2014届福州高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数列求和(含解析)
第四节
数_列_求_和
[知识能否忆起]
一、公式法
1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1或q ≠1.
2．一些常见数列的前n 项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)
2；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n . 二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
如果一个数列{a n }，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，等差数列的前n 项和即是用此法推导的．
2．分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，等比数列的前n 项和就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
[小题能否全取]
1．(2012·沈阳六校联考)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( ) A.n [(－1)n －1]2
B.(－1)n －
1＋12
C.(－1)n ＋12
D.(－1)n －12
解析：选D 因为数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝
－1－(－1)n ×(－1)1－(－1)
＝(－1)n －1
2.
2．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列????
??
S n n 的前10项
的和为( )
A ．120
B ．70
C ．75
D ．100
解析：选C ∵S n ＝n (a 1＋a n )
2＝n (n ＋2)，
∴S n n ＝n ＋2.故S 11＋S 22＋…＋S 10
10
＝75. 3．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )
A ．31
B ．120
C ．130
D ．185
解析：选C a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20)＝240－(2＋20)×10
2
＝240－110＝130.
4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为________． 解析：S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1
－2＋n 2.
答案：2n ＋
1＋n 2－2
5．数列12×4，14×6，16×8，…，1
2n (2n ＋2)，…的前n 项和为________．
解析：因a n ＝12n (2n ＋2)＝14???1
n －1n ＋1
则S n ＝1
4????1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1
＝14????1－1n ＋1＝n
4(n ＋1). 答案：
n
4(n ＋1)
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
典题导入
[例1] (2011·山东高考)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [自主解答] (1)当a 1＝3时，不合题意；
当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．
因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n －
1.
(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －
1＋(－1)n ln(2·3n －
1)＝2·3n －
1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－
1)n n ln 3，
所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －
1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln 2－ln 3)
＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n
2n ]ln 3＝2×1－32n
1－3
＋n ln 3＝32n ＋n ln 3－1.
由题悟法
分组转化法求和的常见类型
(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．
(2)通项公式为a n ＝?
????
b n ，n 为奇数，
c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数
列，可采用分组求和法求和.以题试法
1．已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5
成等差数列．求：
(1)p ，q 的值；
(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．
解：(1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ， x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， 解得p ＝1，q ＝1.
(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋
1－2＋n (n ＋1)2
.
典题导入
[例2] (2012·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2
＝4，a 6＝8a 3.
(1)求a n ；
(2)求数列{na n }的前n 项和T n .
[自主解答] (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －
1(n ≥2)．
由a 2＝4，a 6＝8a 3 ，得kc (c －1)＝4，kc 5
(c －1)＝8kc 2
(c －1)，解得?
????
c ＝2，k ＝2，
所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －
1＝2n (n ≥2)，
于是a n ＝2n . (2)T n ＝∑i ＝1
n
ia i ＝∑i ＝1
n
i ·2i ，
即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n .
T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋
1
＝－2n ＋
1＋2＋n ·2n ＋
1＝(n －1)2n ＋
1＋2.
由题悟法
用错位相减法求和应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
以题试法
2．(2012·济南模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3n ＋k .
(1)求k 的值及数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足a n ＋1
2
＝(4＋k )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －3n －
1－k ＝2·3n －
1，得等比数列{a n }的公比q
＝3，首项为2.
∴a 1＝S 1＝3＋k ＝2，∴k ＝－1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －
1.
(2)由
a n ＋12＝(4＋k )a n
b n ，可得b n ＝n
2·3
n －1， 即b n ＝32·n 3
n .
∵T n ＝32????13＋232＋3
33＋…＋n 3n ， ∴13T n ＝32????132＋233＋3
34＋…＋n 3n ＋1， ∴23T n ＝32????13＋132＋1
33＋…＋13n －n 3n ＋1， ∴T n ＝94????1
2－12·3n －n 3n ＋1.
典题导入
[例3] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
[自主解答] (1)∵S n ＝na n －n (n －1)，当n ≥2时， S n －1＝(n －1)·a n －1－(n －1)(n －2)，
∴a n ＝S n －S n －1＝na n －n (n －1)－(n －1)a n －1＋(n －1)·(n －2)， 即a n －a n －1＝2.
∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列， 故a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，n ∈N *.
(2)由(1)知b n ＝2a n a n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1
，
故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝????1－13＋????13－15＋????15－17＋…＋????12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n
2n ＋1
.
本例条件不变，若数列{b n }满足b n ＝1
S n ＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：S n ＝na n －n (n －1)＝n (2n －1)－n (n －1)＝n 2. b n ＝1S n ＋n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
，
T n ＝????11－12＋????12－13＋????13－14＋…＋????1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
.
由题悟法
利用裂项相消法求和应注意
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ????1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ???
?1
a n －1a n ＋2.
以题试法
3．(2012·“江南十校”联考)在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1
S 3
＋…＋
1
S n
1. (2)∵b n ＝log 42n ＋ 1＝n ＋12， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋3) 4. ∵1S n ＝4n (n ＋3)＝43????1 n －1n ＋3， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝43????11－14＋12－15＋13－1 6＋…＋1n －1n ＋3 ＝43????1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<229 ， ∴存在正整数k 的最小值为3. 1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列???? ?? 1a n 的 前5项和为( ) A.15 8或5 B.3116或5 C.3116 D.158 解析：选C 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9(1－q 3)1－q ＝1－q 6 1－q ，解得q ＝2， 所以数列???? ??1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝31 16. 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．不确定 解析：选B 由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R )，可知数列{a n }是等差数列，由S 25＝(a 1＋a 25)×25 2 ＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8. 3．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2n ，…的前n 项和S n 的值等于( ) A ．n 2＋1－1 2n B ．2n 2－n ＋1－1 2n C ．n 2＋1－ 1 2 n －1 D ．n 2－n ＋1－1 2 n 解析：选A 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋1 2n ， 则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋????12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12 n . 4．(2012·“江南十校”联考)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋ 1 a 2a 3 ＋…＋ 1 a n a n ＋1 的结果可化为( ) A ．1－1 4 n B ．1－1 2 n C.2 3??? ?1－14n D.2 3??? ?1－12n 解析：选C a n ＝2n － 1，设b n ＝1a n a n ＋1＝????122n －1， 则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋????123＋…＋????122n －1 ＝12?? ??1－14n 1－14 ＝23 ????1－14n . 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列???? ?? 1a n a n ＋1的前100项和为 ( ) A.100101 B.99101 C.99 100 D.101100 解析：选A 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴????? a 1 ＋4d ＝5，5a 1 ＋5×(5－1) 2d ＝15， ∴? ???? a 1＝1， d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴数列???? ??1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1 100－ 1101＝1－1101＝100 101 . 6．已知函数f (n )＝? ???? n 2 (当n 为奇数时)， －n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10 200 解析：选B 由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992 －1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100. 7．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________. 解析：由等差数列的性质及a 2＋a 8＝18－a 5， 得2a 5＝18－a 5，则a 5＝6， 故S 9＝(a 1＋a 9)×9 2＝9a 5＝54. 答案：54 8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2 n －1 ＋2 n －2 ＋…＋22 ＋2＋2＝2－2n 1－2 ＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋ 11－2 ＝2n ＋1 －2. 答案：2n ＋ 1－2 9．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列???? ?? 1b n b n ＋1的 前n 项和S n ＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1 ＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n － 1 ＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ， 所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 . 则数列???? ??1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案： n n ＋1 10．(2013·唐山统考)在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得 ? ???? a 1q ·a 1q 2＝32，a 1q 4 ＝32，解得a 1＝2，q ＝2， 故a n ＝2·2n － 1＝2n . (2)∵S n 表示数列{a n }的前n 项和， ∴S n ＝2(1－2n )1－2 ＝2(2n －1)， ∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(2＋2·22＋…＋n ·2n )－(1＋2＋…＋n )]＝2(2＋2·22＋…＋n ·2n )－n (n ＋1)， 设T n ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，① 则2T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋ 1，② ①－②，得 －T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2 －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋ 1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋ 1＋2， ∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(n －1)2n ＋ 1＋2]－n (n ＋1) ＝(n －1)2n ＋ 2＋4－n (n ＋1)． 11．(2012·长春调研)已知等差数列{a n }满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14. (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得????? a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14， 解得? ??? ? a 1＝1，d ＝2，所以{a n }的通项a n ＝2n －1. (2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n － 1. 当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q 2n － 1)＝n 2＋ q (1－q 2n )1－q 2 ； 当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)． 所以数列{b n }的前n 项和 S n ＝? ??? ? n (n ＋1)，q ＝1，n 2＋q (1－q 2n )1－q 2，q >0，q ≠1. 12．(2012·“江南十校”联考)若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2. (1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列； (2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n >5 2成立的最小的正整数n . 解：(1)由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得： a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝2 3 ， 故数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，2 3为公差的等差数列． (2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝2 3 (n ＋1)， 于是累加求和得a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝1 3 n (n ＋1)， ∴1 a n ＝3??? ?1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3－3n ＋1>52，∴n >5， ∴最小的正整数n 为6. 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2 B ．n 2－6n ＋18 C.????? 6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18(n >3) D.????? 6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n (n >3) 解析：选C ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0， ∴T n ＝? ???? 6n －n 2 (1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n >3). 2．(2012·成都二模)若数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋a n －1＝2n ＋2n － 1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则log 2(S 2 012＋2)＝________. 解析：因为a 1＋a 2＝22＋2，a 3＋a 4＝24＋23，a 5＋a 6＝26＋25，….所以S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2 011＋a 2 012 ＝21＋22＋23＋24＋…＋22 011＋22 012 ＝2(1－22 012)1－2 ＝22 013 －2. 故log 2(S 2 012＋2)＝log 222 013＝2 013. 答案：2 013 3．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝a n log 1 2a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n . 解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8. ∴a 2＋a 4＝20. ∴????? a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2 ＝8，解得????? q ＝2， a 1＝2，或?? ??? q ＝1 2，a 1＝32. 又{a n }为递增数列， ∴????? q ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n ·log 12 2n ＝－n ·2n ， ∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .① ∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋ 1.② ①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋ 1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋ 1－n ·2n ＋ 1－2. ∴S n ＝2n ＋ 1－n ·2n ＋ 1－2. 1．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d ， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)， 故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)由(1)知2a n ＝2n ， 由等比数列前n 项和公式得 S n ＝2＋22 ＋23 ＋ (2) ＝2(1－2n )1－2 ＝2n ＋1 －2. 2．设函数f (x )＝x 3，在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (3 a n ＋1)，令 b n ＝a n S n ，数列???? ?? 1b n 的前n 项和为T n . (1)求{a n }的通项公式和S n ； (2)求证：T n <1 3 . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12，解得a 1 ＝1，d ＝3，则a n ＝3n －2. ∵f (x )＝x 3，∴S n ＝f (3 a n ＋1)＝a n ＋1＝3n ＋1. (2)证明：∵ b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1)， ∴1b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13????1 3n －2－13n ＋1. ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝1 3????1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1 ＝13??? ?1－13n ＋1.∴T n <13. 3．已知二次函数f (x )＝x 2－5x ＋10，当x ∈(n ，n ＋1](n ∈N *)时，把f (x )在此区间内的整数值的个数表示为a n . (1)求a 1和a 2的值； (2)求n ≥3时a n 的表达式； (3)令b n ＝4a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和S n (n ≥3)． 解：(1)f (x )＝x 2－5x ＋10，又x ∈(n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )的整数个数为a n ，所以f (x )在(1,2]上的值域为[4,6)?a 1＝2； f (x )在(2,3]上的值域为???? 154，4?a 2＝1. (2)当n ≥3时，f (x )是增函数，故a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝2n －4. (3)由(1)和(2)可知，b 1＝42×1＝2，b 2＝41×2＝2.而当n ≥3时，b n ＝4(2n －4)(2n －2) ＝2??? ?12n －4－12n －2. 所以当n ≥3时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n ＝2＋2＋2??? ?12－14＋14－16＋…＋12n －4－12n －2 ＝4＋2????12－12n －2＝5－1 n －1 . 文章来源：福州五佳教育网https://www.360docs.net/doc/40349531.html,(中小学直线提分，就上福州五佳教育) 2019高考数学一轮复习重点攻略 一、高三数学复习，大体可分四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。 1.第一阶段，即第一轮复习，也称知识篇，大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。所以大家在复习过程中应做到：①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。(建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材)②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。 2.第二轮复习，通常称为方法篇。大约从第二学期开学到四月中旬结束。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方 法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论等方法解决一类问题、一系列问题。同学们应做到：①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：不怕难题不得分，就怕每题都扣分，所以大家务必将解题过程写得层次分明，结构完整。④适当选做各地模拟试卷和以往高考题，逐渐弄清高考考查的范围和重点。 3.第三轮复习，大约一个月的时间，也称为策略篇。老师主要讲述选择题的解发、填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的解法、综合题的解法、创新性题的解法，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的。同学们应做到：①解题时，会从多种方法中选择最省时、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考问题，逐渐适应高考对减缩思维的要求。②注意自己的解题速度，审题要慢，思维要全，下笔要准，答题要快。③养成在解题过程中分析命题者的意图的习惯，思考命题者是怎样将考查的知识点有机的结合起来的，有那些思想方法被复合在其中，对命题者想要考我什么，我应该会什么，做到心知肚明。 4.最后，就是冲刺阶段，也称为备考篇。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以 《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综 合应用 1. (选修11P 44习题4改编)以双曲线x 24－y 25 ＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________． 答案：y 2＝12x 解析：双曲线x 24－y 25 ＝1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p ＝6，所以拋物线方程是y 2＝12x. 2. 以双曲线－3x 2＋y 2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________． 答案：x 24＋y 216＝1 解析：双曲线方程可化为y 212－x 24＝1，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．∴ 椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝4，c ＝23，此时b ＝2，∴ 椭圆方程为x 24＋y 216＝1. 3. 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22 ＝1的右焦点重合，则p ＝________． 答案：4 解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点(2，0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以p 2 ＝2，p ＝4. 4. 已知双曲线x 2－y 23 ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→2PF 2→的最小值为________． 答案：－2 解析：设点P(x ，y)，其中x≥1.依题意得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1).PA 1→2PF 2→＝(－1－x ，－y)2(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝ x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4? ????x －182－8116 ，其中x≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→2PF 2→取得最小值－2. 5. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202 ＋y 20≤1，则PF 1＋PF 2的取值范围为________． 答案：[2，22] 解析：当P 在原点处时，PF 1＋PF 2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF 1＋PF 2取得最大值22，故PF 1＋PF 2的取值范围为[2，22]． 高考数学基础知识、常见结论详解 一、集合与简易逻辑 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ； （2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有 理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如： } 12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ； }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x y z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 如：}012|{2 =--=x ax x A ，如果φ=+ R A I ，求a 的取值。 二、集合间的关系及其运算 （1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2）_}__________{_________ =B A I ；____}__________{_________=B A Y ； _}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则： ①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___； 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2} 2019年高考数学复习：注重基础知识 命题：注重基础和方法 注重“双基” 刘成志介绍，2019年高考数学试卷将会一如既往地坚持考查“双基”——基础知识、基本方法，突出对主干知识、重点知识的反复考查。三角函数、解三角形、数列、立体几何、统计与概率等知识将在解答题中被重点考查。同时，在选择题和填空题中，将对集合、复数、程序框图、三视图、二项式定理、线性规划、向量、三角、函数图像和性质等内容进行全面、系统的考查。考生要特别注意教材中新增内容，如二分法、函数零点、条件概率等，还要兼顾冷点知识，如线性回归、相关系数、独立性检验及正态分布等。考生要抓住重点并做到系统全面复习，切忌出现知识盲点。 注重数学本质 焦去非介绍，高考数学最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。例如，将直线方程代入圆锥曲线方程，转化成一元二次方程，再利用根的判别式、求根公式、韦达定理、两点间距离公式等可以编出很多精彩的试题。这些问题考查了解析几何的基本方法，也体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交会点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想。 注重知识的交会 焦去非介绍，对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点；对空间想象能力的考查，主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上。 对运算求解能力的考查以代数运算为主。对数据处理能力的考查主要是考查考生运用概率统计的基本方法和思想解决 实际问题的能力，重视对数学思想方法，如分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、配方法等的考查，函数与方程、不等式、导数、数列、平面向量的结合，三角函数与平面向量、数列等知识网络间的交会仍然是今年高考数学命题的重点。 备考：突出重点，加强总结 张静波称，选择题题量大、分值多，考生可从近年高考试卷和做过的模拟题中筛选出那些“出镜率高”的重点题型进行训练。还要注意整理平时积累的一些小规律，这可以大大提高解客观题的速度和准确率，还有助于在解答大题时抓住实质，迅速解题。 解填空题的基本要求是“正确、合理、迅速”，必须概念清楚，推理明白，运算熟练，方法简洁灵活。基本题型以定量型居多，也有定性型和混合型。由于没有选择题的选项和“必有一个正确”的保证，填空题难度比选择题要大，但应试策略基本类似。比如重点练习常考热点题型，熟记大量特殊结论。另外，除直接求解法外，数形结合法、特殊赋值法、等价转换 2009年高三数学考前回归基础复习2009-5 基础知识 第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a a b +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ， b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： 高考第一轮复习数学知识点 第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。 主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。 第二：平面向量和三角函数。 重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。 第三：数列。 数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。 第四：空间向量和立体几何。 在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。 第五：概率和统计。 这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一等可能的概率，第二事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。 第六：解析几何。 这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2021年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。 第七：押轴题。 考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。这是高考所考的七大板块核心的考点。 第4讲基本不等式 A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2013·宁波模拟)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()． A.1 2B．1 C．2 D．4 解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2.当且仅当 a＝1，b＝1 2时等号成立． 答案 A 2．函数y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值是()． A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2 解析∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝x2＋2 x－1 ＝ x2－2x＋1＋2(x－1)＋3 x－1 ＝(x－1)2＋2(x－1)＋3 x－1 ＝(x－1)＋ 3 x－1 ＋2≥23＋2. 当且仅当x－1＝ 3 x－1 ，即x＝3＋1时取等号． 答案 A 3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a ∵a a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．(2013·杭州模拟)设a >b >c >0，则2a 2 ＋1ab ＋1 a (a － b ) －10ac ＋25c 2的最小值是 ( ) ． A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．5 解析 2a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) －10ac ＋25c 2 ＝2a 2＋a －b ＋b ab (a －b )－10ac ＋25c 2 ＝2a 2＋1 b (a －b ) －10ac ＋25c 2 ≥2a 2＋1 ? ??? ?b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”) ＝2a 2＋4a 2－10ac ＋25c 2＝? ? ???a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4 ? ????当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝2 5时取“＝”，故选B. 答案 B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．(2011·浙江)设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析 依题意有(2x ＋y )2 ＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·? ?? ??2x ＋y 22，得5 8(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值210 5. 高分突破复习：小题基础过关练 （ 一） 、选择题 （本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 .） 1.（2018 ·天津卷 ）设全集为 R ，集合 A ＝ { x |0< x <2}，B ＝{x | x ≥1} ，则 A ∩（?R B ） ＝ （ ） A.{ x |0< x ≤ 1} C.{ x |1≤x <2} D.{ x |0< x <2} 解析 因为 B ＝{x | x ≥1}，所以?R B ＝{x |x <1} ，因为 A ＝ { x |0< x <2} ，所以 A ∩(?R B ) ＝ { x |0< x <1}. 答案 B 1－ b i 2.(2 018·福州五校联考 )若复数 12－＋ i i ( b ∈ R)的实部与虚部相等，则 b 的值为 ( ) A. －6 B. －3 C.3 D.6 解析 1－b i ＝（1－b i ）（2－i ）＝2－b －（2b ＋1）i 解析 2＋i ＝ （2＋i ）（ 2－i ） ＝ 2－b －（ 2b ＋1） ，解得 b ＝－ 3. 答案 B 可得 a 2－a ·b ＝4－a ·b ＝7，可得 a ·b ＝－ 3， 答案 C 4. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻 破楼兰”是“返回家乡”的 （ ） A. 充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.{ x |0< x <1} 1－ b i ，由12 － ＋b i i （ b ∈R ）的实部与虚部 得 5 3. 已知向量 a ， b 满足 | a | ＝ 2， | b | ＝3， （a －b ）·a ＝7，则 a 与 b 的夹角为 （ ） π A. 6 π B.π3 2π C. 3π 5π D. π6 解析 向量 a ，b 满足|a |＝2，| b | ＝3， (a －b ) ·a ＝7. cos 〈 a ，b 〉 a · b －3 | a | ·|b | ＝ 2×3 由 0≤〈 a ， b 〉≤π，得〈 a ，b 〉 1 2 ， 2π 3 B.必要条件 C.充要条件 数学高考第一轮复习规划与建议 一、高三期间复习阶段分析 第一轮复习一般从8月到12月，以教材的知识体系作为复习的主要线索，以帮助同学们回忆、回顾以前学习过的知识为主，对知识面进行全方位的覆盖，以及对基本方法、基本题型进行总结、反思; 第二轮复习大概从2月到4月中旬，在此阶段打破了教材的体系，主要是对高中数学的六大板块进行专题性的复习，在第一轮复习的基础上进一步加强综合性运用，提高解题的准确性、速度性和解答题的规范性; 第三轮复习一般从4月中旬到5月中旬，此阶段主要是同学们进行高考试题的模拟考试、训练，以培养同学们的答题技巧、答题方法、考场应变能力。5月下旬到6月5日期间则是同学们自主复习，以回归教材、错题反思、方法的进一步归纳总结。 所以在整个高三的复习中，第一轮复习所用的时间是最长的，它的复习成效将直接影响后面的复习效果。 二、数学第一轮复习建议 一、端正态度，切忌浮躁，忌急于求成 在第一轮复习的过程中，心浮气躁是一个非常普遍的现象。主要表现为平时复习觉得没有问题，题目也能做，但是到了考试时就是拿不了高分!这主要是因为： 1对复习的知识点缺乏系统的理解，解题时缺乏思维层次结构。第一轮复习着重对基础知识点的挖掘，数学老师一定都会反复强调基础的重要性。如果不重视对知识点的系统化分析，不能构成一个整体的知识网络构架，自然在解题时就不能拥有整体的构思，也不能深入理解高考典型例题的思维方法。 2复习的时候心不静。心不静就会导致思维不清晰，而思维不清晰就会促使复习没有效率。建议大家在开始一个学科的复习之前，先静下心来认真想一想接下来需要复习哪一块儿，需要做多少事情，然后认真去做，同时需要很高的注意力，只有这样才会有很好的效果。 3在第一轮复习阶段，学习的重心应该转移到基础复习上来。 因此，建议广大同学在一轮复习的时候千万不要急于求成，一定要静下心来，认真的揣摩每个知识点，弄清每一个原理。只有这样，一轮复习才能显出成效。 二、注重教材、注重基础，忌盲目做题 第6章 第5节 课时作业 一、选择题 1．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0?a ＝b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0?a ＝b”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ?a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2?a ＝c ，b ＝d”； ③“若a ，b ∈R ，则a －b>0?a>b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】 ①②正确，③错误，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1>0，但复数a 与b 不能比较大小． 【答案】 C 2．观察下列各式： 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， …， 可以得出的一般结论是( ) A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n2 B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1) 2 C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n2 D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2 【解析】 可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n 个式子的第一个数是n ；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n 个式子中有2n －1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…，第n 个式子应该是2n －1的平方，故可以得到n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 【答案】 B 3．“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈－π2，π 2是周期函数．”在以上演绎推理中，下列说法正确的是( ) A ．推理完全正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确 【解析】 y ＝tan x ，x ∈－π2，π 2只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小 第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0， －x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 3．设a >0，不等式－c 2019年高考数学复习学好基础知识很重要初等数学：重基础，更重非基础 数学是什么，其本质就是逻辑推理。从已知的条件推理得出结论，其实就类似于从A地到B地有很多条路，很多种走法，我们需要在最短的时间内不用GPS就找到最近的路线，节省最多的油耗。 谈到数学学习方法大家常会头大，刷题成为普遍认同的"真理"，但笔者对此存在异议。以存在即合理的眼光看，刷题一定有其意义，但未必是适合每个人的好方法!学习数学，笔者始终认为是建立在思考之上的：思考所学内容，思考适合的方法步骤，同时还要思考自己的状态。一切学习方法，都是在对自己充分了解的基础上，根据自己的需求找到对症下药的良方。而真正说到方法本身，大概分基础与非基础两类探讨。 基础：数学的重中之重 所谓基础，是指比较简单、一般学会就能拿分的题目。例如今年四川高考数学题出现了最简单的等差数列求通项，甚至还有关于集合或是虚实数的题目等等。笔者称这类题目为"大杀器"。这类题往往让人心烦意乱：做出来觉得理所应当，要是突然"糟了"便是五雷轰顶，后果不堪设想。 为什么最简单的基础题会成为埋伏在茫茫试卷间的"大杀器"?正是因为"理论上讲"这些题都是照搬知识点，认真学了 肯定做得来。于是做不来时会慌张，下来突然想起时会懊恼，恨不得回去做个十遍八遍。这个心理战的最终结局往往是大量的时间被投向基础，正如方法二，合理吗?答案是否定的。 非基础：成为高手的关键 基础部分是高中数学学习的重中之重，但绝不是数学学习的全部。想要成为真正的高手，非基础部分才是关键。 在高中，对于该部分的学习主要以老师教授(即非自学)为主。学习方法也很简单，首先就是"认真听课"。"认真听课"是每个人都知道的学习方法，几乎所有老师、学长、教育界人士都会强调，但在课堂上并不容易真正做到。毕竟，"听"是一件多么令人痛苦的事情，如果老师的讲法不对自己的胃口，走神在所难免。但"认真听课"的真正含义并不是认真"听"，"听课"的真实意义是"思考"。老师在讲，那么心中马上就想：他讲的是什么?和前面讲的内容有什么关系?他之后可能会怎么做?如果都能找到答案，那么内心便会油然生出满满的自信，自然变得专注，不会走神了。这才是真正的认真听课。当然，实在是想走神也是正常的，对这种情况，有一个方法是极好的：死盯着老师的眼睛。这种情况下还能走神的大神真是少之又少，如果你是其中一个，那么你还是自己埋头看书较好。 这个工作可让学生分组负责收集整理，登在小黑板上，每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学 2019年高考数学一轮复习要抓住基础要点高考数学基础复习也是有要点的，为此查字典数学网整理了数学一轮复习要抓住基础要点，请考生阅读。 1.抓基础有三个要点 (1)保证综合训练题量，限时限量完成套题训练，在快速、准确、规范上下功夫。 (2)抬起头来做题，从清晰解题思路、优化解题步骤、寻找最佳切入点方面，做好解题的归纳小结。 (3)及时改错、补漏、拾遗。 2.从能力要求的角度跟进提升 (1)熟练三种数学语言(数学文字语言，数学符号语言，数学图形语言)的相互转换。 (2)强化训练细致严密的审题习惯。 (3)加强训练快捷灵活的解题切入。 (4)要在确定合理运算方向，选择合理运算途径，优化组合公式法则，形成灵活善变的解题策略方面下功夫。 我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文 毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。(5)对实际应用、开放探索问题，解选择题、填空题等策略问题也应适度训练。 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代 2017届高考数学一轮复习详细计划及资料推荐_考前复习 高三数学学习可以分为三个阶段：1.一轮复习（至2017年元旦前后）：夯实基础，构建知识体系，强化能力训练；2.二轮复习（从一轮结束至三模结束）：固化与应用，优化思维模式；3.考前冲刺（考前一个月）：巩固已知，调整状态。 一轮复习特点：时间长，任务重，此特点与《课程标准》中“培养学生实事求是的态度，锲而不舍的精神”吻合；学生易懈怠、易迷茫、易焦虑。 一轮复习数学资料：一轮复习讲义、教材（10本）、章节测试、08年——12年高考试题分类汇编、天利38套模拟试题、2013年高考真题。 一轮复习着重从知识、方法、能力、技巧四方面入手，为实现二轮复习“数学思想统领学习”的目标做下坚实基础。知识与方法可以跟随老师的讲解及时整理记忆，与原有知识结构实现对接，实现知识与方法的零死角；能力的提升需要自己细致扎实的练习与思考，基础能力：总结反思、语言表达、阅读理解，学科能力：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理；技巧是从勤勉的实践中点滴积累起来的，是反复感知与应用后沉淀下的极其实用的小绝招，每个个体总结的技巧是不尽一致的。 一轮复习思路千百种，现仅从“如何搭配练习册及试卷的应用”的角度对一轮复习大致框架加以论述： 1. 无论复习哪一学科，都要有一个系统的练习过程，认准一本复习资料加以练习不放松。课堂上，按照拟好的“主线”进行复习，“函数、几何、概率统计、运算、算法、数学应用”六条主线将课标内容纵横交织，打破资料章节顺序，优化组合串讲课标所要求考点。 2. 新课标精神的直接体现就是教材，重读教材意义重大。要读初学时未关注的细节，要关注数学概念、法则、结论的发展过程。教材上练习题不必每道必做，根据实际情况，有选择地挑出一些必做题。我将依照教材内容组织一张练习卷，尽可能检验出大家对教材的熟悉程度及理解的深度。 3. 必备的章节模拟训练是不可少的，一段时间的复习后来个小测验，及时对所学有一个检验，也时刻提醒我们要注意多回头看看。章节测试所用试题由我为大家提供，在每个章末测试一张卷，限时训练，之后，学生再进行局部弥补性练习。 4. 前几年的高考题就是最好的模拟题，去年暑假始，我们已着手做“分类汇编”，一轮复习时，紧跟模块复习完成“分类汇编”上尚未完成的任务，并且从做过的试题中寻找规律性的东西也是必须面对的任务。 5. 一轮复习战线过长，不对过往重点知识加以多次循环则不能识其本质。天利38套的应用：每周每个同学利用课余时间写一套模拟题，每周日晚上“就题论题，不举一反三”。目的：化整为零，保持新鲜感，给学生以充分思考交流的空间和时间。计划进行20周，余下的试卷由学生自行处理。 6. 不能急于完成“2013年高考真题”，我们可以使其发挥更大利用价值。将这19套真题作为一个研究平台，我们要逐一细致分析试卷的规律性。从哪些角度分析？分析什么内容？如何利用分析结论？这些都会使我们的思考更有条理，使我们的表达更清晰。 2019年高考数学超详细复习攻略用过来人的经验，来告诉大家究竟应该怎么面对高考数学，高考数学究竟应该怎么学才能提高!下面是高考数学超详细复习攻略，希望对考生有帮助。 一、与其害怕恐惧，不如消灭恐惧 其实我觉得我应该起一个标题，例如从44分到130分之路，或者不及格到年级第一等等的。今天主要是更新差生如何提高的，针对就是那种跟我一样考了40多或者在及格线边缘挣扎的人。 我是那种从小数学不好的人，然后就天真以为自己真的没办法学好，然后呢～也渐渐放弃学好数学的欲望～高中考了一个不是很好的重 点中学，我很深刻记得，有一回的数学考试，我考了44分，满分150。说多都是泪～天啊，那时候满脑子都是我怎么办，一个快要高考的人了。然后，哭了之后发现日子还是那样地过～数学还是不会～也不知道后天真的是怎么了，我突然有种想要学好数学的欲望。我是个蠢人，在悠久的探索历史中，找到了适合自己的方法。 接下来我说明一下～麻烦，特别是高三党，把你们所有的高中课本拿出来～从头开始看。不要跟我说你都会了，你说出每个定理是怎么来的吗??每条公式怎么推导的吗??试卷上那些题，都是在母题的基础上变更的。 基础打不好，怎么继续～虽然高考各种辅导书出的很好，最好的那本还是你自己整理的那本。说到这里，推荐一下，买一个活页本，做什么呢??很笨的方法，做错题集!!! 没错，每一道题，写下解题方法，然后在下面用不同颜色的笔，写下你的心得体会，这点很重要。然后回到课本，找到这个知识点，看看课本是怎么样论述的!!! 当你把这个过程全部完整过了，相信我，你已经在125以上的分数了。虽然这对大神来说不算什么。我也只是一个当年数学考了44分的菜鸟呀。最后，说一下我的成绩。 我在一模如果没记错，数学应该是年级第一，然后总的排名是市300名左右吧～高考，说多都是泪～数学考的不是很好，应该是130。我的水平应该可以上140的～现在来了一所不是很好的大学，多少很难过。不过数学还是不错，微积分，概率论那些都是90多～ 我们来说说我为什么转变的原因，我觉得人真的是一种很神奇的动物，正是因为人类这样神奇的存在，我们的社会才得以不断得进步，历史才是往前走的。我们很多人，做不属于自己生活轨道的事情的时候，大多数是因为什么?恐惧。 很简单，恐惧死亡，所有你才开始健身，开始减肥，你害怕哪一天你不知道为什么就挂了。类似这样的事情很多，这里就不废话太多。我自己会去努力学习数学也是这个原因，因为什么?我害怕呀，不是害怕数学本身，而是害怕高考，我会把一切跟我的未来联想在一起。并且，我觉得我是没有办法去承担那个后果的，无论怎么样，我还是要学。 与其害怕恐惧，不如消灭恐惧。 很多天生数学好的人体会不到那种数学不好的人的各种辛苦，别人用 高考数学复习练习题全套(附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则11x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥u u u r u u u r ，求2sin α． （2 ）若OA OC +=u u u r u u u r OB uuu r 与OC u u u r 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足1a （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a = ，求数列{}n b 的前n 项的和n S ． 姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2275157515cos cos cos cos ++o o o o 的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =． 姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作 业编号 003 高考数学知识点全面复习整理 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 ∨∧“非”(). ()() 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和 ?∧ p q p q 若为真，当且仅当、均为真 ∨ 若为真，当且仅当、至少有一个为真 p q p q ?p p 若为真，当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ [] >->=+- 0义域是 f x a b b a F(x f x f x ())()()如：函数的定义域是，，，则函数的定 _。 [] - a a （答：，）高考数学一轮复习重点攻略
2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用
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