高中数学50题组1-5

【50题组训练法】

1、集合

例1、已知集合{}{}

,,lg(),0,,A x xy xy B x y ==且A B =求

2200622006

11)()()x x x y y

y

++++

++

1(

例2、（1）已知集合(){}(){},3,,31M x y x y N x y x y =

+==-=，则=N M ________

（2）已知：},1|{2R x x y y P ∈+==，},1|{R x x y y Q ∈+==，则=Q P _______

（3）设全集{}22,4,1,U

a a =-+集合{}1,2A a =+，若{}U 7A =e,则A =________

（4）设全集{}

3(,),,(,)

12y U x y x y R m x y x -??

=∈==??-??

，{}(,)1N x y y x =≠+ 则U ()M N =e____________

例3、已知全集}5,4,3,2,1{=U ，且有U A ?,U B ?,若}2{=B A , U (){4}A B =e，U U

()

(

){1,5}A B =痧，求U ()A B e。

例4、设2

{|10}A x x mx =++=且有A R φ+=，求出参数m 的范围.

例5、已知2

{|320},A x x x =-+=2

{|10}B x x ax a =-+-=，2

{|20}C x x mx =-+=，并且有

A B A = , C C A = , 请求出实数a ，m 的值.

例6、已知集合{

}{

}

2

2

7100,0,A x x x B x x ax b =-+≤=++<若A

B φ≠，且

{}342A

B x x x =-<≤，求集合{}S x x a b ==+

补充

1、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?且1k A +?，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.

解析：依题意可知，k 是“孤立元”必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素.

因此，符合题意的集合是：{}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共6个.

2、函数, (), x x P

f x x x M

∈?=?-∈?，其中P M 、为实数集R 的两个非空子集，又规定

{|(),},{|(),}A y y f x x P B y y f x x M ==∈==∈，给出下列三个判断： ①若P M =Φ，则A B =Φ；②若P M R =，则A B R =；

③若P M R ≠，则A B R ≠.其中错误的判断是___________(只需填写序号).

答案：①、②

2、简单逻辑

例1、在下面各小题中，请判断命题p 分别是命题q 的什么条件： （1） 在△ABC 中，p :A B >, q :sin sin A B >

（2） 对于两个实数y x ,， p :8≠+y x , q :2≠x 或6≠y

（3） 已知y x ,是两个实数, p :2

230x x --≤ , q :02x ≤≤

（4）设1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ， p : “2

1

2121c c b b a a ==”

， q : “N M =”

例2、若{}

642

+-==x x y y A ，1x B x

a ??

=>????

，试证明“5a >”是“B A ?” 的充分非必要条件。

例3、已知()221

:12,:21003

x p q x x m m --

≤-+-≤>, 若p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围。

例4、已知0c >,设P ：函数x y c =在R 上单调递减，Q ：不等式21x x c +->的解集为

R ，命题P 和Q 中有且仅有一个是正确，求c 的取值范围。

补充：

1、设函数()2lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()3

1g x x

=-的定义域为集合B ,已知α：,x A

B ∈β:x 满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围

2、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息。设原信息为12100210),2,1,0}(1,0{,h a a a h i a a a a j 传输信息为=∈，其中

.011,101,110,000:.,201100=⊕=⊕=⊕=⊕⊕⊕=⊕=运算规则为a h h a a h 例如

原信息为111，则传输信息为01111。传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011 答案：C

3、解不等式

例1、若不等式02

>++c bx ax 的解集为{}()0x x αβ

α<<>，求不等式

20cx bx a ++>的解集。

例2、解关于x 的不等式1l o g 1

1a x ?

?

-> ???

(0a >且1)a ≠

例3、解不等式()2

4

2

210,1a x

x

a a a a -??

>>≠ ???

.

例4、解关于x 的不等式2

(1)

2

a x +-≤

2)1(2-a 和不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x (a R ∈)的解集分别是A 、B ,求使A B ?的实数a 的范围。

例5、若不等式组2220

2(52)50

x x x k x k ?-->??+++

1、（1）若不等式：

3

2

x ax >+

的解集是非空集合，则a m +=___________. （2）若不等式

102x m x m -+<-成立的一个充分非必要{|4}x x m <<条件是11

32

x <<，则实数m 的取值范围是 ( ) n

A. 14,,4

3????

-∞+∞ ??

??

???； B. 14,43??????； C. 13,62??????； D. 以上结论都不对. （1）答案：1

36

8

（2）答案：B 2、（1）已知关于x 的不等式|2|3x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是

( )

A. 1m <

B.1m ≤

C.1m >

D.1m ≥

（2）已知关于x 的不等式组2

122kx x k ≤++≤有唯一实数解，则实数k 的取值集合是

_________.

（1）答案：C

（2）15

122

k k -=+=

或

4、均值不等式的应用

例1（1）已知b a ,均为正数，且有12=+b a ，求

b

a 1

1+的最小值。 （2）已知：10<

22

2)(1b a x

b x a +≥-+

例2 、若0>>b a ,试求出2

4

()a a b b

+

-的最小值。

例3、若有1>x , 求函数1

1

22-+-=x x x y 的最小值。

例4（1）若实数0,>b a ，且有()1a b a b -+=，求出b a +的最小值。

（2）.若y x ,均为正数，且有1xy x y ++=，试求出xy 的最大值。

例5、已知()x

b

ax x f -=，且()()112,13220f f ≤≤≤≤，求()3f 的范围；

1、⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222

()a b a b x y x y

++≥

+，指出等号成

立的条件；

⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =

+-（1(0,)2

x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．

解：（1）应用二元均值不等式，得

2222222222()()2a b y x y x

x y a b a b a b a b x y x y x y ++=+++≥++2()a b =+， 故：222()a b a b x y x y

++≥

+． 当且仅当2

2y x

a

b x y

=，即a b x y =时上式取等号.

（2）由（1）222

23(23)()252122(12)

f x x x x x +=+≥=-+-．

当且仅当

23

212x x

=-，即15x =时上式取最小值，即min [()]25f x =．

点评：给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新

颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．

2、设+

∈R x 且12

2

2

=+y x ，求21y x +的最大值. 解析：∵0>x ∴2

2

2

2

2

12[()]

12212()22

2

y x y x y x +++=?+≤

又222

2

113()()22222y y x x ++=++= ∴2133212()224

x y +≤?=

即2max 32

(1)4

x y +=

5、函数三要素

例1、 记函数3

()21

x f x x +=

-

+的定义域为A , ()()

1

()(1)12g x a x a a x =<---的

定义域为B . （1）求A ； （2）若B A ? ,求实数a 的取值范围.

例2、求值域

（1）1

21

2+-=x x y

（2）21

1

x y x +=

+ （3）()21f x x x =--+

例3、求22(0)y x x a a =+-> 的值域。

例4、（1）已知1

()f x x

+=2

2

1

x x +

， 求函数)(x f （2）已知函数()f x 满足()12()30f x f x x x ??

+=>

???

,求()f x 的解析式。 （3）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，

且()()1

21

f x

g x x +=+，求()f x 、()g x 的解析式。

（4）已知3(1)24f x x x +=-+， 求函数)(x f 。

例5 、（1）已知)(x f =2lg(21)ax x ++的定义域是R ，求a 的范围。

（2）已知)(x f =2

lg(21)ax x ++的值域是R ，求a 的范围。

1、下列四个函数中，图像如右图所示的只能是 （ ）

A ．x x y lg +=

B ．x x y lg -=

C ．x x y lg +-=

D ．x x y lg --=

答案：B

2、用{}c b a ,,min 表示c b a ,,三个数中的最小值.设

{}()min 2,2,10x f x x x =+- (x ≥0),则()f x 的最大值为 .

答案：6

解析：画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x≤2时，f （x）＝2x，当2≤x≤3时，f（x）＝x＋2，当x＞4时，f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，故选C。．