2013年广州高二数学竞赛试题

2013年广州市高二数学竞赛试题

2013．5．11 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；

⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．在下列函数中，既是??

?

??2,

0π上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是 A ．x y 2cos = B ．x y 2sin = C ．cos y x = D ．|sin |x y =

2．已知向量(,)x y =a ，其中{1,2,4,5}x ∈，{2,4,6,8}y ∈，则满足条件的不共线的向量

共有 A ．9个 B ．12个 C ．13个 D ．16个

3．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组???

??≥≤-+≥+-0

0101y y x y x 表示的区域，E 是到原

点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率

是

A ．1-1π

B ．1-2π

C ．1π

D ．2π

4．已知函数2

()3f x x x =--，则函数()(())g x f f x x =-所有零点的和为 A ．2- B ．0 C ．2 D ．4

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分． 5

．若直线2m y =+与圆2

2

8x y +=相切，则m = * 。

5

2

6．已知集{}

3,112

2

-+-=a a A ，，{}113+--=a a a B ，，，且{}2A B =- ，则实

数a 的值等于 * ．1-

7．已知不等式1-x ax <1的解集是{x | x <1或x >2}，那么实数a = * ．2

1

8．已知,,a b c 为三条不同的直线, 且,,a M b N M N c ??= 平面平面，给出如下命题： ①若a 与b 是异面直线, 则c 至少与a , b 中的一条相交；

②若a //b , 则必有a //c ；

③若a 不垂直于c , 则a 与b 一定不垂直； ④若a ⊥b , a ⊥c , 则必有M N ⊥.

其中正确的命题的是 （请填上正确命题的序号）。①② 9．定义运算

a b ad bc c d =-，则符合条件i

34i 11

z z =--（其中i 为虚数单位）的复数 z = * 。17

i 22

--

10．将数列*{21}()n n -∈N 依原顺序按第n 组有2n

项的要求分组，则2013在第 * 组. 10．前n 组所含项数之和为2

1

2222

2n

n +++???+=-，2013是数列的第1008项.

由于9

10510221008221022=-<<-=，所以2013在第9组.

三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（本小题满分15分）

ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3cos 5A =

，5

sin 13

B =，9c =。

（1）求tan B 的值； （2）求ABC ?的面积。

11.（1）34

cos ,sin 55A A =∴== 。……………………………………2分

∵45

sin sin 513

A B =>=，∴B 为锐角。……………………………………………4分

12

cos 13

B ∴==。…………………………………………………………6分

sin 5

tan .cos 12

B B B ∴== …………………………………………………………………8分

（2）∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+4123563

51351365

=?+?=。……10分 9c = ，sin sin a c A C ∴=，得52

7a =。……………………………………………13分

1152590

sin 9227137

ABC S ac B ?==???=。…………………………………………15分

如图，己知△BCD 中，90BCD ∠=

，1BC CD ==，

AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠= ，E 、F 分别是AC 、

AD 上的动点，且

(01)AE AF

AC AD

λλ==<<。 （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （2）若平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小为60

，求λ的值．

12.（1）证明：因为AB ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥CD 。

在△BCD 中，90BCD ∠=

，所以BC ⊥CD 。

因为AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC 。………………………………………………3分 在△ACD 中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且

(01)AE AF

AC AD

λλ==<<。 所以EF ∥CD ，所以EF ⊥平面ABC 。

因为EF ?平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面ABC 。……………………………………6分 （2）解：作BQ ∥CD ，

由（1）知CD ⊥平面ABC ，所以BQ ⊥平面ABC 。 所以BQ ⊥BC ，BQ ⊥BE 。

因为BQ 与CD 、EF 共面，平面BEF ∩平面BCD ＝BQ ，

所以∠CBE 为平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的平面角为60°。………………8分 在?ABC 内作EM ⊥BC 交BC 于点M ，

由cos60°＝

1

2

BM BE =， 所以2BM ＝BE 。 ① ……………………………9分

又

AE AC λ=，所以CE

AC ＝1－λ。 由EM CE

AB AC

=＝1－λ， 在?BCD 中，∠BCD = 900，BC ＝CD ＝1，

所以BD Rt?ABD 中，∠ADB = 600，

所以AB EM 1－λ）。 ② ……………………………11分

又

BM AE

BC AC

=＝λ，且BC ＝1，所以BM ＝λ。 ③ ……………………………12分 在Rt?BME 中，由①②③得4λ2＝6（1－λ）2＋λ2。……………………………13分

即λ2

－4λ＋2＝0，解得λ＝2λ＝2………………………………14分

因为01λ<<，所以λ＝215分

已知函数2

1()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =

-++∈R . （1）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间。

13. 函数()f x 的定义域为()0+∞，。

…………………………………………………………2分 且2

()(21)f x ax a x

'=-++

(0)x >.……………………………………………………4分 （1）因为曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，

所以(1)(3)f f ''=。………………………………………………………………………6分 即()()2

2123213

a a a a -++=-++， 解得2

3

a =

. ………………………………………………………………………………8分 （2）因为(1)(2)

()ax x f x x

--'=

(0)x >. ………………………………………………10分

①当0a ≤时，0x >，10ax -<，

在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，

故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞.………………………13分 ②当102a <<

时，1

2a

>， 在区间(0,2)和1,a ??

+∞

???

上，()0f x '>；在区间12,a ?? ???上()0f x '<，

故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1,a ??

+∞ ???

，单调递减区间是12,a ?? ???.…………16分

③当1

2

a =

时， 因为2

(2)()02x f x x

-'=

≥， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.…………………18分 ④当12a >

时，1

02a

<<， 在区间10,

a ?? ???和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1,2a ?? ???

上()0f x '<，

故()f x 的单调递增区间是10,a ?

? ???和(2,)+∞，单调递减区间是1,2a ?? ???

.…………20分 14．（本小题满分20分）

已知()3,0R -，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足

0RP PM ?= ，23PM MQ +=0

。

（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；

（2）设A B 、为轨迹C 上两点，N （1，0）

，1A x >，0A y >，若存在实数λ，使AB AN λ= ，且16

3

AB =，求λ的值。

14.（1）设点(,)M x y ，

由23PM MQ +=0 ，得0,2y P ??- ???，,03x Q ??

???。……………………………………4分

由0RP PM ?= ，得33,,022y y x ?

???-?= ? ??

???。…………………………………………6分

所以轨迹C 的方程为24(0)y x

x =>. ………………………………………………8分

（2）由（1）知N 为抛物线C ：2

4y x =的焦点，A B 、为过焦点N 的直线与C 的两个交点.

①当直线AB 斜率不存在时，得()1,2A ，(1,2)B -，16

43

AB =<

.……………10分 ②当直线斜率存在且不为0时，设:(1)AB y k x =-，………………………………11分 代入2

4y x =得22

2

2

2(2)0k x k x k -++=.…………………………………………13分 设1122(,),(,)A x y B x y ，

则21222

2(2)416

2243

k AB x x k k +=++=+=+=，得k =。………………15分

（或122

4

4AB x k =-=+

）

1,0,A A x y k >>∴= …………………………………………………………16分

此时1

3,

3

A B x x == 。………………………………………………………………17分

由AB AN λ= 得

1

343313

B A N A x x x x λ-

-==

=--。……………………………………………………………19分 所以存在实数43λ=，使AB AN λ= ，且16

3

AB =。……………………………20分

15．（本小题满分20分）

设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且n a 是n S 和2的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）当1i j n ≤≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和n T ； （3）设212222*n n M n N T T T =+++∈() ，求证：13

24

M ≤<．

15.（1）∵n a 是n S 和2的等差中项，

∴22n n S a +=， ① 当1=n 时，1122S a +=，解得21=a . 当2n ≥时，

1122n n S a --+=. ②

①－②得1122---=-n n n n a a S S ()

2,*≥∈n N n ， ∴122--=n n n a a a 。 ∴12-=n n a a 。 ∴

21

=-n n

a a ()2n ≥. ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴n n a 2=()2n ≥.

当1n =时，1122a ==，符合上式，

所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =()

*

n ∈N 。………………………………………4分

（2）由i a 和j a 的所有可能乘积2i j i j a a +?=()n j i ≤≤≤1可构成下表： 11

2

+，12

2

+，13

2+，…，()

112n +-，12n

+ 222

+，23

2

+，…，()

212

n +-，22n

+

33

2

+，…，()

312

n +-，32

n

+ ……………… 2n n

+

构造如下n 行n 列的数表：

112+，122+，132+，…，()112n +-，12n + 212+，222+，232+，…，()212n +-，22n +

312+，322+，332+，…，()312n +-，32n + ………………

12n +，22n +，32n +，… ，()12n n +-，2n n +

设上表第一行的和为T ，则()()41242112

n n T -=

=--.……………………………10分

于是()(

)21

24221222

222n n n T T -=++++++++ ………………………12分

()(

)()

22414212141

n

n

n

-=-?

-+

-

()()1821213n

n +=

--. ∴()()1

421213n n n T +=-?-.…………………………………………………………14分

（3）∵()()1

421213

n n n T +=-?-，

∴()()11

2323114212142121n n n n n n n T ++???==- ?---?-??

。……………………………16分 ∴212222n

n M T T T =+++

1223341

31111111

142121212121212121n n +??????????=

-+-+-++- ? ? ? ???--------??????????

………………………………6分

………………………………8分

1

311421n +??=

- ?-??

.………………………………………………………………………18分 ∵1

213n +-≥，

∴

1131312

44

21n +??≤-< ?-??. 即

13

24

M ≤<。…………………………………………………………………………20分