§2.1.1函数的概念和图象

§2.1.1函数的概念和图象(1)

一、回顾引入：

１．根据初中所学知识，回答什么叫函数？

２．初中学过的具体函数有哪些？图象特点是什么？

初中学过常数函数、一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，请写出这些函数的一般形

下面观察实例：课本21P 中的三个问题，如何用集合语言来简述三个问题的共同特点？ 1．单值对应：具有的特征的对应.

2．函数的定义：设,A B 是两个_________数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的__________元素x ，在集合B 中都有____________的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为 ______________________．

3．定义域：在)(x f 的对应中____ ________x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域. 4．值域：对于A 中的每一个x ，都有一个输出值与之对应，将 y 组成的集合C 叫做函数()y f x =的值域，则C B 。

练习1：求下列函数的定义域：（1）2

1)(-=x x f ；（2）2)(+=

x x f ．

练习2：判断下列对应是否是函数：

（１）R x x x

x ∈≠→,0,2；（２）R y N x x y y x ∈∈=→,,,2这里

5．注意点：

① 函数是非空数集到非空数集上的一种对应，且是一个对应。.

② 符号“f :：A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素：，

三者缺一不可.

③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.

④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样.

⑤f (x )是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.，符号y=f(x)的含义：

三、典例欣赏：

例１．下列各组中的两个函数是否为同一个函数？为什么？（１）2x y =

与2)(x y =；

（２）||)(x x f =与2)(t t g =；（３）1)(2-=

x x f 与11)(-+=x x x g ；

思考：函数y=f （x ），x ∈A 与函数z=f （t ），t ∈A 是否为同一函数？

变题：下列函数中哪个与函数y=x 是同一个函数？

（1）y=)x (2

；（2）y=x

；（3）y=33x ；（4）y=x 2；（5）y=x ，x ∈Z ．

例２．求下列函数的定义域：

（１）8

|3|152)(2

-+--=x x x x f ；（２）x

y 11111++

；（3）f （x ）=

|x |)

1x (0

-+．

总结：求函数的定义域的步骤：

思考：求函数定义域的主要依据有哪些？

变题1：函数8

|3|22-++-=x a

x x y 的定义域为),5(]3,11()11,(+∞----∞ ，

那么a 的值为．变题2：已知函数32++=

ax x y 的定义域为R ，则a 的取值范围是

变题3

：已知函数y =R ，则a 的取值范围是例３．已知f （x ）=|x-1|-2，x ∈{-2，-1，0，1，2，3} （１）求f[f(-1)]；f[f(1)]；（２）求f(x)值域、最大值、最小值；（３）画出函数的图象．变式练习：

1．已知函数2()352f x x x =-+

．则(f = ；()f a = ；

(1)f a += ；(1)f x += ；[(1)]f f = ；

[()]f f x = ．

2．求下列函数的值域。

（1）}4,3,2,1{,12∈+=x x y ；（2）21,y x x R =+∈；（3）12

+=x y ．

拓展思考：已知函数)x (f y =的定义域为]4,2[-，求 )2x (f -的定义域。【针对训练】：班级姓名学号１．下列四组中的函数f(x)、g(x)，表示同一个函数的是 .

（１）f （x ）=1，g （x ）=x 0

；（２）f （x ）=x-1，g （x ）12-=x

x ；

（３）f （x ）=x 2，g （x ）=4)x (；（４）f （x ）=x 3

，g （x ）=3

；

（５）f （x ）=|x|，g （x ）=???<->0

,x x x x ；（６）f （x ）=3x )3x (2

++，g （x ）=0)3x )(3x (++．２．已知??

??<+=>-=)

0(,1)0(,0)

0(,1)(x x x x x x f ，则)]21([f f 的值是．

３．函数f(x)=x 21-+1x 2-的定义域是 . 4．已知函数182++=

bx ax y 的定义域为]6,3[-，则a = ；b = ．

5．函数x x y 22

-=的定义域为}3,2,1,0{，那么其值域为． 6．画出下列函数的图象，并写出函数的定义域、值域：

（1）y =5x 4+-； (2)y=x

； (4)y=x 2-6x+7．

7．求下列函数的定义域：

(1) f(x)=2

x 36x 2

+-； (2)f(x)=2x 4x ++； (3)f(x)=

x 38x 43

-+；

(4)f(x)=4x 211x 3+-+-； (5)f(x)=9x 2

-； (6)2

|1|4

3)(2-+--=

x x x x f ．

8．函数y =R ,求实数m 的取值范围．

9．函数3

44)(23

++-=ax ax x x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．

10．已知)(2)(),1(11

)(2R x x x g x R x x

x f ∈+=-≠∈+=且．（1）求f(2), g(2)的值；（2）求)]2([g f 的值；（3）求)]([x g f 的解析式。

【拓展提高】

11．设{}{}1,2,,4,7,13A m B ==，对任意,31x A x x ∈→+表示从A 到B 的函数，求实数m

的值．

§2.1.1函数的概念和图象（2）

二、新课讲授： 1、函数图象的概念：

练习：作出下列函数的图象：

（1）()1f x x =+，（x R ∈）；（2）()1f x x =+，（x ∈{0，1，2，3，4}）；（3）()1f x x =+，（(2,

1]x ∈-. （4）1)1(2+-=x y

思考：设函数()y f x =的定义域为A ，则集合{(,)|(),}P x y y f x x A ==∈与

{}(),Q y y f x x A ==∈相等吗？又设}1|),{(==x y x N ，则P N 中元素个数怎样？

三、典例欣赏

例1．作出下列函数的图象，根据图象说出函数的值域，并指出最值及取最值时相应的x 的值（1）2()22f x x x =-+；（2）2()22f x x x =-+，[1,2)x ∈-；（3）()f x x =. 变题：（1）[)2,1,2∈=x x y （2）x x x f ,)(=为正实数

例2．试画出f(x)=x 2+1图象，并根据图象回答问题：

(1) 比较f(-2) 、f(1)、 f(3)的大小；

(2) 若0

（1）如果把“0

例3．在同一直角坐标系中作出函数2

(),(1),(1),()1f x x y f x y f x y f x ==-=+=-的图象，

并指出它们之间的相互联系。

归纳：

1．函数()(0)y f x k k =->的图象是由函数()y f x =的图象向平移个单位得到的。 2．函数()(0)y f x k k =+>的图象是由函数()y f x =的图象向平移个单位得到的。 3．函数()(0)y f x h h =+>的图象是由函数()y f x =的图象向平移个单位得到的。 4．函数()(0)y f x h h =->的图象是由函数()y f x =的图象向平移个单位得到的。

练习：画出下列函数的图象

（1）|1|y x =- （2） 11--=x y （3）y= 12-+x x （4）y= 1

-+x x ，[1,1)(1,2]x ∈-

【针对训练】：班级姓名学号 1．已知函数)(x f y =，则集合(){}(){},(),,2x y y f x x R x y x =∈?=中元素的个数为 2．已知函数93)(2--+=a ax x x f 的值域为[)∞+，0，则(1)f =

3．若函数()y f x =的图象经过点()0,1，则函数()1y f x =-的图象必经过点 4．试写出一个函数使其定义域分别为下列集合

1）{x | x ≠2, x ∈R } 2） (0,+∞)

3）[)+∞,1 4） [-1,3] 5．试写出一个函数使其值域分别为下列集合

1）R 2）(]5,1- 3）(-∞,0)?(0,+∞) 4）[)+∞-,3 6．若函数()y f x =的值域是[3，10]，则函数)1(-=x f y 的值域是，函数1)(-=x f y 的值域是，函数1)1(--=x f y 的值域是。 7．作出下列函数的图象，并根据图象说出函数的值域：

(1) ))3,0[(22∈-=x x x y (2) y=|x 2+2x-3|

(3) 1

,01,1

x x

y x x ?<

【拓展提高】 8．求函数2

x y -+=的定义域和值域。

9．方程 02

2=--

k x x 在[-1，1]上有实根，求k 的范围。

10．m 是什么实数时，方程| x 2-4x+3 |=m 有三个互不相等的实数解。