初中数学：方程专题复习
方程专题复习
一、知识点：
1、列方程组解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程组、检验、作结论等.
2、列方程组解应用题要领：
（1）善于将生活语言代数化；
（2）掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；
（3）善于寻找数量间的等量关系。
二、举例：
例
不足50人，如果以班为单位买门票，一共要付920元；如果两个班一起买票，一共要付515元。甲、乙两班分别有多少人？
例2：某校初一年级200名学生参加期中考试，数学成绩情况如下表，问这次考试中及格和不及格的人数各是多少人？
例3：一艘载重460吨的船，容积是1000立方米，现有甲种货物450立方米，乙种货物350吨，而甲种货物每吨体积为2.5立方米，乙种货物每立方米0.5吨，问是否都能装上船，如果不能，请你说明理由。并求出为了最大限度的利用船的载重和体积，两种货物应各装多少？
例4：进入讯期，七年级1班的同学们到水库去调查了解汛情，水库一共10个泻洪闸，现在水库水位超过安全线，上游的河水仍以一个不变的速度流入水库。同学们经过一天的观察和测量，做如下的记录：上午打开1个泻洪闸，在2小时内，水位继续上涨了0.66m。下午再打开2个泻洪闸后，4小时水位下降了0.1m，目前水位仍超过安全线1.2m。（1）如果打开了5个泻洪闸，还需几小时水位可以降到安全线？
（2）如果防讯指挥部要求在6小时内水位降到安全线，应该打开几个泻洪闸？
例5：某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况，如下表所示：
（1）求a ，b 的值.
（2）九年级学生的捐款解决其贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生的人数填入表中.
例6：小明用8个一样大的矩形(长acm，宽bcm)拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的矩形；图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．求(a+2b)2－8ab的值．
甲
乙
例7：某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告.15秒广告每播1次收费0.6万元，30秒广告每播1次收费1万元.若要求每种广告播放不少于2次，问：
（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？
（2）电视台选择哪种播放收益较大？
例8：某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
例9：红太阳大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表（例如三人间普通间客房每人每天收费50元）。为吸引客源，在五一黄金周期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠。一个50人的旅游团在五月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元。
则三人间、双人间普通客房各住了多少间？
三、作业：
1、在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知该队只负了2场，那么此队胜几场？平几场？
2、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按九折出售，这样商店共获得157元。求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
3、某城市现有人口42万人，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口共增加1%，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？
4、在社会实践中，某校甲、乙、丙三位同学一起调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲：“二环路流量为每小时10000辆”；
乙：“四环路比三环路流量每小时多2000辆”；
丙：“三环路车流量的3倍与四环路流量的差是二环路车流量的2倍”。
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
5、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，共用去了44000元。种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？
6、“五·一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣。某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元。这两种商品的原销售价分别是多少元？
中考数学方程专题训练含答案解析(最新整理)
《方程》 一、选择题 1.若关于x 的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1 且k≠0 C．k＜1D．k＜1 且k≠0 2.已知x=﹣1 是一元二次方程x2+mx﹣5=0 的一个解，则方程的另一个解是（） A．1 B．﹣5 C．5 D．﹣4 3.小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10 颗”，如果设小刚的弹珠数为x 颗，小龙的弹珠数为y 颗，则列出的方程组正确的是（） A．B． C．D． 5.已知A．﹣1 B．1 是二元一次方程组 C．2 D．3 的解，则a﹣b 的值为（） 6.一元二次方程5x2﹣2x=0 的解是（） A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=C．x1=0，x2=D．x1=0，x2= 7.一元一次方程的解是（） A．B．x=﹣1 C．x=1 D．x=﹣2 8.已知a，b 是关于x 的一元二次方程x2+nx﹣1=0 的两实数根，则式 子 A．n2+2B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2 9．已知方程|x|=2，那么方程的解是（） A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4 的值是（） 10．设α，β是方程x2+9x+1=0 的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（）A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000
11.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（） A．B． C．D． 12.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2= ．根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+ 的值为（） A．4 B．6 C．8 D．10 13.右边给出的是2004 年3 月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（） A．69 B．54 C．27 D．40 14．方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（） A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1 15．方程x2﹣2x=0 的解是（）
初中数学专题中考题精选方程和方程组
三、方程和方程组 1.某河上游的A地，为改善流域环境，把一部分牧场改为林场。改变后，林场与牧场共有162 公顷，牧场面积是林场面积的20％，问退牧还林后林场面积为多少公顷？ 2.某队伍长450m，以1.5m/s的速度行进，一个通讯兵从排尾赶到排头，并立即返回排尾，他 的速度是3m/s，那么往返需要多少时间？ 3.一个容器盛满酒精20L，倒出一部分后又用水加满；第二次又倒出与第一次相同体积的酒精 溶液，再用水加满，这时容器内的水是纯酒精的3倍，求每次倒出溶液的体积。 4.某厂以500万元资金投入生产，在一年中可以得到一定的利润，第二年又以这500万元资金 和上年的利润一并投入生产，结果得利润42.2万元。已知第二年的利润比第一年增加2.5％，求第一年的利润是投产资金的百分之几？ 5.一水池装有A、B两水管，单独打开A管比单独打开B管注满水池多用10小时，现在先打开 B管10小时后，再打开A管，共同注水6小时将水池注满。问同时打开两管注满水池需要几小时？ 6.一船由A港到B港顺流需行6小时，由B港逆流需行8小时。一天船从早晨6点由A港出发 顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈。问：（1）若船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时? （2）救生圈是何时掉入水中的？ 7.甲、乙两人分别骑摩托车从A、B两地相向而行。甲行1小时后，乙才出发，又经过4小时两 人在途中的C地相遇。相遇后两人按原来的方向继续前进。乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟。已知乙比甲每小时多行驶4km，求甲、乙两车的速度。 8.某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相 距40km，摩托车的速度为45km/h，运货汽车的速度为35km/h， ？”请将这道作业题补充完整，并列方程解答。 9.某校参加数学竞赛的有120名男生，80名女生；参加英语竞赛的有120名女生，80名男生。 已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人？ 10.果品公司购进苹果5.2万千克，每千克的进价是0.98元，付运费的开支1840元，预计损耗 为1％。如果希望全部销售后能获利17％，问每千克苹果零售价应当定为多少元？ 11.某种商品因换季准备打折出售。如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售
初中数学中考复习专题：一元一次方程练习题1(含答案)
一元一次方程测试题 一、填一填！ 1、若3x+6=17，移项得＿＿＿＿＿， x=＿＿＿＿。 2、代数式5m ＋14与5(m －14 )的值互为相反数，则m 的值等于＿＿＿＿＿＿。 3、如果x=5是方程ax+5=10－4a 的解，那么a=＿＿＿＿＿＿ 4、在解方程123123x x -+-=时，去分母得 。 5、若(a －1)x |a|＋3＝－6是关于x 的一元一次方程，则a ＝＿＿；x ＝＿＿＿。 6、当x=＿＿＿时，单项式5a 2x+1b 2 与8a x+3b 2是同类项。 7、方程5x 4x 123 －＋－＝，去分母可变形为＿＿＿＿＿＿。 8、如果2a+4=a －3，那么代数式2a+1的值是________。 9、从1999年11月1日起，全国储蓄存款需征收利息税，利息税的税率是20％，张老师于2003年5月1日在银行存入人民币4万元，定期一年，年利率为1.98％，存款到期后，张老师净得本息和共计______元。 10、当x 的值为－3时，代数式－3x 2 + a x －7的值是－25，则当x =－1时，这个代数式的值为 。 11、若()022=-+-y y x ，则x+y=___________ 12、某学校为保护环境，绿化家园，每年组织学生参加植树活动，去年植树x 棵，今年比去年增加20%，则今年植树___________棵. 二、慧眼识真！ 1. 1、下列各题中正确的是（ ） A. 由347-=x x 移项得347=-x x B. 由2 31312-+=-x x 去分母得)3(31)12(2-+=-x x C. 由1)3(3)12(2=---x x 去括号得19324=---x x D. 由7)1(2+=+x x 移项、合并同类项得x =5 2、方程2－2x 4x 7312 －－＝－去分母得＿＿＿。 A 、2－2(2x －4)＝－(x －7) B 、12－2(2x －4)＝－x －7 C 、24－4(2x －4)＝－(x －7) D 、12－4x ＋4＝－x ＋7 3、一批宿舍，若每间住1人，则有10人无法安排；若每间住3人，则有10间无人住。这批宿舍的间数为＿＿
初中数学专题——方程讲课稿
初中数学专题——方 程
初中数学方程建模强化训练题 （一）一元一次方程 概念： 1.方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次) 去括号法则： (1). 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． (2). 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变． 用方程思想解决实际问题的一般步骤 (1). 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系． (2). 设：设未知数(可分直接设法，间接设法) (3). 列：根据题意列方程． (4). 解：解出所列方程． (5). 检：检验所求的解是否符合题意． (6). 答：写出答案(有单位要注明答案) 【典型例题】 一、一元一次方程的有关概念 例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . (答案不唯一) 二、一元一次方程的解 例2.若关于x 的一元一次方程23132 x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值是（ ） A ． 27 B ．1 C ．1311 - D ．0 例3. 23{32[12 (x-1)-3]-3}=3 三、一元一次方程的实际应用 例4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐． （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．
例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ （二）一元二次方程 概念： 1、定义： 2、 一般表达式： 3、方程的解： 4、解法：直接开平方、因式分解法、公式法、配方法 5、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 【典型例题】 1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A B C D 2、关于x 的一元二次方程 的一个根是0， 则k 的值为 。 3、若x=1是方程 的根,则 2a+2b=_____ 4、写出一个两实数根之差为3的一元二次方程 。 5、方程 的根的情况是。 6.解方程 ①3x2-27=0， ②4x2-4x-1=0， ③12x2=25x ，④ 0 4k 3k x 3x )4k (22=-++++02=++c bx ax 2x 4=2 x 21x x 1 --=+22x 4(x 2)-=+02bx ax 2=-+x 622x 32=+）（）（1x 441x 432 -=-
初中数学专题复习方程测试题
中学复习方程测试题 班级 姓名 学号 成绩______ 一、选择题：（每小题5分，共20分） 1、下列是一元二次方程的是（ ） A 、x 2+2xy=3 B 、212=+x x C 、x 3+x 2=6 D 、x 2=3 2、方程02 3122=+--x x x 的根是（ ） A 、 -1，1，2 B 、-1，1 C 、-1 D 、1 3、如果方程组? ??+==m x y x y 242只有一个实数解，则m 的值是（ ） A 、全体实数 B 、±21 C 、21 D 、2 1- 4、完成某项工程，甲单独做需a 天，乙单独做需b 天，甲、乙两人共同完成这工程所而天数为（ ） A 、ab b a + B 、b a ab + C 、2b a + D 、b a +1 二、填空题：（每小题5分，共30分） 5、方程x 2=2x 的根是 。 6、方程2x 2－x+a=0没有实数根，则a 的取值范围是 。 7、在实数范围内因式分解：x 2－5x+3= ________________ 。 8、解方程2 52112=+-+-+x x x x 时，可设 ，则原方程可化为整式方程 。 9、设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，那么=+2 112x x x x 。 10、当m = 时，方程3 31-=--x m x x 产生增根。 三、解答题：（11、12题每题10分；13、14题每题15分；共50分） 11、解方程： x x x x 21422-=-;
12、解方程组：? ??=-++=-+032012y x x y x 13、在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条直路（如图）把耕地分成大 小相等的六块作为实验田，要使实验田面积为504m 2，问道路的宽为多少米？ 14、已知关于x 的方程04)2(2 2 =---m x m x . （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）方程的两根为x 1，x 2时，若|x 2|=|x 1|+2，求m 的值。
初中数学竞赛专题：方程组
初中数学竞赛专题:方程组 §4．1方程组的解法 4．1．1★已知关x 、y 的方程组 ()21,221 3.ax y a x a y +=+??? +-=?? ① ② 分别求出当a 为何值时,方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解, 解析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结 为一元一次方程ax b =的形式进行讨论,但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零． 由①式得 ()21y a ax =+-,③ 将③代入②得 ()()()()122a a x a a -2+=-+．④ 当()210a a -+≠（）,即2a ≠且1a ≠-时, 方程④有唯一解2 1 a x a += +,将此x 值代入③有 () 1 21y a = +, 因而原方程组有唯一一组解． 当()()210a a -+=,且()()220a a -+≠时,即1a =-时,方程④无解,因此原方程组无解． 当()()210a a -+=且()()210a a -+=时,即2a =时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有 无穷多组解． 评注对于二元一次方程组111 222 a x b y c a x b y c +=??+=?,（1a 、2a 、1b 、2b 为已知数,且1a 与1b ,2a 与2b 中都至少 有一个不为零）． （1）当 11 22 a b a b ≠时,方程组有唯一的解 2112122112 211221b c b c x a b a b a c a c y a b a b -? =?-? ? -?=?-?
初中数学中考方程专题
初中数学中考方程专题 Prepared on 24 November 2020
第四讲方程、方程组及其应用 第一节方程、方程的解 【中考要求】 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程； 2.掌握等式的基本性质； 3.了解方程及方程解的概念； 4.会由方程的解求出方程中带点系数的值； 5.能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理。 【考点一】等式及其性质 1. 用连接的表示关系的式子叫等式； 2. 等式的性质： 1）等式两边同时或同一个数（或式子），结果仍相等； 2）等式两边同一个数，或同除一个 的数，结果仍相等。 【考点二】方程的有关概念。 1. 方程：含有的式叫做方程； 2. 方程的解：使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解，只含 有一个未知数的方程的解也叫做方程的 3. 解方程：求方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程 【练习】
1． 一元一次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2． 已知关于x 的方程062 =--kx x 的一个根为x =3，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 3． 已知2=x 是一元二次方程022=++mx x 的一个解，则m 的值是 ( ) A ．-3 B ．3 C ． 0 D ．0或 3 4． 已知是二元一次方程组的解，则m+3n 的立方根为 ． 5． 对于实数a 、b ，定义运算“*”：a *b ＝例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝ 42－4×2＝8．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1*x 2＝
第二节一元一次方程及二元一次方程组 【中考要求】 1.了解一元一次方程及二元一次方程组的有关概念； 2.熟练掌握一元一次方程的解法； 3.知道代入、加减消元法的意义，数量掌握代入加减消元的方法，并能选择适 当的方法解方程组； 4.会运用一元一次方程或二元一次方程组解简单的应用题。 【考点一】基本概念： 1. 一元一次方程：只含有未知数，且未知数的次数是 的整式方程； 一般形式： 2. 二元一次方程：含有个未知数，并且含有未知数项的次数为的整式方程； 一般形式： 3. 二元一次方程组：由个一次方程组成，并且含有 个未知数的方程组； 同时使方程组中每个方程等号两边数值都相等的两个未知数的值叫做方程组的解。 【考点二】解法： 1. 一元一次方程的解法：把方程转变成 的形式再求解。
初中数学专题——方程
初中数学方程建模强化训练题 （一）一元一次方程 概念： 1.方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次) 去括号法则： (1). 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． (2). 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变． 用方程思想解决实际问题的一般步骤 (1). 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系． (2). 设：设未知数(可分直接设法，间接设法) (3). 列：根据题意列方程． (4). 解：解出所列方程． (5). 检：检验所求的解是否符合题意． (6). 答：写出答案(有单位要注明答案) 【典型例题】 一、一元一次方程的有关概念 例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . (答案不唯一) 二、一元一次方程的解 例2.若关于x 的一元一次方程23132 x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值是（ ） A ． 27 B ．1 C ．1311 - D ．0 例3. 23{32[12 (x-1)-3]-3}=3 三、一元一次方程的实际应用 例4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐． （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由． 例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ （二）一元二次方程 概念： 1、 定义： 2、 一般表达式： 3、 方程的解： 4、 解法：直接开平方、因式分解法、公式法、配方法 5、 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 【典型例题】
初中数学：方程专题复习
方程专题复习 一、知识点： 1、列方程组解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程组、检验、作结论等. 2、列方程组解应用题要领： （1）善于将生活语言代数化； （2）掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）； （3）善于寻找数量间的等量关系。 二、举例： 例 不足50人，如果以班为单位买门票，一共要付920元；如果两个班一起买票，一共要付515元。甲、乙两班分别有多少人？ 例2：某校初一年级200名学生参加期中考试，数学成绩情况如下表，问这次考试中及格和不及格的人数各是多少人？ 例3：一艘载重460吨的船，容积是1000立方米，现有甲种货物450立方米，乙种货物350吨，而甲种货物每吨体积为2.5立方米，乙种货物每立方米0.5吨，问是否都能装上船，如果不能，请你说明理由。并求出为了最大限度的利用船的载重和体积，两种货物应各装多少？
例4：进入讯期，七年级1班的同学们到水库去调查了解汛情，水库一共10个泻洪闸，现在水库水位超过安全线，上游的河水仍以一个不变的速度流入水库。同学们经过一天的观察和测量，做如下的记录：上午打开1个泻洪闸，在2小时内，水位继续上涨了0.66m。下午再打开2个泻洪闸后，4小时水位下降了0.1m，目前水位仍超过安全线1.2m。（1）如果打开了5个泻洪闸，还需几小时水位可以降到安全线？ （2）如果防讯指挥部要求在6小时内水位降到安全线，应该打开几个泻洪闸？ 例5：某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况，如下表所示： （1）求a ，b 的值. （2）九年级学生的捐款解决其贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生的人数填入表中. 例6：小明用8个一样大的矩形(长acm，宽bcm)拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的矩形；图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．求(a+2b)2－8ab的值． 甲 乙
初中数学专题复习方程和它的解(含答案)
方程和它的解 学习目标 1．了解方程、方程的解、解方程等概念； 2．能够根据求某数的简单条件列出以某数为未知数的简单方程，并会判别给定的数是不是方程的解； 3．通过上述知识的教学，培养学生的观察、分析、归纳的思维能力． 知识讲解 一、重点、难点分析 本节教学的重点是方程的有关概念和检验方程的解．难点是根据求某数的条件列出以某数为未知数的一元方程．学好本单元一方面有利于巩固方程的有关概念，另一方面为学习后面的一元一次方程的解法和应用打好基础． 1．方程中的已知数应该包括它的符号在内，未知数是针对还未求解的方程而言的．2．方程首先必须是一个等式，另外一定要含有未知数． 3．方程的解和解方程是两个完全不同的概念，方程的解指的是解方程这个过程的结果，即求得的能使方程左右两边的值相等的未知数的值，而解方程指的是求得方程的解的整个变形过程． 4．根据求某数的条件列出以某数为未知数的方程，关键是分析清楚已知数与未知数的相等关系，然后列出方程． 5．检验一个数是否为某个一元方程的解，应将给出的数代入方程，观察计算后的左边和右边的值是不是相等． 二、知识结构
三、教法建议 1．方程、方程的解、解方程等概念在上一节和第一章的学习过程中学生均接触过，本节应重在通过实例加深对上述概念的理解．例如方程的概念应在学生明确已知数和未知数的基础上，认识到方程一定是等式（不论是条件等式或矛盾等式），另外，方程一定含有未知数，而未知数不一定都用x来表示． 2．可以将已知数、未知数、方程的概念结合例1进行讲解．其它概念也可采用与例题相结合的方式讲解，可以在讲解方程的概念，及检验一个给定的数是否为方程的解时举一些反例，以加深对概念的理解． 3．根据求某数的简单条件列出以某数为未知数的简单方程，这里一要注意让学生养成观察、分析、思考的好习惯，能够透过给出的表面上的数字间的大小关系而找出已知数与未知数间的相等关系．二要针对具体问题让学生独立尝试列出方程的不同几种形式，观察它们之间的共性和个性． 4．注意在复习及给出方程的根等概念以及分析解决例题的整个教学过程中，培养学生观察、分析、比较、归纳的良好思维习惯，使解决问题有根据，有序． 四、等式与方程的关系 方程是含有未知数的等式．这就很明确的说明了等式与方程的关系． 首先，方程一定是等式．第二，方程中必须含有未知数，这两个条件缺一不可．也就是说，等式不一定是方程．如1+2=3是等式，但它不是方程． 由于方程是等式，所以方程的解也就会有三种可能： 如果方程恰是恒等式，则方程的解可以是任意的有理数．如2x+3-x=x+3，它的解是x，为任意有理数． 如果方程恰是矛盾等式，则方程无解．如2x2+1=0，我们说这个方程无解．
初中数学竞赛专题：方程组
初中数学竞赛专题：方程组 §4．1方程组的解法 4．1．1★已知关x 、y 的方程组 ()21,221 3.ax y a x a y +=+??? +-=?? ① ② 分别求出当a 为何值时,方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解, 解析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结 为一元一次方程ax b =的形式进行讨论,但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零． 由①式得 ()21y a ax =+-,③ 将③代入②得 ()()()()122a a x a a -2+=-+．④ 当()210a a -+≠（）,即2a ≠且1a ≠-时, 方程④有唯一解2 1 a x a += +,将此x 值代入③有 () 1 21y a = +, 因而原方程组有唯一一组解． 当()()210a a -+=,且()()220a a -+≠时,即1a =-时,方程④无解,因此原方程组无解． 当()()210a a -+=且()()210a a -+=时,即2a =时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有 无穷多组解． 评注对于二元一次方程组111 222 a x b y c a x b y c +=??+=?,（1a 、2a 、1b 、2b 为已知数,且1a 与1b ,2a 与2b 中都至少 有一个不为零）． （1）当 11 22 a b a b ≠时,方程组有唯一的解 2112122112 211221b c b c x a b a b a c a c y a b a b -? =?-? ? -?=?-?
初中数学专题讲解：一元二次方程(二)
推导一元二次方程的求根公式。 解一元二次方程：02=++c bx ax 。 推导：c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax c bx ax -=-+??+?-=+?-=+?=++])2()2(22[)(0222222 2222222222222444)2(4)2(4)2(]4)2[(a b a ac a b x a b a c a b x a c a b a b x c a b a b x a +-=+?+-=+?-=-+?-=-+? 222222222244244244)2(44)2(a ac b a b x a ac b a b x a ac b a b x a b ac a b x -±=+?-±=+?-=+?+-=+? a ac b b x a ac b a b x a ac b a b x 24242242222-±-=?-±-=?-±=+?。 结论：一元二次方程02 =++c bx ax 的求根公式：a ac b b x 242-±-=。 判别式?与一元二次方程解的个数的关系： 判别式：ac b 42-=?。 第一种：当040402 2>-?>-?>?ac b ac b 时：a ac b b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---=。 一元二次方程有两个解。 第二种：当0404022=-?=-?=?ac b ac b 时：a b x a b x 220-=?±-= 。 一元二次方程有一个解。 第三种：当ac b ac b 404022-?<-?
初三数学 方程专题
一元二次方程 一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共24分)： 1. 下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.()()3832≠=-a x a B.02=++c bx ax C.(x+3)(x-2)=x+5 D.0257 332=-+x x 2下列方程中,常数项为零的是( ) A. 12=+x x B.121222=--x x C.()()13122-=-x x D.() 2122+=+x x 3.一元二次方程01322=+-x x 化为()b a x =+2 的形式,正确的是( ) A. 16232=??? ??-x B.1614322=??? ??-x C. 161432=??? ? ?-x D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1 C 、1或1 D 、2 1 5.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的 周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程07822 =+-x x 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A 、3 B 、3 C 、6 D 、9 7.使分式1 652+--x x x 的值等于零的x 是( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6 8.若关于y 的一元二次方程43342+=--y y ky 有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>47- B.k ≥47- 且k ≠0 C.k ≥47- D.k>4 7且k ≠0 9.已知方程22xx ，则下列说中，正确的是（ ） （A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2 （C ）方程两根和是1 （D ）方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.1000=x)+200(12 B.1000=2x ×200+200 C.1000=3x ×200+200 D.1000=]x)+(1+x)+(1+200[12
初中数学 培优专题9 分式方程及其应用含答案
精品文档12、分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （）解这个整式方程；2 ）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于3 （ 零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得3. 的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】2x解方程：例1. 1??11x?x?解首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，分析：完后记着要验根)11)(x??(x，得解：方程两边都乘以2，1)x(x?1)(?1x2?(x?)?22，1??x即x?2x?2?3?x?23经检验：x?是原方 程的根。2 精品文档． 精品文档5?x?1x?6x?2x解方程例2. ???6x?2x?7x?3x?分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现 )x?3?x2)与((x?6)与x?7)、((，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用的值相差1 分式的等值性质求值。1x?6x?5x?2x?解：原方程变形为：???2?3xx?6x?x?7方程两边通分，得11?)x(x?6)(x?7)(?2)(x?3)6)(x??3?2)(x7)?(x所以(x?36?即8x?9???x29??x经检验：原方程的根是。2 19??1032x?3424x?2316x12x例3. 解方程：???5x?98x?74x??4x38可化为一个整数与一个简单的分因此，分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，
(完整版)初中数学一元二次方程复习专题
一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则 12b x x a +=-，12c x x a ?= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意：（1）222 121212()2x x x x x x +=+-? （2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 12x x -= （3）①方程有两正根，则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?； ②方程有两负根，则1212 000x x x x ?≥?? +? ； ③方程有一正一负两根，则12 0x x ?>?? ??? --
中考数学《方程》专题训练含答案解析
《方程》 一、选择题 1．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 2．已知x=﹣1是一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个解，则方程的另一个解是（）A．1 B．﹣5 C．5 D．﹣4 3．小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10颗”，如果设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，则列出的方程组正确的是（）A．B． C．D． 5．已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 6．一元二次方程5x2﹣2x=0的解是（） A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=C．x1=0，x2=D．x1=0，x2=
7．一元一次方程的解是（） A．B．x=﹣1 C．x=1 D．x=﹣2 8．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+nx﹣1=0的两实数根，则式子的值是（） A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2 9．已知方程|x|=2，那么方程的解是（） A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4 10．设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（） A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000 11．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）
A．B． C．D． 12．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+的值为（） A．4 B．6 C．8 D．10 13．右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（） A．69 B．54 C．27 D．40 14．方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（） A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1 15．方程x2﹣2x=0的解是（） A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2
初中数学列方程专题
初中数学列方程应用专题 1、有一建设工程，若由甲队单独完成要40天，若由乙队先做10天，剩下的工程由两队合作20天可完成。1.乙队单独完成要多少天？ 2.安排甲乙两队共同完成要多少天？ 解析：把整个建设工程看作是单位1，几天完成就是平均每天完成几分之一。设乙队单独完成需要x天,那么乙队每天的平均工作效率是1/x,由题目可知甲队每天的平均工作效率是1/40，方程如下，1/x*10+（1/40+1/x）*20=1 由方程可解得x=60 即乙队单独完成需要60天。设甲乙两队共同完成需要y天，方程如下，（1/40+1/60）*y=1 可解得y=24 即甲乙两队共同完成需要24天。 2、一条小船由甲港到乙港顺流需6小时，由乙港到甲港逆流须8小时，若小船利用水流的速度由甲港漂流到乙港需多少小时？（1）船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）÷2 （2）水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2 解：设小船利用水流的速度由甲港漂流到乙港需x小时。1/x=(1/6-1/8)÷2 解得：x=48 3、商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高25％作为销售价，共获利6000元，第二个月将商品进价提高10％作为销售价，第二个月的销量比第一个月增加了80件，并且第二个月比第一个月多获利400元，求这件商品的进价。 设商品的进价为x，第一个月商品每件获利为0.25x，第一个月销售的件数：6000/0.25x，第二个月销售的件数： 6000/0.25x+80，第二个月商品每件获利为0.1x，(6000/0.25x+80)x0.1x=6000+400 ，2400+8x=6400 ，8x=4000x=500(元)，商品的进价为500元， 设进价为x元，第一个月售价为125%x，第二个月售价为110%x，(80+6000/125%x)·110%x=6400 4、用价值为100元的甲种涂料雨价值为200元的乙种涂料配置成一种新涂料，其每千克的售价比甲种涂料每千克的售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克售价是多少元？ 假设新的涂料价格为x元/千克，则甲种涂料价格为(x+3)元/千克，乙种涂料价格为(x-1)元/千克，根据题意可得总的价值为300元：而甲种涂料的重量为100/（x+3）千克；而乙种重量为200/（x-1）千克；然而又有重量为300/x，所以有300/x =100/（x+3）+200/（x-1），价格为9元/千克 5、甲乙辆运输队，甲队原有32人，乙队原有28人。若从乙队调走一些人到甲队，那么加队的人数正好是乙队的2倍，问乙队调多少人到甲队？ 设从乙队调x人去甲队，则乙队有28-x人，甲队32+x人，所以（28-x）*2=32+x 56-2x=32+x ，24=3x ，x=8 ，答乙队调8人到甲队 6、一家商店将某种物品成本价提高40%后标价，元旦期间，欲打8折销售。售价为224元，这件商品的成本价为多少？设成本x元，则标价1.4x元，元旦售价为1.4x+0.8=1.12x，所以1.12x=224 或（1+40%）x*0.8=224 ，x=200 ，答成本200元 7、A、B两地相距360KM甲车从A的开往B地，每小时行72KM，甲车出发后25分钟，乙车出发从B地开往A地，每小时行４８KM，两车相遇后，各自仍按原速行驶，直到相距100KM。甲车共行驶多少小时？ 设甲行驶x小时则乙行驶x-25/60小时=x-5/12小时，甲的路程x*72=72x ，乙的路程 :（x-5/12）*48 所以72x+（x-5/12）*48=360 ，72x+48x-20=360 ，120x=380 ，x=19/6小时，相遇后行驶的时间：100/72=25/18 甲一共行驶19/6+25/18=83/18小时 8、因家电下乡，某企业对彩电、冰箱、手机三大类产品给予销售价格13％的财政资金直补，企业书就显示，截至2008年12月底，产品销售350万台，销售额达50亿元，与上年同期相比，销售量增长了40％。 （１）2007年这个厂家家电销售多少万台？ 设2007年销售量为x ，所以2008年为x+40%x=1.4x ，所以1.4x=350 ，x=250答：销售250万台 （２）如果平均价为：彩电1500元/台，冰箱2000元/台，手机800元/部、已知销售冰箱数量是彩电的３/２倍，求这三类产品个销售多少万台？并计算获得政府补贴分别个多少元？
初中数学一元二次方程复习专题
1 / 4 一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则 12b x x a +=-，12c x x a ?= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意：（1）222 121212()2x x x x x x +=+-? （2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 12x x -= （3）①方程有两正根，则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?； ②方程有两负根，则1212 000x x x x ?≥?? +? ； ③方程有一正一负两根，则120 x x ?>?? ??? --
初中数学专题方程(组)专项训练
方程（组）专项训练 一、 选择 1、方程x 3-x 2-2x=0的根是 （ ） （A ）-1,2 （B ）1，-2 （C ）0，-1，2 （D ）0，1，-2 2、若二元二次方程组2 12y kx y x ?=?=-?有实数解，则k 的取值范围是（ ） （A ）k < 1 (B) k ≤1 (C) k<1且k ≠0 （D ）k ≤1且k ≠0 3、解方程22113()40x x x x + -+-=，设1y x x =+，那么原方程变形为（ ） （A ）y 2-3y-6=0 （B ）2320y y -+= （C ）2340y y --= （D ）2340y y -+= 4、方程 22124x x x =--的解是 （ ） （A ）-1 （B ） 2 （C ） -1或2 （D ）无 5、若k 为实数，则关于x 的方程x 2+(2k+1)x+k-1=0的根的情况是（ ） （A ）有两个不相等的实数根（B ）有两个相等的实数根（C ）没有实数根（D ）无法确定 6、若x 1、x 2是方程2x 2+3x-1=0的两个实数根，则 12 11x x +的值等于（ ） （A ）13- （B ）13 （C ）-3 （D ）3 7、一元二次方程x 2 -px+q=0的两根为3、-4，那么二次三项式x 2+px+q 可分解为（ ） （A ）(3)(4)x x -+ （B ）(3)(4)x x +- （C ）(3)(4)x x -- （D ）(3)(4)x x ++ 二、填空 8、二元二次方程组310 x y xy +=??=-?的解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 9、某公司董事会拨出总额为40万元博士学位项作为资金，全部用于奖励本年度做出突出贡献的一、二、三等奖的职工。原来设定：一等奖每人5万元，二等奖每人3万元，三等奖第人2万元；后因考虑到获一等奖的职工科技创新已给公司带来巨大的经济效益，现在改为：一等奖每人15万元，二等奖每人4万元，三等奖第人1万元，那么该公司本年度获得一、二、三等奖的职工共有＿＿＿＿人。 10、试写出一个满足下列条件的一元二次方程：方程的常数项为3，方程有一个根为2，则方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 11、已知关于x 的一元二次方程方程kx 2+3x+k 2+k=0有一个根为0，则k 的值为＿＿. 12、为迎接2008年北京奥运会，规划建造一条长800千米的新路，由某工程队承包完成。在实际施工中，该工程队每月比原计划多筑路20千米，结果提前2个月城。问该工程队在实际施工中每月筑路多少千米？若设在实际施工中每月筑路x 千米，则可列出方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 13、一个学校操场，长A 米，宽B 米，长比宽多C 米，周长为D 米，面积为E 平方米，现给出数字：86，13，420，15，28，若A 、B 、C 、D 、E 分别是所给数字中的某个数，则其中B ＝＿＿＿＿. 14、某商品现售价是34元，比原价降低了15％，原来的售价为＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 15、某工厂经过两年的努力使产量提高了0.21倍，则这两年的平均增长率为__________.