高考数学专题复习优质试卷分项圆锥曲线文

专题 圆锥曲线

一、选择题

1．【2018黑龙江佳木斯一中调研】在等腰梯形ABCD 中， //AB CD ， tan 2ABC ∠=， 6AB =， 2CD =，以A 、B 为顶点的椭圆经过C 、D 两点，则此椭圆的离心率为（ ）

A. 1

2

【答案】A

∴CA =

= CB =

=∵椭圆是以A B 、为顶点，且经过C D 、两点

∴2a CA CB =+=，即a =； 26c AB ==，即3c =

∴

c a ==故选A

2．【2018湖北八校联考】如图，已知椭圆C 的中心为原点O , ()5,0F -为C 的左焦点， P 为C 上一点，满足OP OF =且6PF =，则椭圆C 的方程为（ ）

A.

2213616x y += B. 22

14015x y += C.

2214924x y += D. 22

14520

x y += 【答案】C

3．【2018湖南五市十校联考】设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限

的交点， 12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）

【答案】B

【解析】点P 到原点的距离为PO c ==，又因为在12PF F 中， 1222F F c PO ==，

所以12PF F 是直角三角形，即1290F PF ∠=.由双曲线定义知122PF PF a -=，又因为123PF PF =，所以

123,PF a PF a ==.在12Rt PF F 中，由勾股定理得()()22

232a a c +=，解得

2

c a =. 故选A.

4．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知抛物线C ： 2

8

x y =的焦点为F ， ()00A x y ，是C 上一点，且

02AF y =，则0x =（ ）

A. 2

B. 2±

C. 4

D. 4± 【答案】D

点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点A 的0y 值，代回抛物线方程求得0x 的值。要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握。

5．【2018黑龙江齐齐哈尔八中二模】椭圆()22

2124

x y a a +

=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆上的一点，若1260F PF ∠=?，那么12PF F ?的面积为（ ）

【答案】D 【

解

析

】如图，设

12,,

PF m PF n ==有

()()()1222

2

2

2

222211660,,

2223143

602PF F a mn c m n c cos mn mn mn S mnsin ???--+-??===∴===

本题选择D 选项.

点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．

6．【2018衡水联考】过双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点(),0F c 作其渐近线y x =的垂线，垂

足为M ，若OMF

S ?=O 为坐标原点）

，则双曲线22

221x y a b

-=（0a >， 0b >）的标准方程为（ ） A. 22143x y -= B. 22186x y -= C. 2211612x y -= D. 22

13224

x y -= 【答案】C

7．【2018河南中原名校质检】已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ， N 为抛物线上

的一点，且满足NF =

，则点F 到MN 的距离为（ ）

A.

1

2

【答案】B

【点睛】解决有关抛物线的问题，注意抛物线的定义得利用，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。

8．【2018华大新高考质检】已知抛物线，点是抛物线异于原点的动点，连接并延长交抛物线于点，连接并分别延长交拋物线于点，连接，若直线的斜率存在且分

别为，则（）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

【答案】C

【解析】设，

则直线的方程为代入抛物线，

整理得，所以,即，

从而,故，同理可得，

因为三点共线，所以，从而.

所以，

.

所以.

故选C.

9．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】已知双曲线的右顶点为，以为圆心，半径为

的圆与双曲线的某条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

∴双曲线的离心率的取值范围为

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

10．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】若抛物线2

4x y =上的点(),P m n 到其焦点的距离为5，则n =（ ）

A.

194 B. 9

2

C. 3

D. 4

【答案】D

【解析】抛物线2

4x y =的准线方程为y 1=- 根据抛物线定义可知：5=n+1,即n=4 故选：D

11．【2018宁夏银川二模联考】已知双曲线22

22

11x y a a

-=-（0a >，则a 的值为（ ）

A.

12 B. 2 C. 1

3

【答案】B

【解析】因为2

2

2

11c a a a =+-==

，所以221

2e a

==，解得a =，故选B. 12．【2018江西宜春六校联考】已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右

焦点分别是1F ， 2F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ）

【答案】D

【解析】解:根据题意,作图如下:

()()22212,,PF PF c x y c x y x y c ∴?=---?--=+-

2

22a y a y c b ??

=-+- ???

, 令()2

22a f y y a y c b ??

=-+- ???

,

则()'22a a

f y y a y b b

??=-?+

???, 由()'0f y =得: 222a b y a b =+,于是2

22ab x a b =-+,

2

2

222

1222220ab a b PF PF c a b a b ????∴?=-+-= ? ?

++????

, 整理得: 2222

2a b c a b =+,又222

b a

c =-,222c e a =, 42310e e ∴-+=,

2e ∴=

又椭圆的离心率()0,1e ∈,

232

e ∴=

. 13．【2018江西宜春六校联考】已知P ， Q ， R 是圆2

2

2150x y x +--=上不同三点，它们到直线l ：

90x ++=的距离分别为1x ， 2x ， 3x ，若1x ， 2x ， 3x 成等比数列，则公比的最大值为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 【答案】C

14．【2018陕西两校联考】已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>离心率为，则其渐近线与圆

()

2

22

14

x a y a -+=

的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】C

【解析】因为一条渐近线方程为0ay bx -=，又离心率为c

a

=所以a b =，所以渐近线方程为0y x -=，

由()2

221

4x a y a -+=知圆心(),0a ，半径12a ，圆心到直线的距离12d ==>，所以直线与圆相离，故选C.

15．【2018广西南宁联考】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中

点坐标是，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C.

D.

【答案】C

16．【2018云南昆明一中联考】设O 为坐标原点， P 是以F 为焦点的抛物线2

2y px =（0p >）上任意一点， M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）

2

3

【答案】A 【

解

析

】

由

题

意

可

得

,02p F ?? ???

，设

2000,,(0)2y P y y p ??> ???

，则

()

2001112,3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ??

=+=+=+-=+=+ ?

??

，可

得

2

000

13

263

k y p y p p y p =

=

≤

=

++．当且仅当002y p p y =时取得等号，选A. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 二、填空题

17．【2018黑龙江齐齐哈尔一中调研】过抛物线2

4y x =的焦点的直线l 交抛物线于A ， B 两点，分别过A ，

B 点作抛物线的切线1l ， 2l ，则1l 与2l 的交点的横坐标为__________．

【答案】1-

∵直线1l 与抛物线相切

∴()

2111116440k y k y ?=--=

∴112k y =

，即1l 的方程为1122y y x y =+；同理可得2l 的方程为2222

y y x y =+ 联立1l 、2l 的方程可得交点的坐标为1212

,42y y y y +??

??

?

设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线联立方程可得2

440y my --= ∴124y y ?=-

∴1l 与2l 的交点横坐标为1- 故答案为1-

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么，“定值”是什么，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 18．【2018湖南五校联考】圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准

方程为_________________________． 【答案】

点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：

（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；

（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．

19．【2018河南中原名校联考】已知点M 在椭圆

22

1369

x y +=上， MP '垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P '，并且M 为线段PP '的中点，则P 点的轨迹方程是___________. 【答案】2

2

36x y +=

【解析】设P （x ，y ），则M （x ， 2

y

）．∵点M 在椭圆

221369x y +=上，∴2213636x y +=， 即P 点的轨迹方程为x 2

+y 2

=36．故填22

36x y +=.

20．【2018辽宁鞍山一中二模】双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>与抛物线()2

20y px p =>有相同的焦点

F ，且相交于,A B 两点， AB 连线经过焦点F ，则双曲线的离心率为__________．

【答案】1【解析】 由F 为公共焦点，可知2

p

c =

，即2p c =， 因为抛物线与双曲线都关于x 轴对称，所以,A B 两点关于x 轴对称， 所以直线AB 的方程为x c =，

代入双曲线的方程，可得2

b y a =±，即22,,,b b A

c B c a a ????- ? ????

?，

因为,A B 在抛物线上，所以42

24b c a

=，

又222b c a =-，所以222c a ac -=，即2210e e --=，

解得1e =+1e =.

点睛：本题主要考查了圆锥曲线的几何性质的求解，其中解答中涉及到双曲线的几何性质、抛物线的标准方程及其几何性质的应用，着重考查了学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记圆锥曲线的几何性质及,,a b c 的关系式是解答的关键.

21．【2018湖南株洲两校联考】已知直线()10y kx k =+≠交抛物线2

4x y =于E 和F 两点，以EF 为直径

的圆x 轴截得的弦长为k =__________ . 【答案】±1.

点睛：此题考查直线和圆的位置关系，多数情况下是考虑数形结合的方法，通过圆心到直线的距离等于半径，和垂径定理来构造方程。在直线和圆的位置关系中，善于发现直线过的定点，和圆当中的垂直关系，善于发现图形特点是非常重要的。 三、解答题

22．【2018黑龙江佳木斯一中调研】椭圆E 中心在原点，焦点在y 轴上， 1F 、2F 分别为上、下焦点，椭圆的离心率为

1

2

， P 为椭圆上一点且120PF PF K K +=．

（1）若12PF F ?E 的标准方程；

（2）若1PF 的延长线与椭圆E 另一交点为A ，以PA 为直径的圆过点M ??

? ???

， N 为椭圆上动点，求12NF NF ?的范围．

【答案】（1）22

143

y x +=（2）[]128,12NF NF ?∈

试题解析：（1）由椭圆的对称性可知， P 为椭圆的左、右顶点，可设(),0P b ，

∴2221

{, 2

,

bc c a a b c ===+

解得2,

{ 1,

a b c ===∴22143y x +=．

（2）椭圆的离心率为12， 222a b c =+，则22

4a c =， 223b c =， 2222143y x c c +=，

∵以PA

为直径的圆过点M ?? ? ???

，∴A x =． 又∵1PF 的延长线与椭圆E 另一交点为A ，则A

、)

,0P

、()10,F c 三点共线，

∴(

),,5A c c y λ??=- ? ???

，∴(

)

,5A c c y λ??=- ? ???

，

∴6

5

A y c =

+，

A x =， 又∵A 在椭圆中，则代入椭圆方程有2

54120c c --=， 2c =，

22

11612

y x +=， 设椭圆上动点()00,N x y ，则22

001612x y ??=- ??

?， []2

00,12x ∈，

∴()()120000,2,2NF NF x y x y ?=--?--- 2

2

2

0004123

x x y =+-=-+， []200,12x ∈， ∴[]128,12NF NF ?∈．

点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法

几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；

代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下五个方面考虑： 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系； 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 利用基本不等式求出参数的取值范围； 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

23．【2018湖北八校联考】已知抛物线2

:2(0)C y px p =>在第一象限内的点()2,P t 到焦点F 的距离为

5

2

． （1）若1,02M ??

-

???

，过点M , P 的直线1l 与抛物线相交于另一点Q ，求QF PF 的值； （2）若直线2l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与圆()2

2:1M x a y -+=相交于,D E 两点， O 为坐标原点， OA OB ⊥，试问：是否存在实数a ，使得DE 的长为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）

14

；（2）2a =时， 2DE =， DE 的长为定值．

()22,B x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理得12y y +， 12y y ，由O A O B

⊥，得()()121

20t y m

t y m

y y ++

+=，将12y y +， 12y y 代入可得m 的值，利用直线截圆所得弦长公式得

DE =2a =时满足题意.

试题解析：（1）∵点()2,P t ，∴5

222

p +

=，解得1p =， 故抛物线C 的方程为： 2

2y x =，当2x =时，，

∴1l 的方程为4255y x =

+，联立22y x =可得， 18

Q x =， 又∵12Q QF x =+， 1

2P PF x =+，∴111821422

QF PF +==+．

（2）设直线AB 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程可得2

220y ty m --=， 设()11,A x y ()22,B x y ，则122y y t +=， 122y y m =-，① 由OA OB ⊥得： ()()12120ty m ty m y y +++=， 整理得()

()22121210t y y tm y y m ++++=，② 将①代入②解得2m =，∴直线:2l x ty =+，

∵圆心到直线l

的距离d =

DE =

显然当2a =时， 2DE =， DE 的长为定值．

点睛：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，难度中档；抛物线上点的特征，抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，即为02

p

x +

，两直线垂直即可转化为斜率也可转化为数量积为0，直线与圆相交截得的弦长的一半，圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.

24．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知椭圆C ： 22221x y a b

+=（0a

b >>）的离心率为2，过右焦

点且垂直于x 轴的直线1l 与椭圆C 交于A ， B 两点

，且AB =

，直线2l ： ()y k x m =-

34m R m ?

?∈> ??

?，与椭圆C 交于M ， N 两点.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知点504R ?? ???

，

，若·RM RN 是一个与k 无关的常数，求实数m 的值. 【答案】（1）2

212

x y

+=；（2）1

试题解析：

（1）联立22

22

{ 1x c x y a b =+=，

，

解得2b y a

=±，故22b

a =

又c e a =

=， 222a b c =+

，联立三式，解得a = 1b =， 1c =， 故椭圆C 的标准方程为2

212

x y +=. （2）设

()11M x y ，， ()

22N x y ，，联立方程()2

21{ 2x y y k x m +==-，

，

消元得

()2

2

222124220k x

mk x k m +-+-=，

()()()

242222221641222821m k k k m k m k ?=-+-=-+， ∴2122412mk x x k +=+， 22122

22

12m k x x k

-=+， ()()()212121212125552544416RM RN x x y y x x x x k x m x m ?

????=--+=-+++-- ????

???

()

()()

22

2

222

12122

35225252514161216m m k k x x mk x x k m k ---??=+-++++=+ ?+??

又RM RN ?是一个与k 无关的常数，∴23524m m --=-，即23520m m -+=， ∴11m =， 223m =

.∵3

4

m >，∴1m =. 当1m =时， 0?>，直线2l 与椭圆C 交于两点，满足题意.

25．【2018

黑龙江齐齐哈尔八中二模】以边长为的正三角形OAB 的顶点O 为坐标原点，另外两个顶点在抛物线()2

:20E x py p =>上，过抛物线E 的焦点F 的直线l 过交拋物线E 于,P Q 两点.

（1）求抛物线E 的方程； （2）求证： OP OQ ?为定值； （3）求线段PQ 的中点的轨迹方程.

【答案】（1）2

4x y =；（2）证明见解析；（3）2

112

y x =

+

(3) 设线段PQ 的中点为(),M x y ，则,

2

{

,

2

P Q

P Q x x x y y y +=

+= 消去参数可得中点的轨迹方程为2112y x =+.

试题解析：

（1）因为正三角形和抛物线都是轴对称图形，且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合，所以，三角形的顶点,A B 关于y 轴对称，如图所示.

由2,{

2,

y x py ==

可得2,A x x ==，

∵2AB ==?，∴2p =. ∴抛物线E 的方程为2

4x y =

.

（2）易知抛物线E ： 2

4x y =的焦点()0,1F ，设直线:1l y kx =+，并设点()()

,,,P P Q Q P x y Q x y .

由21,{ 4,

y kx x y =+=可得2

440x kx --=，∴4,{ 4.P Q P Q x x k x x +==-

∴()()

22114411P Q P Q y y kx kx k k =++=-++=，

∵()()

,,,P P Q Q OP x y OQ x y =，∴ 413P Q P Q OP OQ x x y y ?=+=-+=-. （3）设线段PQ 的中点为(),M x y ，

则2=2,

2

{

11

21,

2

2

P Q

P Q

P Q x x x k y y kx kx y k +=

++++=

=

=+

消去k 得线段PQ 的中点为(),M x y 的轨迹方程为2

112

y x =

+. 26．【2018河南中原名校联考】设椭

圆22

21(3

x y a a +

=>的右焦点为F ，右顶点为A .已知1OA OF -=，其中O 为原点， e 为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程及离心率e 的值；

（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.

【答案】（1）椭圆的方程为22143x y +=. 1

2c e a ==;（2

）

,??-∞?+∞ ? ???

圆方程联立消去y ，得()

2222431616120k x k x k +-+-=，因为2与点B 的横坐标是此方程的两个根，

用根于系数的关系得228643B k x k -=+，代入直线l 的方程从而得21243

B

k

y k -=+. 由BF HF ⊥，得0B F F H ?=，设()0,H H y ，求两向量的坐标。由（1）知， ()1,0F ，得向量坐标()1,H FH y =-，

2229412,4343k k BF k k ??-= ?++??

. 所以22

2124904343H ky k k k -+=++，解得2

9412H k y k -=.因为直线MH 与直线l 垂直，所以直线MH 的斜率为1

k -，由直线的斜截式得直线MH 的方程为219412k y x k k -=-+.联立直线l 的方程

()2y k x =-与直线MH 的方程2

19412k y x k k

-=-+

，设(),M M M x y ，可解得点M 的横坐标

()

22

209

121

M k x k +=+，在MAO ?中，由大边对大角得MOA MAO MA MO ∠≤∠?≤，由两点间的距离公式得()2

2

222M M

M

M

x y x y -+≤+，化简得1M x ≥，即

()

22209

1121

k k +≥+，

解不等式可得4k ≤-，

或4

k ≥. 试题解析：解：（1）设(),0F c ，∵ 1a c -=，∴ 1a c =+， 2212a c c =++ 又222a b c =+，∴ 312c =+， 1c =，∴ 2a =， 所以21c =，因此24a =.

所以，椭圆的方程为22143x y +=. 1

2

c e a ==. （2）解：设直线l 的斜率为()0k k ≠，则直线l 的方程为()2y k x =-，设(),B B B x y ，

由方程组()22

1

{ 43

2x y y k x +==-，消去y ，得()2222431616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243

B

k

y k -=+. 由（1）知， ()1,0F ，设()0,H H y ，有()1,H FH y =-， 2229412,4343k k BF k k ??

-= ?++??

.

由BF HF ⊥，得0B F F H ?=，所以222124904343H ky k k k -+=++，解得2

9412H k y k -=.因此直线MH 的方程为

2

19412k y x k k

-=-+.

设(),M M M x y ，由方程组()

22{ 19412y k x k y x k k

=--=-+

，消去y ，解得()

2

2

209121M k x k +=+，在MAO ?中， MOA MAO MA MO ∠≤∠?≤，即()2

2

222M M

M

M

x y x y

-+≤+，化简得1M x ≥，即()

22

209

1121

k k +≥+，解

得k ≤

，或k ≥.