高中数学奥林匹克训练题及答案

高中数学奥林匹克训练题及答案
高中数学奥林匹克训练题及答案

高中数学奥林匹克训练题

第一试

一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1. 已知函数1

x a

y x a -=-

--的反函数的图象关于点(1,3)-成中心对称图形,则实数a 等于(A).

(A) 2 (B)3 (C)-2 (D)-4

2. 我们把离心率等于黄金比21

5-的椭圆称之为“优美椭圆”.设a b

y a x (12222=+>b >0)为优美椭

圆,,F A 分别是它的左焦点和右端点,B 是它的短轴的一个端点,则ABF ∠等于(C).

(A)60o (B)75o (C)90o (D)120o

3. 已知ABC ?三边的长分别是,,a b c ,复数12,z z 满足1212,,z a z b z z c ==+=,那么复数2

1

z z 一定是(C).

(A)是实数 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数

4. 函数2152

222

341

1

(1)6()1x x C x x P f x C C C ++-?-?=+++ 的最大值是(D). (A)20 (B)10 (C)10- (D) 20-

5. 以O 为球心,4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于,,A B C 三点.已知4=?BOC S ,

16ABC S ?>,则ABC ∠等于(B).

(A)

12π (B)512π (C)712π (D)1112

π 6. 在集合{1,2,3,,10}M = 的所有子集中,有这样一族不同的子集,它们两两的交集都不是空集,那么这族子集最多有(B).

(A)10

2个 (B)9

2个 (C)210个 (D) 2

9个

二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

1.在直角坐标系中,一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴,且两直角边上的中线所在直线方程分别是31y x =+和2y mx =+,则实数m 的值是

3

124

或 .

A 1 A C 1

B 1

B

C

D

2. 设()(0,1)1x

x a f x a a a =

>≠+,[]m 表示不超过实数m 的最大整数,则函数]2

1

)([21)([--+-x f x f 的值域是 {1,0}- .

3.设,,a b c 是直角三角形的三条边长,c 为斜边长,那么使不等式

kabc b a c a c b c b a ≥+++++)()()(222对所有直角三角形都成立的k 的最大值是

4. 如图,正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是1,截面1BCD 在棱1AA 上的交点为D ,设这个截面与底面ABC 和三个侧面111111,,ABB A BCC B CAAC 所成的二面角依次为1234,,,αααα,若1234cos cos cos cos αααα+=+,则

5. 已知()f x 是定义域在实数集的函数,且(2)[1()]1().(1)2f x f x

f x f +-=+=若,则

(1949)f 2 .

6. 设1x 是方程12cos 3sin 3-=-a x x 的最大负根,2x 是方程2

2

2cos 2sin x

x a -=的最小正根,那么,使不等式12x x ≤成立的实数a 的取值范围是 1

122

a a ≤≤-=或 .

第二试

一、 (本题满分25分)某眼镜车间接到一任务,需要加工6000个A 型零件和2000个B 型零件,这个

车间有214名工人,他们每一个人加工5个A 型零件的时间可加工3个B 型零件.将这些人分成两组同时工作,每组加工同一型号的零件,为了在最短的时间完成,应怎样分组?77

二、 (本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数,并且任意一边的长都能整除其余三边之

和.求证:这个四边形必有两边相等.

三、 (本题满分35分)实数数列1231997,,,,a a a a 满足: 1223199619971997a a a a a a -+-++-= .若数列

{}n b 满足:12(1,21997)k

k a a a b k k

++=

= .求199719963221b b b b b b -++-+- 的最

大可能值.

四、 (本题满分35分)给定两个七棱锥,它们有公共的底面1234567A A A A A A A ,顶点12,P P 在底面的两

侧.现将下述线段中的每一条染红,蓝两色之一:12,P P ,底面上的所有的对角线和所有的侧棱.求证:图中心存在一个同色三角形.

奥林匹克训练题库·杂题

六杂题 1 某人工作一年的报酬是8400元和一台电冰箱,他干了7个月不干了,他得到3900元钱和一台电冰箱。问:这台电冰箱价值多少元? 2 某次考试,甲、乙的成绩和是190分,乙、丙的成绩和是193分,甲、丙的成绩和是195分。问:甲、乙、丙各得多少分? 3 某次数学考试,甲、乙的成绩和是184分,乙、丙的成绩和是187分,丙、丁的成绩和是188分,甲比丁多1分。问:甲、乙、丙、丁各得多少分? 4 某学生语文、数学、英语三科的平均成绩是93分,其中语文、数学平均90分,语文、英语平均93.5分。问:该学生三门成绩各多少分? 5 甲、乙、丙三人练习打靶,靶子及环数见右图。每人打了4发,甲、乙共命中71环,乙、丙共命中75环,甲、丙共命中76环。乙最多命中几个10环? 6 A,B两点相距100米,一只蜗牛从A爬到B,再从B沿原路返回A。蜗牛去时每10米休息一次,返回时每7米休息一次。问:蜗牛在去时和返回的途中有没有相同的休息地点?如果有,这个休息点距A点多远? 7 商店有三种颜色的油漆,红色的每桶1.5千克,黄色的每桶2千克,白色的每桶2.5千克,为了方便顾客,把三种油漆都分装成0.5千克的小桶。三种油漆的价格各不相等,已知每千克10元的装了80小桶,12元的装了75小桶,15元的装了68小桶。问:三种颜色的油漆每千克的价格各是多少? 8 12名同学包租一辆汽车到公园去玩,租车费大家平均分摊。临上车时又来了3名同学和他们同去,这样租车费就15人平均摊了,因此原来的12人每人比原计划少出了1元钱。租车费是多少元? 9 用大豆榨油,第一次用去了大豆1264千克,第二次用去1432千克,第二次比第一次多出油21千克。两次共出油多少千克?

三年级奥林匹克数学练习题一

三年数奥练习题(一) 1.五六年级小朋友种树,共植786棵,六年级植的棵数是五年级的二倍,六年级植()棵。 2.二数相除,商为8,被除数,除数和商的和是170,被除数是()。 3.已知九个数的平均数是72,去掉其中的一个数之后,余下的数平均为78,去掉的数是()。 4.在一个周长为680米的圆形水池边种柳树,每隔二米种一棵,一共要种()棵柳树。 5.把一根长169厘米的绳子剪成每段长13厘米,应剪()刀。 6.在一个正方形的水池边,插红旗,每个顶点上插一面,每边有15面,一共有()面红旗。 7.小明走到二楼用了二分钟,照这样计算,他从一楼走到七楼要()分钟。 8.小明和小亮各拿出同样多的钱一起去买若干支同样价钱的钢笔,已知小明比小亮少买30支钢笔,得到小亮还给的钱是180元。这种笔每支()元。 9.两筐同样重的水果,第一筐卖出31千克,第二筐卖出19千克后,第二筐是第一筐的4倍,则每筐原有水果()千克。 10.甲、乙、丙三个班共有学生161人,甲比乙班多2人,乙班比丙班多6人,乙班有()人。 11.小明、小红、小青三位小朋友去钓鱼,数一数他们钓的鱼,发现小明钓的鱼是小红钓的3倍,小红钓的鱼比小青少7条,小青钓的鱼比小明少9条,小明钓到()条鱼。 12.三个小朋友都有同样多的苹果,后来小明给小红、小亮几个苹果后,小红比小明多7个苹果,小亮比小红少2个苹果。小明给小红()个苹果,小明给小亮()个苹果。 用心爱心专心 1

13.把99只棋子分放在大小不同的两种盒子里,每个大盒子可装12只,每个小盒子可装5只,这样恰好装完。已知两种盒子的总数大于10,那么大盒子有()个,小盒子有()个。 用心爱心专心 2

奥林匹克训练题库答案

奥林匹克训练题库第五章应用题一行程问题 1.57.6千米/时。 2.60千米/时。 19(分)。 6.2.4时。 解:设上山路为x千米,下山路为2x千米,则上、下山的平均速度是 (x+2x)÷(x÷22.5+2x÷36)=30(千米/时), 正好是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时,与平地路程的长短无关。因此共需要72÷30=2.4(时)。 8.15辆。 11.30分。提示:一个单程步行比骑车多用20分。 12.2时20分。 13.12千米/时。14.4000千米。15.15千米。 16.140千米。 17.20千米。 18.52.5千米。 解:因为满车与空车的速度比为50∶70=5∶7,所以9时中满车行 19.25∶24。提示:设A,B两地相距600千米。 20.5时。提示:先求出上坡的路程和所用时间。 21.25千米。提示:先求出走平路所用的时间和路程。 22.10米/秒;200米。 提示:设火车的长度为x米,根据火车的速度列出方程 24.乙班。

提示:快速行走的路程越长,所用时间越短。甲班快、慢速行走的路程相同,乙班快速行走的路程比慢速行走的路程长,所以乙班获胜。 25.30千米。提示:军犬的速度为20千米/时,它跑的时间等于甲、乙两队从出发到相遇所用的时间。 26.2时15分。提示:上山休息了5次,走路180分。推知下山走路180÷1.5=120(分),中途休息了3次。 28. 24千米。解:设下山用t时,则上山用2t时,走平路用(6-3t)时。全程为4(6-3t)+3×2t+6×t=24(千米)。 29.8时。解:根据题意,上山与下山的路程比为2∶3,速度比为 甲地到乙地共行7时, 所以上山用4时,下山用3时。 如下图所示,从乙地返回甲地时,因为下山的速度是上山的2倍,所以从乙到丙用3×2=6(时),从丙到甲用4÷2=2(时),共用6+2=8(时)。 30.1440米。 解:取AD等于BC(见下图)。因为从A到B与从B到A,走AD与BC两段路所用的时间和相同,所以D到C比C到D多用3.7-2.5=1.2 31.9∶10。 33.16千米。 解:5分24秒是0.09时。张明这天到学校用的时间是 4÷20+0.2-0.09=0.31(时), 遇到李强时用的时间为 (4-2.4)÷10=0.16(时), 所以遇到李强后的速度为 2.4÷(0.31-0.16)=16(千米/时)。 34.24海里。提示:先求进70吨水需要的时间。 35.27千米/时;3千米/时。 36.17.5千米/时。

奥林匹克训练题库·简单抽屉问题(word版)

简单抽屉问题 22在今年入学的一年级新生中有 370多人是在同一年出生的。试说明:他们中至少有2个人是在同一天出生的。 23学校举行开学典礼,要沿操场的 400米跑道插 40面彩旗。不管怎样插,是否总能找到2面彩旗,它们之间的距离不大于10米? 24在100米的路段上植树,问:至少要植多少棵树,才能保证至少有2棵之间的距离小于 10米? 25证明:在任意的37人中,至少有 4人的属相相同。 26试证明:将2行5列方格纸的每一个方格染成黑色或白色,不管怎样染,至少有2列着色完全一样。 27一个正方体有六个面,给每个面都涂上红色或白色。证明:至少有三个面是同一颜色。 28体育组有足球、篮球和排球,上体育课前,老师让11名同学往操场拿球,每人最多拿两个。试证明:至少有2个同学拿球的情况完全一样。 29口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球,现有31个人轮流从袋中取球,每人各取三个球。证明:至少有4个人取出的球的颜色完全相同。 30篮子里有苹果、梨、桃和桔子,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友,才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样? 31学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。问:至少在多少个学生中,才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同? 32为了丰富暑假生活,学校组织甲、乙两班进行了一次军棋对抗赛,每班各出五人,同时对弈。比赛时天气很热,学校给选手们准备了两种饮料:可乐和汽水,每个选手都选用了一种饮料。证明:至少有两对选手,甲班的两名选手选用的饮料相同,乙班的两名选手选用的饮料也相同。 33有一批四种颜色的小旗,任意取出三面排成一行,表示各种信号。在2020信号中至少有多少个信号完全相同? 34库房里有一批篮球、排球、足球和手球,每人任意搬运两个。证明:在41个搬运者中至少有5人搬运的球完全相同。

高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)

奥林匹克数学的技巧(上篇) 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学,通常的情况是,在一般思维规律的指导下,灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中,经常使用一些方法和原理(如探索法,构造法,反证法,数学归纳法,以及抽屉原理,极端原理,容斥原理……),同时,也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过:“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技,它既是使用数学技巧的技巧,又是创造数学技巧的技巧,更确切点说,这是一种数学创造力,一种高思维层次,高智力水平的艺术,一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是:以已知条件为原料、以所求结论为方向,构造出一种新的数学形式,使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形,构造方程,构造恒等式,构造函数,构造反例,构造抽屉,构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周(77天)的集训,每天至少下一盘棋,每周至多下12盘棋,证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明:用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天(包括第n 天在内)所下的总盘数(1,2,77n =…),依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数: 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<,即154个数中,每一个取值是从1到153的自然数,因而必有两个数取值相等,由于i j ≠时,i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明,从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序,并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”,其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解:构造一个△ABC ,其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ,则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知,当且仅当∠C=90°时,取值得最小值2,亦即222()()()x y y z x z +++=+

高中数学奥林匹克训练题

第1页共10页 高中数学高中数学奥林匹克训练题 奥林匹克训练题第一试 一、填空题 1.若集合22{(,)|(20)(12),}P x y x y x Z y Z =?+?≤ ∈∈,则集合P 中的元素个数为____________. 2.已知矩形ABCD 的顶点依次为(1,0)A ?,(1,0)B ,(1,1)C ,(1,1)D ?.若抛物线2y ax =平分矩形ABCD 的面积,则实数a 的值为______. 3.在各边长均为整数的直角三角形中,斜边上的高也是整数的三角形的周长的最小值为______. 4.在四面体ABCD 中,3,1==CD AB ,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为°60,则四面体ABCD 的体积为____________. 5.若直线134=+y x 与椭圆19 162 2=+y x 相交于B A ,两点,则在该椭圆上满足PAB ?的面积为3的点P 的个 数为____________. 6.若关于x 的方程sin cos 2x x m =+在[,]2 π π? 内有两个不同实根,则m 的取值范围为____________.7.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.8.若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足:对任意的],[,21b a x x ∈,都有))()((2 1 )2( 2121x f x f x x f +≤+,则称函数)(x f 在],[b a 上具有性质P .如果已知函数)(x f 在]3,1[上具有性质P ,那么以下四个命题是真命题的有____________(写出相应命题的序号即可). ①函数)(x f 在]3,1[上的图像是连续(不间断)的;②函数)(2x f 在]3,1[上具有性质P ;③若函数 )(x f 在2=x 处取得最大值1,且1)1(=f ,则1)(=x f ,]3,1[∈x ;④对任意的]3,1[,,,4321∈x x x x ,都有不 等式))()()()((4 1 )4( 43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++成立. 二、解答题 9.已知F 是椭圆2222x y +=的左焦点,椭圆上的动点,A B 使得ABF ?的内心总在直线1x =?上,求证:直线AB 过定点. 10.数列}{n a 的前4项依次为?,5,8,9,1,且4+i a 是i i a a ++3的个位数字,求证:2 20002198621985|4a a a +++?.

2016年世界少年奥林匹克数学竞赛:三年级海选赛试题(Word版,含答案)

绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛 (2016年10月) 选手须知: 1、本卷共三部分,第一部分:填空题,共计50分;第二部分:计算题,共计12分;第三部分:解答题,共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题(A卷) (本试卷满分120分,考试时间90分钟) 一、填空题。(每题5分,共计50分) 1、一“台阶”图的每一层都由黑色和白色的正方形交错组成,且每一层的两端都是黑色的正方形,从上到下第一层到第四层如图所示,则第2016层中白色的正方形的数目___________。 2、一个课外小组活动日,老师进教室一看,来参加活动的学生只占教室里全体人数的一半.老师很生气.这天共来了____________名学生。 3、从小熊家到小猪家有一条小路,单侧有树,每隔45米种一棵树,加上两端共53棵;现在改成每隔60米种一棵树。可余下__________棵树。 4、小明家的小狗喝水时间很规律,每隔5分钟喝一次水,第一次喝水的时间是8点整,当小狗第20次喝水时,时间是_______________。 5、妈妈买来大米2袋,面粉4袋,共重200千克,已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等,那么一袋大米重_______________千克。 6、学校食堂今天午餐的菜谱上有2个肉菜和2个素菜,小明想买1个肉菜和1个素菜,共有________种的搭配方法。 7、同学们进行队列训练,如果每排8人,最后一排6人;如果每排10人,最后一排少4人。参加队列训练的学生最少有________人。 8、小明心中想到三个自然数,这三个数的和等于这三个数的积,小明想的三个数是____________。9、某小学二年级一班和二班共有85人,一班比二班多3人,二班有_________人。 10、下图中有个正方形。 二、计算题。(每题6分,共计12分) 11、567+231-267+269 12、2000-99-9-98-8-97-7-96-6-95-5-94-4-93-3-92-2-91-1 省 市 学 校 姓 名 赛 场 参 赛 证 号 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 密 封 线 内 不 要 答 题

高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理

竞赛专题讲座-几个重要定理 《定理1》正弦定理 △ABC中,设外接圆半径为R,则 证明概要如图1-1,图1-2 过B作直径BA',则∠A'=∠A,∠BCA'=90°,故 即;同理可 得 当∠A为钝角时,可考虑其补角,π-A. 当∠A为直角时,∵sinA=1,故无论哪种情况正弦定理成立。 《定理2》余弦定理△ABC中,有关系 a2=b2+c2-2bccosA;(*) b2=c2+a2-2cacosB; c2=a2+b2-2abcosC; 有时也用它的等价形式 a=ccosB+bcosC; b=acosC+ccosA;(**) c=acosB+bcosA. 证明简介 余弦定理的证法很多,下面介绍一种复数证法 如图建立复平面,则有 =(bcosA-c2)+(bsinθ)2即 a2=b2+c2-2bccosA,同理可证(*)中另外两式;至于**式,由图3显见。 《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理(梅氏线)直线截△ABC的边BC,CA,AB或其延长线 于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明,也可不添辅助线,仅用正弦定理来证明。在△FBD、△CDE、△AEF中,由正弦定理,分别有

《定理4》塞瓦定理(Ceva) (塞瓦点) 设O 是△ABC 内任意一点,AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ,则 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅内劳斯定理证明: (Ⅱ)也可以利用面积关系证明 同理 ④ ⑤ ③×④×⑤得 《定理5》塞瓦定理逆定理 在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ,若则AD 、BE 、CE 平行或共点。 证法简介 (Ⅰ)若AD∥BE(如图画5-1) 则 EA CE BD BC = 代入已知式:1=??FB AF BD BC DC BD 于是 CB DC FB AF = , 故 AD∥CF,从而AD∥BE∥CF (Ⅱ)若AD 、BE 交于O (图5-2),则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理,可得 1='??B F AF EA CE DC BD 而已知1=??FB AF EA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FB AF AF B F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+'ΘAF F A ='Θ 即F '即F ,可见命题成立 《定理6》斯特瓦尔特定理

奥林匹克训练题库找规律

一找规律 1.根据下列各串数的规律,在括号中填入适当的数: (1)1,4,7,10,(),16,…… (2)2,3,5,8,13,(),34,…… (3)1,2,4,8,16,(),…… (4)2,6,12,20,(),42,…… 2.观察下列各串数的规律,在括号中填入适当的数: (1)2,3,5,7,11,13,(),19,…… (2)1,2,2,4,8,32,(),…… (3)2,5,11,23,47,(),…… (4)6,7,3,0,3,3,6,9,5,(),…… 3.观察下列各串数的规律,并在每小题的两个括号内填入适当的数: (1)1,1,2,4,3,9,4,16,(),25,6,(),…… (2) 15, 16, 13, 19, 11, 22,(), 25, 7,(),…… 4.按规律填上第五个数组中的数: {1,5,10}{2,10,20}{3,15,30}{4,20,40}{ } 5.下面各列算式分别按一定规律排列,请分别求出它们的第40个算式: (1)1+1,2+3,3+5,1+7,2+9, 3+11,1+13,2+15, (2)1×3,2×2,1×1,2×3,1×2,2×1,1×3,…… 6.下面两张数表中的数的排列存在某种规律,你能找出这个规律,并根据这个规律把括号里的数填上吗? (1)2 6 7 11 (2)2 3 1

4 4 ( ) 1 3 5 2 3 5 5 6 4 ( ) 3 7.下面各列数中都有一个“与众不同”的数,请将它们找出来: (1)3,5,7,11,15,19,23,…… (2)6,12,3,27,21,10,15,30,…… (3)2,5,10,16,22,28,32,38,24,…… (4)2,3,5,8,12,16,23,30,…… 8.下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律,先把规律找出来,再把空缺的数字填上: (1) (2) 9.观察下面图形中的数的规律,按照此规律,“?”处是几? 10.根据左下图中数字的规律,在最上面的空格中填上合适的数。

【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206) ______年______月______日 ____________________部门

第一试 一、填空题(每小题8分,共64分) 1。已知正整数组成等比数列,且则的最大值为 。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为 。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为 。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有,对所有正整数,有,若 。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点,满足直线A1B 与平面B1CP 所成角 为,则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数,集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中,P 为椭圆在第三象限内的动点,过点P 引圆的两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ,则面积的最小值为 。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币,现进行连续抛硬币游戏,规则如下:在抛掷的过程中,无论何时,连续出现奇数次正面后出现一次反面,则游戏停止;否则游戏继续进行,最多抛掷10次,则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题(共56分)

最新奥林匹克数学竞赛试题

奥林匹克数学竞赛试题(几何部分)Mathematics Olympic test (geometric part) 1.已知在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=40°,∠C=50°,点E,F,M,N 分别为四条边的中点,求证:BC=EF+MN.【简单】 2.已知在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P为平 行四边形ABCD外一点,且∠APC=∠BPD=90°,求证:平行四边形ABCD为矩形.【简单】

3.已知在三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P为BC上一点,PE⊥AB 于E,PF⊥AC于F.求证:PE+PF=CD.【简单】 4.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB,AH⊥FH,EF⊥AB,求证:EF=CD+FH.【简单】 5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形,连结AD,延长CE交AD与F,求证:CF⊥AD.【简单】

6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形,连结AD交BE于F,连结CE交AB于G,连结FG,求证:FG∥CD.【简单】 7.已知三角形ABC为正三角形,内取一点P,向三边作垂线,交AB 于D,BC于E,AC于F,求证:PD+PE+PF=三角形的高.【简单】

8.已知三角形ABC为正三角形,AD为高,取三角形外一点P,向三边(或边的延长线)作垂线,交AB的延长线AE于M,交AC的延长线AF于N,交BC于Q,求证:PM+PN-PQ=AD.【中等】 9.已知在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,DE平分∠ADC交AC 于F,若∠BDE=15°,求∠COE的度数.【中等】

2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题(决赛) 及答案 (时间:5月16日18:40~20:40) 满分:120分 一、 选择题(本大题共6小题,每小题5分,满分30分) 1.已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=,且 P c N b M a ∈∈∈,,,设c b a d +-=,则∈d ( ) A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是( ) A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 +(cos 2 θ-5)m +4sin 2 θ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长,若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ,则 c b a +的值是( ) A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是 ( ) A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞. 二、填空题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分) 7.母线长为3的圆锥中,体积最大的那一个的底面圆的半径为 8.函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。

首届中国东南地区高中数学奥林匹克

首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ,求证:39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF , 求证:DM=DN 三、(1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 (2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 (2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州) 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立,求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证:CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛,球n 的最大值。 注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++,且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组(,,,x y z u )的个数。 首届中国东南地区数学奥林匹克(答案)

数学奥林匹克初中训练题(含答案)

数学奥林匹克初中训练题 第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.设z y x ++=+++6323,且x 、y 、z 为有理数.则xyz =( ). (A)3/4 (B)5/6 (C)7/12 (D)13/18 2.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下,且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ). (A)-3 (B)-5 (C)-7 (D)-9 3.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为( ). (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 4.a 、b 是方程x 2+(m -5)x +7=0的两个根.则(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=( ). (A)365 (B)245 (C)210 (D)175 5.如图,Rt △ABC 的斜边BC =4,∠ABC =30°,以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) (A)2332+π (B) 3 3265-π (C) 365-π (D) 33 2-π 6.从1,2,…,13中取出k 个不同的数,使这k 个数中任两个数之差既不等于5,也不等于 8.则k 的最大值为( ). (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 二、填空题(每小题7分,共28分) 1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2,且|x 1|<|x 2|,则a = . 2.当x =2 329-时,代数式x 4+5x 3-3x 2-8x +9的值是 . 3.给定两组数,A 组为:1,2,…,100;B 组为:12,22,…,1002.对于A 组中的数x ,若有B 组中的数y ,使x +y 也是B 组中的数,则称x 为“关联数”.那么,A 组中这样的关联数有

奥林匹克训练题库_包含与排除

四包含与排除 1 二年级一班共4 2 名同学,其中少先队员3 3 人。这个班男生20 人,女生中有 4 人不是少先队员,男生中有多少人是少先队员? 2 十一中学图书馆有中外文科技和文艺书共6000 册,其中中文书4560册,文艺书3060 册,外文科技书840 册。问:一共有多少本外文书?有多少本中文文艺书? 3 47 名学生参加了数学和语文考试,其中语文得100 分的12 人,数学得100 分的17 人,两门都没得100分的有26 人。问:两门都得100 分的有多少人? 4 全班有46 名同学,仅会打乒乓球的有18 人,既会打乒乓球又会打羽毛球的有7 人,既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有 6 人。问:仅会打羽毛球的有多少人? 5 电视台向100人调查昨天收看电视的情况,有62 人看过2 频道, 34 人看过8 频道,11 人两个频道都看过。问:两个频道都没看过的有多少人? 6 一次数学小测验只有两道题,结果全班有10 人全对,第一题有25 人做对,第二题有18 人做错。问:两题都做错的有多少人? 7 全班50人,不会骑自行车的有23 人,不会滑旱冰的有35人,两样都会的有 4 人。两样都不会的有多少人? 8 五一小学举行各年级学生画展,其中18 幅不是六年级的,20 幅不是五年级的。现在知道五、六年级共展出22 幅画,问:其它年级共展出多少幅画? 9100 个学生只有一人没学过外语,学过英语的有39人,学过法语的有49 人,学过俄语的有41 人,学过英语也学过法语的有14 人,学过英语也学过俄语的有13 人,学过法语也学过俄语的有9 人。问:三种语言都学过的有多少人? 10某班有42人,其中26人爱打篮球,17人爱打排球,19人爱踢足球,9人既爱打篮球又爱踢足球, 4 人既爱打排球又爱踢足球。没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好。问:既爱打篮球又爱打排球的有几人? 11 64个小学生都订了报纸,其中订A报的28人,订B报的41人,订C报的20人,同时订A, B报的10人,同时订A, C报的12人,同时订B, C 报的也是12人。问:三种报都订的有多少人?

高中数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧

数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态,表现出相对稳定的较好性质,选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。 例1.从数集{}3,4,12开始,每一次从其中任选两个数,a b ,用345 5 a b -和435 5 a b +代替它们,能否通过有限多次代替得到数集{}4,6,12。 解:对于数集{},,a b c ,经过一次替代后,得出3 443,,5 5 5 5a b a b c ??-+???? , 有2222223443()()5555 a b a b c a b c -+++=++ 即每一次替代后,保持3个元素的平方和不变(不变量)。 由22222234124612++≠++知,不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。 例2.设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ;从其中任意去掉一个,剩下的2n 个数可以分成个数相等的两组,其和相等。证明这2n+1个整数全相等。 证明:分三步进行,每一步都有“不变量”的想法: 第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的 因为任意去掉一个数后,剩下的数可分成两组,其和相等,故剩下的2n 个数的和都是偶数,因此,任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性; 第二步 如果1221,,,n a a a +…具有性质P ,则每个数都减去整数c 之后,仍具有性质P ,特别地取1c a =,得21312110,,,,n a a a a a a +---… 也具有性质P ,由第一步的结论知,2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数; 第三步 由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质P ,可得 31 211210, ,,,222 n a a a a a a +---… 都是整数,且仍具有性质P ,再由第一步知,这21n +个数的奇偶性相同,为偶数,所以都除以2后,仍是整数且具有性质P ,余此类推,对任意的正整数k ,均有 31 211210, ,,,222n k k k a a a a a a +---…为整数,且具有性质P ,因k 可以任意大,这就推得 21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221n a a a +===…。

高中数学奥林匹克基础教程1.21

高中数学奥林匹克基础教程 江苏沛县孙统权 前言 2007年7月15日至24日,江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖江举办,由省数学学会组织专家学者亲自授课。编者作为夏令营中的受训教练,亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教学风格,并做了课堂笔记,对相关教学资料进行了整理。夏令营结束后,从自身实践出发,编成本教程。 教程共8讲,每讲4学时,共32学时。指导思想为“领略奥赛风采,拓展数学视野,训练数学思维,启迪数学方法”,内容选取原则为“参照竞赛数学知识体系,根据学生接受能力,与当前中学数学教学内容协调互补”。 对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模式,使学生思维密度大,所受局限少,能充分的体会数学智慧和创造的乐趣,较直接的感受竞赛数学。在各知识点章节讲授时,宜通过具体解题展示数学体系,淡化数学术语而突出数学思想,选择、补充题目时注意结合实际情况,减少复杂度,使学生负担轻,进步感强,在领略数学美的同时达到训练目的。 本教程参考了2007年省夏令营专家的授课内容,使用了部分原题。同时,参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》,安徽少儿版《初中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。在此予以感谢,并在补注中注明各题的直接来源。 本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材,或供学生选修的一个模块。将它整理出来,意在抛砖引玉,为我们江苏乃至全国的数学奥林匹克的发展作一点贡献。虽力求严谨,由于个人能力经验所限,其中错误和不完善之处仍在所不少,恳请广大专家、教练、数学奥林匹克爱好者不吝指教。 本版版本号1.2。编者电子信箱:suntrain@https://www.360docs.net/doc/3e17979398.html,。

小学奥林匹克数学 应用题训练B卷

应用题训练B卷及答案 1.填空题 (1)一辆电车从起点到终点一共要行36千米,如果每隔3千米停靠站一次,那么从起点到终点,一共要停靠( )次。 (2)兄弟两人同时从家里出发到学校,路程是1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米,弟弟步行每分钟行80米,在行进中弟弟与刚到学校就立即返回来的哥哥相遇。从出发到相遇,弟弟走了( )米;相遇处距学校有( )米。 (3)小明坐在行驶的列车上,从窗外看到迎面开来的货车经过用了6秒,已知货车长168米;后来又从窗外看到列车通过一座180米长的桥用了12秒。货车每小时行( )千米。 (4)有两只蜗牛同时从一个等腰三角形的顶点A出发(如图),分别沿着两腰爬行。一只蜗牛每分钟行2.5米,另一只蜗牛每分钟行2米,8分钟后在离C点6米处的P点相遇,BP 的长度是( )米。 (5)甲、乙两人同时从A、B两地相向而行,相遇时距A地120米,相遇后,他们继续前进,到达目的地后立即返回,在距A地150米处再次相遇,AB两地的距离是( )米。 (6)一支部队排成1200米长的队伍行军,在队尾的通讯员要与最前面的营长联系,他用6分钟时间跑步追上了营长,为了回到队尾,在追上营长的地方等待了24分钟。如果他从最前头跑步回到队尾,那么只需要( )分钟。 2.甲、乙两人同时从A地到B地,乙出发3小时后甲才出发,甲走了5小时后,已超过乙2千米。已知甲每小时比乙多行4千米。甲、乙两人每小时各行多少千米? 3.甲、乙两人从A地到B地,丙从B地到A地。他们同时出发,甲骑车每小时行8千米,丙骑车每小时行10千米,甲丙两人经过5小时相遇,再过1小时,乙、丙两人相遇。求乙的速度。 4.甲、乙两港相距 360千米,一艘轮船从甲港到乙港,顺水航行 15小时到达,从乙港返回甲港,逆水航行20小时到达。现在有一艘机帆船,船速是每小时12千米,它往返两港需要多少小时?

奥林匹克训练题库·加法原理.doc

加法原理 22 两次投掷一枚骰子,两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种? 23 从 1~ 9中每次取两个不同的数相加,和大于 10的共有多少种取法? 24 大林和小林共有小人书不超过50本,他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况? 25 从2,3,4,5,6,10,11,12这七个数中,取出两个数组成一个最简真分数,共有多少种取法? 26 在下列各图中,从A点沿实线走最短路径到B点,各有多少种走法? 27 在左下图的街道示意图中,C处因施工不能通行,从A到B的最短路线共有几条? 28 如右上图,象棋盘上一名小卒过河后沿最短的路线走到对方“帅”处,有多少种不同的走法? 29 如左下图,从A处穿过房间到达B处,如果要求只能从小号码房间走向大号码房间,那么共有多少种不同的走法? 30 沿右上图所标的路径和箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法?

31 有一楼梯共10级,规定每次只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法? 32 有一楼梯共10级,规定每步跨上两级或三级,要登上第10级,共有多少种不同走法? 33 有一堆火柴共 12根,如果规定每次取 1~3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法? 34 某工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工2人、电工2人,另有1人钳工、电工都会。从这5人中挑选4人完成这项工作,共有多少种不同选法? 35 将右图中的○分别涂成红色、黄色或绿色,要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色。共有多少种不同涂法? 36 分别用五种颜色中的某一种对下列各图的A, B,C,D,E,F六个区域染色,要求相邻的区域染不同的颜色。问:各有多少种不同的染法? 37 在右图中,从A点沿线段走最短路线到B点,每次走一步或两步,共有多少种不同走法?(注:路线相同步骤不同,认为是不同走法。) 38 游乐园的门票1元1张,每人限购1张。现在有10个小朋友排队购买,其中5个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱。10个小朋友排队,不同的排队方法共有10! =3628800种。问:其中有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?

高中数学奥林匹克竞赛全真试题

1 2003年全国高中数学联合竞赛试题 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1、删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003项是( ) A .2046 B .2047 C .2048 D .2049 2、设a ,b ∈R ,ab ≠0,那么,直线ax -y +b =0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是( ) 3、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A 、B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于( ) A . 163 B .8 3 C D . 4、若5[,]123 x ππ ∈--,则2tan()tan()cos()366y x x x πππ=+-+++的最大值是( ). A B C D 5、已知x 、y 都在区间(-2,2)内,且xy =-1,则函数2 2 4949u x y = + --的最小值是( ) A . 85 B .2411 C .127 D .125 6、在四面体ABCD 中,设AB =1,CD AB 与CD 的距离为2,夹角为3 π ,则四 面体ABCD 的体积等于( ) A B .12 C .1 3 D 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7、不等式|x |3-2x 2-4|x |+3<0的解集是__________. 8、设F 1,F 2是椭圆22 194 x y +=的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|:|PF 2|=2:1,则△PF 1F 2的面积等于__________. 9、已知A ={x |x 2-4x +3<0,x ∈R },B ={ x |21- x +a ≤0,x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R }.若A B ?,则实数a 的取值范围是__________. 10、已知a ,b ,c ,d 均为正整数,且35 log ,log 24 a c b d ==,若a - c =9,b - d =__________. 11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于__________. 12、设M n ={(十进制)n 位纯小数0.12 |n i a a a a 只取0或1(i =1,2,…,n -1) ,a n =1},

高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

高中奥林匹克数学竞赛讲座 三角恒等式和三角不等式 知识、方法、技能 三角恒等变形,既要遵循代数式恒等变形的一般法则,又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时,首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度,以决定恒等变形的方向;其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系,抓住其主要差异,选择恰当的公式对其进行恒等变形,从而逐步消除差异,统一形式,完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”,将题目转化为一个关于2 tan x t =的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明,必须选择恰当的三角公式. 为此,同学们要熟练掌握 上图为三角公式脉络图,由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外,三角是代数与几何联系的“桥梁”,与复数也有紧密的联系,因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式,因此,要掌握证明不等式的常用方法:配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次,三角不等式又有自己的特点——含有三角式,因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题,要充分利用好三角

形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角,则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化,实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式 )](2 1 [))()((c b a p c p b p a p p S ++= ---=其中,大家往往不甚熟悉,但十分有用. 赛题精讲 例1:已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin A A A -= +>+=ββ βαβαα求证 【思路分析】条件涉及到角α、βα+,而结论涉及到角βα+,β.故可利用 αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异,当然亦可从式中的“A ” 入手. 【证法1】 ),sin(sin βαα+=A ),sin()sin(βαββα+=-+∴A ), cos(sin ))(cos sin(), sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A . cos sin )tan(, 0)cos(, 0cos ,1||A A A -= +≠+≠-∴>ββ βαβαβ从而 【证法2】 αβαβββαβααββββ sin )sin(cos sin )sin() sin(sin cos sin sin sin -++= +- = -A ). tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαβ βαββαβαββ βα+=++=-+-++= 例2:证明:.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++ 【思路分析】等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ,可将左边各项逐步转化为x sin 、 x cos 的表达式,但相对较繁. 观察到右边的次数较高,可尝试降次. 【证明】因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 3 3 x x x x x x +=-=所以 从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= = )2cos 1(2 9 )2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++

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