第四章 圆与方程知识点归纳
高中数学必修2 第四章 圆与方程知识点
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：2
22()
()x a y b r -+-=
圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程
2、点00(,)M x y 与圆2
22()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）220
0()()x a y b -+-<2r ，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：022
=++++F Ey Dx y x
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：02
2
=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；
（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、
z 轴上的坐标
2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，
y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做
点M 的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式
2
2122122121)
()()(z z y y x x P P -+-+-=
y
一、知识概述
1、圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2．
由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．
2、圆的一般方程
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心、为半径的圆．此时方程就叫做圆的一般方程．
(2)当D2＋E2－4F=0时，方程表示一个点．
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．
即圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F>0）．
圆的一般方程也含有三个待定的系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆．
3、方程的大致步骤是：
(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导．2、注意圆的一般方程成立的条件．3、利用待定系数法求圆的方程．
例4、已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20=0，其中k－1．
(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
(2)证明：曲线C过定点；
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．
?判断直线l与圆C位置关系的两种方法：
①判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l与圆相交；有一组实数解时，直线l与圆相切；无实数解时，直线l与圆C相离．
②判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径长r的关系．如果d
?圆与圆的位置关系
设圆C1的半径为R，圆C2的半径是r，圆心距为d，则
①当d>R＋r时，两圆相离；②当d=R＋r时，两圆外切；
③当|R－r| ?空间直角坐标系 空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长．常用对称点坐标： 点P（x，y，z）关于x轴对称：点P1（x，－y，－z）； 点P（x，y，z）关于y轴对称：点P2（－x，y，－z）； 点P（x，y，z）关于z轴对称：点P3（－x，－y，z）； 点P（x，y，z）关于平面xOy对称：点P4（x，y，－z）； 点P（x，y，z）关于平面yOz对称：点P5（－x，y，z）； 点P（x，y，z）关于平面xOz对称：点P6（x，－y，z）； 点P（x，y，z）关于原点成中心对称：点P7（－x，－y，－z）. 空间两点间的距离公式 空间点、间的距离是 ． 直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之， 如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2 直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022 二、两直线的位置关系 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --' 《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用 高一数学必修 2 直线与方程知识点总结 (一)高一数学必修2 直线与方程知识点总结一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0180 (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜 率反映直线与轴的倾斜程度。 当时，; 当时，; 当时，不存在。②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1) 当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 (2)k 与P1、P2 的顺序无关;(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0 时，k=0 ，直线的方程是y=y1 。 当直线的斜率为90 时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示. 但因l 上每一点的横坐标都 等于x1 ，所以它的方程是x=x1 。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：（）直线两点，④截矩式： 其中直线与轴交于点, 与轴交于点, 即与轴、轴的截距分别为。 ⑤ 一般式：（A ，B 不全为0） 注意：各式的适用范围特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：（b 为常数）; 平行于y 轴的直线：（a 为常数）; （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系 平行于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （二）垂直直线系 垂直于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （三）过定点的直线系 （ⅰ ）斜率为k 的直线系：，直线过定点; （ⅱ ）过两条直线，的交点的直线系方程为 （为参数），其中直线不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直 第三章：直线与方程的知识点 一、基础知识 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<或),0[πα∈ 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点 1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2 1 21y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< ? + ? PB = PB = PA = PA = 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程: ( x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 二、一般方程： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (D 2 + E 2 - 4F > 0) 1. Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 表示圆方程则 ? ? A = B ≠ 0 ? A = B ≠ 0 ? ? ?C = 0 ? ?C = 0 ?? D ? 2 ? E ?2 - 4 ? F > 0 ? D 2 + E 2 - 4 AF > 0 ? A ? A ? A ?? ? ? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。 3. D 2 + E 2 - 4F > 0 常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1. 判断方法：点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小： d < r ? 点在圆内； d = r ? 点在圆上； d > r ? 点在圆外 2. 涉及最值：（1）圆外一点 B ，圆上一动点 P ，讨论 PB 的最值 min max BN = BM = BC - r BC + r （2）圆内一点 A ，圆上一动点 P ，讨论 PA 的最值 min AN = r - AC max AM = r + AC 四、直线与圆的位置关系 1. 判断方法（ d 为圆心到直线的距离）：（1）相离? 没有公共点? ? < 0 ? d > r ；（2）相切? 只有一 个公共点? ? = 0 ? d = r ；（3）相交? 有两个公共点? ? > 0 ? d < r 。 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2. 直线与圆相切 （1） 知识要点：①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径 r （2） 常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点 高中数学圆与方程知识点分析 1. 圆的方程：（1）标准方程：2 22()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ） （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心（-2D ，-2 E ）半径 F E D 421 22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r 为相交，d I直线方程知识点总结 一、基础知识梳理 知识点 1：直线的倾斜角与斜率 （ 1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 （ 2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的为该直线的斜率，即k=tan 注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当=90 0时，k 不存在）（3）过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠ x2)的直线的斜率公式： k=tan y 2 y 1（当x 1＝x2时，k不存在，此时直线的倾斜角为900） . x2x1 知识点 2：直线的方程名称方程 斜截式y=kx+b 点斜式y-y0=k( x-x0) 两点式y y 1 =y y1 y2y1y2y1 截距式x y +=1 a b 一般式Ax+By+C=0已知条件局限性 k——斜率 b——纵截距 (x0， y0)——直线上 已知点， k——斜率 (x1，y1) ，(x2，y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 A C C ，，分别为 B A B A、 B 不能同时为零斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 二、规律方法提炼 1、斜率的求法一般有两种方式 （ 1）已知倾斜角,利用k tan ；（2）已知直线上两点，利用 k y2y 1 ( x1 x 2 ) x2x1 2、求直线的一般方法 （1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性； （2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程； 3、与直线方程有关的最值问题的求解策略： ○1 首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○2 然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. II两直线的位置关系 高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0 高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程 一、知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两 点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直， 斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 高二数学会考知识点总结大全(必修) 第1章空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl Sπ π+ = 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl Sπ π π π+ + + = 5 球的表面积2 4R Sπ = （二）空间几何体的体积 1柱体的体积h S V? = 底 2锥体的体积h S V? = 底 3 1 3台体的体积h S S S S V? + + =) 3 1 下 下 上 上 （ 4球体的体积3 3 4 R Vπ = 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 2 2 2r rl Sπ π+ = 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质 D C B A α L A · α C B · A · α α 共面 =>a ∥c 圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ? ?--2,2E D . (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交?? 直线与方程知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 直线与方程知识点总结 1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率 ①两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则21 2121 ()PQ y y k x x x x -=≠- ②斜率的范围：k R ∈ (2)直线的倾斜角范围：)0,180?? （3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠ 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率； （2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程 (1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线 注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零 （3）两点式： 11 12122121 (,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式：1x y a b +=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程 ①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+ 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程()()22 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，②利用平面几何性质 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y r r +=≠ 过原点 ()()()2 2 2 2 2 20x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 22 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()22 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()() ()2 2 20x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2222 000 04040 A B A B C C D E AF D E F A A A ??=≠=≠???? =?=????+->??????+-?> ? ???? ??? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.22 40D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PB BN BC r ==- min PA AN r AC ==- max PB BM BC r ==+ max PA AM r AC ==+ 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ?（2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r 必修二 第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向 或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x , α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) ο ο90,0∈α时，0≥k ； 当( )ο ο180,90∈α时，0 交点坐标即方程组?? ?=++=++0 222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（） 是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+- （9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2 200B A C By Ax d +++= （10）两平行直线距离公式 已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 直线的方程 1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3 ）、B （b ，b 3 ）、C （c ，c 3 ）在同一直线上，求证：a +b +c =0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ， ∴c a c a b a b a --=--3333，化简得a 2+ab +b 2=a 2+a c +c 2 ， ∴b 2-c 2 +ab -ac =0，（b -c ）（a +b +c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b -c ≠0，∴a +b +c =0. 2.若实数x ,y 满足等式(x -2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值为 （ ） A .2 1 B . 3 3 C . 2 3 D .3 答案D 3.求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中，得k =-52，此时，直线方程为y =-5 2 x , 即2x +5y =0. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为 a y a x +2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a =-2 1 ， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. 4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+b y a x （a ＞0, b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴?? ? ??=+=.123, 24b a a b 解得???==.4,6b a(推荐)高中数学直线与方程知识点总结
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