2012高考二轮排列组合专题复习绝密资料

排列、组合、二项式定理

考点一、计数原理

例1电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现有主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？ 解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有30292017400??=种；（2）幸运之星在乙箱中抽取，有20193011400??=种，共有不同结果174001140028800+=种。

【名师点睛】.运用分步乘法计数原理时，也要确定分步的标准，分布必须满足：完成一件事情必须且只需完成这几步，即各个步骤是相互依存的，注意“步”与“步”的连续性。

例2.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的共有3人。（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

解：从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人共有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人共有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人共有3种不同的选法。（1）任选1人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以用分类计数原理，有2879347+++=种不同选法。

（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理。有287935292???=种不同的选法。 【名师点睛】.运用分类加法计数原理，首先要根据问题的特点，

确定分类标准，分类应满足：完成一件事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类的确定性与并列性。

例3、某城市在市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分如图，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。（用数字作答）

解法一：先排1区，有4种方法，把其余五个分区视为一个圆环（如图），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如下图的五个空格，在五个空格中放三种不同的元素，且：①相同元素不相邻。②两端元素不能相同，共有15种不同方法。然后再把下图粘成圆形即可，下面解决两端元素相同的情况。在这种情况下我们在下图六个空格中。要求：①相同元素不能相邻。②两端元素必须相同，共有15种不同方法，然后再把最下图粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可，综上，共有4(1515)120?+=种方法。

解法二：先分类：五大类：第一类：3区和6区、2区和4区、1区、5区各栽一色花。 第二类：3区和6区、2区和5区、1区、4区各栽一色花。 第三类：3区和5区、2区和4区、1区、6区各栽一色花。 第四类：4区和6区、3区和5区、1区、2区各栽一色花。

第五类：4区和6区、2区和5区、1区、3区各栽一色花。每一类中其栽法为4321???（分步进行），答案共有43215120????=种。

【名师点睛】如何选用分类加法计数原理和分步计数乘法原理。在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事情。 考点二、排列组合

例4、7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须排在一起；（2）甲、乙、丙互不相邻；（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.

（1）解：捆绑法，2626A A =1440.点评：捆绑法应用于相邻问题. （2）解：插空法，4345A A =1440.点评：插空法应用于不相邻问题.

（3）解：捆绑插空相结合，242245960A A A =.点评：两种方法相结合的问题，综合考察知识方法的应用能力.

【名师点睛】1、解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”； 例5、5个人排成一排.（1）甲不站在左端，乙不站在右端，有多少种不同的排法？（2）若甲、乙两人不站在两端，有多少种不同的排法？（3）若甲乙两人之间有且只有1人，有多少种不同的排法？

本题为特殊元素，也用到了分类，一类是甲站结尾，此时是1616C A ；另一类是甲不站结尾，此时是115555

C C A ，两类相加，结果为：3720. 基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.

（2）提示或答案：甲乙先站，其他人再站，2555

C A =1200. 基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排. （3）提示或答案：从其他5人中选1人站在甲乙中间，然后把甲乙排列，然后把此三个人看作一个元素，

和其他4人全排列，125525

C A A =1200. 【名师点睛】解排列组合题的基本方法：

（1）优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

（2）排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

（3）分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。

（4）分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。

（5）插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

（6）捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。

（7）穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。 考点三、二项式定理

例6在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4

x 的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274

解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。故含4

x 的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)15.-+-+-+-+-=-

【名师点睛】求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；

例7已知在

n

x x ）（32

1-的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.?求n;?求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.

解：(1)因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,所以n 为偶数，第6项即为中间项，∴612

=+n

，得n=10.

(2) 展开式的通项是6

30)2

1(101r x

C T r

r

r --=+系数的绝对值是r r

C -210， 若它最大则31138211211012

222)

1(11010)

1(11010≤≤??????≥-≥-+?????≥??≥?----+-+-r r

r r r C C C C r r r r r r r r .

∵N r ∈,∴r=3，∴系数绝对值最大的项是第4项，即29

3310152

92x x C -=?--，

系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r 取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为

10

10=C ,44522210

=?-C ,810524410=?-C ，3210526610=?-C ，256

4528

810=?-C . ∴系数最大的项是第5项，即3

13

8

105x 【名师点睛】求展开式中系数最大项的步骤是：先假设第r+1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式并求解此不等式组求得。

【三年高考】09、10、11 高考试题及其解析 11年高考试题及解析

1、（全国文9、理7）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有

（A ）12种 （B ）24种 （C ）30种 （D ）36种

【解析】分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有1

44C =种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有2

46C =种。总的赠送方法有10种。【答案】B

2、（广东理7）．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）

A ．20

B ．15

C ．12

D ．10

【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有1

5C 种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有1

4C 种

选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、相

邻侧面和同一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有12C 种方法，但是在这样

处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以

,2

1

所以这个正五棱柱对角线的条数共有202

1

121415=?

??C C C ,所以选择A. 3、（北京理12）.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有__个(用数字作答)

【解析】个数为4

2214-=。

4、给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑

色正方形互不相邻的着色方案如下图所示： n=1 n=2 n=3 n=4

由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）

5、（陕西理4）、6

(42)()x

x x R --∈的展开式中的常数项是 （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20

【答案】C

【解析】：6(123)

166(1)(4)(2)(1)2r r x r x r r r x r r T C C ---+=-=-令(123)0x r -=4r ?=，于是展开式中的常数项是446(1)15C -=故选C

6、（四川文13）. ()8

1x +的展开式中3

x 的系数是 （用数字作答）

解析：()8

1x +的展开式中3

x 的系数是538884C C ==.

7、（广东文10）.72

()x x x

-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答).

【解析】

77721772

2

)()(2),723r r

r r r r r x T C x C x r x

x

--+-=-=--=（的通项令

33

3472(2)=-280.x 280.

r x C ∴=∴--的系数为所以的系数为

8、（山东理14）. 若展62

()a x x

-开式的常数项为60，则常数a 的值为 .

【答案】4

【解析】因为6162

()r

r

r r a T C x

x

-+=??-

,所以r=2, 常数项为2

6a C ?=60,解得4a =.

9、（全国文、理13） (1-x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: . 【解析】2

120

20

(1)()(1)r r r

r

r r r T c x c x +=-=-，令

12,91822

r r

r r ====得得 所以x 的系数为2222020(1)c c -=，91822020

x c c =18的系数为(-1)故x 的系数与9

x 的系数之差为220c -2

20c =0 10、（浙江理13）.若二项式)0(6

>?

??? ?

?-a x a x 的展开式中x 3

的系数为A ， 常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 . 【解析】：36216

6(1)()(1)r r

r

n r

r r r r

r a T C x

a C x x

--+=-=-令3632r -=

得2r =则A 222

615a C a ==令3

602

r -

=得4r = 则B 4444

6(1)15a C a =-=，由又B=4A 得4215415a a =?则2a =

11、（课标卷理8）. 5

12a x x x x ?

???+- ????

???的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40

解析：因为展开式各项系数和为2所以取1=x 得：2)12)(1(5=-+a 1=∴a ，二项式即为：

5)12)(1(x x x x -+，它的展开式的常数项为：32323255111(2)()(2)()xC x C x x x x

-+-2

5440C ==点评：此题

考查二项式定理、展开式的系数、系数和以及运算能力，正确的把握常数项的涞源和构成是解决问题的关键。

12、（湖北文12、理11）. 181()3x x

-

的展开式中含15x 的项的系数为 （结果用数值表示）

解析：由318182118

181

1()()33r r

r

r

r r r T C x C x x

--+=??-=-?? 令318152r -=，解得r=2，故其系数为22

181()17.3C -?=

13、（福建理6）.(1+2x)3的展开式中，x 2的系数等于 A.80 B.40 C.20 D.10

【解析】：155(2)2r r r r r

r T C x C x +== ，x 2的系数等于225240C =故选B

14、（天津理5）.6

22x x ??- ? ???

的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154- B ．15

4

C ．38-

D ．38

【解析】因为1r T +=66

62(

)()2r

r x C x

-??-,所以容易得C 正确. 15、（安徽理12）.设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则a a 1011+= . 【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.

【解析】101110102121(1)a C C =-=-，111011112121(1)a C C =-=，所以a a C C C C 11101010

101121212021+=-=-=0.

16、（重庆文11）．6(12)x +的展开式中4

x 的系数是

17、（重庆理4）.()13n

x +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5

x 与6

x 的系数相等，则n =

（A ）6 (B)7 (C) 8 (D)9

解析： ()13n

x +的通项为()13r

r r n T C x +=，故5x 与6x 的系数分别为553n C 和66

3n C ，令他们相等，得：

()()56!!

335!5!6!6!

n n n n =--，解得n =7选B.

2010年高考试题及解析

1、（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有1

3C

种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有

22

422

2

C A A 种方法，共有2

12

43

222

18C C A A ?=种，故选B.

2、（2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种

【解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有

246C =，余下放入最后一个信封，∴共有24318C =

3、（2010江西理数）6. ()8

2x

-展开式中不含．．4

x 项的系数的和为（ ）

A.-1

B.0

C.1

D.2

【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋

值法，令x=1得：系数和为1，减去4

x 项系数80882(1)1C -=即为所求，答案为0. （2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种

解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法

即221211

6454432C C C C C C -?+=42

法二：分两类 甲、乙同组，则只能排在15日，有24C =6种排法

甲、乙不同组，有112

432(1)C C A +=36种排法，故共有42种方法 4、（2010重庆文数）（1）4(1)x +的展开式中2

x 的系数为

（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）20 解析：由通项公式得22

34T C 6x x ==

5、（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504种

B. 960种

C. 1008种

D. 1108种

解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4

414222A A A ?种方法

甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法

6、（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为

（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C

答案：A

7、（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144

解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法 ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，322

32A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共322

22

A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个

8、（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用

（A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种

【解析】B,D,E,F 用四种颜色，则有441124A ??=种涂色方法； B,D,E,F 用三种颜色，则有334422212192A A ??+???=种涂色方法；

B,D,E,F 用两种颜色，则有242248A ??=种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。

9、（2010全国卷1文数）(5)43(1)(1)x x --的展开式 2x 的系数是

(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3

【解析】()13

4

3

2

3

4

22(1)(1)1464133x x x x x x x x x ??--=-+---+- ???

，2

x 的系数是 -12+6=-6

10、（2010全国卷1理数）(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求

两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

11、（2010全国卷1理数）(5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

12、（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是

（A ）36 （B ）32 （C ）28 （D ）24

解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×2232A A ＝24种如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×2222A A ＝12种 共计12＋24＝36种

13、（2010湖北文数）6．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 A ．4

5

B. 5

6

C.

565432

2

?????

D.6543????2

14、（2010湖南理数）7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

A.10

B.11

C.12

D.15

15、（2010湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A ．152 B.126 C.90 D.54

【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有23

3318C A ?=；若有1人从事司机工作，则方案有

123343108C C A ??=种，所以共有18+108=126种，故B 正确

16、（2010浙江理数）（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.

解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题

17、（2010全国卷2理数）（14）若9()a

x x

-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．

【答案】1

【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.

【解析】展开式中3

x 的系数是3

339()8484,1C a a a -=-=-∴=.

18、（2010辽宁理数）（13）2

6

1

(1)()x x x x

++-的展开式中的常数项为_________. 【答案】-5

【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法

【解析】2

1()x x

-的展开式的通项为6216(1)r r r r T C x -+=-，当r=3时，3

4620T C =-=-，当r=4时，45615T C =-=，因此常数项为-20+15=-5

19、（2010全国卷2文14） (x+1/x)9的展开式中，x 3的系数是_________ 【解析】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识∵9191()r r

r r T C x

x

-+=，∴923,3r r -==，∴3

984C = 20、（2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。【答案】 1080

【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有

2个是平均分组，得221164212222C C C C A A 两个两人组两个一人组，再全排列得：22114

6421422

22

1080C C C C A A A ??= 21、（2010四川理数）（13）6

31(2)x

-

的展开式中的第四项是 . 解析：T 4＝33

363

1160

2()C x x

-

=-答案：－160x

22、（2010全国卷1文数）(15)某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若

要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答) 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【解析1】:可分以下2

种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有12

34C C 种不同的

选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有21

34C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种. 【解析2】: 33373430C C C --=

23、（2010四川文13） (x －

2x

)4

的展开式中的常数项为______________(用数字作答) 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝442()r r

r C x x

-- 取r ＝2得常数项为C 42(－2)2＝24

24、（2010湖北文数）11.在210(1)x -的展开中， 4

x 的系数为______。

【解析】210(1)x -展开式即是10个（1-x 2）相乘，要得到x 4，则取2个1-x 2中的（-x 2）相乘，其余选1，则

系数为2

22410

()45C x x ?-=，故系数为45. 25、（2010湖北理数）11、在（x+

4

3y ）20的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。

【解析】二项式展开式的通项公式为202044

12020(3)(3)(020)r r r r r r r r T C x y C x y r --+==≤≤要使系数为有理数，

则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项. 26、（2010安徽卷理）6

(

)x y y x

-的展开式中，3x 的系数等于 【解析】33636226

6()()(1)r

r r

r r r r x y C C x y y x

----=-令36322r r -=?=

3x 的系数22

6(1)15C -=

2009年高考试题及解析 一、选择题

1.（2009广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

A. 36种

B. 12种

C. 18种

D. 48种

【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212=A C C ；若小张、小赵都入选，则有选法122

322=A A ，

共有选法36种，选A.

2.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）

A ．8

B ．24

C ．48

D ．120

3．（2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 【答案】B

【解析】 首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有2

99872A =?=（个）， 当0不排在末位时，有111488488256A A A ??=??=（个）

，于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）. 4.（2009全国Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 （A ）6种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）30种 答案：C

解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数2

424C C =36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为2

4C =6，故只恰好有1门相同的选法有24种 。 5.（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112536225C C C ??=种选法; (2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

6.(2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 .18A .24B .30C .36D 【答案】C

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C ，顺序有3

3A 种，而甲乙被分在同一

个班的有33A 种，所以种数是233

4

3330C A A -=

位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 360

B. 288

C. 216

D. 96 【答案】B

解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有4322

2242333=A A C A 种，其中男生甲站两端的有1442223232212=A A C A A ，符合条件的排法故共有288

8. （2009全国卷Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种

解：用间接法即可.22244430C C C ?-=种. 故选C

9.（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种 【解析】直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41＝10×4＝40种,共计70种 间接法：任意选取C 93＝84种,其中都是男医生有C 53＝10种,都是女医生有C 41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A

10.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 A.120种 B.96种 C.60种 D.48种 【答案】C

【解析】5人中选4人则有45C 种，周五一人有14C 种，周六两人则有23C ，周日则有11C 种，故共有45C ×1

4C ×23C =60种,故选C

11.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A ．14 B ．16 C ．20 D ．48

解:由间接法得32162420416C C C -?=-=，故选B.

12.（2009全国卷Ⅰ文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。 解：由题共有3452

61

31

51

21

62

5=+C C C C C C ，故选择D 。

两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60

B. 48

C. 42

D. 36 【答案】B

【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62

223=A C 种不同排法）

，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间（若甲在A 、B 两端。则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A 左B 右和A 右B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62

223=A C 种不同排法）

，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有22226A A =24种排法；

第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共有226A ＝12种

排法

第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。

此时共有2

26A ＝12种排法 三类之和为24＋12＋12＝48种。

14.（2009陕西卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为

(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108网答案:C.

解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有1

4C 种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共有11234333216C C C A =个故

选C.

15.(2009湖南卷理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C]

A 85

B 56

C 49

D 28 【答案】：C

【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：12

27C C 42?=，另一类是甲乙都去的选法有21

27C C ?=7，所以共有42+7=49，即选C 项。

16.（2009浙江卷理）在二项式2

5

1()x x

-的展开式中，含4

x 的项的系数是( )

A ．10-

B ．10

C ．5-

D ．5

答案 B

解析 对于()251031551()

()1r

r

r

r r r r T C x C x x

--+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的项的系数是225(1)10C -=

17.（2009北京卷文）若4(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += （ ） A ．33

B ． 29

C ．23

D ．19 答案 B

.w

解析 本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵()

()

()()

()()4

1

2

3

4

012344

4

4

4

4

12

22222C

C

C C

C +=++++

1421282417122=++++=+，

由已知，得171222a b +=+，∴171229a b +=+=.故选B . 18.（2009北京卷理）若5(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b +=

（ ）

A ．45

B ．55

C ．70

D ．80 答案 C

解析 本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵()

()

()()

()()

()5

1

2

3

4

5

0123455

5

5

5

5

5

12

222222C

C

C C

C C

+=+++++

15220202204241292=+++++=+，

由已知，得412922a b +=+，∴412970a b +=+=.故选C .

19.（2009江西卷理）(1)n ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为

A ．2,1,5a b n ==-=

B ．2,1,6a b n =-=-=

C ．1,2,6a b n =-==

D ．1,2,5a b n ===

答案 D

解析 5

(1)2433n

b +==，5

(1)322n

a +==，则可取1,2,5a

b n ===，选D

20.(2009湖北卷理)设222212012122

) (2)

n n n n n x a a x a x a x a x --+=+++++（

，则 22024213521lim[(...)(...)]n n n a a a a a a a a -→∞

++++-++++=

.1A - .0B .1C 2.

2

D 答案 B

解析 令0x =得2021(

)22n n a ==令1x =时201222(1)2

n n a a a a +=+++???+ 令1x =-时201222

(

1)2

n n a a a a -=-+-???+两式相加得：2202222(

1)(1)222

n n n a a a ++-++???+=

两式相减得：22132122(

1)(1)222

n n n a a a -+--++???+=

代入极限式可得，故选B

21.（2009陕西卷文）若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈ ,则200912

22009

222a a a +++ 的值为A. 2 B.0

C.1-

D. 2

-答案 C

解析 由题意容易发现

112008

200820081200920082009(2)22009 , (2)(2)2009a C a C =-=-?=-=-?,则

20082008

1120082008

2009,2009,+=02222a a a a =-=即, 同理可以得出 2007

222007+=022a a ,3200632006+=022

a a ……… 亦即前2008项和为0, 则原式=200912

22009222a a a +++ =2009

20092009200920092009

(2)122

a C -==- 故选C. 22（2009重庆卷文）6(2)x +的展开式中3

x 的系数是（ ）

A ．20

B ．40

C ．80

D ．160

答案 D

解法1设含3x 的为第1r +，则1Tr +62r r

r n C x -=?，令63r -=，得3r =，故展开式中3x 的系数为

3362160C ?=。

解法2根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件3x 的项按3与3分配即可，则展开式中3x 的系数为33

62160C ?=。 23（2009重庆卷理）2

8

2()x x

+

的展开式中4x 的系数是（ ） A ．16

B ．70

C ．560

D ．1120

解析 设含4

x 的为第261631662

1,()

()2r

r

r r r r r r T C x C x x

--++==，1634r -= 所以4r =，故系数为：44

621120C =，选D 。

二、填空题

1.（2009宁夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则

不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。解析：33

74140C C =，答案：140

2.（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）

解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：901

333143323=+C A C A C 种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：23413332313143323=+C A C C C A C 种，所以共有32423490=+个。

3.（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）． 答案：336

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有37A 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有1237

C A 种，因此共有不同的站法种数是336种．

4.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．

【答案】36

【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有211421

2

2

C C C A ??;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有3

3A

所以满足条件得分配的方案有

2113

42132

2

36C C C A A ???=

5.（2009湖南卷文）在4(1)x +

的展开式中，x 的系数为 6 (用数字作答).

解: 2

14

4

()()r r r

r r T C x C x +?==，故2r =得x 的系数为2

4 6.C =

6.（2009全国卷Ⅰ文）10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于________. 解析 本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理13）

解: 因r r r r r y x C T -+-=10101)1(所以有373101010()2240C C C -+-=-=-

7（2009四川卷文）6

1(2)2x x

-

的展开式的常数项是 （用数字作答） m

答案 －20

解析 r r r r r

r

r

r

r x C x

x C T 262666612)1()21(

)

2()1(---+-=-=，令026=-r ，得3=r 故展开式的常数项为20)1(3

63

-=-C

8(2009湖南卷理)在323(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中，x 的系数为___(用数字作答)

答案7解析 由条件易知3333(1),(1),(1)x x x +++展开式中x 项的系数分别是123

333C ,C ,C ，即所求

系数是3317+++= 9.（2009四川卷理）6

1(2)2x x

-

的展开式的常数项是 （用数字作答）【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13） 解析 由题知61(2)2x x

-

的通项为r

r r r r x C T 2626612)1(--+-=，令026=-r 得3=r ，故常数项为20)1(363-=-C 。

10.（2009浙江卷理）观察下列等式：

1535522C C +=-，1597399922C C C ++=+，15913

1151313131322C C C C +++=-， 1591317

1517171717

1

722C C C C C ++++=+，………由以上等式推测到一个一般的结论： 对于*

n N ∈，15941

41414141n n n n n C C C C +++++++++= ．

答案 ()41

212

12n

n n --+- 解析 这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有()1n

-， 二项指数分别为41212,2n n --，因此对于*

n N ∈，

15941

41414141n n n n n C C C C +++++++++=

()4121212n

n n --+-

11.（2009全国卷Ⅱ文）4)(x y y x -的展开式中3

3y x 的系数为 答案 6

解析 本题考查二项展开式，直接用公式展开，注意根式的化简。

12.（2009全国卷Ⅰ理）()10

x y -的展开式中，73x y 的系数与37

x y 的系数之和等于 。

解: 373

101010()2240C C C -+-=-=-

13.（2009四川卷文）6

1(2)2x x

-

的展开式的常数项是 （用数字作答） m

答案 －20

解析 r r r r r

r

r

r

r x C x

x C T 262666612)1()21(

)

2()1(---+-=-=，令026=-r ，得3=r 故展开式的常数项为20)1(3

63-=-C

14.（2009全国卷Ⅱ理）()4

x y y x -的展开式中33

x y 的系数为 6 。

解：()

4

224()x y y x

x y x y -=-，只需求4()x y -展开式中的含xy 项的系数：2

46

C =

15.（2009湖北卷文）已知（1+ax ）3,=1+10x+bx 3+…+a 3x3,则b= .

答案 40解析 因为15()r r r T C ax +=?∴1

1510C a =? 22

3C b a ?=.解得2,40a b ==

5.

【两年模拟】 2011年模拟试题及答案

1．（2011北京丰台区期末）有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5

名同学值日顺序的编排方案共有（B ）

A ．24种

B ．48种

C ．96种

D ．120种

2. （2011北京西城区期末）在5(2)x +的展开式中，2

x 的系数为____80_.

3、 （2011巢湖一检）二项式10

112x ?

?- ???

的展开式中的第六项系数是638-（用数字作答）．

4. (2011承德期末)某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员

不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能分在同一部门，则不同的分配方案共有（ A ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．24种 5．(2011东莞期末)

已知7

1()ax x

-的展开式中所有系数的和为128，则展开式中5

x -的系数是 (C)

A. 63

B. 81

C. 21

D. -21 6、 （2011佛山一检） 如果1()n

x x

+

展开式中，第四项与第六项的系数相等， 则n = 8 ，展开式中的常数项的值等于 70 .

7．（2011福州期末）在二项式5

2a x x ?

?- ??

?的展开式中，x 纱数是-10，则实数a 的值为 1 。

8．（ 2011广东广雅中学期末）在()()()3

4

7

111x x x +++???++的展开式中，含x 项的系数是5 ．（用数字作答）

9. （2011广州调研）922()2x

x -

展开式的常数项是 112

- .（结果用数值作答） 10．（2011杭州质检）由a ，b ，c ，d ，e 这5个字母排成一排，a ，b 都不与c 相邻的排法个数为

（ A ） A ．36 B ．32 11．（2011杭州质检）已知多项式4

2

3

4

(1)(1)25x x x ax bx x +++=++++，则a-b= 2 ． 12．（2011·湖北重点中学二联）某商场有四类商品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别

有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 （ C ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 13．（2011·湖北重点中学二联）有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、

3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为 （ D ）

A ．42

B ．48

C ．54

D ．60

14. (2011·黄冈期末) 若(54)n x +展开式中各项二项式系数之和为n a ，2(39)n x x +展开式中各项系数

之和为n b ，则2lim

34n n

n n n

a b a b →∞-+=（ B ）

A.

12 B. 12- C. 13 D. 1

7

- 15. (2011·黄冈期末)由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上 的数字成递增等差数列的五位数共有（ D ）

A. 720个

B. 684个

C. 648个

D.744个 16. (2011·惠州三调)在二项式5

2a x x ?

?- ??

?的展开式中， x 的一次项系数是10-，

则实数a 的值为 1 ．

【解析】1；由二项式定理，()

()521035

5C C r

r

r r r

r r a T x

a x x --??=-=-? ???

． 当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3

33

5C 10a a -=-，从而

1a =． 17、(2011·锦州期末)从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球

（0,,m n m n N <≤∈），共有1m n C +种取法，在这1m

n C +种取法中，可以分为两类：一类是取出的m 个球全

部为白球，另一类是取出的m 个球中有1个黑球，共有01101111m m m n n n C C C C C C -+?+?=?种取法，即有等式：11m m m n n n C C C -++=成立.试根据上述思想化简下列式子：

1122m

m m k m k n k n

k n

k n

C C C

C C

C C

---+?+?++?= ______m

n k C +____________.

18．（2011·九江七校二月联考）安排6名演员的演出顺序时，要求演员甲不第一个出场，也不最后一个出

场，则不同的安排方法种数是( C ) A ．120 B ．240 C ．480 D ．720 19．（2011·九江七校二月联考）在二项式4

52

,)1(x x

x 含的展开式中-的项的系数是 10 20． （2011·三明三校二月联考）已知()|4||6|=-++f x x x 的最小值为n ，则二项式22()n

x x

+展开式中常数项是 (B ） A ．第10项

B ．第9项

C ．第8项

D ．第7项

21．(2011·汕头期末)设a 为函数)(cos 3sin R x x x y ∈+=的最大值，则二项式6)1(x

x a -的展开式

中含2

x 项的系数是( )

A ．192

B ．182

C ．-192

D ．-182