高一数学函数的单调性和反函数人教版知识精讲
高一数学函数的单调性和反函数人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
函数的单调性和反函数
二. 学习目标：
1. 理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定义证明函数的单调性。
2. 能判断一些简单函数在给定区间的单调性。
3. 理解反函数的概念。
4. 明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。
5. 能熟练地求一些函数的反函数。
【例题讲解】
[例1] 证明函数x
x x f 1)(2
-=在（0，∞+）上是增函数。 证明：设1x 、2x 是（0，∞+）上任意两个值，且21x x <
)1(1)()(12122212x x x x x f x f ---=-21212211)(x x x x -+-= 21121212))((x x x x x x x x -+
+-=)1)((211212x x x x x x ++-= 由12x x >，012112>+
+x x x x ，则0)()(12>-x f x f ，即)()(12x f x f > 故x
x x f 1)(2-=在区间（0，∞+）上是增函数。 [例2] 讨论函数1
)(2-=x ax x f 的单调性，并加以证明，其中0>a 。 解：11)()(21122212---=-x ax x ax x f x f )
1)(1()1)((21222121--+-=x x x x x x a （1）当121-< （2）当1121<<<-x x 时，)()(12x f x f < （3）当211x x <<时，)()(12x f x f < 故函数)(x f 分别在（∞-，1-），（1-，1），（1，∞+）为减函数。 [例3] 已知函数)(u f ，当n u m ≤≤时是增函数，)(x g u =，当b x a ≤≤时， n x g m ≤≤)(且为减函数，判断函数)]([x g f 在],[b a 的单调性。 解：任取1x ，2x 且b x x a ≤<≤21，则)(11x g u =，)(22x g u = 由)(x g 为减函数，则有)()(21x g x g >，即21u u >，且m u u n ≥>≥21 又由)(u f 在],[n m 上为增函数，故有)()(21u f u f > 即)]([)]([21x g f x g f >，所以函数)]([x g f 在],[b a 上为减函数 说明：已知)(u f 和)(x g u =，则)]([x g f 称为复合函数，复合函数单调性规律是： （1）)(u f 为增函数，)(x g 为增函数，则)]([x g f 为增函数。 （2）)(u f 为增函数，)(x g 为减函数，则)]([x g f 为减函数。 （3）)(u f 为减函数，)(x g 为增函数，则)]([x g f 为减函数。 （4）)(u f 为减函数，)(x g 为减函数，则)]([x g f 为增函数。 [例4] 已知228)(x x x f -+=，)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间。 解：令22x u -=，228)(u u u f -+=，则)]([)(x u f x g =，由2 2x u -=，知该函数在（∞-，0）上是增函数，在（0，∞+）上是减函数。 由9)1(28)(22+--=-+=u u u u f ，则)(u f 在（∞-，1）上是增函数，在（1，∞+） 上是减函数，而11212-x ，111<<-?>x u ∞+） [例5] 已知2)1 1()(+-=x x x f （1≥x ） （1）求)(x f 的反函数)(1x f -，并求出反函数的定义域。 （2）判断并证明)(1x f -的单调性。 解： （1）由2)11(+-=x x y 得：11+-=x x y y y x -+=11 故x x x f -+=-11)(1，由1≥x ，则10<≤y ，)(x f 值域即)(1x f -的定义域为 )1,0[ （2）设1021<<≤x x ，则1021<<≤x x ，则=---)()(2111x f x f 0) 1)(1() (22121<---x x x x ，即)()(2111x f x f --<，故)(1x f -在)1,0[上为单调递增函数。 【模拟试题】 一. 选择题： 1. 若函数b x k y ++=)12(在（∞-，∞+）上是减函数，则（ ） A. 21>k B. 21 C. 21->k D. 2 1- 1-）上是（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 有时增有时减 D. 无法判定 3. 函数? ??<-≥+=)1(4)1(12)(x x x x x f 是减函数的区间是（ ） A. ),1[∞+ B.（∞-，1） C.（0，∞+） D. φ 4. 设2)(+=ax x f ，若2)1(1=--f ，则=a （ ） A. 0 B. 2 3- C. 23 D. 1- 二. 解答题： 5. 证明函数2) 2(4)(-+=x x x f 在（∞-，2）上是增函数。 6. 已知x x x f 32)3(+=，求)3(1x f -。 试题答案 一. 1. D 2. A 3. B 4. B 二. 5. 略 6. 63)3(1-=-x x f （6≠x ） 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； 反函数例题讲解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 反函数例题讲解 例 1.下列函数中,没有反函数的是 （ ) （A) ｙ = ｘ2－1(ｘ<2 1 - ）?(Ｂ) y = ｘ3＋１（ｘ∈R ） ?（C) 1 -= x x y （ｘ∈R ，x ≠１） (Ｄ) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析:一个函数是否具有反函数,完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手,可试解以ｙ表示x 的式子;从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析.作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D). 因为若ｙ ＝ 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x ＝ －1． ∴ (D ）中函数没有反函数． 如果作出 ?? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像(如图）,依图更易判断它没有反函数． 例2.求函数 211x y --=（－1≤ｘ≤0）的反函数． 解:由 211x y --=,得：y x -=-112 . ∴ 1－x 2 ＝ (１-y )2， x 2 = １－(1－y )2 ＝ 2y －ｙ2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=. 又 当 －1≤x ≤0 时, ０≤1－x 2≤１, ∴ 0≤21x -≤1,0≤1－21x -≤1, 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=(0≤x ≤１）. 由此可见,对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数,求出x = φ （ y )． ② 求给出函数的值域,并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯,把自变量以x 表示，因变量为y 表示,改换ｘ = φ （ ｙ ）为y = φ ( x ). 例３.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2(x <-1）,那么 f -1 （２ )的值为＿_＿_______＿_＿_____. 分析:依据f -1 （2 )这一符号的意义,本题可由f ( x )先求得f -1 ( x ）, 再求f -1 (２ ）的值(略). 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( ｍ ） = 2.据此求f -１ (2 ）的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得:x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 ｘ =-2 . 又ｘ<－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f -1 （2 ) = -2 ． 例 4.已知函数 241)(x x f +=(x ≤0）,那么 f （ x ）的反函数ｆ －1 ( ｘ ）的图像是 ( ) y （A y x 0 1 （D y x 1 y （B x －（C x － 2005－2006学年度上学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性 说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷60分，第II 卷90分，共150分；答题时间150分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．函数)5(51 -≠+=x x y 的反函数是 （ ） A ．)0(51 ≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51 ≠+=x x y D ．)(5R x x y ∈-= 2．已知函数)(x f y =有反函数，且)1(+=x f y 的图象经过点)2,0(，则下列函数中可能 是)(x f y =的反函数的一个函数是 （ ） A ．)20(42 ≤≤-= x x y B ．)20(412≤≤-+=x x y C ．)20(422 ≤≤--=x x y D ．)22(412 ≤≤---=x x y 3．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+= 则=)5(f （ ）A ．0 B ．1 C ．2 5 D ．5 4．函数f x x ax ()=--2 23在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ） A ．a ∈-∞(,]1 B ．a ∈+∞[,)2 C ．a ∈[,]12 D ．a ∈-∞?+∞(,][,)12 5．若f(x)=-x 2+2ax 与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是 （ ） A ．)1,0()0,1(?- B ．]1,0()0,1(?- C ．（0，1） D ．]1,0( 6．函数),1(,1 1 ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ） 函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ② 反函数与函数的图像变换 一、反函数 当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。 设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ?=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ?=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ?=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。 1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。 1f -表示的对应是f 的逆对应，11()() f x f x -≠。 ()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。 只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。 特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=， 一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。 例1 求下列函数的反函数： （1）21x y -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-?+=?>--+?。 二、互为反函数的两个函数的性质： 指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。 根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。 指数函数2x y =与对数函数2log y x =都是增函数，一般的， ()y f x =与1()y f x -=的单调性一致。 例2 函数()y f x =反函数是自己本身，请写出一个这样的函数。 思考：若函数()y f x =是奇函数，且有反函数，那么1()y f x -=是奇函数吗？ 奇函数一定有反函数吗？ 偶函数呢？ 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <2 1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -= x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像（如图），依图 更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）． 由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f － 1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x ) 的图像是 ( ) （A （（B （C 反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。 反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写 作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数 的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的 y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x)(x∈A),则， y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)，称为f、g的复合函数。 高一数学函数的性质 高一数学函数的单调性和反函数人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数的单调性和反函数 二. 学习目标： 1. 理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定义证明函数的单调性。 2. 能判断一些简单函数在给定区间的单调性。 3. 理解反函数的概念。 4. 明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。 5. 能熟练地求一些函数的反函数。 【例题讲解】 [例1] 证明函数x x x f 1)(2 -=在（0，∞+）上是增函数。 证明：设1x 、2x 是（0，∞+）上任意两个值，且21x x < )1(1)()(12122212x x x x x f x f ---=-2 1212211)(x x x x -+-= 2112 1212))((x x x x x x x x -++-=)1)((2 11212x x x x x x ++-= 由12x x >，012 112>++x x x x ，则0)()(12>-x f x f ，即)()(12x f x f > 故x x x f 1)(2-=在区间（0，∞+）上是增函数。 [例2] 讨论函数1 )(2-=x ax x f 的单调性，并加以证明，其中0>a 。 解：11)()(21122212---=-x ax x ax x f x f ) 1)(1()1)((21222121--+-=x x x x x x a （1）当121-< 函数的单调性习题 一． 选择题： 1．函数1 1 --=x y 的单调区间是 （ ） ),.(+∞-∞A )0,.(-∞B ),1(),1,.(+∞-∞C ()+∞-∞,1)1,.(Y D 2．如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数，那么对于任意的)(],,[,2121x x b a x x ≠∈，下列结论中不正确的是 （ ） 0) ()(. 2 121>--x x x f x f A 0)]()()[.(2121>--x f x f x x B )()()()(.21b f x f x f a f C <<< 0) ()(. 121 2>--x f x f x x D 3.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） ),3.[+∞-A ]3,.(--∞B ]5,.(-∞C ),3[+∞ 4．函数2 1 )(++= x ax x f 在区间),2(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） )21,0.(A ),1()1,.(+∞--∞Y B ),2 1 .(+∞C ),2.(+∞-D 5．函数)2(,2 3 -≠+=x x y 在区间]5,0[上的最大值、最小值分别是（ ） 0,73.A 0,23.B 73,23.C .D 最大值7 3 ，无最小值。 6．函数23)(2++=x x x f 在区间)5,5(+-上的最大值、最小值分别是（ ） 12,42.A 41,42.-B 41,12.-C D 最小值4 1 -，无最大值。 7．下列命题正确的是 （ ） A 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 B 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若有无穷多对),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 C 若)(x f 在区间1I 上为增函数，在区间2I 上也为增函数，那么)(x f 在21I I Y 上也一定为增函数， D 若在)(x f 区间I 上为增函数且),(),()(2121I x x x f x f ∈<，那么21x x <。 8.设),(),,(d c b a 都是)(x f 的单调增区间，且),(),,(21d c x b a x ∈∈21x x <，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系为 （ ） )()(.21x f x f A < )()(.21x f x f B > )()(.21x f x f C = D 不能确定 9．考察函数：①x y =；②x x y =；③x x y 2 -=；④x x x y +=。其中在)0,(-∞上 为增函数的有（ ） .A ①② B 。②③ C 。③④ .D ①④ 10.已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） ),1.[+∞A ]2,0.[B ]2,.(--∞C ]2,1.[D 二． 填空题： 1． 函数x y -=在),[+∞a 上是减函数，则a 的取值范围是 2． 函数x x y 1 2- =的单调递增区间是 3． 函数562+-=x x y 的单调增区间是 4． 已知函数)(x f 在区间),0(+∞上是减函数，那么)1(2+-a a f 与)4 3 (f 的大小关 系为 5． 函数245x x y --=的单调递增区间是 反函数专题复习 知识点： 1、反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把 x 表示出来，得到x =?（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =?（y ），x 在A 中 都有唯一的值和它对应，那么，x =?（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =?（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1 （y ）. 在函数x =f －1 （y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量， y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）. 2、互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1 （x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称. 3、若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与 y =f （x ）一致. 4、若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）无反函数。 5、求反函数的步骤： （1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1 （y ）. （2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1 （x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. 双基练习： 1、函数y =－ 11 +x （x ≠－1）的反函数是（ A ） A.y =－x 1－1（x ≠0） B.y =－x 1 +1（x ≠0） C.y =－x +1（x ∈R ） D.y =－x －1（x ∈R ） 2、函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为（ A ） A.y =2x － 1－1（x ＞1） B.y =2x － 1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0） 3、函数f （x ）=－12+x （x ≥－ 2 1 ）的反函数（ D ） A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－2 1 ，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数 D.在（－∞，0］上为减函数 4、函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f － 1（x ）=______________. 答案：－x -（x ≤－4） 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 反函数基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 [ ] A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞， 1] C ．(0，1] D ．(－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 [ ] A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2) B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1) D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是 [ ] A y y x B y y 2．＝和＝．＝和＝ x x x 11 C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝ 和＝≠．＝≥和＝≥313131 1x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是 [ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数 C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数 D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是 y ＝－，那么另一个函数是x -1 [ ] A ．y ＝x 2＋1(x ≤0) B ．y ＝x 2＋1(x ≥1) C ．y ＝x 2－1(x ≤0) D ．y ＝x 2－1(x ≥1) 7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点 [ ] A ．(a ，f -1(a)) B ．(f -1(b)，b) C ．(f -1(a)，a) D ．(b ， f -1(b)) 高一数学函数的单调性 与最值教案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 高一数学——函 数 第三讲 函数的单调性与最大（小）值 【教学目标】： （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性； （4）理解函数的最大（小）值及其几何意义。 【重点难点】： 1.重点：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义， 2.难点: 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。 【教学过程】：用具： 一、知识导向或者情景引入 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： （3）函数图象是否具有某种对称性 2、画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______ ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （2）f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______ ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． （3）f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x 2 ，当x 1 高一数学公式总结 复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。 在这里我再一次强调听课要做到“五得” ◆听得懂 想得通?记得住?说得出?用得上高一数学函数的单调性知识点
高一函数单调性完整版
高一数学 函数单调性讲解
反函数例题讲解
反函数与函数的单调性
高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质
反函数与函数的图像变换
高中数学必修1函数的基本性质
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高一数学必修四(公式总结)