微分流形1 (6)
第五节 外代数
定义1 设ξ是V 上的阶协变张量，即q :V V ξ×× q (个因子)→是V 上的重线性函数。若任意交换两个自变量的位置， q ξ的值不变，则称ξ是对称的阶协变张量。若任意交换两个自变量的位置q ξ的值只改变符号，则称ξ是反对称的阶协变张量。
q 命题1 设，则0q V ξ∈ξ是对称张量的充要条件是ξ的分量关于各个指标是对称的，即
(1)()1,(q q i i i i q σσ)ξξσ?=?∈ 。
ξ是反对称张量的充要条件是ξ的分量关于各个指标是反对称的，即
(1)()1(),()q q i i i i sign q σσξσξσ?=? ∈。
定义2 设，令
0q V ξ∈ ()
1()()!q q S q σ?ξσξ∈=∑， ()
1()()()!q q A sign q σ?ξσσξ∈=?∑。 则()q S ξ是对称的阶协变张量，q ()q A ξ是反对称的阶协变张量。为对称化算子，称为反对称化算子。
q q S q A 引理2 设1r q ≤<，用表示作用在阶协变张量上的反对称化算子，用表示阶协变张量关于前个自变量的反对称化算子，则对任意的有
q A q r a q r 0q V ξ∈ ()()q r q A a A ξξ= 。
向量空间V 上的次外形式是一种特殊的张量，其定义如下：
r 定义3 向量空间V 上的反对称r 阶协变张量，即V 上的反对称重r
线性函数，称为V 上的次外形式，简称为r r ?形式。
定义4 设。令
**,r s V V αβ∈∧∈∧ ()!()!!
r s r s A r s αβα+β+∧=?， 则αβ∧是次外形式，称为r s α和β的外积。
+定理 3 外积运算服从下列运算律，设，
*12,,r V ααα∈∧*12,,s V βββ∈∧，，则有
*t V γ∈∧(1) 分配律
1212()ααβαβα+∧=∧+∧β2，
121()αββαβαβ∧+=∧+∧ (2) 反交换律
(1)rs αββ∧=?∧α)；
(3) 结合律
()(αβγαβγ∧∧=∧∧ 定理4 设V 是维向量空间，{n }i δ是它的一个基底，{}i δ是其对偶
基底，则下列个次外形式
n r ??????
r
11,1r i i r i i δδ∧∧≤<<≤ n 构成次外形式空间的基底，由此可见，。
r *r V ∧*dim r n V r ??∧=????
推论5 设{}i δ是向量空间V 的一个基底，ξ是V 上的r 次外形式，则对于任意的有
1,,r u u ∈ V
11111111111(,,)r r r r r r i i r i i i i r
i i i i n i i r
u u u u u u u u ξξξ≤<<≤==
∑ r
其中11(,,),r r i i i i i i u u ααξξδδδ== …。
定义5 设:f V W →是从向量空间V 到向量空间W 的一个线性映射，则f 诱导出外形式空间之间的线性映射**:r *r f W V ∧→V ∧，其定义是： 对于任意的及*r W α∈∧1,,r u u ∈ 有
*11()(,,)((),,())r r f u u f u f u αα= 。
*f 称为f 的诱导映射。
定理6 设:f V W →是线性映射，**:r *r f W ∧→∧V *是诱导映射()，则对于任意的，有
1,2,r = *r W α∈∧*s W β∈∧ **()f f f αβα∧=∧β*。
定理7 1次形式线性相关的充要条件是
1,,r V ξξ∈ 10r ξξ∧∧= 。
定义6 设是r 个1次形式，1*,,r V ξξ∈ ?是p 次外形式。如果存在个r 1p ?次外形式1,r ?? 使得11r r ξ?ξ??=∧++∧ ，则记
10mod(,,)r ξξ?≡ 。
特别当11ξ??=∧时，称可被1次形式?1ξ除尽，记作10mod ξ?≡。
定理8 设1,,r ξξ 是个线性无关的1次形式，r ?是p 次外形式，则10mod(,,)r ξξ?≡ 的充分必要条件是
10r ξξ∧∧∧?= 。
定理9 设1,,r ξξ 是个1次形式，用W 表示r 1,,r ξξ 的零化子空间，即
，
{:()0,1W u V u r λξλ=∈=≤≤}则10mod(,,)r ξξ?≡ 当且仅当|W 0?=。
定理10 （Cartan 引理）设11,,,,,r r ααββ 是个1次形式，其中2r 1,,r αα 是线性无关的，并且
10r
λλλαβ=∧=∑，则
1
r a μλλμμβα==∑， 并且 a a λμμλ=。
定义7 设，能用于外积表示*r V ξ∈∧ξ的线性无关的1-形式的最小个数称为外形式ξ的秩。
定理11 一个非零次外形式的秩是，当且仅当它能写成个1-形式的外积。
r r r
作业：P.52 Ex47、Ex48