2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷文科数学(一)(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷

文科数学（一）（解析版）

本试题卷共2页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =（ ）

A ．{}0,2

B ．()2,0

C ．(){}0,2

D ．(){}2,0

【答案】D

【解析】解方程组22x y x y +=-=???，得2

0x y =??=?

．故(){}2,0M

N =．选D ．

2．设复数12i z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4- B ．()5,4 C ．()3,2- D ．()3,4

【答案】A

【解析】()2

212i 12i 144i 34i z z =+?=+=-+=-+，所以复数2z 对应的点为()3,4-，故选A ． 3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）

A ．

34

B ．

78

C ．

1516

D ．

3132

【答案】C 【解析】1i =， （1）21,2x x i =-=，

（2）()221143,3x x x i =--=-=， （3）()243187,4x x x i =--=-=， （4）()28711615,5x x x i =--=-=， 所以输出16150x -=，得15

16

x =

，故选C ．

4 ）

A ．4-

B ．4

C ．1

3-

D ．13

【答案】C

【解析】sin 2cos tan 2ααα-=-?=，

C ．

5．已知双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的一个焦点为()2,0F -，一条渐近线的斜率为

该双曲线的方程为（ ）

A ．2

213x y -=

B ．2

213

y x -= C ．2

213y x -=

D ．2

2

13

x y -= 【答案】B

【解析】令22

220x y a b

-=，解得b y x a =±，故双曲线的渐近线方程为b y x a =±．

，解得221 3a b ==???，∴该双曲线的方程为22

13y x -=．选B ． 6．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的

全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为?8?y

x b =+，则?b 为（ ）

A ．5

B ．15

C ．12

D ．20

【答案】C

【解析】由题意可得：2456855x ++++=

=，2535605575

525

y ++++==，

回归方程过样本中心点，则：?5285b =?+，1?2b ∴=．本题选择C 选项． 7．已知()201720162018201721f x x x x =++++，

下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）

开始

i =1,n =2018结束

i ≤2017？

是

否

输入x 0

S =2018

输出S

S =Sx 0

S =S+n

i =i +1

A ．2018n i =-

B ．2017n i =-

C ．2018n i =+

D ．2017n i =+

【答案】A

【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++

++，

首先201812018S =?=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i =-． 8．设π

02

x <<

，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】作图cos y x =，2y x =，y x =，0,2x π??∈ ???，可得2cos x x

A ．

9．如图为正方体1111ABCD A BC D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与

11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】取线段1B A 中点为N

理，当N 为线段AC 或1CB 的中点时，

符合C 项的图象特征．故选C ．

10．已知双曲线E ：22

221x y a b

-=(0,0)a b >>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象

限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）

A ．1

2

B ．15

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】不妨设2,b B c a ??- ???，由此可得(),0A a ，2,b C c a ??

- ???，(),0F c ，20,2b M a ?? ???

，由于A ，C ，

M 三点共线，故22

2b b a a a a c

=--，化简得3c a =，故离心率3e =．

11．已知点()4,3A 和点()1,2B ，点O (OA tOB t +∈R

） A ．B ．5

C ．3

D 【答案】D

【解析】由题意可得：()4,3OA =，()1,2OB =，则：

(

4,3OA tOB +=

结合二次函数的性质可得，当2t =-OA tOB +=

本题选择D 选项．

12

12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =，设1C 与2C 的离心率分别为1e ，

2e ，则21e e -的取值范围是（ ） A ．1,3??+∞????

B ．1,3??+∞ ???

C ．1,2??+∞????

D ．1,2??+∞ ???

【答案】D

【解析】设122F F c =，令1PF t =，由题意可得：22t c a -=，12t c a +=， 据此可得：12a a c -=

2121

e e e =+，

由21e >

则：2112e e ->

，即21e e -的取值范围是1,2??

+∞ ???

．本题选择D 选项． 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13．已知平面向量a 与b 的夹角为

． 【答案】2 【解析】

2+=a b ，即224412+?+=a a b b

，

14．如果1P ，2P ，…，10P 是抛物线C ：2

4y x =上的点，

它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，10x ，

是抛物线C 的焦点，若121010x x x +++=，则1210PF P F P F +++=_________．

【答案】20

【解析】由抛物线方程24y x =，可得2p =．

则1

2101210105p 2022

2

p p p

PF P F P F x x x +++=+

+++++

=+=， 故答案为：20．

15．若x ，y 满足约束条件20

40 2x y x y y -+??+-???

≥≤≥，则

1y

x +的取值范围为__________． 【答案】2,23??

????

【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．

1

y

x +表示可行域内的点(),M x y 与点()1,0P -连线的斜率．

由40

2x y y +-=??=?，解得2 2x y =??=?，故得()2,2B ；

由20

2x y y ++=??=?，解得0 2x y =??=?，故得()0,2A ．

因此可得2PA k =，23

PB k =

， 结合图形可得

1y x +的取值范围为2,23??????．答案：2,23?????

?

． 16．在三棱椎P ABC -中，底面ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且2PA PB ==，

PA AC ⊥，则该三棱椎外接球的表面积为________．

【答案】12π

【解析】由于P A P B =，CA CB =，PA AC ⊥，则P B C B ⊥，因此取PC 中点O ，则有

O P O C O A O B ===，即O 为三棱锥P ABC -外接球球心，又由2PA PB ==，

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列{}n a 满足2n n S a n =-()*n ∈N ． （1）证明：{}1n a +是等比数列； （2）求13521...n a a a a +++++()*n ∈N ．

【答案】（1）证明见解析；（2）232353n n +--．

【解析】（1）由1121S a =-得：11a =，···········1分 因为()()()11221n n n n S S a n a n ---=----()2n ≥， 所以121n n a a -=+，···········3分 从而由()1121n n a a -+=+得

11

21

n n a a -+=+()2n ≥，·

··········5分 所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．···········6分 （2）由（1）得21n n a =-，···········8分

所以()()321135212221n n a a a a n +++++???+=++???+-+(

)()1

214114

n n +-=

-+-

232353

n n +--=．···········12分

18．“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照[)0.1,0.2，[)0.2,0.3，，[]

0.9,1分组，得到如下频率分布直方图：

根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：

（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；

（2）从这100名购物金额不少于0．8万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．

【答案】（1）64（元）；（2）

10

21

． 【解析】（1）购物者获得50元优惠券的概率为：()1.52 2.50.10.6++?=，····1分 购物者获得100元优惠券的概率为：()1.50.50.10.2+?=，···········2分 购物者获得200元优惠券的概率为：()0.50.20.10.07+?=，···········3分

∴获得优惠券金额的平均数为：500.61000.22000.0764?+?+?=（元）．····6分

（2）这100名购物者购物金额不少于0.8万元的共有7人，不妨记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，

G ，其中购物金额在0.8～0.9万元有5人（为A ，B ，C ，D ，E ），利用画树状图或列表的

办法易知从购物金额不少于0．8万元7人中选2人，有21种可能；这两人来自于购物金额在0．8～0．9万元的5人，共有10种可能， 所以，相应的概率为

10

21

．···········12分 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是棱,BC AB 的中点，点F 在1CC 棱上，且

AB AC =，13AA =，2BC CF ==．

（1）求证：1C E ∥平面ADF ；

（2）当2AB =时，求三棱锥1A DEF -的体积．

【答案】（1）见解析；（2

）12

．

【解析】（1）连接CE 交AD 于点P ，连接PF ，

由D ，E 分别是棱BC ，AB 中点，故点P 为ABC ?的重心，···········2分

∴在1CC E △中，有

12

3

CP CF CE CC ==， ∴1PF EC ∥，·

·········4分 又1EC ?平面ADF ，∴1C E ∥平面ADF ，···········6分

（2）取1AA 上一点H 使12AH HA =， ∵12CF FC =且直三棱柱111ABC A B C -， ∴HF AC ∥，∵,D E 为中点，

∴DE AC ∥，DE HF ∥，HF ∥平面1A DE ，···········8分 ∴1111A DEF F A DE H A DE D A HE V V V V ----===，···········9分

而111

1122

EHA S ?=??=，

点D 到平面11AA B B

，

∴111132D A HE

A DEF V V --=?==， ∴三棱锥1A DEF -

．···········12分

20．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且

椭圆C

的短轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ?=（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)22

143

x y +=；(2)答案见解析．

【解析】（1

···········2分

C 的标准方程是22143x y +=···········4分

（2）当直线l

的斜率不存在时，(M

，(0,N

3OM ON ?=-，不符合题意···········5分