3. (2)△ABC 的面积S ＝1
2bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(·绍兴模拟)在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°
解析 由a 2－c 2＋b 2
＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°.
答案 A
2．(·合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )．
A.3
2 B.
3 C ．2 3 D ．2
解析 S ＝12×AB ·AC sin 60°＝12×2×32AC ＝3
2，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 B
3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )．
A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1 解析 由正弦定理b sin
B ＝c
sin C 及已知条件得c ＝22， 又sin A ＝sin(B ＋C )＝12×22＋32×2
2＝2＋64. 从而S △ABC ＝12bc sin A ＝1
2×2×22×2＋64＝3＋1. 答案 B
4．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )．
A ．2 3
B ．2 C. 2 D ．1
解析 由a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝b sin 2A ，所以1sin A ＝32sin A cos A ，故cos A ＝3
2，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，B ＝π3，C ＝π
2，c ＝a 2＋b 2＝12＋(3)2＝2. 答案 B
5．(·陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )． A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定
解析 由正弦定理及已知条件可知sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin 2 A ＝sin A ，又0＜A ＜π，sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案 A 二、填空题
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
解析 由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ? ?
???B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据
正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4
，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π
6.
答案π6
7．(·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为________．
解析由余弦定理，得a2＋c2－b2
2ac＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝
3
2，∴
sin B＝
3
2，∴B＝
π
3或
2π
3.
答案π
3或
2π
3
8．(·烟台一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，
cos C＝1
4，则sin B等于________．
解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，即c＝2.由cos C＝1
4得sin C＝
15
4.由正弦定理
b
sin B＝
c
sin C，得sin B＝
b sin C
c＝
2
2×
15
4＝
15
4(或者因为c＝2，
所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B＝sin C＝15 4)．
答案15 4
三、解答题
9．(·宜山质检)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝1
2c＋
b cos C.
(1)求角B的大小；
(2)若S△ABC＝3，b＝13，求a＋c的值．
解(1)由正弦定理，得sin A＝1
2sin C＋sin B cos C，
又因为A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin(B＋C)，
可得sin B cos C＋cos B sin C＝1
2sin C＋sin B cos C，
即cos B＝1
2，又B∈(0，π)，所以B＝
π
3.
(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π
3＝3，所以ac ＝4， 由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，
所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5. 10．(·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．
解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin 2A ，
所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.
(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝3
3. 又因为∠B ＝2∠A ，
所以cos B ＝2cos 2A －1＝13，所以sin B ＝1－cos 2B ＝22
3. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝53
9. 所以c ＝a sin C
sin A ＝5.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(·温岭中学模拟)在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝22
3，则AB →·AC →的最大值为( )．
A.13
B.4
5 C ．1 D ．3
解析 由余弦定理，得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc ×13＝4，由基本不等式可得4≥4
3bc ，即
bc ≤3，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝1
3bc ≤1. 答案 C
2．(·青岛一中调研)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( )．
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．以上均有可能
解析 由题意可知c ＞a ，c ＞b ，即角C 最大， 所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2＜ca 2＋cb 2，即
c 3
＜ca 2
＋cb 2
，所以c 2
＜a 2
＋b 2
.根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＞0，所以0
＜C ＜π
2，即三角形为锐角三角形． 答案 A 二、填空题
3．(·浙江卷)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝1
3，则sin ∠BAC ＝________.
解析 如图，令∠BAM ＝β，∠BAC ＝α，故|CM |＝|AM |sin(α－β)，
∵M 为BC 的中点，∴|BM |＝|AM |sin(α－β)．在△AMB 中，由正弦定理知，
|AM |sin B ＝|BM |sin β，
即|AM |
sin ? ????
π2－α＝|AM |·sin (α－β)sin β，
∵sin β＝13，∴cos β＝223， ∴13＝cos α·? ????223sin α－1
3cos α ＝223sin αcos α－1
3cos 2α，
整理得1＝22sin αcos α－cos 2α， 所以22tan α－1tan 2 α＋1＝1，
解得tan α＝2，故sin α＝6
3. 答案 6
3 三、解答题
4．(·长沙模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B . (1)求cos B ；
(2)若BC →·BA →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值． 解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ， 得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，
化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，
故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝13. (2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →
|· cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.①
又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②
联立①②??? a 2＋c 2
＝40，ac ＝12，解得??? a ＝2，c ＝6或?
??
a ＝6，
c ＝2.
余弦定理知识点+经典题(有答案)
余弦定理 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即： 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 2.利用余弦定理解三角形： （1）已知两边和它们所夹的角： （2）已知三边： 余弦定理 1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1 3 ，那么AC 等于( )A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．4 6 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ 3ac ， 则∠B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4
7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．2 8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 9．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．10．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c 的值为________． 11．在△ABC中，a＝32，cos C＝1 3 ，S△ABC＝43，则b＝________. 12．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________． 13．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c2 4 ，则角C＝________. 14．(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．
(完整版)正弦定理练习题经典
正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
《正弦定理和余弦定理》典型例题.
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A = ，30C = ，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C = ， ∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+= ， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304 c B b C ?====?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在60,1ABC b B c ?=== 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
解三角形高考典型例题汇编
《解三角形》 一、 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ===2R 推论：(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中，若，则= 2. 在△中，a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中，若满足，，，则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ，b=2，sinB+cosB ，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =？ 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是？ 二、余弦定理：222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值 2. 在△ABC 中，若则A= 3. 【2012上海高考】在中，若，则的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? （A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6
正弦定理、余弦定理经典练习题
学科数学版本人教版大开本、3+x 期数2339 年级高一编稿老师梁文莉审稿教师 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： §5.9正弦定理、余弦定理 目标：使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程，初步运用它们解斜三角形。并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运算能力、逻辑推理能力，渗透数形结合思想、分类思想、化归思想，以及从特殊到一般、类比等方法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点： 重点： 正弦定理、余弦定理的推导及运用。 难点： （1）正弦定理、余弦定理的推导过程； （2）应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 ［学法指导］ 学习本节知识时可采用向量法、等积法（面积相等）等不同方法来推导正弦定理，以加深对定理的理解和记忆，由于已知两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，此时三角形可能出现两解、一解、无解三种情况，因此解此类三角形时，要注意讨论。 深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量。当有一个角为90°时，即为勾股定理。因此，勾股定理可看作是余弦定理的特例。 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一般地，利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（R 为ΔABC外接圆半径），可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π。 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题。在三角形中，有一个角的余弦值为负值，该三角形为钝角三角形；有一个角的余弦值为零，便是直角三角形；三个角的余弦值都为正值，便是锐角三角形。 【例题分析】
正弦定理、余弦定理综合应用典型例题
正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=
正弦定理典型例题与知识点
正弦定理 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论： A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形 1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA≤) ( b a 锐角一解无解 b a 1、已知中，，，则角等于 ( D) A ． B ． C ． D ．
2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D．
1. 在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中，C= 2 π ，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C= 2 π ，∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中，10 10 3B cos ,21A tan == ，则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =， sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2 a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ?中， b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ）
高中数学 2二项式定理(带答案)
二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）
正弦定理知识点与典型例题
正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2 1ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2．三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-bb 时有一解. 也可利用正弦定理a A b B sin sin =进行讨论． 如果sinB>1，则问题无解；如果sinB ＝1，则问题有一解； 如果求出sinB<1，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”
高一数学 余弦定理公式
正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA余弦定理教学设计经典
1.1．2余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形； 能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。 难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经具备了勾股02220定理的知识，即当∠C=90时，有c=a+b。作为一般的情况，当∠C≠90时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了“已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形”，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程，教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理，最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。
二项式定理知识点总结
二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
人教新课标版数学高二-人教A必修5练习 余弦定理(一)
1．1.2 余弦定理(一) 课时目标 1．熟记余弦定理及其推论； 2．能够初步运用余弦定理解斜三角形． 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C . 2．余弦定理的推论 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．在△ABC 中： (1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°. 一、选择题 1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A 2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B 解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab ＝72＋(43)2－(13)2 2×7×43 ＝32.∴C ＝π6 . 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C 解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 2 2a ＝a ＝2. 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B 解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，
(完整版)立体几何典型例题精选(含答案)
F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．
正弦定理经典练习题
《正弦定理、余弦定理、解斜三角形》 一、复习要求 ： 1． 掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。 2． 用正弦、余弦定理判断三角形的形状。 二、知识点回顾 （1） 正弦定理：,22sin sin sin ? ====S abc R C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径）， （?S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinC a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC (2) 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,a 轮换得另二式) 余弦定理变式：bc a c b A 2cos 2 22-+= , (轮换得另二式) 余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – b c 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2 - 2﹒a ﹒b =a 2+b 2 - 2abcosC (其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c) 三、典型例题分析： 例1：在三角形ABC 中，若C=3B ，求b c 的范围 分析：角边比转化，可用正弦定理 解：1cos 4cos 22cos sin ) 2sin(sin 3sin sin sin 2-=+=+===B B B B B B B B B C b c A+B+C=1800 ，C=3B ， ∴４Ｂ<１８００，００<Ｂ<４５０， 1cos 22 <C ,且b 2+c 2 =a 2+bc, 求A ，B ，C 。 解：21 22cosA 2 22==-+=bc bc bc a c b ， ∴ A=600 又 4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(1200-B)=11 sin 22sin 31)sin 21 cos 23 (sin 42=+?=+?B B B B B B con B 22sin 3=? ∴33 2t a n =B ∴2B=300 或2100 B>C , ∴2B=2100 即 B=1050 ∴A=600 B=1050 C=150 练习2：在?ABC 中，2B=A+C 且tanAtanC=2+3 求（1）A 、B 、C 的大小 （2） 若AB 边上的高CD=43，求三边a 、b 、c 例３：如图，已知Ｐ为?ABC 内一点，且满足∠ＰＡＢ ＝∠ＰＢＣ＝ ∠ＰＣＡ＝θ 求证cot θ=cotA+cotB+cotC C A B a c b θ A B C P θ θ
正余弦定理复习教案设计
正弦、余弦定理 一. 教学内容： 正弦、余弦定理 二. 教学重、难点： 1. 重点： 正弦、余弦定理。 2. 难点： 运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 cos ,cos ,cos . bc A ac B ab C 注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。（∵sinA>sinB ? 22R R >?a>b ?A>B ） 二、应用举例 1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
（2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。 （3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③） ①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏本等其他方向角类似。 （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式 （1）1 ()2a a S a h h a = 表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径； （3）1 ()()2 S r a b c r =++为内切圆半径。 【典型例题】 [例1] 已知在ABC ?中，?=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。 练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。 （1）5=a ，4=b ，?=120A （2）7=a ，14=b ，?=150A （3）9=a ，10=b ，?=60A （4）50=c ，72=b ，?=135C 正弦定理余弦定理的应用：
正弦定理练习题典型题(含答案)
正弦定理一 1、在ABC ?中，060A ∠=，6a =，3b =，则ABC ?解的情况（ ） A ．无解 B ．有一解 C ．有两解 D ．不能确定 2、在△ABC 中，若b=2，A=120°，三角形的面积S= ，则三角形外接圆的半径为( ) A ． B ．2 C ．2 D ．4 3、在ABC △中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边,已知1,2a b ==，3cos 2 A =，求角C ． 4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ． （1）求角A 的值； （2）求sinB ＋sinC 的取值范围． 5、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2csinA ． （1）求角C 的值； （2）若c=，且S △ABC =，求a+b 的值．
参考答案 1、【答案】A 2、【答案】B 3、【答案】解：在ABC △中，3cos 2A = ，得6A π=， 又1,2a b ==，由正弦定理得sin sin a b A B =， ∴sin 2sin 2 b A B a ==， 又b a >，得4B π= 或4 B 3π=， 当4B π=时，6412 C ππ7π=π--=； 当4B 3π=时，6412 C π3ππ=π--=， ∴角C 为127π或12π． 4、【答案】（1）A ＝；（2）(，]． 试题分析：（1）要求解，已知条件中有角有边，一般情况下我们可以利用正弦定理把边化为角的关系，本题acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，由正弦定理可化为sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，于是有 sin()2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，而sin 0B ≠，于是1cos 2A =，3 A π=；（2）由（1）23C B π=-，且203B π<<，2sin sin sin sin()3 B C B B π+=+-，由两角和与差的正弦公式可转化为3sin()6 B π+，再由正弦函数的性质可得取值范围. 试题解析： （1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ， 即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ． 从而sinB ＝2sinBcosA ． 因为sinB ≠0，所以cosA ＝． 因为0＜A ＜π，所以A ＝． （2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(－B)＝sinB ＋sin cosB －cos sinB ＝sinB ＋cosB ＝sin(B ＋)． 因为0＜B ＜，所以＜B ＋ ＜．
(word完整版)高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案
高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案 教学目标： 1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形. 2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点． 3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形． ③能解决与三角形有关的实际问题． 教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解． ②将实际问题转化为解斜三角形． 教学过程 一、基础回顾 1、正余弦定理 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bccosA ， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 2、变形式 ①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径) ②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB ③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab . 3、三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π. (2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式 ① S ＝12 a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ； ③ S ＝12 r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12 (a ＋b ＋c)． 二、基础自测 1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________． 2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________． 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形． 4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．
