数学(文)卷·2014届河北省保定市高三期末调研考试(2014.01)扫描版

高三调研考试文科数学参考答案

一选择题：CCBAA CCABD BD

二.填空题：13、8; 14 ; 15、102b <<； 16、17

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、解：（1）因为11

()2cos 222

f x x x =

-- 1

sin(2)62x π=-- ....................................................... 2分

所以2T w

π

π==，故()f x 的最小正周期为π.............3分 222,2

6

2

6

3

k x k k x k π

π

π

π

π

ππππ-

<-

<+

∴-

<<+

函数的单调增区间为[,],63

k k k z ππ

ππ-

+∈ ................5分 （2）因为50,22666x x ππππ

≤≤∴-≤-≤ .......................... 6 分

所以当262x ππ-=，即3x π=时()f x 有最大值1

2

.............8分

当26

6

x π

π

-

=-

，即0x =时，()f x 有最小值-1 .............10分

18．解：（1）22n n S a =- ，1122(2)n n S a n --∴=-≥ ，两式相减、整理得

12(2)n n a a n -∴=≥． ................................................................................3分 又12a = ，{}22n a ∴是以为首项,为公比的等比数列，

1222n n n a -∴=?=． (*n N ∈ ) ………………………………………………5分

（2）2n n b n =?，

1231222322n n T n =?+?+?++? ，

23121222(1)22n n n T n n +=?+?++-?+? ．.........................................................8分

两式相减得：1212222n n n

T n +-=+++-? ，

12(12)

212

n n n T n +-∴-=-?-1(1)22n n +=-?-，

1(1)22n n T n +∴=-?+． ………………………………………………………12分

19（1）证明：∵△PMB 为正三角形，

且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB ．

又∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD //AP ，∴AP ⊥PB ．………………3分 又已知AP ⊥PC ，∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ，AC AP A = ，

∴BC ⊥平面APC ……………………………………6分

（2）法一：作BQ ⊥CD ，垂直为Q

因为MD//AP ，AP ⊥平面PBC

所以MD ⊥平面PBC ，所以平面C MD ⊥平面PBC

所以BQ ⊥平面MCD ………………………………………………….9分

在Rt △PBC 中，BC=3，

=4，D 为PB 的中点，所以S △BCD =1

34=34

?? 又DC=

1522PB =,∴15322

BQ ??=,即BQ=125

故点B 到平面MDC 的距离为

12

5

…………………………………………12分 法二：（等体积法）在Rt △PBC 中，BC=3，

=4，D 为PB 的中点，所以S △BCD =

1

34=34

??………………………..9分 因为MD//AP ，AP ⊥平面PBC 所以MD ⊥平面PBC

又因为DC=

15

22

PB =,设所求的距离为h 则由等体积法的3MD=12MD 5

2

h ?

125

h ∴=

即点B 到平面MDC 的距离为

12

5

…………………………………………12分 20. 解：（1）由公式2

2

55(2020105)11.9787.87930252530

K ??-?=≈>???，

所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． ………………………5分 （2）设所抽样本中有m 个男生，则

643020

m m ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作123412,,,,,.B B B B G G 从中任选2人的基本事件有1213(,)(,)B B B B 、、

1411122324212234(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)B B B G B G B B B B B G B G B B 、、、、、、、、

A

B

M

C

D

P

3132414212(,)(,)(,)(,)(,)B G B G B G B G G G 、、、、，共15个，........................................8分 其中恰有1名男生和1名女生的事件有

111221(,)(,)(,)B G B G B G 、、、223132(,)(,)(,)B G B G B G 、、、41(,)B G 、

42(,)B G ，共8个（.直接从上面15个事件中做记号注明也可）...............................10分 所以恰有1名男生和1名女生的概率为8

15

P =

． ..................................................12分 21. 解：（1）函数定义域为()+∞,0，()x

ax x a x f 1

222'

++-=………………2分

因为1=x 是函数()x f y =的极值点，所以()02112'=-+=a a f 解得2

1

-

=a 或1=a …………………4分 经检验，2

1

-=a 或1=a 时，1=x 是函数()x f y =的极值点，

又因为a>0所以1=a .................................... 6分

（2）当0a =时，()ln f x x =，显然在定义域内不满足()0f x <………………8分

当0a >时，(21)(1)'()0ax ax f x x +-+=

=得1211

,2x x a a

=-=…………………9分

所以'(),()f x f x 的变化情况如下表：

max ()()ln 0f x f a a

∴==<1a ∴>...................................11分

综上可得1a >…………………………………………………………………12分

22. 解：（1）易得

a =

=::1a b = 所以2

2a =，2

1b =.故方程为2

212

x y +=..................................... 4分

（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 方程：(2)y k x =-.....................5分 显然，当k=0时，

与已知不符，所以k 0≠..................................... 6分 设1122(),(,),(,)A x y B x y P x y ，

由22

(2)12y k x x y =-???+=??得2222(12)8820k x k x k +-+-= 422644(12)(82)0k k k ?=-+->，21

2

k <.....................................8分 22121222

882

,1212k k x x x x k k

-+=?=++

∵||AB =

12|x x -=，∴221212201[()4]9k x x x x ++-=（）

∴224-114+13=0k k （）(），即2

1

=

4

k ....................................................10分 又因为1212(,)(,)x x y y t x y ++=，且k 0≠，即t 0≠

所以212121222

814,[()4](12)(12)

x x y y k k

x y k x x k t t k t t t k ++-====+-=++ ∵点P 在椭圆上，∴222222222

(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，又2

1=4k .