高考数学导数题型归纳(文科)
2、不等式恒成立常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
（请同学们参看2010省统测2）
例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，
4323()1262
x mx x f x =--
（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
例2：设函数),10(323
1)(223
R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-
= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
第三种：构造函数求最值
题型特征：)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型
例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，
32
6()(1)3(0)2
t g x x x t x t -=+
-++> （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；
（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2
1121)(2
3++++=
． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),
(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
例5、已知函数3211
()(2)(1)(0).32
f x x a x a x a =
+-+-≥
（I ）求()f x 的单调区间；
（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。子集思想
三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与
0的关
系；
第三步：解不等式（组）即可； 例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=
，kx x g -=3
1
)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1） 求实数k 的取值范围；
（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．
根的个数知道，部分根可求或已知。 例7、已知函数3
2
1()22
f x ax x x c =+
-+ （1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；
（2）若2
1()2
g x bx x d =
-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。
题2：切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数32
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围
为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．
题3：已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法：根分布或判别式法 例8、
例9、已知函数23213)(x x a x f +=
，)0,(≠∈a R a （1）求)(x f 的单调区间；（2）令()g x ＝14
x 4＋f （x ）（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围．
其它例题：
1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在
区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 2、（根分布与线性规划例子）
（1）已知函数322
()3
f x x ax bx c =+++
(Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, 求
)(x f 的解析式；
(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平
面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程. 解： (Ⅰ). 由2()22f x x ax b '=++, 函数()f x 在1=x 时有极值 ,
∴ 220a b ++= ∵ (0)1f = ∴ 1c = 又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴ (0)3f b '==- 故 1
2
a = ∴ 32
21()3132
f x x x x =
+-+ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>??
'? 即
0220480b a b a b >??
++?
令(,)M x y , 则 2
1
x b y a =-??=+?
∴ 12a y b x =-??=+? ∴ 20
220460
x y x y x +>??++?
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ?=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC ABED S S ?=
四边形 ∴ 所求一条直线L 的方程为: 0x =
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G , 则 0k >,
1S =四边形DEGF
由 220
y kx y x =??
++=? 得点F 的横坐标为: 2
21F x k =-+
由 460y kx y x =??++=?
得点G 的横坐标为: 6
41G x k =-+
∴OGE OFD S S S ??=-四边形DEGF 61311222214121
k k =??-?+?=+即 216250k k +-=
解得: 12k =
或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为: 1
2
y x = 综上,所求直线方程为: 0x =或1
2
y x = .…………….………….12分
(Ⅱ) 解法二: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>??
'? 即
0220480b a b a b >??
++?
令(,)M x y , 则 2
1x b y a =-??=+?
∴ 12a y b x =-??=+? ∴ 20
220460
x y x y x +>??++?
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ?=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC ABED S S ?=
四边形 ∴所求一条直线L 的方程为: 0x = 另一种情况由于直线BO 方程为: 1
2
y x =
, 设直线BO 与AC 交于H , 由 12
220y x
y x ?
=???++=?
得直线L 与AC 交点为: 1(1,)2H -- ∵ 2ABC
S ?=, 111
2222
DEC S ?=??=, 11222211122H ABO AOH
S S S ???=-=??-??=AB ∴ 所求直线方程为: 0x = 或1
2
y x =
3、（根的个数问题）已知函数3
2
f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。
（Ⅰ）求c d 、的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=，
求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围。 解：由题知：2f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1f '= 0
得332c 320d a b a b =??
++--=????
?==0
3
c d （Ⅱ）依题意
()2f '= – 3 且f ( 2 ) = 5
124323
846435
a b a b a b a b +--=-??
+--+=? 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3 （Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 ) ()x f '= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 由()5f '= 0?b = – 9a
①
若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a ＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3?11
1
＜a ＜3
所以 当
11
1
＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。………… 12分 4、（根的个数问题）已知函数321
()1()3
f x x ax x a R =--+∈
（1）若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值，且122x x -=，求a 的值及()f x 的单调区间； （2）若12a <
，讨论曲线()f x 与215
()(21)(21)26
g x x a x x =-++-≤≤的交点个数． 解：（1）2()21f'x x ax =--
12122,1x x a x x ∴+=?=-
122x x ∴-===
0a ∴=………………………………………………………………………2分
22()211f x x ax x '=--=-
令()0f x '>得1,1x x <->或 令()0f x '<得11x -<<
∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-…………5分 （2）由题()()f x g x =得
3221151(21)326
x ax x x a x --+=-++ 即32111
()20326
x a x ax -+++= 令32111
()()2(21)326
x x a x ax x ?=-+++-≤≤……………………6分
2()(21)2(2)(1)x x a x a x a x ?'∴=-++=--
令()0x ?'=得2x a =或1x =……………………………………………7分
12
a <
当2
a ≤-
此时，9
802
a --
>，0a <，有一个交点；…………………………9分 当22a ≥-即1
1a -<<时，
2(32)036
a a -+> , ∴当9802a -->即9
116a -<<-时,有一个交点；
当98002a a --≤≤，且即9
016a -
≤≤时，有两个交点； 当102a <<时，9
802a --<，有一个交点．………………………13分
综上可知，当916a <-或1
02a <<时，有一个交点；
当9
016
a -≤≤时，有两个交点．…………………………………14分
5、（简单切线问题）已知函数23)(a
x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为510
2，函数
23()()3bx
g x f x a
=-+．
（Ⅰ） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；
（Ⅱ） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．