2016版《步步高》高考数学大二轮总复习：专题二 函数与导数第1讲
第1讲 函数的图象与性质
1．(2015·天津改编)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x
－m |
－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，
b ＝(log 25)，
c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为________．
2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象中可能正确的是______________．
3．(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f (x )＝?
????
1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝
________________________________________________________________________. 4．(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取
值范围是________________________________________________________．
1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.
2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.
3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.
热点一 函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．
3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.
例1 (1)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈????0，1
2时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ???－3
2的值等于________． (2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12
a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1) 跟踪演练1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对于任意x ∈R ，恒有f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝2x －1，则f (2017)＝________. (2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1) 3)的x 的取值范围是 ________． 热点二 函数图象及应用 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)函数y ＝x 2 －2sin x 的图象可能是下列中的________． (2)(2015·北京改编)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式 f (x )≥lo g 2(x ＋1)的解集是________． 思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时 也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用． 跟踪演练2 (1)(2015·安徽改编)函数f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2 的图象如图所示，则abc ________0(填“>”或“<”)． (2)已知函数y ＝f (x )是奇函数，且函数f (x ＋1)在[－1，＋∞)上是增函数，不等式f (a 2＋2a )≤f (a ＋2)，则实数a 的取值范围是________． 热点三 基本初等函数的图象和性质 1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1 2 ，－1五种情况． 例3 (1)(2015·山东改编)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________． (2)若函数f (x )＝????? log 2 x ，x >0，log 1 2(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________． 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性． 跟踪演练3 (1)(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是下列中的________． (2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0恒成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln2f (ln2)，c ＝－2f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系是________. 1．已知函数f (x )＝e |ln x |－??? ?x －1 x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为下列________(填序号)． 2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋4)．当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )；当0≤x <2时，f (x )＝2x － 1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2016)的值为________． 3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )| ＝－g (x )，则h (x )的最小值为________． 4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝????? －x 2 4，0 4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实 数t 的取值范围为________． 提醒：完成作业 专题二 第1讲 二轮专题强化练 专题二 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质 A 组 专题通关 1．函数y ＝ln(1＋1 x )＋1－x 2的定义域为________． 2．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________． 3．函数f (x )＝????? x ＋1x ，x ≥2， 2x ，x <1 的值域为____________________． 4．(2014·课标全国Ⅱ改编)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 5．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(1 2)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝ ________________________________________________________________________. 6．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________________． 7．已知函数f (x )＝????? 13e x (x ≥2)， f (x ＋1)(x <2)， 则f (ln3)＝______. 8．(2015·福建)若函数f (x )＝2|x － a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增， 则实数m 的最小值等于________． 9．已知函数f (x )＝? ??? ? (1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围 是________． 10．已知二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝? ???? f (x )，x >0， －f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数 x均有f(x)≥0成立． (1)求F(x)的表达式； (2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围． 11．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． (1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ B 组 能力提高 12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________________________________________________． 13．已知函数f (x )＝|log 12 x |，若m 14．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 15．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x )＝e x ＋e － x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x ； ③f (x )＝tan x 2 ；④f (x )＝4x 3＋x . 学生用书答案精析 专题二 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质 高考真题体验 1．c ＜a ＜b 解析 由f (x )＝2|x －m | －1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1. 所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1 ＝2log 23－1＝2， b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4， c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c 解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.①中，y ＝3－ x ＝(13)x ， 显然图象错误；②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故图象②可能正确． 3．9 解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－ 1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 4．(－1,3) 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴图象关于y 轴对称． 又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示， 由f (x －1)>0， 得－2 例1 (1)－14 (2)[1 2 ，2] 解析 (1)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得 f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )， 得函数y ＝f (x )的一个周期为2， 故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0， f ????－32＝f ????12＝－1 4 . 所以f (3)＋f ????－32＝0＋????－14＝－1 4 . (2)由题意知a >0，又log 12 a ＝log 2a － 1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12 a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12 a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈???? 12，2. 跟踪演练1 (1)12 (2)(13，23) 解析 (1)f (x －1)＝f (x ＋1)， 则f (x )的周期为2， f (2017)＝f (1)＝－f (－1)＝－(2－ 1－1)＝12 . (2)偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1) 3)，进而转化为不等 式|2x －1|<13，解这个不等式即得x 的取值范围是(13，2 3)． 例2 (1)③ (2){x |－1＜x ≤1} 解析 (1)由f (－x )＝－f (x )，知函数 f (x )为奇函数，所以排除①； 又f ′(x )＝1 2－2cos x ， 当x ＝2π时， f ′(2π)＝12－2cos2π＝－3 2<0， 所以x ＝2π应在函数的减区间上． 所以③可能是y ＝x 2 －2sin x 的图象． (2)令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图. 由????? x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得????? x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1 解析 (1)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，∴c <0. 令x ＝0， 得f (0)＝b c 2，又由图象知f (0)>0，∴b >0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a ， 结合图象知－b a >0，∴a <0.故abc >0. (2)因为函数f (x ＋1)在[－1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．因为函数y ＝f (x )是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，即函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，如图所示． 因为f(a2＋2a)≤f(a＋2)， 所以a2＋2a≤a＋2，即a2＋a－2≤0， 解得－2≤a≤1， 所以实数a的取值范围是[－2,1]． 例3(1)b 解析(1)根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y ＝1.5x在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c. (2)方法一由题意作出y＝f(x)的图象如图． 显然当a>1或－1 方法二对a分类讨论： a，∴a>1. 当a>0时，∵log2a>log 1 2 (－a)>log2(－a)， 当a<0时，∵log 1 2 ∴0<－a<1， ∴－1 跟踪演练3(1)④(2)c>a>b 解析(1)方法一分a>1,0 当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a递增较快，③不对； 当0 方法二幂函数f(x)＝x a的图象不过(0,1)点，排除①；②中由对数函数f(x)＝log a x的图象知0 (2)构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，所以函数y ＝g(x)在(－∞，0)上单调递减．因为函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，所以y＝f(x)是奇 函数，由此可知函数y ＝g (x )是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又a ＝g (20.2)，b ＝g (ln2)，c ＝g (－2)＝g (2)，由于ln2<20.2<2，所以c >a >b . 高考押题精练 1．① 解析 据已知关系式可得 f (x )＝??? e －ln x ＋??? ?x －1 x ＝x (0 ln x －????x －1x ＝1 x (x >1)， 作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象． 2．1260 解析 因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数f (x )的周期为4. 当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )； 当0≤x <2时，f (x )＝2x － 1. 所以f (1)＝20＝1， f (2)＝f (－2)＝log 22＝1， f (3)＝f (－1)＝log 21＝0， f (4)＝f (0)＝2－ 1＝12 . 所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋1＋0＋12＝5 2， 所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2016)＝504×5 2＝1260. 3．－1 解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图， 而h (x )＝? ???? |f (x )|，|f (x )|≥g (x )， －g (x )，|f (x )| 故h (x )有最小值－1，无最大值． 4．(－2,0)∪(0,2) 解析 因为x >0时， h (x )＝????? －x 24 ，0 4－2x ，x >4. 易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数， 且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0<|t |<2， 所以????? t ≠0，|t |<2，即????? t ≠0，－2 解得－2 综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)． 二轮专题强化练答案精析 专题二 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质 1．(0,1] 解析 要使函数有意义，需????? 1＋1x >0，1－x 2≥0，即????? x ＋1x >0，x 2≤1， 即????? x <－1或x >0，－1≤x ≤1， 解得0 ? x ＋1，－1≤x ≤014 (x －2)2 －1，x >0 解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ， 则????? －k ＋b ＝0，b ＝1，得????? k ＝1， b ＝1. ∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14， ∴y ＝1 4(x －2)2－1. 3．(0,2)∪[5 2 ，＋∞) 解析 当x ≥2时，f (x )＝x ＋1 x ， 所以f ′(x )＝1－1x 2≥1－14＝3 4 >0， 所以函数f (x )＝x ＋1x 在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (2)＝5 2；当x <1时，f (x )＝2x ，所以 0<2x <2，所以函数f (x )的值域为(0,2)∪[5 2，＋∞)． 4．3 解析 因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 5.124 解析 由于1 )2 log 3 ＝18×22log 3 －＝18×221 log 3＝18×13＝124 . 6．{x |－7 解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x ) 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2 ＋4x ，故有f (x )＝? ???? x 2 －4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解集，由????? x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由? ???? x <0， x 2＋4x <5，得－5 于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7 解析 f (ln3)＝f (ln3＋1)＝13e ln3＋ 1＝e. 8．1 解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴x ＝1， ∴a ＝1，f (x )＝2|x － 1|，∴f (x )的增区间为[1，＋∞)， ∵[m ，＋∞)?[1，＋∞)，∴m ≥1.∴m 的最小值为1. 9．(13，611 ] 解析 ∵函数f (x )＝? ???? (1－3a )x ＋10a ， x ≤7， a x －7，x >7是定义域上的递减函数， ∴???? ? 1－3a <0，0 即???? ? 1－3a <0，0 解得13 11 . 10．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立， ∴????? a >0，Δ＝(a ＋1)2 －4a ≤0， 即????? a >0，(a －1)2 ≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ∴F (x )＝? ???? x 2 ＋2x ＋1，x >0， －x 2－2x －1，x <0. (2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴ k －22≤－2或k －22 ≥2， 解得k ≤－2或k ≥6. ∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 11．解 (1)当0 p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x . ∴p ＝? ???? 60， 0 (2)设利润为y 元，则 当0 当100 ∴y ＝? ???? 20x ， 0 ，100 y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6050， ∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6050. 显然6050>2000. ∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元． 12．f (－25) 解析 因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，即函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4) ＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，且f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，则f (－1) 解析 ∵f (x )＝|log 12 x |，若m ∴log 12 m ＝－log 12 n ，∴mn ＝1， ∴0 ∴m ＋3n ＝m ＋3 m 在m ∈(0,1)上单调递减， 当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4. 14．{a |a ≤2} 解析 f (x )＝? ???? x (x －a )，x ≥a ，