． 【典例精讲】 考点1 正、余弦定理的简单运用 例1（1）【2015高考北京，文11】在C ?AB 中，3a =，6b =23 π∠A =，则∠B =． （2）【2016高考全国I 卷】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =， 2cos 3 A =，则b=（ ） （A 2 B 3 C ）2（ D ）3 （3）【2013全国II 卷】ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π =， 4 C π=，则ABC ?的面积为（ ） （A ）232（B 31（C ）232（ D 31 变式 在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32，A ＝30°，
《锐角三角函数》导学案
24. 3 锐角三角函数(1) 【学习目标】 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、的比值固定这一事实。能根据三角函数的概念进行计算 【学习重点】理解三角函数的概念 【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、的比值固定这一事实。 【课标要求】掌握锐角三角函数 【知识回顾】 如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 【自主学习】 探究1：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°， ∠A=∠A′，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A的对边与斜边的比∠A的邻边与斜边的比∠A的对边与邻边的比∠A的邻边与对边的比
概念：在Rt△BC中，∠C=90，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c． 在Rt△BC中，∠C=90°， 我们把叫做∠A的正弦，记作，即． 我们把叫做∠A的余弦，记作，即． 我们把叫做∠A的正切，记作，即． 【例题学习】 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求△ABC 中∠B的三个三角函数值． 你有什么发现？ 【巩固训练】 1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（） A．3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 2．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=2 3 ，则边AC的长是( ) A．13 B．3 C．4 3 D． 5 3在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C 的对边，则有（） A ． ．．． C B A
九年级数学下册 28.1 锐角三角函数学案(3)(无答案) 新人教版
九年级数学下册 28.1 锐角三角函数学案（3）（无答案）新人 教版 ⑴:能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 ⑵:能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习重点】 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习难点】 30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 【导学过程】 一、自学提纲： 一个直角三角形中， 一个锐角正弦是怎么定义的？ 一个锐角余弦是怎么定义的？ 一个锐角正切是怎么定义的？ 二、合作交流： 思考： 两块三角尺中有几个不同的锐角？ 是多少度？ 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？． 三、教师点拨： 归纳结果 30°45°60° siaA cosA tanA 例3：求下列各式的值． （1）cos260°+sin260°．（2）cos45 sin45 ? ? -tan45°． 例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90， 6，3A的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a ． 四、学生展示： 一、课本83页 第1 题 课本83页 第 2题 二、选择题． 1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3 5 ，AB=15，则AC 的长是（ ）． A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列各式中不正确的是（ ）． A ．sin 260°+cos 2 60°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 B 32．1 4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1 2 ，那么（ ） A ．0°<∠A ≤60° B ．60°≤∠A<90° C ．0°<∠A ≤30° D ．30°≤∠A<90° 5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=1 2 ， cosB= 3 2 ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形 D ．不能确定 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana?的值为（ ）． A ．34 B ．43 C ．35 D ．45 7．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）． A ．小于12 B ．大于12 C ．大于3 2 D ．大于1 8．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=132，则sinA+tanA 等于（ ）． A ． 3231 3331.3. 62 2 2B C D + 9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC 3，?则∠CAB 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．以上都不对 10．sin 272°+sin 2 18°的值是（ ）． A ．1 B ．0 C ．12 D ．3 2