机械振动学复习试题

（一）

一、填空题（本题15分，每空1分）

1、不同情况进行分类，振动(系统)大致可分成，（ ）和非线性振动；确定振动和（ ）；（ ）和强迫振动；周期振动和（ ）；（ ）和离散系统。

2、在离散系统中，弹性元件储存( )，惯性元件储存（ ），( )元件耗散能量。

3、周期运动的最简单形式是（ ），它是时间的单一（ ）或（ ）函数。

4、叠加原理是分析（ ）的振动性质的基础。

5、系统的固有频率是系统（ ）的频率，它只与系统的（ ）和（ ）有关，与系统受到的激励无关。

二、简答题（本题40分，每小题10分）

1、 简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。（10分）

2、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10分）

3、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（10分）

4、 多自由系统振动的振型指的是什么？（10分） 三、计算题（本题30分） 1、 求图1系统固有频率。（10分）

2、 图2所示为3自由度无阻尼振动系统。

(1)列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10分）；

(2)设1234t t t t k k k k k ====，123/5I I I I ===，求系统固有频率（10分）。

解：1)以静平衡位置为原点，设123,,I I I 的位移123,,θθθ为广义坐标，画出123,,I I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：

1111212222213233333243()0

()()0()0

θθθθθθθθθθθθθ?++-=?

+-+-=??

+-+=?t t t t t t I k k I k k I k k 图1

图2

所以：[][]12312222333340010000050;0000102101210012????

????==????

????????

+--????

????=-+-=--????

????-+-????

t t t t t t t t t t I M I I I k k k K k k k k k k k k

系统运动微分方程可写为：[][]1122330θθθθθθ????

????

+=????????????

M K ………… (a)

或者采用能量法：系统的动能和势能分别为

222112233111

222T E I I I θθθ=

++ 22221121232

343111

1

()()2222

t t t t U k k k k θθθθθθ=+-+-+

22

2121232343212323111

()()()222

t t t t t t t t k k k k k k k k θθθθθθθ=++++

+--

求偏导也可以得到[][],M K 。

2)设系统固有振动的解为： 112233cos θθωθ????????

=????????????

u u t u ，代入（a ）可得：

[][]1223()0u K M u u ω????

-=??????

………… (b)

得到频率方程：222220()2500

2ωωωω--=

---=--k I

k k k I k k

k I

即：2224

2

2

()(2)(5122)0

ωωωω=--+=k I I kI k

解得：2ω=k

I

和22ω=

k I

所以：123ωωω=

<=<= ………… (c)

将（c ）代入（b ）可得：

1 0

-1 -0.22

1

1

1.82

1

1

123

2025002??

--?

?

?

????

???

---=?

???????

???

?--?

?

???

?

k k I k

I u k

k k I k u I u k k

k I I

和123220

22

50022?

?--??

???

?????---=??????????

??--???

?

k k I k I u k

k k I k

u I

u k k

k I

I 解得： 112131::1:1.82:1≈u u u ；

122232::1:0:1u u u ≈-；

132333::1:0.22:1≈-u u u ；

令31u =，得到系统的三阶振型如图：

四、证明题（本题15分）

对振动系统的任一位移{}x ，证明Rayleigh 商{}[]{}

(){}[]{}

T T x K x R x x M x =满足

22

1()n

R x ωω≤≤。这里，[]K 和[]M 分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和n ω分别是系统的最低和最高固有频率。

(提示：用展开定理1122{}{}{}......{}n n x y u y u y u =+++)‘ 证明：对系统的任一位移{x }，Rayleigh 商

}

]{[}{}

]{[}{)(x M x x K x x R T

T = 满足

221)(n

x R ωω≤≤

这里，[K ]和[M ]分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和n ω分别为系统的最低和最高固有频率。

证明：对振动系统的任意位移{x},由展开定理，{x}可按n 个彼此正交的正规化固有振型展开： ()

1

{}{}[]{}n

i i i x y u

u y ==

=∑

其中：[u]为振型矩阵，{c}为展开系数构成的列向量：

12{}{,,...,}T n y y y y =

所以：

{}[]{}{}[][][]{}

(){}[]{}{}[][][]{}

T T T T T T

x K x y u K u y R x x M x y u M u y ==

由于：212100[][][]000010

0[][][]0000T T

n u M u u K u ωω???

???=??

??????

?

????

?=??????

???

?

因此：2120

0{}0

0{}00{}[][][]{}(){}[][][]{}1

00{}0

0{}001T T T n T T T y y y u K u y R x y u M u y y y ωω??

??????

??==

??

??????

?

?

222222

1122222

12......n n n

y y y y y y ωωω+++=+++

由于：222

12...n ωωω≤≤≤

所以：

22221

1

1

221

1

()n

n

i

n

i

i i n

n

i

i

i i y

y

R x y

y

ω

ω

====≤≤

∑∑∑∑

即：2

21)(n x R ωω≤≤

证毕。

（二）

一、填空题（本题15分，1空1分）

1、机械振动是指机械或结构在（静平衡）附近的（弹性往复）运动。

2、按不同情况进行分类，振动系统大致可分成，线性振动和（非线性振动）；确定性振动和随机振动；自由振动和和（强迫振动）；周期振动和（非周期振动）；（连续系统）和离散系统。

3、(惯性 )元件、(弹性 )元件、(阻尼 )元件是离散振动系统的三个最基本元素。

4、叠加原理是分析(线性振动系统 )的振动性质的基础。

5、研究随机振动的方法是（统计方法），工程上常见的随机过程的数字特征有：（均值），（方差），（自相关）和互相关函数。

6、系统的无阻尼固有频率只与系统的（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。

二、简答题（本题40分，每小题5分） 1、简述确定性振动和随机振动的区别，并举例说明。

答：确定性振动的物理描述量可以预测；随机振动的物理描述量不能预测。比如：

单摆振动是确定性振动，汽车在路面行驶时的上下振动是随机振动。 2、简述简谐振动周期、频率和角频率（圆频率）之间的关系。

答：21

T f

π

ω

=

=

，其中T 是周期、ω是角频率（圆频率），f 是频率。 3、简述无阻尼固有频率和阻尼固有频率的联系，最好用关系式说明。

答：d ωω=，其中d ω是阻尼固有频率，n ω是无阻尼固有频率，ξ是阻

尼比。 4、简述非周期强迫振动的处理方法。

答：1)先求系统的脉冲响应函数，然后采用卷积积分方法，求得系统在外加激励下

的响应；

2)如果系统的激励满足傅里叶变换条件，且初始条件为0，可以采用傅里叶变换的方法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做傅里叶逆变换，求得系统的时域响应；

3)如果系统的激励满足拉普拉斯变换条件，且初始条件不为0，可以采用拉普拉斯变换的方法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做拉普拉斯逆变换，求得系统的时域响应；

5、什么是共振，并从能量角度简述共振的形成过程。

答：当系统的外加激励与系统的固有频率接近时候，系统发生共振；共振过程中，外加激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。

6、简述刚度矩阵[K]的元素,i j k 的意义。

答：如果系统的第j 个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i

个自由度上施加的外力就是kij 。

7、简述线性变换[U]矩阵的意义，并说明振型和[U]的关系。 答：线性变换[U]矩阵是系统解藕的变换矩阵；[U]矩阵的每列是对应阶的振型。 8、简述线性系统在振动过程中动能和势能之间的关系。

答：线性系统在振动过程中动能和势能相互转换，如果没有阻尼，系统的动能和势能之和为常数。

三、计算题（本题45分）

1、设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图1，计算它们并联时和串联时的总刚度eq k 。(5分)

图1 图2 图3 2、一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图2所示，求系统的固有频率。(15分)

3、求如图3所示的三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型。(25分)（设

13;m m m ==22;m m = 14;k k k ==232;k k k ==563;k k k ==）

1.解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：

1122

P k x

P k x =??

=? 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq P

k k k x

=

=+

2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为：

11

22P x k

P x k ?=????=??

，弹簧的总变形为：12

12

11()x x x P k k =+=+

故等效刚度为：122112

11

eq k k P k x k k k k =

==++

2. 解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有： 2222111

()()222T E I m r I mr θθθ=

+=+ 21

()2U k r θ=

由()0T d E U +

=可知：2

2

()0I mr kr θθ++=

即：n ω=

（rad/s ）

3．解：以静平衡位置为原点，设123,,m m m 的位移123,,x x x 为广义坐标，系统的动能和势能分别为

=

++222112233111

222T E m x m x m x =+-+-+++22222

112123234356211111

()()()22222U k x k x x k x x k x k k x =

+++++++--22212123562343212323111

()()()222U k k x k k k k x k k x k x x k x x

求偏导得到：

[][]12312

22

235633340010000020;0000

1032021020023m M m m m k k k K k k k k k k k k k k ????

????==???

?????????

+--????

????=-+++-=--????????-+-????

得到系统的广义特征值问题方程：[][]12

23()0u K M u u ω????-=??????

和频率方程：

2222320

()2102200

23k m k k k m k k k m

ωωωω--=

---=--

即：

2

2

2

4

2

2

()(3)(21622)0k m m km k ωωωω=--+=

解得：2

(4k m

ω=±和2

3k m ω=

所以：123ωωω=

<=<= 将频率代入广义特征值问题方程解得：

112131::1:0.618:1u u u ≈；

122232::1:0:1u u u ≈-；

132333::0.618:1:0.618u u u ≈--；

（三）

一、填空题（本题15分，每空1分）

1、机械振动大致可分成为：（）和非线性振动；确定性振动和（）；（）和强迫振动。

2、在离散系统中，弹性元件储存( )，惯性元件储存（），（）元件耗散能量。

3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。

4、叠加原理是分析（ ）系统的基础。

5、系统固有频率主要与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。

6、系统的脉冲响应函数和（）函数是一对傅里叶变换对，和（）函数是一对拉普拉斯变换对。

7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（ ）运动。 答案：1、线性振动；随机振动；自由振动； 2、势能；动能；阻尼 3、简谐运动；正弦；余弦 4、线性

5、刚度；质量

6、频响函数；传递函数

7、往复弹性

二、简答题（本题40分，每小题10分）

1、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。

（10分）

答：实际阻尼是度量系统消耗能量的能力的物理量，阻尼系数c 是度量阻尼的量； 临

界阻尼是c 2e n m ω=；阻尼比是/e c c ξ=

2、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？

（10分） 答：共振是指系统的外加激励与系统的固有频率接近时发生的振动；共振过程中，外加

激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。

3、 简述刚度矩阵[K]中元素k ij 的意义。

（10分）

答：如果系统的第j 个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i 个自由度

上施加的外力就是k ij 。

4、 简述随机振动问题的求解方法，以及与周期振动问题求解的区别。

（10分）

答：随机振动的振动规律只能用概率统计方法描述，因此，只能通过统计的方法了解激励和响应统计值之间的关系。而周期振动可以通过方程的求解，由初始条件确定未来任意时刻系统的状态。

三、计算题（45分）

3.1、（14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴O 1，

转动，无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为r 1、m I 1和r 2、m 2、I 2。轮2的轮缘上连接一刚度为k 的弹簧，轮1上有软绳悬挂质量为m 的物体，求：

1）系统微振的固有频率；（10分） 2）系统微振的周期；（4分）。

3.2、（16分）如图所示扭转系统。设转动惯量I 1＝I 2，扭转刚度K r1＝K r2。

1）写出系统的动能函数和势能函数； （4分） 2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵； （4分） 3）求出系统的固有频率； （4分） 4）求出系统振型矩阵，画出振型图。 （4分）

3.3、（15分）根据如图所示微振系统，

1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； （5分） 2）求出固有频率； （5分） 3）求系统的振型，并做图。

（5分）

计算题答案：

3.1 （ 1）系统微振的固有频率；（10分）；（2）系统微振的周期；（4分）。 选取广义坐标x 或θ；

确定m 的位移与摩擦轮转角的关系，（质量m 的位移与摩擦轮转动的弧长及弹簧的变形量相等）；，

写出系统得动能函数E t 、势能函数U ； 令d(E t +U)=0.求出广义质量和刚度 求出2

2

2

211r I r I m k

n ++=

ω，进一步求出T

图2

图3

3.2. （1）写出系统的动能函数和势能函数（4分）；（2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵（4分）；

（3）求出系统的固有频率（4分）；（4）求出系统振型矩阵，画出振型图（4分）。 令r r r k k k I I I ====2121, 1）略

2）[],1112??????--=r k K []??

????=1001I M

3）频率：I k r n 2532

1-=

ω I

k r n 2532

2+=ω

4）振型矩阵：[]??????-=?????

?

??????--

-=618.011618.021511215u 振型图（略）

3.3 （1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程（5分）；（2）求出固有频率（5分）；（3）求系统的振型，并做图（5分）

频率方程： 031

1221013)(2

2

2

2

=-------=?k m k

m k

m k

ωωωω

即：0)3(2)2()3(2222

=----k m

k m k m ωωω

固有频率：m k )22(21-=ω < m k 322=ω < m

k )22(2

3+=ω

振型矩阵： []??

???

?????--=??????????----=11

414.0414.00111414.0111221011112u

振型图（略）

（四）

一、填空题（本题15分，每空1分）

1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。

2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（余弦）函数。

3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。

4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。

5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。

6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 二、简答题（本题40分）

1、什么是机械振动？振动发生的内在原因是什么？外在原因是什么？ （7分）

答：机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。（3分） 振动发生的内在原因是机械或结构具有在振动时储存动能和势能，而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。（2分）

外在原因是由于外界对系统的激励或者作用。（2分）

2、从能量、运动、共振等角度简述阻尼对单自由度系统振动的影响。 （12分）

答：从能量角度看，阻尼消耗系统的能力，使得单自由度系统的总机械能越来越小；（2分）

从运动角度看，当阻尼比大于等于1时，系统不会产生振动，其中阻尼比为1的时候振幅衰减最快（4分）；当阻尼比小于1时，阻尼使得单自由度系统的振幅越来越小，固有频

率降低，阻尼固有频率d ωω=；（2分）

共振的角度看，随着系统能力的增加、增幅和速度增加，阻尼消耗的能量也增加，当阻尼消耗能力与系统输入能量平衡时，系统的振幅不会再增加，因此在有阻尼系统的振幅并不会无限增加。（4分）

3、简述无阻尼多自由度系统振型的正交性。 （7分）

答：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量和刚度矩阵为权正交。其数学表达为：如果当s r

≠时，s r

ωω≠，则必然有??

?==0}]{[}{0}]{[}{r T s r T s u K u u M u 。

4、用数学变换方法求解振动问题的方法包括哪几种？有什么区别？

（7分）

答：有傅里叶变换方法和拉普拉斯变换方法两种。（3分）

前者要求系统初始时刻是静止的，即初始条件为零；后者则可以计入初始条件。（4分） 5、简述刚度矩阵[K]中元素k ij 的意义。 （7分）

答：如果系统的第j 个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i 个自由度上施加的外力就是kij 。 三、计算题（45分） 3.1、（12分）如图1所示的扭转系统。系统由转动惯量I 、扭转刚度由K 1、K 2、K 3组成。

1）求串联刚度K 1与K 2的总刚度（3分）

2）求扭转系统的总刚度（3分） 3) 求扭转系统的固有频率（6分）。

3.2、（14分）如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I ，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R 与a 均已知。

1）写出系统的动能函数和势能函数；（5分） 2) 求系统的运动方程；（4分） 2）求出系统的固有频率。（5分）

3.3、（19分）图2所示为3自由度无阻尼振动系统，1234t t t t k k k k k ====，

123/5I I I I ===。

1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； （6分） 2）求出固有频率； （7分） 3）求系统的振型，并做图。 （6分）

3.1 解：

1）串联刚度K 1与K 2的总刚度：

2

12

112K K K K K +=

2) 系统总刚度：

12

312

K K K K K K =

++

3) 系统固有频率：

12

3

12

K K K K K K I

I

ω++=

= (也可用能量法，求得系统运动方程，即可得其固有频率)

3.2

解：取轮的转角θ为坐标，顺时针为正，系统平衡时0θ=，则当轮子有θ转角时，系统有：

θθθ=+=+2222111()()222T P P

E I R I R g g

θ=

21

()2

U k a

由()0T d E U +=可知：θθ++=222()0P I R ka g

即：ω=

n

（rad/s ），故

πω==22n T （s ） 3.3 解：1)以静平衡位置为原点，设123,,I I I 的位移123,,θθθ为广义坐标，画出123,,I I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：

1111212222213233333243()0()()0()0

θθθθθθθθθθθθθ?++-=?+-+-=??

+-+=?t t t t t t I k k I k k I k k

所以：[][]12312222333340010000040;0000102101210012t t t t t t t t t t I M I I I k k k K k k k k k k k k ????

????==????

????????

+--????

????=-+-=--????

????-+-????

系统运动微分方程可写为：[][]1122330θθθθθθ????

????+=????

????????

M K ………… (a)

或者采用能量法：系统的动能和势能分别为 222112233111

222

T E I I I θθθ=

++ 222211212323431111

()()2222t t t t U k k k k θθθθθθ=

+-+-+ 222121232343212323111

()()()222

t t t t t t t t k k k k k k k k θθθθθθθ=+++++--

求偏导也可以得到[][],M K 。

2)设系统固有振动的解为：

112233cos θθωθ????

????

=????????????

u u t u ，代入（a ）可得：

[][]1223()0

u K M u u ω??

??

-=??????

………… (b)

得到频率方程：222220()240

2k I k k k I k k

k I

ωωωω--=

---=--

即：2224

22()(2)(4102)0k I I kI k ωωωω=--+= 解得：

2k

I

ω=和22ω=k

I

所以：123

ω

ωω==

………… (c)

将（c ）代入（b ）可得：

12320

240

02k

k I k

I u k

k k I k u I u k k

k I I ??

--??

?

???

?

???

---=?

???????

???

?--?

?

??

?

? 和123220

22

40022k k I k I u k

k k I k

u I

u k

k

k I I ?

?--??

???????

?---=????????????

-

-???

?

解得： 112131::1:1.78:1u u u ≈；

（或 112131::u u u ≈） 122232::1:

0:1u u u ≈-；

132333::1:0.28:1u u u ≈-；

（或or 112131::u u u ≈）

系统的三阶振型如图：