开侨中学2018届高三理科数学考前练笔卷(二)

开侨中学2018届高三理科数学考前练笔卷（二）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}04A x x =≤≤，{}3log 0B x x =>，则A B =（ ）

A ．[]0,4

B ．(]0,4

C ．[]1,4

D ．(]1,4

2．已知复数z 满足()1i 2z +=，则复数z 的虚部为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．i

D ．i -

3．设变量x 、y 满足约束条件10220220x y x y x y +-≥??

-+≥??--≤?

，则32z x y =-的最大值为（ ）

A ．2-

B ．2

C ．3

D ．4

4．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（ ）

A ．0.6

B ．0.7

C ．0.8

D ．0.9

5．已知抛物线C ：24y x =，直线l ：330x y --=与抛物线C 交于A 、

B 两点，则AB =（ ）

A ．409

B ．4

C ．229

D ．2

6．根据如图所示的程序框图，当输入x 为2018时，输出的y 为10，则

判断框中的条件可以是（ ） A ．2x ≥ B ．1x ≥ C ．1x ≥- D ．3x ≥-

7．若2tan sin2cos 4αααπ??+=+ ???，,2απ??

∈π ???

，则()tan απ-=（ ）

A ．3-

B ．3

C ．4

D ．4-

8．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 （单位：cm ），则该几何体的体积为（ ） A ．3120cm B ．380cm C ．3100cm D ．360cm

9．函数()2ln x x

f x x =的图象大致是（ ）

10．已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c

，若b ，6

C π=

，2ABC S A ?=，则ABC S ?=（ ）

A

B

C

D ．2

11．某校高三（1）班每周都会选出两位“进步之星”，期中考试之后一周“进步之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“进步之星”是（ ）

A ．小赵、小谭

B ．小马、小宋

C ．小马、小谭

D ．小赵、小宋 12．若函数()()22ln f x m x x x =+-有唯一零点，则m 的取值范围是（ ）

A ．0m <或12

m ≥

B ．0m <或12

m =

C ．1

2

m ≥

D ．0m <

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量a 、b ，6=a ，4=b ，a 与b 的夹角为60?，则()()23+?-=a b a b ．

14．已知()4

1ax +（0a >）展开式的所有项系数之和为256，则222a

x x ??+ ??

?的常数项为 ．

15．A 、B 、C 、D 是同一球面上的四个点，△ABC 中，23

BAC π

∠=，AB AC =，AD ⊥

平面ABC ，6AD =，AB =，则该球的表面积为 ．

16．已知F 是双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的右焦点，P 是y 轴正半轴上一点，

以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M ．若点P 、M 、F 三点共线，且△MFO 的面积是△PMO 面积的5倍，则双曲线C 的离心率为 ．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）

在数列{}n a 中，已知13a =，()111n n n a na ++-=（n ∈*N ）．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2n n b =，n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和为n S ． 18．（本小题满分12分）

如图①，在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，AE BF ==

，现将梯形沿CB 、DA 折起，使EF ∥AB 且2EF AB =，得一几何体ABCDEF 如图②所示，已知M 、N 、P 分别为BD 、AF 、EF 的中点．

（1）求证：AP DE ⊥；

（2）若2AB AD =，求二面角A D E F --的余弦值．

对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y bx a =+，②e dx y c =拟合，

得到回归方程分别为()1

?

，()20.022?x ，作残差分析，如下表： （2）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；

（3）残差大于1kg 的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（2）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）

附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线?y bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()

(

)

1

2

1

?n

i

i i n

i i x

x y y b

x x

==--=-∑∑，??a

y bx =-．

20．（本小题满分12分）

设点A 、B 的坐标分别为()2,0-、()2,0，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是14

-．

（1）求点M 的轨迹方程E ； （2）O 为坐标原点，直线l 与E 交于C 、D 两点，N 为线段CD 的中点．已知1ON =，求△COD 的面积最大值．

函数()()ln 2

112x f x a x x

+=

+--． （1）当0a =时，求函数()f x 的极值；

（2）若对任意的()

()0,11,x ∈+∞，不等式

()1f x a

x

x

<

-恒成立，求实数a 的取值范围．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：2cos sin x y ?

?=+??=?

（?为参数），在以O 为极点，x 轴正半

轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：ρθ=．

（1）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥，02θ≤<π）；

（2）若点P 在1C 上，点Q 在2C 上，且PQ 过极点，求PQ 的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()21f x x =+，()g x x a =+．

（1）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；

（2）若存在x ∈R ，使()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．

高三理科数学考前练笔卷（二）参考答案：

一、选择题 1．【答案】D

【解析】()1,B =+∞，所以(]1,4A B =．

2．【答案】B 【解析】2

1i 1i

z =

=-+，所以复数z 的虚部为1-． 3．【答案】C

【解析】画出可行域，可知当直线过点A 时，z 取得最大

值．由10220x y x y +-=??--=?可得1

0x y =??=?

，所以max 3z =．

4．【答案】C

【解析】记甲在第一、第二个路口遇到红灯分别为事件A 、B ，则()0.5P A =，

()0.4P AB =，于是()()()

0.4

0.80.5

P AB P B A P A =

=

=． 5．【答案】A

【解析】直线l 过抛物线的焦点，联立2

330

4x y y x

--=??

=?可得292290x x -+=，所以

40

29

A B AB x x =++=

． 6．【答案】C

【解析】由31x y -=+，令10y =可得2x =-，由框图中2x x =-可知，每循环一次就减少2，所以判断框中应填的条件为1x ≥-． 7．【答案】B

【解析】由2tan sin 2cos 4αααπ?

?+=+ ???可得2tan 12tan 11tan tan 1αααα++=

-+，解得tan 3α=-（舍去tan 0α=），所以()tan tan 3ααπ-=-=．

8．【答案】C

【解析】该几何体是长方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥111A A B D -后 所剩几何体，体积为11

54654610032

??-????=3cm ． 9．【答案】D

【解析】当0x >时，()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，所以()f x 在10,e ??

???

上递减，在1,e ??

+∞ ???

上递增，选D ．

10．【答案】A

【解析】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得)

)

2

222c a a =+

-??

，

解得c a =，从而6A C π==，2

12ABC S ???

= ???

．

11．【答案】A

【解析】法1：若小马、小宋为进步之星，则小马的说法错误，小赵、小宋、小谭的说

法都正确，排除B ；若小马、小谭为进步之星，则四个人的说法都错误，排除C ；若小赵、小宋为进步之星，则小赵、小宋、小谭的说法错误，小马的说法正确，排除D ．若小赵、小谭为进步之星，则小赵、小谭的说法错误，小马、小宋的说法正确，选A ．

法2：小赵、小谭的说法要么同时错误，要么同时正确．若小赵、小谭的说法正确，则小宋是进步之星，由小宋的说法（小宋的说法是错误的）可知，另一个进步之星是小赵，矛盾！所以小赵、小谭的说法是错误的，小马、小宋的说法是正确的，由此可推断进步之星是小赵、小谭． 12．【答案】B

【解析】法1：()()222ln 1

2ln 0x x m x x x x m ++-=?

=，于是 函数()f x 有唯一零点等价于1

y m

=与()()2

2ln x x g x x +=有且仅有 一个交点．()()

3

212ln x x g x x --'=，令()12ln h x x x =--，则

()2

10h x x

'=--<，于是()h x 在()0,+∞上递减，因为()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()g x 递增，当1x >时，()0h x <，()g x 递减．()12g =，当x →+∞时，

()0g x +→，当0x +→时，()g x →-∞．画出()g x 的图象，可知当10m ≤或12m =，即0m <或12m =时，1

y m

=与()()2

2ln x x g x x +=

有且仅有一个交点，函数()f x 有唯一零点．

法2：()1212f x m x x ??

'=+- ???

．当12m =时，()()()211x x f x x +-'=-，所以

()2ln f x x x x =+-在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，而()10f =，所以()f x 有唯一零点，

排除D ．当1m =时，()()221x x f x x

--'=-，所以()22ln 2f x x x x =+-

在? ??

上递

增，在?

+∞??

??

上递减，()110f =>，()332ln30f =-+<，13

2ln 2024

f ??=-< ???，所以()f x 有两个零点，不合题意，排除A 、C ． 二、填空题 13．【答案】72-

【解析】()()2223672+?-=-?-=-a b a b a a b b ． 14．【答案】240

【解析】()4

1ax +（0a >）展开式的所有项系数之和为()4

1256a +=，解得3a =（舍

去5a =-），于是6

22x x ??+ ???

的常数项为44

62C 240=．

15．【答案】84π

【解析】将四面体补成一个以△ABC 外接圆面为底面，AD 为高的圆柱，则球心就是圆柱的中心，2

2

2

2h R r ??

=+ ???

，其中r 为△ABC

外接圆的半径，即r =h 是圆柱的高，

即6h =，所以221R =，于是2484S R =π=π． 16．

【解析】5MFO PMO MF S

S MP

??==，设MP t =，5MF t =，由△MFO ∽△MOP ，可得

MF MO MO

MP

=

，即2

25MO MF MP t ==

，即MO =

，于是

MF b a MO

=

c e a ==

三、解答题 17．（本小题满分12分）

【解析】（1）由()111n n n a na ++-=，得

()()12211n n n a n a +++-+=． ……………………………2分

两式相减，得()()()12221n n n n a n a a +++=++，即

122n n n a a a ++=+． ………………………………3分

所以数列{}n a 是等差数

列．………………………………………………………………………………4分

由112

321a a a =??-=?，得25a =，所以

212d a a =-=． ……………………………………………………5分

所以

()1121n a a n d n =+-?=+． ……………………………………………………………6分 （2）因为

()212n n c n =+． ………………………………………………………………………………7分

所以()123252212n n T n =?+?+

++?，于是

()23123252212n n T n +=?+?+

++?． …………9分

则有

()121322222212n n n T n +=-?-?-

-?++?．…………………………………………10分

即()()()11141221262212212

n n n n T n n -++?-=+?--?

=-?+-． ……………………12分

18．（本小题满分12分）

【证明】（1）依题意知DA AB ⊥，DA AE ⊥，且AB AE A =I ，所以AD ⊥平面ABFE ．………1分

因为AP ?平面ABFE ，所以

AP AD ⊥．………………………………………………………………2分

因为P 为EF 中点，所以FP AB =，又EF ∥AB ，所以四边形ABFP 是平行四边形，所以AP ∥BF ，

AP BF =．………………………………………………………………………………3分

不妨设2AE =，则2AP =

，PE =，所以222AP AE PE +=，所以AP AE ⊥．………………4分

又AD AE A =I ，AD 、AE ?平面ADE ，所以AP ⊥平面ADE ． ……………5分 因为D E ?平面ADE ，所以AP DE ⊥． ……………………………6分 【解析】（2）由（1）可知，分别以AP 、AE 、AD 所在的直 线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，

(D ，()0,2,0E ，()2,0,0P ．…………………………7分

由（1）可知AP ⊥平面ADE ，所以平面ADE 的一个法向量 为()2,0,0AP =u u u r

．…………………………………………………8分

设平面DEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，则00

PE DE ??=???=??uur uuu r n n ，

所以220

20x y y -+=???

=??，令1x =，则1y =

，z

(=n ．…………………………………………………………………………………10分

因为1

cos ,2

AP AP AP ?==uu u r

uu u r uu u r n n n ，且二面角A D E F --为锐角．……………………11分

所以二面角A D E F --的余弦值为1

2

． …………………………………12分 19．（本小题满分12分）

【解析】（1）根据残差分析，把80x =代入()1

?0.248.81y

x =-得()1?10.39y

=． ……………………1分 因为1010.390.39-=-，所以表中空格内的值为0.39-． ……………………………………………2分

（2）模型①残差的绝对值和为0.410.010.39 1.210.190.41 2.62+++++=，模型②残差的绝对值和为

0.360.070.12 1.690.34 1.12 3.7+++++=． ……………………………………………4分

因为2.62 3.7<，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．…………………6分 （3）残差大于1kg 的样本点被剔除后，剩余的数据如表：

607080100110845x ++++== 6810151811.45

y ++++==． ……………8分

()(

)

()()()()()()5

1

24 5.414 3.44 1.416 3.626 6.6412

i

i i x

x y y =--=-?-+-?-+-?-+?+?=∑．………9分

(

)

()()()5

2

222

221

2414416261720i i x x

=-=-+-+-++=∑． ……………………………10分

所以412?0.241720

b =≈．……………………………………………………………………11分

??

11.40.24848.76a

y bx =-=-?=-，所以回归方程为?0.248.76y

x =-．……………………………12分 20．（本小题满分12分）

【解析】（1）设(),M x y ，则

1224

y y x x ?=-+-． ……………………………………………………2分 化简可得点M 的轨迹方程为E ：2

214

x y +=（2x ≠±）．……………………………………………4分

（2）当直线l 的斜率不存在的时候，其方程为1x =±，此时CD ，所以△COD 的

面积为112=．……………………………………………………………………5分

当直线l 的斜率存在的时候，设为y kx m =+．联立22

14

y kx m x y =+??

?+=??消去y ，可得(

)

222

418440k x kmx m +++-=，于是122

8

km x x +=-，21224441m x x k -=+．………7分

因为12

CD x -=

d =

，所以

1

2COD S CD d ?==

． …………………………………………9分 因为224,4141km m N k k ??- ?++??，而1ON =，所以22

22414141km m k k ????-+=

? ?++?

???

，即

()

2

2

2

241161

k

m k +=

+． ………………………………10分

于是COD S ?=

=

设2241161k t k +=+，

则1,14t ??∈ ???

，且()

22

4COD S t t ?=-+，当12t =，即218k =，k =时，2

COD S ?取得最大值1，即△

COD 的面积最大值为1． 综上所述，△COD 的面积最大值为1． ………………………………12分 21．（本小题满分12分）

【解析】（1）当0a =时，()ln 212x f x x +=-，()2

ln 1

2x f x x --'=

． ……………1分 由()0f x '>可得10e x <<，由()0f x '<可得1e x >，所以()f x 在10,e ??

???

上递增，在

1,e ??+∞ ???

上递减． ……………………………………………………3分 所以()f x 的极大值为1e

1e 2

f ??=- ???，没有极小值．……………………………4分

（2）不等式等价于

()01

f x a

x x +

>-，即()()101

xf x a x x +->-，即()()21

ln 212101x a x x x ??+--->?

?-． …………………………………………………6分

令()()

()2ln 2121g x x a x x =+---，0x >，其必要条件为()26ln 220g a =+->，即

2l n2

06

a ->

>． ……………………………………………………………7分 ()2142142ax x g x ax x x -+'=+-=，()2

421h x ax x =-+是开口方向向上，以14x a

=为

对称轴，过点()0,1的抛物线，其416a ?=-．……………………………………………8分 ①当0?≤，即1

4

a ≥

时，()0h x ≥在()0,+∞上恒成立，所以()0g x '≥，于是()g x 在()0,+∞上递增．当01x <<时，()()10g x g <=，当1x >时，()()10g x g >=，所以

()1

01

g x x >-．……………………10分 ②当0?>，即104a <<时，由()0h x =

，可得1x =>，而()1410h a =-<，

所以当1x <<时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x

在? ??

上递减，()()10g x g <=，于是()1

01

g x x <-，不合题意．

综上所述，a 的取值范围是1,4??

+∞????

．………………………………………12分

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

【解析】（1）由22cos sin 1??+=可得曲线1C 的直角坐标方程为()2

224x y -+=，即

2240x y x +-=． ………………………………………………………………………1分

由ρθ=

可得2sin ρθ=，因为sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线2C 的

直角坐标方程为

220x y +-=．………………………………………………………………3分

联立2222

400x y x x y ?+-=??+-=??，解得00x y =??=?

或3x y =???=??

，所以1C 与2C 交点的极坐标为()0,0

和6π?

? ??

?．……………………………………………………………………………5分

（2）设直线PQ 的极坐标方程为θα=（ρ∈R ），其中0α≤<π．………6分

曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，因此点P 的极坐标为()4cos ,αα．…8分

点Q

的极坐标为()

,αα

．所以4cos 8sin 6PQ αααπ?

?=-=- ??

?，当

3

α2π

=

时，PQ 取得最大值，最大值为8．………………………………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

【解析】（1）当0a =时，由()()f x g x ≥得21x x +≥．………………………2分

两边平方整理得23410x x ++≥，解得1x ≤-或1

3

x ≥-． …………………………4分

所以原不等式的解集为(]1,1,3??-∞--+∞????

． ………………………………5分 （2）由()()f x g x ≤，得21a x x ≥+-． ………………………………6分

令()21h x x x =+-，则

()11,2131,021,0x x h x x x x x ?

--≤-??

?

=+-<

+≥???

．…………………………………………………9分

所以()min 1122h x h ??=-=- ???

，从而所求实数a 的取值范围为1,2??

-+∞????．………10分