2016年立体几何基础训练题
2016年立体几何基础训练题
一．选择题（共26小题）
1．（2016?江西模拟）一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则该圆锥的体积为（）
A．πB．2πC．πD．π
2．（2016?德州校级二模）如图，已知半径为2的半圆中，BC为直径，O为圆心，点A在半圆弧上，且AB=AC，则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为（）
A．B．C．16πD．32π
3．（2016?安徽模拟）已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为16π，则该圆锥的体积为（）
A．πB．2πC．3πD．4π
4．（2015?衡阳县校级模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）
A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行5．（2011春?湖北校级期末）正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（）
A．1：4 B．3：8 C．1：2 D．2：3
6．（2009秋?昆明期末）由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体
的小正方体木块有（）
A．6块B．7块C．8块D．9块
7．（2010春?海淀区期末）已知圆锥的母线长与底面半径长之比为3：1，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面内，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图），则圆锥与正方体的表面积之比为（）
A．π：1 B．3π：1 C．3π：2 D．3π：4
8．（2007?海南）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1：h2：h=（）
A．B．C．D．
9．（2016?汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2016?佛山模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）
A．B．C．D．
11．（2016?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．1
12．（2014?新课标II）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）
A．B．C．D．
13．（2014?重庆）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）
A．54 B．60 C．66 D．72
14．（2014?安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）
A．B．C．6 D．7
15．（2014?安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）
A．21+B．18+C．21 D．18
16．（2014?辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8﹣2πB．8﹣π C．8﹣D．8﹣
17．（2015?河北）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛
18．（2013?新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）
A．B．C．D．
19．（2016?晋中模拟）已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）
A． B．C．D．
20．（2016?中山市校级模拟）球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB=18，BC=24，AC=30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（）
A．1200πB．1400πC．1600πD．1800π
21．（2016?南阳校级三模）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC 的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）
A．B．C．D．
22．（2016?东阳市模拟）下列命题中错误的是（）
A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β
D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β23．（2016春?宁德校级月考）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G 是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）
A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH 所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面
24．（2016?大庆一模）已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题
①α∥β=l⊥m；
②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β；
④l⊥m?α∥β．
其中正确命题的序号是（）
A．①②③ B．②③④ C．①③D．②④
25．（2016?包头校级三模）正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的
中点，则PA与BE所成的角为（）
A．B．C．D．
26．（2016?长沙校级一模）如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
二．解答题（共4小题）
27．（2016春?重庆校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
28．（2015?北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面V AB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
29．（2016?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
30．（2016?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
2016年立体几何基础训练题
参考答案与试题解析
一．选择题（共26小题）
1．（2016?江西模拟）一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则该圆锥的体积为（）
A．πB．2πC．πD．π
【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径，代入锥体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l==2，圆锥的高h==2，
圆锥底面半径为r==2，
故圆锥的体积为：V=Sh==，
故选：C．
【点评】本题考查几何体体积计算．本题关键是弄清几何体的结构特征，是易错之处．
2．（2016?德州校级二模）如图，已知半径为2的半圆中，BC为直径，O为圆心，点A在半圆弧上，且AB=AC，则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为（）
A．B．C．16πD．32π
【分析】几何体体积为球的体积减去两个圆锥的体积．
【解答】解：半圆绕BC旋转一周所得球体的体积V球==．
三角形ABC绕BC旋转一周所得几何体体积V′==．
∴阴影部分绕BC旋转一周所得几何体体积V=V球﹣V′=．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题．
3．（2016?安徽模拟）已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为16π，则该圆锥的体积为（）
A．πB．2πC．3πD．4π
【分析】设圆锥的底面半径是r，母线长为l，根据条件和侧面积公式求出l=2r，判断外接球的球心位置，由球的表面积公式求出外接球的半径，再求出r和圆锥的高，代入椎体的体积公式求出该圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径是r，母线长为l，
∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，
∴πrl=2πr2，解得l=2r，则圆锥的轴截面是正三角形，
∵圆锥的外接球的表面积为16π，则外接球的半径R=2，
且外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心，三角形的高是r，
∴=2，解得r=，则圆锥的高为3，
∴该圆锥的体积V==3π，
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，以及圆锥外接球的球心转化为轴截面外接圆的圆心，属于基础题．
4．（2015?衡阳县校级模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）
A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行【分析】先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，故排除A、B、C选D 【解答】解：如图：连接C1D，BD，在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确；
∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；
∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；
∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，D错误
故选D
【点评】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键
5．（2011春?湖北校级期末）正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（）
A．1：4 B．3：8 C．1：2 D．2：3
【分析】如图，棱锥A﹣B1CD1，的体积可以看成正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，利用底面与高之间的关系得出棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣
ACD，的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积=正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3×个正四棱锥P﹣ABCD的体积，最终得到则两个棱锥A﹣
B1CD1，P﹣ABCD的体积之比．
【解答】解：如图，棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，
∵B1为PB的中点，D1为PD的中点，
∴棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积
V=正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3×个正四棱锥P﹣ABCD的体积
=个正四棱锥P﹣ABCD的体积，
则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．
故选A．
【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，利用分割法进行分割，是解题的关键．6．（2009秋?昆明期末）由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体
的小正方体木块有（）
A．6块B．7块C．8块D．9块
【分析】由俯视图易得最底层正方体的个数，由主视图和左视图找到其余层数里正方体的个数相加即可．
【解答】解：由俯视图，我们可得该几何体中小正方体共有4摞，
结合正视图和侧视图可得：
第1摞共有3个小正方体；
第2摞共有1个小正方体；
第3摞共有1个小正方体；
第4摞共有2个小正方体；
故搭成该几何体的小正方体木块有7块，
故选B．
【点评】用到的知识点为：俯视图决定底层立方块的个数，三视图的顺序分别为：主视图，左视图，俯视图．
7．（2010春?海淀区期末）已知圆锥的母线长与底面半径长之比为3：1，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面内，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图），则圆锥与正方体的表面积之比为（）
A．π：1 B．3π：1 C．3π：2 D．3π：4
【分析】根据几何体作出轴截面，由图和题意列出圆锥的半径和正方体棱长的关系式，求出它们的长度关系，再代入对应的面积公式，求出表面积的比值．
【解答】解：作出几何体的轴截面如图：
由题意设圆锥的底面半径为r，
则母线长l=3r，
则圆锥的高h=，设正方体的棱长为a，
由轴截面得，=，即=，解得3a=，
∴圆锥与正方体的表面积之比为（πr2+πrl）：6a2=4πr2：6a2=3π：4，
故选D．
【点评】本题的考点是由三视图求几何体的体积、表面积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积以及面积公式分别求解，对于多面体需要把各个面的面积求和即它的表面积，考查了空间想象能力．
8．（2007?海南）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1：h2：h=（）
A．B．C．D．
【分析】做该题可以将几何体还原，利用题目的条件进行求解即可．
【解答】解：如图，设正三棱锥P﹣ABE的各棱长为a，则四棱锥P﹣ABCD的各棱长也为a，DO=，h1=PO，
于是，
，
∴．
故选B．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，及对简单几何体机构的认识，是基础题．
9．（2016?汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可
【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2
由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形
由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3
此棱锥的体积为=2
故选B．
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式
求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则
是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
10．（2016?佛山模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．
【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，
所以根据三视图中的数据可得：
V=××
=，
故选C．
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式
求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．
11．（2016?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．1
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积S=×1×1=，
高为1，
故棱锥的体积V==，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
12．（2014?新课标II）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）
A．B．C．D．
【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，
组合体体积是：32π?2+22π?4=34π．
底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
13．（2014?重庆）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）
A．54 B．60 C．66 D．72
【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：
三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，
∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5
∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
14．（2014?安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）
A．B．C．6 D．7
【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，
故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．15．（2014?安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）
A．21+B．18+C．21 D．18
【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．
【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，
几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底=
=21+．
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．16．（2014?辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
立体几何练习题及答案
… 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15
6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C
立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ?面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
高一数学立体几何练习题及部分答案汇编
立体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 （ 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 ) 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n α βα⊥=? D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分）
立体几何练习题
数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C
空间立体几何练习题(含答案)
第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图
专题一立体几何经典练习题
2 专题一 立体几何 班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1．直线 l , l 和 α ， l // l ， a 与 l 平行，则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ． 1 3 B ． 2 2 2 2 C ． D ． 3 3 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15 B ． 30 C ． 45 D ． 60 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中 任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点 不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为 300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里，则升高了 A ． 250 2 米 B ． 250 3 米 C ． 250 6 米 D ． 500 米 6．已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ，则下列命题中正确的是 A ． 若b ? α , a // b , 则a // α B ．若 a ⊥ α , b ⊥ α ，则 a // b C ． 若 a ? α ,α β = b ，则 a // b D ．若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7．已知 P 是△EFG 所在平面外一点，且 PE=PG ，则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边 EG 的垂直平分线上 C ．边 EG 的中线上 D ．边 EG 的高上 8．若一正四面体的体积是18 2 cm 3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． 6 3 cm C ．12cm D ． 3 3 cm 9．P 是△ABC 所在平面α 外一点，PA ，PB ，PC 与α 所成的角都相等，且 PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3 10．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF//AB ，EF= ，EF 2 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 E F A ．2 B ．4 C ． 2 2 D ． 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11．空间四边形 ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 、G 分别是 BD ，AC ，BC 的中点，若异面直
立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图，已知PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点; ⑴求证: 2Q.证明江1〉取FD的中点AE,NE t 丁Nft PC 的中点.A NEX^CD . 又四边形ABCU为矩形且M星BA中点' MN :* 寺CD垒MA , ￡ ：■ NEXMA.KP四边形MAEN是平行四也形, 昇 MN〃AE* 由于AEU罕面PAD,MN(Z^ffi PAD? A MN"平廊PAD, (2>V FA 丄平ABCD，ZPDA-45\ 代APAD是等 B?三肃形?桩AE」PH 由题意，CD丄AD,CD丄叭 :.CD丄平面PAD. 从而AE_LCD, 代AE丄平面PCD,故VIN丄平而PCH . Ml、If ：< 1)「1 {' 的方程为(x —a)* + (y 一h J —pf (2a+ b?0* ... IQ* V ■ ■ ■ V ■] ... 12* ……r ABC PA PC ABC 90 PEF PBC EF Q E F AC BC EF // AB....2 分又EF 平面PAB，AB 平面PAB， EF //平面PAB. ? (5) (2)Q PA PC，E为AC的中点， PE AC (6) P ABC E,F AC, BC EF // PAB PAC 又Q平面PAC 平面ABC PE 面ABC ................. 8 分 PE BC ............... 9 分 又因为F为BC的中点， Q ABC 900, BC EF .................... 10 分BC 面PEF ............... 11 分 又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ............... 12分 3.如图，在直三棱柱ABC-ABQ中，AC=BC点D是AB的中点
(完整版)高一必修二经典立体几何专项练习题
高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A
高一必修二立体几何练习题(含答案)
《立体几何初步》练习题 一、 选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ） A 、垂直 B 、平行 Ｃ、相交不垂直 D 、不确定 ２. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是( ） A ． BD Ｂ. CD C. BC D. 1CC 3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( ) A.βα//n ,//m ,n m ⊥ B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α Ｃ.αβ?⊥m n n m ,,// D.βα⊥⊥n m n m ,,// 4、平面α与平面β平行的条件可以是( ) Ａ.α内有无穷多条直线与β平行； B ．直线a/／α，a ／/β C.直线ａα?,直线b β?,且a ／／β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 5、设m 、n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α,n //α，则m n ⊥ ②若αβ//,βγ//，m ⊥α,则m ⊥γ ③若m //α,n //α,则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( ） A ．①和② B.②和③ C.③和④ D ．①和④ 6.点P 为ΔABC 所在平面外一点,P Ｏ⊥平面A ＢC ，垂足为O,若PA=PB=ＰC, 则点Ｏ是ΔＡBC 的( ) A.内心 B ．外心 Ｃ.重心 D.垂心 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,
则下列命题中为真命题的是（ ） Ａ．若//,,l n αβαβ??,则//l n B.若,l αβα⊥?,则l β⊥ C ． 若,//l l αβ⊥,则αβ⊥ D.若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8． 已知两个平面垂直,下列命题中正确的个数是（ ) ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. Ａ.3 B.２ Ｃ.１ D ．0 9．（２013浙江卷)设ｍ.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面，?( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ? B.若ｍ∥α，m ∥β,则α∥β C ．若m ∥n,ｍ⊥α，则n ⊥α D.若m ∥α,α⊥β,则ｍ⊥β 10.(２013广东卷）设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是?( ) A ．若//l α，//l β,则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥,则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D.若αβ⊥，//l α,则l β⊥ 二、填空题 11、在棱长为2的正方体ABCD —A 1B １C 1D 1中,E,Ｆ分别是棱AB,BC 中点,则三棱锥Ｂ—B 1EF 的体积为 . 12．对于空间四边形ＡBCD,给出下列四个命题:①若ＡＢ=ＡC ，B Ｄ=CD 则BC ⊥AD;②若AB=CD ，AC=B Ｄ则BC ⊥A Ｄ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD 则BC ⊥AD ；④若ＡＢ⊥CD, BD ⊥AC 则BC ⊥ＡD ；其中真命题序号是 ． 13． 已知直线b ／／平面α,平面α//平面β,则直线b 与β的位置关系为 ． P
立体几何大题训练与答案解析
1、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰 直角三角形，2,,45AB AE FA FE AEF ? ===∠= （1）线段CD 的中点为P ，线段AE 的中点为M ， 求证：//PM BCE 平面； （2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正切值. 解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC ∴面PMN //面EBC ,∴//PM BCE 平面 ………………………5分 (2)先证出FE ⊥面EBC ， ………………………8分 FCE ∴∠为直线CF 与平面BCE 所成角， ………………………11分 tan FE FCE EC ∠= = ………………………14分 2、己知多面体ABCDE 中，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ，AC=AD=CD=DE=2，AB =1，O 为CD 的中点. (1)求证：AO ⊥平面CDE ； (2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值 A B C D E F P M . . A B C E O
3、如图，在△ABC 中，?=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ． 沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '； （2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值． 解：（1）因为PE FC //，?FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． B P F P A B F C ' B ' A E
高一数学必修二第一章空间几何体基础练习题及答案
高一数学（必修2）第一章 空间几何体 [基础训练] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A .棱台 B .棱锥 C .棱柱 D .都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A . 3 B . 23 C . 33 D . 43 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A ．3:1 B ．3:2 C ．2:3 D ．3:3 5．在△ABC 中，0 2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 （ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
2016高考文科立体几何大题
立体几何综合训练 1、证明平行垂直 1．（2013?辽宁）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点． （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC． 2．（2013?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证： （Ⅰ）PA⊥底面ABCD； （Ⅱ）BE∥平面PAD； （Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD． 3．（2011?福建）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB． （Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD； （Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知 ．M是PD的中点． （Ⅰ）证明PB∥平面MAC （Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD （Ⅲ）求四棱锥p﹣ABCD的体积． 2、求体积问题 5．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1． （Ⅰ）求证：AB∥平面PCD； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC； （Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积． 6．（2011?辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，OA=AB=PD． （Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ； （Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．
7．（2013?安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=． （Ⅰ）证明：PC⊥BD （Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积． 8．（2008?山东）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，． （Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积． 3、三视图 9．已知某几何体的直观图与它的三视图，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D是这个几何体的棱A1C1上的中点． （Ⅰ）求出该几何体的体积； （Ⅱ）求证：直线BC1∥平面AB1D；
空间立体几何基础练习题
空间立体几何基础练习题 1、如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点. ⑴求证： //GH 平面CDE ；⑵求证： BD ⊥平面CDE . 2、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，E 是SD 的中点． （Ⅰ）求证：//SB 平面EAC ；（Ⅱ）求证：AC BE ⊥． 3、长方体1111ABCD A B C D -中11,2AB AA AD ===.点 E 为ＡＢ中点. (I)求三棱锥1A ADE -的体积；(II)求证：1A D ⊥平面11ABC D ；（III ）求证：1BD // 平面1A DE .
4、如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥；（Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积. 5、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为PA 、BC 的中 点，且PD=AD=2。 （1）求证：MN ∥平面PCD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（3）求三棱锥P-ABC 的体积。 6、四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，AB AC =, 1,2==CD BC ．并且侧面ABC ⊥底面 BCDE ， （Ⅰ）取CD 的中点为F ，AE 的中点为G ，证明：FG ∥面ABC ； （Ⅱ）若M 为BC 中点,求证：DM AE ⊥. A B C D E F G A B C D E M G F
立体几何练习题(含答案)
《立体几何 》练习题 一、 选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A 、垂直 B 、平行 C 、相交不垂直 D 、不确定 2. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是（ ） A. BD B. CD C. BC D. 1CC 3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( ) A.βα//n ,//m ,n m ⊥ B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C.αβ?⊥m n n m ,,// D.βα⊥⊥n m n m ,,// 4、平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 5、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 6.点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O,若PA=PB=PC ， 则点O 是ΔABC 的（ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面， 则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ） ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. A.3 B.2 C.1 D.0 9． 设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （ ） A ．若m∥α,n∥α,则m∥n B ．若m∥α,m∥β,则α∥β C ．若m∥n,m⊥α,则n ⊥α D ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β
文数立体几何大题训练
1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学 名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵， 将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵 ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1的组合体中，AB ＝AD，A1B1＝A1D1. (1)证明：直线BD⊥平面MAC； (2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝3，三棱锥A-A1B1D1的体积V′＝23 3，求该组合体的体积． 解：(1)证明：由题可知ABM-DCP是底面为直角三角形的直棱柱， ∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA， 又MA⊥AB，AD∩AB＝A，∴MA⊥平面ABCD， ∴MA⊥BD，又AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC， 又MA∩AC＝A，∴BD⊥平面MAC. (2)设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h， 则三棱锥A-A1B1D1的体积V′＝1 3× 1 2×2×2×h＝ 23 3，∴h＝3， 故该组合体的体积V＝1 2×1×3×1＋ 1 3×(1 2＋22＋12×22)×3＝3 2＋ 73 3＝173 6 . 2.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，点E是PD的中点，棱PA与平面BCE交于点F. ①求证：AD∥EF； ②若△PAB是正三角形，求三棱锥P－BEF的体积． ①证明因为底面ABCD是边长为2的正方形， 所以BC∥AD.又因为BC?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 又因为B，C，E，F四点共面，且平面BCEF∩平面 PAD＝EF， 所以BC∥EF.又因为BC∥AD，所以AD∥EF. ②解由①知，AD∥EF，点E是PD的中点，
立体几何练习题
E O A C B F D 立体几何练习题 1．在直四棱住1111D C B A ABCD -中，12AA =，底面是边长为1的正方形，E 、F 、 G 分别是棱B B 1、D D 1、DA 的中点. (Ⅰ)求证：平面E AD 1//平面BGF ; (Ⅱ)求证：1D E ⊥面AEC . 2．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (1)求证： 1BDD AC 平面⊥（2）求点B 到平面EC A 1的距离. 3.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,90ABC ACB ∠=，2AB =1BC =13AA =． （Ⅰ）求三棱锥111A AB C -的体积； （Ⅱ）若D 是棱1CC 的中点，棱AB 的中点为E ， 证明:11//C AB DE 平面 4．如图，在棱长均为2的三棱柱ABC DEF -中，设侧面四边形FEBC 的两对角线相交于O ，若BF ⊥平面AEC ， AB AE =. (1) 求证：AO ⊥平面FEBC ； (2) 求三棱锥B DEF -的体积. 5.如图，在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB AC ⊥， 11==AA AC ，E 为线 段AB 上的动点. F E A B D C G 1 C 1 A 1 B 1D 1 B 1 C E D C B A 1 D 1 A A B C A 1 B 1 C 1 D C 1 C
（Ⅰ）求证： CA 1C CA 11⊥C 1E ； （2）线段AB 上是否存在一点E ，使四面体E-AB 1C 1的体积为 6 1 ？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由. 6．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB 1A 1A 和侧视图A 1ACC 1 均为矩形，其中AA 1=4。俯视图ΔA 1B 1C 1中，B 1C 1=4，A 1C 1=3，A 1B 1=5，D 是AB 的中点。 （1）求证：AC ⊥BC 1； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1； （3）求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值。 7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中，AC AB ⊥， ABCD PA 面⊥，点E 是PD 的中点。 （Ⅰ）求证：PB AC ⊥（Ⅱ）求证：AEC PB 平面// 8． 如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，3,1===AB AD PA ， 点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。 （1） 求三棱锥PAB E -体积； （2） 当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与 平面PAC 的关系，并说明理由； （3） 求证：AF PE ⊥ 9．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． （1）求证：PA //平面EFG ； （2）求证：GC PEF ⊥平面； （3）求三棱锥P EFG -的体积． A B C D P E F
高一必修二立体几何练习题(含答案)
立体几何初步》练习题 一、 选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A 、垂直 B 、平行 C 、相交不垂直 D 、不确定 2.在正方体ABCD ARGU 中,与AC 垂直的是（ ） A. BD B. CD C. BC D. CC 1 3、线 m,n 和平面 、 ，能得出 的一个条件是 （ ） A. m n,m// ,n// B.m 丄 n, A = m,n C.m//n,n ,m D.m//n,m ,n 4、 平面 与平面 平行的条件可以是（ ） A. 内有无穷多条直线与 平行； B.直线a// ,a// C.直线a ，直线b ，且a// ,b 〃 D.内的任何直线都与 平行 5、 设m 、n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 其中正确命题的序号是（） 7. 若I 、m 、n 是互不相同的空间直线，a 、B 是不重合的平面, 则下列命题中为真命题的是（ ） A ?若 // ,l ,n ，则 l//n B ?若 ,1 ，则 I ①若 m ， n/ / ，则 m n ②若 / / // ， m ，则 m ③若 m/ / ， n/ / ，则 m//n ④若 ，则 // A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 6?点P 为A ABC 所在平面外一点，P0丄平面ABC , 垂足为0若PA=PB=PC , 则点0是A ABC 的（ ） A. 内心 B.外心 C.重心 D.垂心
C.若 I ,1〃 ，则 D .若丨 n, m n ，则 I // m 8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ） ① 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面 A.3 B.2 C.1 D.0 9. （2013浙江卷）设m.n 是两条不同的直线,a .是两个不同的平面， （ ） —B 1EF 的体积为 __________ 12. 对于空间四边形 ABCD ，给出下列四个命题：①若 AB=AC ，BD=CD 则BC 丄AD ;②若 AB=CD ，AC=BD 贝U BC 丄AD ;③若 AB 丄AC ，BD 丄CD 贝U BC 丄AD ;④若 AB 丄CD ， BD 丄AC 则BC 丄AD ;其中真命题序号是 ____________ 13. 已知直线b 〃平面，平面//平面，则直线b 与 的位置关系 为 ___________________ 14. 如图，△ ABC 是直角三角形， ACB= 90，PA 平面 ABC ，此 图形中有一个直角三角形 A .若 m // a a 贝 U m // n a B. 若 m // a ,m/ B 则 all B D . 若 m // a ,lx B 贝U m B 10. （2013 广东卷）设I 为直线, 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若 I// ,l// ，则 // B .若 I C. 若 I ,I // ，则 // D .若 二、填空题 ,I ，则 // ,I//，则 I E ， F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B
(完整word版)立体几何练习题(精)
立体几何练习题 1.设a 、3、丫为两两不重合的平面，I 、m 、n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: 若 a 丄 Y 3-L Y,贝V a // ②若 m? a , n? a, m // n // 3 ,贝a// B; ③若 a// 3, I? a,贝U I // 3；④若 aAB , =3 门丫 =n YHa , =h// 丫，则 其中真命题的个数是() A . 1 B. 2 2.正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1 中, 返 B .逅 3 3 C. 3 D. 4 BDi 与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A. D. 3.三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 中，AA i =2 且 AA i 丄平面 ABC, △ ABC 是 边长为二的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上, // n . 则这个球 A. 8 n B. 8兀 3 C. D.引 2 n 4.三个平面两两垂直, 它们的三条交线交于点 O , 空间一点 P 到三个平面的距离分别为 3、4、5 ,贝U OP 长为（） A. 5^3 B. 2后 C. 3后 D 5岳 的体积为（） SD 丄底面ABCD,则下列结论中不正确的是（） 5.如图，四棱锥S- ABCD 的底面为正方形, A. ACL SB B . AB//平面 SCD C. SA 与平面SBD 所成的角等于 SC 与平面SBD 所成的角 D. AB 与SC 所成的角等于DC 与 SA 所成的角 6.如图，四棱锥 P- ABCD 的底面为正方形，PD 丄底面ABCD, PD=AD=1, 设点CG 到平面PAB 的距离为 d i ,点B 到平面PAC 的距离为d 2,则有（ A. 1 < d 1 < d 2 B . d 1 v d 2< 1 C. d i < 1 < d 2 D. d 2< d i < 1 7.在锐角的二面角 EF EF , AG , GAE 45 , 若AG 与所成角为 30，则二面角 EF 为 8?给出下列四个命题: (1) 若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，贝U // ; 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; 两条异面直线中的一条平行于平面 ，则另一条必定不平行于平面 a,b 为异面直线，则过 a 且与b 平行的平面有且仅有一个.
立体几何练习题精
练 体 何 题 几 习 2 C B D C A 2^2 n C B D 3 3 5 B D ■ /i EF A E D. 4 A. 1 B. 2 C. 3 A. 8 1.设a 、休丫为两两不重合的平面，I 、m 、n 为两两不重合的直线，给岀下列四个命题: m? a, n? a, m // B, n // p,贝U all B ； 若a 丄Y, B 丄Y 贝U all B ；②其中真命题的个数是（） 若AG 与 所成角为30，则二面角 EF 为 ③若all B l?a,则I // B ④若 aQp ,=l B^Y =m 丫门％ 亍nl ll 丫，贝U 的体积为 4?三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点 则OP 长为（） A. 5 .「； B . 2 口 5?如图，四棱锥 S- ABCD 的底面为正方形, A. ACL SB B . AB//平面 SCD 6?如图，四棱锥 P- ABCD 的底面为正方形，PD 丄底面ABCD, PD=AD=1, A. 1 v d i v d 2 C. d 1 v 1 v 7?在锐角的二面 8?给出下列四个命 （1）若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，则 〃 0,空间一点P 到三个平面的距离分别为 3、4、5, C. 3 仃 D. 5. ■: SD 丄底面ABCD,则下列结论中不正确的是（） C. SA 与平面SBD 所成的角等于 SC 与平面SBD 所成的角 D. AB 与SC 所成的角等于DC 与 SA 所成的角 设点CG 到平面PAB 的距离为 d 1,点B 到平面PAC 的距离为d 2,则有（ 2?正方 体 A.- ABCD- A 1B 1C 1D 1 中, 3 BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） 3?三棱 ABC- A 1B 1C 1 中，AA 1=2 且 AA 1 丄平面 ABC, △ ABC 是 边长为二的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上, 则这个球 d 1 v d 2v d 2< d 1 v A EF , AG , GAE 45 ,