最新人教版高中数学必修4第三章《两角和与差的余弦》

3.1 和角公式

3.1.1 两角和与差的余弦

要注重公式的逆向应用．

两角和与差的余弦公式

两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，(C α＋β) 两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(C α－β) 【自主测试1】co s 75°等于( )

A ．6＋22

B ．6－22

C ．6－24

D ．6＋2

4

答案：C

【自主测试2】(20122福建三明联考)计算：cos 13°2cos 47°＋sin 13°2cos 137°＝__________.

答案：1

2

【自主测试3】已知sin α＝45，α∈? ????π2，π，则cos ?

????α－π4＝________. 答案：

2

10

1．对C α±β的理解和记忆

剖析：(1)公式的结构特征和符号规律：对于两角和与差的余弦公式C α±β可以简记为“余余正正，和差相反”．

(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cos α－cos β或cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.

(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用，逆用，变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)

－α，β＝α＋β2－α－β

2

等．

2．注意cos(α－β)＝cos α－cos β成立的条件

剖析：许多人初学三角函数时，容易做一个错误的知识迁移，由a (b ＋c )＝ab ＋ac 来思考cos(α－β)，把它看成是cos 与(α－β)的乘积，于是便有了cos(α－β)＝cos α－cos β，实际上，cos 是一个函数符号，cos(α－β)是一个整体，所以不能由彼及此．可

以取一些特殊的值来验证，如α＝π3，β＝π6，则cos(α－β)＝cos ? ????π3－π6＝cos π6＝32，cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝12－3

2

，显然，此时cos(α－β)≠cos α－cos β，但

当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos ? ????π4－π2＝cos ? ????－π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝2

2

.此时cos(α－β)＝cos α－cos β，但这仅仅只是一个巧合而已．

在做选择题时尤其要注意这一点．

名师点拨(1)运用任何公式都要注意其成立的条件，比如上述的等式不是恒成立的； (2)对于两角和与差的余弦公式，在使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．如由cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°能迅速地想

到cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°＝cos(50°－20°)＝cos 30°＝3

2.

题型一 直接利用两角和与差的余弦公式求值

【例题1】求值：(1)cos 15°cos 15°－sin 15°sin 15°；

(2)sin(110°＋x )cos(x －40°)＋cos(x －70°)2sin(220°－x )． 分析：(1)逆用两角和的余弦公式即可．

(2)统一函数名称，统一角，使其符合两角和与差的余弦公式的结构．

解：(1)原式＝cos(15°＋15°)＝cos 30°＝3

2

.

(2)原式

＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin[90°＋(x －70°)]sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin(x ＋20°)sin(x －40°)

＝cos[(x ＋20°)－(x －40°)]＝cos 60°＝1

2

.

反思公式C α±β是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构名称、特征，灵活变换角或名称，同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．

题型二 给值求值问题

【例题2】已知α，β∈? ????3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ? ????β－π4＝1213，则cos ?

????α＋π4＝________.

解析：利用α＋π4＝(α＋β)－?

????β－π4来求值． ∵α，β∈? ????3π4，π，∴α＋β∈? ??

??3π2，2π. ∴cos(α＋β)＝1－sin 2

α＋β ＝45

.

又β－π4∈? ????π2

，3π4，

∴cos ? ????β－π4＝－1－sin 2? ????β－π4＝－513. ∴cos ? ????α＋π4＝cos ?????? α＋β －?

????β－π4

＝cos(α＋β)cos ? ????β－π4＋sin(α＋β)sin ?

????β－π4 ＝453? ????－513＋? ????－3531213＝－5665

. 答案：－56

65

反思本题属于“给值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明．常见的角的变换方式：

α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝12[(α＋β)＋(α－β)]＝1

2

[(α＋β)－(β－α)]，

2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)，4α＝222α，α＝22α

2

，α＋2β＝(α

＋β)＋β等．变换的方式很多，需要自己慢慢地体会和探索．

〖互动探究〗将本例中“sin(α＋β)＝－35”改为“cos(α＋β)＝4

5

”，其他条件不变，

结果又如何？

解：结果为－56

65

.

题型三 给值求角问题

【例题3】已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝310

10

，求α＋β.

分析：利用两角和的余弦公式求α＋β的余弦值，并结合角α＋β的范围进行求解．

解：∵α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝310

10

，

∴cos α＝1－sin 2

α＝1－15＝25

5

， sin β＝1－cos 2

β＝

1－910＝1010

. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 255331010－5531010＝2

2

. 由0＜α＜π2，0＜β＜π

2

，得0＜α＋β＜π，

又cos(α＋β)＞0，

∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π

4

.

反思此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值． 〖互动探究〗将本例中α，β的范围均改为第一象限角，其他条件不变，结果又如何？

解：结果变为α＋β＝π

4

＋2k π，k ∈Z .

题型四 易错辨析

【例题4】已知0≤α＜β＜γ＜2π，且sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求β－α.

错解：由已知，得?

????

sin α＋sin β＝－sin γ， ①

cos α＋cos β＝－cos γ. ②

①2＋②2

，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1.