黑龙江省大庆铁人中学2018届高三期中考试数学(理)试卷+Word版含答案

大庆铁人中学2015级高三·上学期期中考试

数学(理)试题

考试时间：2017年11月22日

答题时长（分钟）：120 分值：150 命题人： 审题人：

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）

1. 已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0}，B ={x |4x

≥2}，则A ∪B =（ ）

A.]3,21[

B.)3,2

1[ C. )3,(-∞ D. ),1[+∞- 2. 已知复数i z 2321+-

=，则=+||z z A .i 2321-- B . i 2

321+-

C .

i 2

321+ D

i 2

321- 3. 已知向量)1,2(),2,1(),1,3(=-=-=c b a ，若),,(R y x c y b x a ∈+=则=+y x （ ）

2.A 1.B 0.C 2

1

.D

4.已知函数f (x )＝322

--x x ，则该函数的单调递增区间为 ( )

A. (－∞，1]

B. [3，＋∞)

C. (－∞，－1]

D. [1，＋∞)

5.已知)3

sin(2)(π

ω-

=x x f ，则“?x ∈R ，f （x +π）=f （x ）”是“ω=2”的（ ）

A. 充分必要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

6.若{}n a 是等差数列，0103>+a a ，011

7.已知sin ????α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－35

8.P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R)上的一点，曲线在点P 0处的切线方程 为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )

A ．2

B ．－2

C ．－1

D ．－4

9.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三

角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各 个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）

A. 10

B. 12

C. 14

D. 16

10.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在(]0,∞-上是增函数设()7log 4f a =，

???

?

??=3log 21f b ，()

6.02.0f c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A.．a b c << B ．a c b << C.．c a b << D.．c b a <<

11. 已知△ABC 中，||10,16,BC AB AC D =?=- 为边BC 的中点，则||AD

等于

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

12.已知函数??

?

??≤<+-≤<--+=10,23,01,311

)(2x x x x x x g ,若方程g (x )－mx －m ＝0有且仅有两个不等的实

根，则实数m 的取值范围是( )

A ．)2,0[]2,49( --

B ．]2,0[]2,411

( -- C ． ]2,0[]2,49( -- D ．)2,0[]2,4

11

( --

第(II)卷 (非选择题，共90分)

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）． 13

．函数()2()log 6f x x -的定义域是________．

14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,111+==+n n S a a ，则=n a ________．

15.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，设点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得,2=则=?_________________．

16.已知函数)(x f 的导函数为)('

x f ，若函数)(x f 满足x

x

x f x xf ln )()('=

+ ， 且e

e f 1

)(=

，则不等式:e x e f x f ->+-+)1()1(的解集为__________________ 三．解答题（本大题共6小题，第17题10分,其余每题12分，解题写出详细必要的解答过程） 17.(本小题满分10分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*∈+=N n n n S n (,22） （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式. （Ⅱ）设1

1

+=

n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18.(本小题满分12分） 设函数)2sin()6

sin()(π

ωπ

ω-

+-=x x x f ，其中0＜ω＜3，已知0)6

(=π

f . （Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得

到的图象向左平移4π个单位，得到函数)(x g y =的图象，求)(x g 在]4

3,4[π

π-上的最小值． 19.(本小题满分12分）

已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n （n ∈N +），{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和n T （n ∈N +）． 20.(本小题满分12分）

已知向量2

,1),(sin ,cos 1)m x n x x ==- ，函数1()2

f x m n =?+ ，

（Ⅰ）若()0,

,4x f x π??

∈=????

，求cos 2x 的值；

（Ⅱ）在ABC ?中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，当B 取最

大值时，1,a ABC =?面积为

4

3

，求sin sin a c A C ++的值.

21. (本小题满分12分）

已知函数x x

a x a x f ++=2

2ln )( （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；

（Ⅱ）若对任意m ，n ∈(0，e)且m ≠n ，有1)

()(<--n

m n f m f 恒成立，求实数a 的取值范

围．

22.(本小题满分12分）

已知函数.)(2

ax x e x f x

--=．

（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点x =0处的切线斜率为1，求函数f （x ）在[0，1]上的最值； （Ⅱ）令)(2

1)()(22

a x x f x g -+

=，若0≥x 时，0)(≥x g 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当0=a 且0>x 时，证明:1ln )(2

+--≥-x x x x ex x f ．

大庆铁人中学2015级高三·上学期期中考试

数学(理)试题答案

一、选择题： DDCB CCCA BCDA 二、填空题：

13]6,3[- 14.?

??≥?==-)2(23)1(,12

n n a n n 15．21

16),0(e 三．解答题：

17、（5+5）解：当1=n 时，31=a

当2≥n 时，=-=-1n n n S S a 12+n 满足1=n ，12+=∴n a n (2)由a n ＝2n ＋1可知

b n ＝anan ＋11＝（2n ＋1）（2n ＋3）1＝212n ＋31

. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝21－1 2n ＋31＝3（2n ＋3）n .=)

32(3]3213

1[21+=+-

n n

n 18、（6+6）解：（Ⅰ）函数f （x ）=sin （ωx -）+sin （ωx -）

=sinωx cos -cosωx sin -sin （-ωx ） =sinωx -cosωx =sin （ωx -），

又f （）=

sin （ω-）=0， ∴ω-=k π，k ∈Z ， 解得ω=6k +2，

又0＜ω＜3， ∴ω=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=

sin （2x -），

将函数y =f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =sin

（x -）的图象； 再将得到的图象向左平移个单位，得到y =sin （x +-）的图象， ∴函数y =g （x ）=

sin （x -）； 当x ∈[-，

]时，x -∈[-，

]， ∴sin （x -）∈[-，1]， ∴当x =-时，g （x ）取得最小值是-×

=-．

19、（6+6）解：（1）)6

2sin()(π

+=x x f ，3

26

26

4

0π

π

π

π

≤

+

≤∴

≤

≤x x 656243,,4626223321π

πππππ<

+<<+<∴<

3

6

)62cos(4626=

+∴<+≤∴ππππx x 6

3

23]6)62cos[(2cos +=

-+=∴ππx x （2）2)由2b cos A ≤2c －a ，得2sin B cos A ≤2sin C －sin A,

所以2sin B cos A ≤2sin(A ＋B )－sin A ，

所以2sin B cos A ≤2(sin A cos B ＋cos A sin B )－sin A, 所以2sin A cos B ≥sin A ，所以cos B ≥

2

3， π<

0π

≤

3

,30.1=∴=

?==c S B a 由余弦定理的,1=b 且

sin sin a c A C ++2sin ==B

b

20.（5+7） 解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．

由已知b 2+b 3=12，得b 1（q +q 2）=12，而b 1=2，所以q +q 2

-6=0．

又因为q ＞0，解得q =2．所以，b n =2n

． 由b 3=a 4-2a 1，可得3d -a 1=8①．

由S 11=11b 4，可得a 1+5d =16②， 联立①②，解得a 1=1，d =3，由此可得a n =3n -2．

所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n -2，数列{b n }的通项公式为b n =2n

． （II ）设数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和为T n ，

由a 2n =6n -2，b 2n -1=

4n ，有a 2n b 2n -1=（3n -1）4n ，

故T n =2×

4+5×42+8×43+…+（3n -1）4n ， 4T n =2×42+5×43+8×44+…+（3n -1）4n +1，

上述两式相减，得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n -（3n -1）4n +1 =

=-（3n -2）4n +1-8 得T n =

．

所以，数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和为

．

21、（6+6）解：(1)由题意知2

'

)

2)(()(x a x a x x f -+=

①当a ＝0时，f ′＝1>0，所以f 在上单调递增；

②当a >0时，由f ′<0得00得x >a ，所以f 在上单调递减，在上单调递增； ③当a <0时，由f ′<0得00得x >－2a ， 所以f 在上单调递减，在上单调递增．

综上，a ＝0时，f 在),0(+∞上单调递增；a >0时，f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增；a <0时，f 在)2,0(a -上单调递减，在),2(+∞-a 上单调递增． (2)若m >n ，由

1)

()(<--n

m n f m f <1得n n f m m f -<-)()(

若m

1)

()(<--n

m n f m f 得n n f m m f ->-)()(

令g ＝x x f -)(＝a ln x ＋x

a 2

2所以)(x g 在),0(e 上单调递减，

又)0()2(2)(2

22'

>-=-=x x

a x a x a x a x g ①当a ＝0时，g ′＝0，不符合题意；

②当a >0时，由g ′<0得00得x >2a ，

所以g 在)2,0(a 上单调递减，在),2(+∞a 上单调递增，所以2a ≥e ，即a ≥2e

；

③当a <0时，在),0(+∞上，都有g ′<0，所以g 在),0(+∞上单调递减，即在),0(e 上也单调递减．综上，实数a 的取值范围为),2

[)0,(+∞-∞e (2)0)(,0)0(),,0(,0)2()(≤≤≤-=e h h e a x a x h 即可

22. （3+6+3）解：（1）∵f ′（x ）=e x -2x -a ，∴f ′（0）=1-a =1，∴a =0，

∴f ′（x ）=e x -2x ，记h （x ）=e x -2x ，∴h ′（x ）=e x -2，令h ′（x ）=0得x =ln2．

当0＜x ＜ln2时，h ′（x ）＜0，h （x ）单减；当ln2＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）单增， ∴h （x ）min =h （ln2）=2-2ln2＞0，

故f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）min =f （0）=1，f （x ）max =f （1）=e -1． （2）∵g （x ）=e x -（x +a ）2，∴g ′（x ）=e x -x -a ． 令m （x ）=e x -x -a ，∴m ′（x ）=e x -1，

当x ≥0时，m ′（x ）≥0，∴m （x ）在[0，+∞）上单增，∴m （x ）min =m （0）=1-a ．

（i ）当1-a ≥0即a ≤1时，m （x ）≥0恒成立，即g ′（x ）≥0，∴g （x ）在[0，+∞）上单增， ∴g （x ）min =g （0）=1-≥0，解得-≤a ≤

，所以-≤a ≤1．

（ii ）当1-a ＜0即a ＞1时，∵m （x ）在[0，+∞）上单增，且m （0）=1-a ＜0， 当1＜a ＜e 2-2时，m （ln （a +2））=2-ln （2+a ）＞0， ∴?x 0∈（0，ln （a +2）），使m （x 0）=0，即e

=x 0+a ．

当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，g （x ）单减；

当x ∈（x 0，ln （a +2））时，m （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，g （x ）单增．

∴g （x ）min =g （x 0）=e -（x 0+a ）2=e

-e

=e

（1-e ）≥0，

∴e

≤2可得0＜x 0≤ln2，由e =x 0+a ， ∴a =e

-x 0．

记t （x ）=e x -x ，x ∈（0，ln2]，

∴t ′（x ）=e x -1＞0，∴t （x ）在（0，ln2]上单调递增， ∴t （x ）≤t （ln2）=2-2ln2，∴1＜a ≤2-2ln2， 综上，a ∈[-，2-ln2]．

（3）证明：f （x ）-ex ≥x ln x -x 2-x +1等价于e x -x 2-ex ≥x lnx-x 2-x +1， 即e x -ex ≥x lnx-x +1． ∵x ＞0，∴等价于-ln x --e +1≥0．

令h（x）=-ln x--e+1，

则h′（x）=．∵x＞0，∴e x-1＞0．

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；

当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．

∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，

∴h（x）≥h（1）=e-1-e+1=0，

∴a=0且x＞0时，不等式f（x）-ex≥x ln x-x2-x+1成立．