圆锥曲线知识点及2016年高考题总结(含答案)

圆锥曲线知识点及2016年高考题总结(含答案)
圆锥曲线知识点及2016年高考题总结(含答案)

椭圆

第一定义

平面内与两定点1F 、2F 的距离的和等于常数

2a (2a >12F F )的动点P 的轨迹叫做椭圆.即:122PF PF a +=.

其中两定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离122F F c =<

2a 叫做椭圆的焦距. 第二定义

平面内到定点F 的距离与到定直线的距离之比为常数e ,当0<e <1时,点的轨迹叫

做椭圆.其中定点F 为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线.准线方程:2

a x c =±[焦点在

x 轴上] 或者2

a y c

=±[焦点在y 轴上].

标准方程

焦点在x 轴时:22221x y a b +=(a >b >0) 焦点在y 轴时:22

221y x a b

+=(a >b >0) 其

中2

2

2

a b c -=.若不确定焦点位置时,方程可设为22

1mx ny += (m >0,n >0,m n ≠)

. 参数方程

焦点在x 轴:cos sin x a y b θ

θ

=??

=?(其中θ为参数).

面积公式

S ab π=.

离心率 ()22

2210,1c c b e a a a

===-∈.

焦半径公式

焦点在x 轴上:10PF a ex =+,20PF a ex =-[1F ,2F 分别为左右焦点, ()00,P x y ](左加右减).

焦点在y 轴上:10PF a ey =-,20PF a ey =+[1F ,2F 分别为上下焦点, ()00,P x y ](上减下加).

通径

过焦点的垂直于x 轴(或y 轴)的直线与椭圆的两交点A ,B 之间的距离,即2

2b AB a

=

(最短焦点弦).

三角形面积

椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的左右焦点分别为1F ,2F ,点

P 为椭圆上任意一点12F PF θ∠=,则椭圆的焦点三角形的面积为122

2sin tan 1cos 2

F PF S b b θθ

θ?==+.

切线方程

若000(,)P x y 在椭圆22

22

1x y a b

+=(a >b >0)上,则过0P 的切线方程是00221x x y y a b +=. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)外,则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、

2P ,则切点弦12PP 的直线方程是

00221x x y y

a b

+=. 中点弦方程

在椭圆22

221x y a b +=(a >b >0)的不平行于对称轴的弦AB 中点为00(,)M x y ,则

00

2

2:

1AB AB x y l k a b

+?=,代入M 坐标,可求出AB k ,进而利用点斜式可求得00:()AB AB l y y k x x -=-.

若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=(a >b >0)内,则被0P 所平分的中点弦的方程是

22

00002222x x y y x y a b a b

+=+. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=(a >b >0)内,则过0P 的弦中点的轨迹方程是

22002222x x y y

x y a b a b

+=+.

双曲线

第一定义

平面内与两定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数

2a (2a <12F F 且20a ≠)的点的轨迹叫做双曲线. 即:122MF MF a -=.

第二定义

平面内到定点F 的距离与到定直线的距离之比为常数e ,当e >1时,点的轨迹叫做双曲线.

其中定点F 为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线.

准线方程:2a x c =±[焦点在x 轴上] 或者2

a y c

=±[焦点在y 轴上].

标准方程

焦点在x 轴时:22221x y a b -=(a >0,b >0) 焦点在y 轴时:22

221y x a b

-=(a >0,

b >0) 其中2

2

2

a b c +=.

若不确定焦点位置时,方程可设为221mx ny += (mn <0).

参数方程

焦点在x 轴:sec tan x a y b θθ=??=?

(其中θ为参数) 正割1

sec cos θθ=.

离心率

()22

2211,c c b e a a a

===-∈+∞.

渐近线

双曲线22

221x y a b -=的渐近线为b y x a =±

双曲线22

221y x a b

-=的渐近线为

a

y x b

. 焦半径公式

焦点在x 轴上双曲线任意一点00(,)P x y 到焦点的距离: 左焦半径10=PF ex a + 右焦半径20=PF ex a -.

通径

过焦点的垂直于x 轴(或y 轴)的直线与椭圆的两交点A ,B 之间的距离,即2

2b AB a

=

(最短焦点弦).

三角形面积

双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的左右焦点分别为1F ,2F ,点

P 为双曲线上任意一点12F PF θ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122

2sin t 1cos 2

F PF S b

b co θθ

θ?==-.

切线方程

若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的切线方程是00221x x y y

a b

-=. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b

-=(a >0,b >0)外,则过0P 作双曲线的两条切线切

点为1P 、2P ,则切点弦12PP

的直线方程是00221x x y y

a b

-=. 中点弦方程

在双曲线22

221x y a b -=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦AB 中点为00(,)M x y ,则

00

2

2:

1AB AB x y l k a b

-?=,代入M 坐标,可求出AB k ,进而利用点斜式可求得00:()AB AB l y y k x x -=-.

若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b -=(a >0,b >0)内,则被0P 所平分的中点弦的方程

是22

00002222x x y y x y a b a b

-=-. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)内,则过0P 的弦中点的轨迹方程是

22002

222x x y y x y a b a b

-=-

抛物线

定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线.

标准方程

设0p >,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

22y px =

22y px =-

22x py =

22x py =-

图形

y x

O

y

x

O

y x

O

y

x

O

焦点 )0,2(p F )0,2(p F -

)2

,

0(p F )2,0(p F - 准线 2

p x -= 2

p x =

2

p y -

= 2

p y =

范围 R y x ∈≥,0 R y x ∈≤,0 0,≥∈y R x 0,≤∈y R x

对称轴 x 轴

y 轴

顶点 (0,0)

离心率 1=e 焦半径

12x p

PF +=

12

x p

PF +=

12

y p

PF +=

12

y p

PF +=

参数方程

222x pt y pt

?=?=?(t 为参数,t R ∈). 抛物线22y px =(0p >)的图像和性质:

(1)焦点坐标是:??

?

??02,p .(2)准线方程是:2p x -=.

(3)顶点是焦点向准线所作垂线段中点,顶点平分焦点到准线的垂线段:2

p

OF OK ==. (4)焦准距:FK p =.

(5)焦半径公式:若点),(00y x P 是抛物线px y 22

=上一点,则该点到抛物线的焦点的

距离(称为焦半径)是:02

p PF x =+

. (6) 抛物线的焦点弦:设过抛物线的焦点的直线与抛物线交11(,)P x y ,22(,)Q x y ,且

1QM ⊥准线于点1M ,2PM ⊥准线于点2M ,则

①焦点弦长121222

p p

PQ x x x x p =+

++=++.

②2

2

1212,4

p y y p x x =-=.

③若直线PQ 的倾斜角为θ,则22sin p

PQ θ

=. ④若F 为抛物线焦点,则有

112PF QF p

+=.

⑤P 、O 、1M 三点共线,Q 、O 、2M 三点共线.

(7)通径:过焦点垂直于轴的弦长为2p .这是过焦点的所有弦中最短的.

(8)焦半径为半径的圆:以p 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切.所有这样的圆过定点F 、准线是公切线.

(9)焦半径为直径的圆:以焦半径FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线.

(10)焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切.所有这样的圆的公切线是准线.

切线方程

若000(,)P x y 在抛物线2

2y px =(0p >)上,则过0P 的切线方程是00()y y p x x =+.

中点弦公式

抛物线2

:2C x py =上,过给定点00(,)P x y 的中点弦所在直线方程为

2

000

py x x py x -=-.

C N

M 1

Q

M 2

K

F

P o

2016年高考数学理试题分类汇编

圆锥曲线

一、选择题

1、(2016年四川高考)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( ) (A )

33 (B )23 (C )2

2

(D )1

2、(2016年天津高考)已知双曲线2

224=1x y b

-(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )

(A )22443=1y x -(B )223

44=1y x -(C )2224=1x y b -(D )2

224=11x y - 3、(2016年全国I 高考)已知方程x 2m 2+n –y 2

3m 2–n =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距

离为4,则n 的取值范围是

(A )(–1,3) (B )(–1,3) (C )(0,3) (D )(0,3)

4、(2016年全国I 高考)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为 (A )2 (B )4 (C )6 (D )8

5、(2016年全国II 高考)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a=( ) (A )43-

(B )3

4

- (C )3 (D )2 6、(2016年全国II 高考)已知12,F F 是双曲线22

22:1x y E a b

-=的左,右焦点,点M 在

E 上,1M

F 与x 轴垂直,211

sin 3

MF F ∠=,则E 的离心率为( ) (A )2 (B )

3

2

(C )3 (D )2

7、(2016年全国III 高考)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的左

焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为

(A )

1

3

(B )12

(C )

23

(D )

34

8、(2016年浙江高考) 已知椭圆C 1:22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2:22x n

–y 2

=1(n >0)的焦

点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则

A .m >n 且e 1e 2>1

B .m >n 且e 1e 2<1

C .m 1

D .m

二、填空题

1、(2016年北京高考)双曲线22

221x y a b

-=(0a >,0b >)的渐近线为正方形OABC

的边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则

a =_______________.

2、(2016年山东高考)已知双曲线E :22

221x y a b

-= (a >0,b >0),若矩形ABCD 的四

个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是_______.

3、(2016年上海高考)已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离_______________

4、(2016年浙江高考)若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是_______. 三、解答题

1、(2016年北京高考) 已知椭圆C :22221+=x y a b (0a b >>)的离心率为32 ,(,0)A a ,

(0,)B b ,(0,0)O ,OAB ?的面积为1.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设P 的椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N. 求证:BM AN ?为定值.

2、(2016年山东高考)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()22

2210x y a b a b

+=>> 的离

心率是

3

2

,抛物线E :22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. (I )求椭圆C 的方程;

(II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上;

(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ,求1

2S S

的最大值及取得最大值时点P 的坐标.

3、(2016年上海高考) 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。于是,菜地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中的蔬菜运到河边较近,2S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的坐标为(1,0),如图

(1)求菜地内的分界线C 的方程

(2)菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍,由此得到1S 面积的“经验值”为

3

8

。设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值

4、(2016年上海高考)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的左、右焦点分别为12F F 、,直线l 过2F 且与双曲线交于

A B 、两点。

(1)若l 的倾斜角为

2

π

,1F AB ?是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

(2)设3b =,若l 的斜率存在,且11()0

F A F B AB +?=

,求l 的斜率.

5、(2016年四川高考)已知椭圆E :错误!未找到引用源。的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l :y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (I )求椭圆E 的方程及点T 的坐标;

(II )设O 是坐标原点,直线l’平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,且与直线l 交于点P .证明:存在常数λ,使得∣PT ∣2=λ∣P A ∣· ∣PB ∣,并求λ的值.

6、(2016年天津高考)设椭圆13

2

22=+

y a x (3>a )的右焦点为F ,右顶点为A ,已

|

|3||1||1FA e

OA OF =

+,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H ,若HF BF ⊥,且MOA MAO ∠≤∠,求直线的l 斜率的取值范围.

7、(2016年全国I 高考)设圆2

2

2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;

(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

8、(2016年全国II 高考)已知椭圆:E 22

13

x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥. (Ⅰ)当4,||||t AM AN ==时,求AMN ?的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围.

9、(2016年全国III 高考)已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线

12,l l 分别交C 于A B ,两点,交C 的准线于P Q ,两点.

(I )若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ ;

(II )若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.

10、(2016年浙江高考)如图,设椭圆

2

2

2

1

x

y

a

+=(a>1).

(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示);

(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆

离心率的取值范围.

2016年高考数学理试题分类汇编

圆锥曲线

一、选择题

1、(2016年四川高考)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为

(A )

33 (B )23 (C )2

2

(D )1

【答案】C

2、(2016年天津高考)已知双曲线2

224=1x y b

-(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )

(A )22443=1y x -(B )223

44=1y x -(C )2224=1x y b -(D )2

224=11x y - 【答案】D

3、(2016年全国I 高考)已知方程x 2m 2+n –y 2

3m 2–n =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离

为4,则n 的取值范围是

(A )(–1,3) (B )(–1,3) (C )(0,3) (D )(0,3)

【答案】A

4、(2016年全国I 高考)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于

D ,

E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为 (A )2 (B )4 (C )6 (D )8 【答案】B

5、(2016年全国II 高考)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a=( )

(A )43-

(B )3

4

- (C )3 (D )2 【答案】A

6、(2016年全国II 高考)圆已知12,F F 是双曲线22

22:1x y E a b

-=的左,右焦点,点M

在E 上,1MF 与x 轴垂直,211

sin 3

MF F ∠=

,则E 的离心率为( ) (A )2 (B )

3

2

(C )3 (D )2

【答案】A

7、(2016年全国III 高考)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦

点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P

为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线

BM 经过OE 的中

点,则C 的离心率为

(A )

1

3

(B )12

(C )

23

(D )

34

【答案】A

8、(2016年浙江高考) 已知椭圆C 1:22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2:22x n

–y 2

=1(n >0)的焦点

重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则

A .m >n 且e 1e 2>1

B .m >n 且e 1e 2<1

C .m 1

D .m

二、填空题

1、(2016年北京高考)双曲线22

221x y a b

-=(0a >,0b >)的渐近线为正方形OABC 的

边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则

a =_______________.

【答案】2

2、(2016年山东高考)已知双曲线E :22

221x y a b

-= (a >0,b >0),若矩形ABCD 的四个

顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是_______. 【答案】2

【解析】由题意c 2=BC ,所以3c =AB ,

于是点

),23(c c 在双曲线E 上,代入方程,得14922

22=b

c -a c , 在由2

c b a =+2

2

得E 的离心率为2==a

c

e ,应填2.

3、(2016年上海高考)已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离_______________ 【答案】

25

5

4、(2016年浙江高考)若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是_______. 【答案】9

三、解答题

1、(2016年北京高考) 已知椭圆C :22221+=x y a b (0a b >>)的离心率为3

2 ,(,0)A a ,

(0,)B b ,(0,0)O ,OAB ?的面积为1.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设P 的椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N. 求证:BM AN ?为定值.

解得2,1, 3.a b c === ∴椭圆的方程为2

214

x y +=. ⑵方法一:

设椭圆上一点()00,P x y ,则22

0014

x y +=. 直线PA :()0022y y x x =--,令0x =,得0

022

M

y y x -=-. ∴0

0212y BM x =+- 直线PB :0011y y x x -=+,令0y =,得0

01

N x x y -=

-. ∴0

021

x AN y =+

- 【解析】⑴由已知,

31,1

22c ab a ==,又222

a b c =+,

00

0000000022000000000022112

2222

21

4448422

x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ?=+

?+--+-+-=

?

--++--+=

--+

将220014

x y +=代入上式得=4AN BM ?

故AN BM ?为定值.

方法二:

设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ,

直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=

--,令0x =,得sin 1cos M y θ

θ=

-. ∴sin cos 1

1cos BM θθθ+-=-

直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =,得2cos 1sin N x θ

θ=

-. ∴2sin 2cos 2

1sin AN θθθ

+-=-

2sin 2cos 2sin cos 1

1sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4

AN BM θθθθθθ

θθθθθθθθ

+-+-?=?

----+=--+=

故AN BM ?为定值.

2、(2016年山东高考)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()22

2210x y a b a b

+=>> 的离心

率是

32

,抛物线E :2

2x y =的焦点F 是C 的一个顶点. (I )求椭圆C 的方程;

(II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上;

(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ,求1

2S S

的最大值及取得最大值时点P 的坐标.

【解析】(Ⅰ) 由离心率是

2

3,有2

24=b a , 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ,所以2

1

=b ,于是1=a , 所以椭圆C 的方程为1=4+22y x .

(Ⅱ) (i )设P 点坐标为)0>(),2

m m,P 2

m (, 由y x 2=2得x y =′

,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m , 因此切线l 的方程为2

=2

m m x -y ,

设),(),,(2211y x B y x A ,),(00y x D ,

将2

=2

m m x -y 代入1=4+22y x ,得

0=1+4)4+12322-m x m -x m (.

于是23214+14=+m m x x ,2

3

2104+12=2+=m m x x x , 又)

4+1(2=2=22

200m -m m -mx y ,

于是 直线OD 的方程为x m

y 41

=. 联立方程x m -

y 41

=与m x =,得M 的坐标为)4

1M(m,-. 所以点M 在定直线4

1

=y -上.

(ii )在切线l 的方程为2=2

m m x -y 中,令0=x ,得2

m =y 2-,

即点G 的坐标为)2m G(0,-2,又)2

m P(m,2

,)21F(0,,

所以4

)

1+(=×21=S 21m m GF m ;

再由)1)+2(4m -m ,1+4m 2m D(22

23,得

)1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2

2

22322m m m m m m m 于是有 2

22221)1+2()1+)(1+4(2=

S S m m m . 令1+2=2

m t ,得222111+2=)1+)(21

(2=S S t

-t t t t - 当21=1t 时,即2=t 时,2

1

S S 取得最大值49. 此时21=

2

m ,22=m ,所以P 点的坐标为)4

1

,22P(. 所以2

1S S 的最大值为49,取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(.

3、(2016年上海高考) 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。于是,菜地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中的蔬菜运到河边较近,2S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的坐标为(1,0),如图

历年圆锥曲线高考题附答案

数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2b 2 =1的一条渐近线方程为y =4 3x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A . 43 B .7 5 C .85 D .3 4.(2006广东高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.(2006辽宁卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006辽宁卷)曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006安徽高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006辽宁卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ,则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在 x 轴上, 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为 。

最新圆锥曲线近五年高考题(全国卷)文科

4.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2 B. 2 6 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 20.已知点)2,2(P ,圆C :082 2=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程; (2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ?的面积 2014(新课标全国卷2) (10)设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点,则AB = (A )3 (B )6 (C )12 (D )(12)设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 (A )[]1,1- (B )1122??-????, (C )?? (D ) ???? 20.设F 1 ,F 2分别是椭圆C :122 22=+b y a x (a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N 。 (I )若直线MN 的斜率为4 3,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|,求a ,b 。

4.已知双曲线C :22 22=1x y a b -(a >0,b >0) 的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x ± D .y =±x 8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2 =的焦点,P 为C 上一点,若|PF | =,则△POF 的面积为( ). A .2 B . ..4 21.已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程; (2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB |. 2013(新课标全国卷2) 5、设椭圆22 22:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=o ,则C 的离心率为( ) (A )6 (B )13 (C )12 (D )3 10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点。若 ||3||AF BF =,则l 的方程为( ) (A )1y x =-或!y x =-+ (B )1)y x =- 或1)y x =- (C )1)y x =- 或1)y x =- (D )1)y x = - 或1)y x =- (20)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线 段长为 (Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程; (Ⅱ)若P 点到直线y x = 的距离为2 ,求圆P 的方程。

圆锥曲线历年高考题附答案解析

数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2 =1的一条渐近线方程为y =43x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A .43 B .75 C .85 D .3 4.(2006高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. C. 2 D. 4 5.(2006卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006卷)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设

新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案

新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案

全国高考理科数学试题分类汇编9:圆锥曲线 一、选择题 1 .(2013年高考江西卷(理)) 过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜 率 等 于 ( ) A .y E B B C CD =++3 B .3 C .3± D .32 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版)) 双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) A .25 B .4 5 C 25 D 453 .(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版)) 已知中心在原 点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程 是 ( ) A .22 145 x -= B .22 145 x y -= C . 22 125 x y -= D . 22 125 x -=

4 .(2013年高考新课标1(理)) 已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近 线 方 程为 ( ) A .14y x =± B .13 y x =± C . 12 y x =± D .y x =± 5 .(2013年高考湖北卷(理)) 已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 ( ) A .实轴长相等 B .虚轴长相等 C .焦 距相等 D .离心率相等 6 .(2013年高考四川卷(理)) 抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距 离 是 ( ) A .12 B .3 2 C .1 D 3

2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线

(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ,)0,1(2F ,过2F 的直线与C 交于A ,B 两点.若||2||22B F AF =, ||||1BF AB =,则C 的方程为( ) A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案: B 解答: 由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ,)0,1(2F 可知1=c ,又Θ||2||22B F AF =,||||1BF AB =,可设m BF =||2,则 m AF 2||2=,m AB BF 3||||1==,根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+,得a m 2 1 = ,所以a BF 21||2=,a AF =||2,可知),0(b A -,根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ,得32=a , 22 22=-=c a b ,∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则C 的离心率为 . 答案: 2 解答: 由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点,12F B F B ⊥uuu r uuu r ,又O 是12,F F 的中点,所以OA 为中位线且1OA BF ⊥,所以1OB OF =,因此1FOA BOA ∠=∠,又根据两渐近线对称,12FOA F OB ∠=∠,所以260F OB ∠=?,221()1tan 602b e a =+=+?=.

圆锥曲线高考题汇编[带详细解析]

第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点容,这部分容的特点是: (1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求熟练掌握并能灵活应用. (2)综合性强.在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容,体现了对各种能力的综合要求. (3)计算量大.要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力. ●试题类编 一、选择题 1.(2003京春文9,理5)在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0(a >b >0)的曲线大致是( ) 2.(2003京春理,7)椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x (?为参数)的焦点坐标为( ) A.(0,0),(0,-8) B.(0,0),(-8,0) C.(0,0),(0,8) D.(0,0),(8,0) 3.(2002京皖春,3)已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.(2002全国文,7)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k 等于( ) A.-1 B.1 C.5 D. - 5 5.(2002全国文,11)设θ∈(0, 4 π ),则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值围为( ) A.(0, 2 1 ) B.( 22 ,21) C.( 2,2 2 ) D.( 2,+∞) 6.(2002文,10)已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ) A.x =± y 2 15 B.y =± x 2 15

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 ( C ) (A)3 (B)2 (C)5 (D )6 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D ). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A.2 B.3 C.5 D .10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A . 3 B .22 C.13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D.直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D.5 2

(完整版)圆锥曲线高考题及答案

数学圆锥曲线测试高考题选讲 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线 x 2a 2- y 2 b 2=1的一条渐近线方程为y =4 3x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 +y 2 =1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A . 43 B .75 C .8 5 D .3 4.(2006广东高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. 3 C. 2 D. 4 5.(2006辽宁卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006辽宁卷)曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006安徽高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006辽宁卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,

专题08 圆锥曲线(第01期)-决胜2016年高考全国名校试题文数分项汇编(浙江特刊)(原卷版)

第八章 圆锥曲线 一.基础题组 二.能力题组 1.(浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二),文7)设1F 、2F 分别为双曲线C :122 22=-b y a x 0(>a , )0>b 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以21F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点,且 满足?=∠120MAN ,则该双曲线的离心率为 A .3 21 B . 3 19 C . 3 5 D .3 2.(浙江省2015届高三第二次考试五校联考,文7)如图,已知椭圆C 1:112x +y 2=1,双曲线C 2:22a x —22 b y =1 (a >0,b >0),若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点,且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分,则C 2的离心率为 ( ) A .5 B .5 C .17 D . 7 14 2

3.(绍兴市2015届高三上学期期末统考,文6)曲线2 2 30x y -=与双曲线C :22 221x y a b -=(0a >,0b >) 的四个交点与C 的两个虚轴顶点构成一个正六边形,则双曲线C 的离心率为( ) A B C D .8 3 4.(宁波市鄞州区2015届高考5月模拟,文6)已知,,A B P 是双曲线22 221x y a b -=上不同的三点,且,A B 连线经过坐标原点,若直线,PA PB 的斜率乘积3PA PB k k ?=,则该双曲线的离心率为(▲) A B C .2 D 5.(嵊州市2015年高三第二次教学质量调测,文6)已知双曲线22 22C :1(00)x y a b a b -=>>,的左、右焦 点分别为1F ,2F ,过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P .若12PF PF ⊥,则C 的离心率为( ) A B C .2 D 6.(衢州市2015年高三4月教学质量检测,文13)12,F F 分别是双曲线 22 1169 -=x y 的左右焦点,P 为双曲线右支上的一点, A 是12?PF F 的内切圆, A 与x 轴相切于点(,0)M m ,则m 的值为 . 7.(东阳市2015届高三5月模拟考试,文13)点P 是双曲线 222 2 1(00)x y a b a b =>>- , 上一点, F 是右焦点,且OPF ?是120OFP ∠=?的等腰三角形(O 为坐标原点),则双曲线的离心率是 ▲ . 三.拔高题组 1.(衢州市2015年高三4月教学质量检测,文8)设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=≥≥上任意一 点,其坐标(,)x y ≤b +取值范围为( ) A. (]0,2 B. []1,2 C. [)1,+∞ D. [)2,+∞ 2.(浙江省杭州第二中学2015届高三仿真考,文7)如图,已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点 为A ,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ,Q .若∠P AQ = 60°且3OQ OP =,

2020年高考圆锥曲线部分大题解析

1.【2018浙江21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 (1) 设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴; (2) 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点,求PAB ?面积的取值范围。 解析:(1)设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足:2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足:2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根,所以 12 02 y y y +=,故PM 垂直于y 轴。 (2)由(1)可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= - ,12||y y -= 因此,3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此,PAB ? 面积的取值范围是

1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点,线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > (1)证明:1 2 k <- ; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点且0FP FA FB ++=,证明:,,FP FA FB 为等差数列,并求出该数列的公差。 解析:(1)由中点弦公式22OM b k k a ?=-,解得34k m =- 又因为点M 在椭圆内,故302m << ,故1 2 k <- (2)由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-,故(1,2)P m - 因为点P 在椭圆上,代入可得3,14m k = =-,即3||2 FP = 根据第二定义可知,1211||2,||222 FA x FB x =- =- 联立22 212121114371402,4287 4 x y x x x x x x y x ?+=???-+=?+==? ?=-+?? 即121 ||||4()32 FA FB x x +=- += 故满足2||||||FP FA FB =+,所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ,因为,A B 的位置不确定,则有

高考数学圆锥曲线历年高考真题

浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05.过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0) 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ) 3 (C ) 2 (D ) 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A . 圆 B . 椭圆 C . 一条直线 D . 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0) 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur .若 AB 1 uuur BC , 2 A . 2 B .3 C 08.如图 , AB 是平面 的斜.线.段. ) B A P 第 10 题) A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) .5 D . 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A (0,2) 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. (13)设抛物线 y 2 2px (p 0) 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B . a 2= 13 1 D . A .a 2= C .b 2= b 2=2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1: 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2: x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上. 若 F 1A 5F 2B ,

全国一卷圆锥曲线高考题汇编含标准答案

圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分) 1、(2016全国Ⅰ卷)(20)(本小题满分12分) 设圆2 2 2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程; (II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

2、(2015全国Ⅰ卷)(14)一个圆经过椭圆 22 1164 x y +=的三个顶点,且圆心在x 轴上,则该圆的标准方程为 。 3、(2014全国Ⅰ卷) 20.(本小题满分12分)已知点A (0,-2),椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆 的焦点,直线AF 的斜率为3 ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程; (Ⅱ)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ?的面积最大时,求l 的方程.

4、(2016山东卷)(21)(本小题满分14分) 平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b +=>> 3,抛物线E :22x y =的焦点 F 是C 的一个顶点. (I )求椭圆C 的方程; (II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. (i )求证:点M 在定直线上; (ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG V 的面积为1S ,PDM V 的面积为2S ,求1 2 S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.

(完整版)圆锥曲线高考真题

(1)求M 的方程 (2)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34 ,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a,b . 3.已知椭圆C :,直线不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M . (1) 证明:直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值; (2)若过点(),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由. 4.已知抛物线C :22y x = 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点. (1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ; (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C :y 2 =2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上; (2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程. 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为 ()()10M m m >,. (1)证明:1 2 k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r .证明:FA u u u r ,FP u u u r ,FB u u u r 成 等差数列,并求该数列的公差.

圆锥曲线高考题汇编(带详细解析)

第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容,这部分内容的特点是: (1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求熟练掌握并能灵活应用. (2)综合性强.在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容,体现了对各种能力的综合要求. (3)计算量大.要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力. ●试题类编 一、选择题 1.(2003京春文9,理5)在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0(a >b >0)的曲线大致是( ) 2.(2003京春理,7)椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x (?为参数)的焦点坐标为( ) A.(0,0),(0,-8) B.(0,0),(-8,0) C.(0,0),(0,8) D.(0,0),(8,0) 3.(2002京皖春,3)已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.(2002全国文,7)椭圆5x 2+ky 2 =5的一个焦点是(0,2),那么k 等于( ) A.-1 B.1 C. 5 D. - 5 5.(2002全国文,11)设θ∈(0,4 π),则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值范围为 ( ) A.(0,2 1) B.( 2 2 ,21) C.( 2,2 2 ) D.( 2,+∞) 6.(2002北京文,10)已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ) A.x =± y 215 B.y =± x 215 C.x =±y 4 3 D.y =±x 4 3 7.(2002天津理,1)曲线???==θ θ sin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( ) A.21 B.22 C.1 D.2

圆锥曲线历年高考题(整理)附答案

数学圆锥曲线测试高考题 、选择题: 2. (2006全国 II )已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x 3 2+y 2 =1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上,则△ ABC 的周长是 ( A )2 3 (B ) 二、填空题: 1 设点 A 1, ,则求该椭圆的标准方程为 1. (2006 全国 II )已知双曲线 a 2 b 2 (C )54 A)5 3 x 2 y 2 4 1的一条渐近线方程为 y = 3x ,则双曲线的离心率为( (D)3 2 C) 4 3 D)12 3. (2006全国卷 I )抛物线 y x 2 上的点到直线 4x 3y 0距离的最小值是( A . 4 3 .3 4.( 2006 广东高考卷) 已知双曲线 3x 2 y 2 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等 于( ) 22 A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 2006 辽宁卷)方程 2x 2 5x 0 的两个根可分别作为( A.一椭圆和一双曲线的 离心率 B.两抛物线的离心率 6. 2006 辽宁卷)曲线 10 m 2 y 6m 2 1(m 6) 与曲线 x 5m 2 y 1(5 m 9) 的( ) 9m 7. 8. (A )焦距相等 (B ) 离心率相等 (C )焦点相同 (D )准线相同 2 2 x 2006 安徽高考卷)若抛物线 y 2 2 px 的焦点 与椭圆 6 A . 2 .4 1的右焦点重合,则 p 的值为( 22 2006 辽宁卷)直线 y 2k 与曲线 y 2 18k 2 x (k R,且k 0) 的公共点的个数为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9. (2006 全国卷 I )双曲线 mx 2 1的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 10. (2006 上海卷 )已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为 F ( 3,0) , 右顶点为 D (2,0) ,

(完整word版)2018年高考圆锥曲线大题

2018年高考圆锥曲线大题 一.解答题(共13小题) 1.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差. 2.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=,证明:2||=||+||.

3.双曲线﹣=1,F1、F2为其左右焦点,C是以F2为圆心且过原点的圆. (1)求C的轨迹方程; (2)动点P在C上运动,M满足=2,求M的轨迹方程. 4.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.

5.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A,B. (Ⅰ)求椭圆M的方程; (Ⅱ)若k=1,求|AB|的最大值; (Ⅲ)设P(﹣2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q(﹣,)共线,求k. 6.设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点. (1)用t表示点B到点F的距离; (2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积; (3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.

高考数学试题分类大全理科圆锥曲线

2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点, 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. ( 4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点 1 2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于 它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

江苏历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线

江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线 (2008-2018)试题 1、9.(5分)(2008江苏)如图,在平面直角坐标系xoy中,设三角形ABC的顶点分别为A (0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,某同学已正确求得直线 OE的方程为,请你完成直线OF的方程:. 2、12.(5分)(2008江苏)在平面直角坐标系xOy中,椭圆的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆M,若过作圆M的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为. 3、13.(5分)(2009江苏)如图,在平面直角坐标系xoy中,A1,A2,B1,B2为椭圆 的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为.

4、6.(5分)(2010江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线上一点M ,点M 的横坐标是3,则M 到双曲线右焦点的距离是 . 5、8.(5分)(2010江苏)函数y=x 2(x >0)的图象在点(a k ,a k 2 )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5= . 6、9.(5分)(2010江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2 =4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1,则实数c 的取值范围是 . 7、14.(5分)(2011江苏)设集合 222{(,)| (2),,},{(,)|221,,} 2 m A x y x y m x y B x y m x y m x y =-+∈=++∈R R 若,A B ≠? 则实数m 的取值范围是______________. 8、8.(5分)(2012江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线 的离心率为 ,则m 的值为 . 9、12.(5分)(2012江苏)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2 ﹣8x+15=0,若直线y=kx ﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 . 10、3.(5分)(2013江苏)双曲线 的两条渐近线方程为 . 11、12.(5分)(2013江苏)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为(a >b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2,若d 2= ,则椭圆C 的离心率为 . 12、9.(5分)(2014江苏)在平面直角坐标系xOy 中,直线x+2y ﹣3=0被圆(x ﹣2)2 +(y+1)2 =4截得的弦长为 . 13、10.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 14、12.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2﹣y 2 =1右支上的一个动点,若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 . 15、3.(5分)(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线 ﹣ =1的焦距是 . 16、10.(5分)(2016江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆+=1(a >b >0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B ,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .

圆锥曲线高考压轴题(精心整理)

A. 2: B B. 1: 2 C. 1: D. 1: 3 园锥曲线单元检测卷 迭様题(共10小陋) 1. 椭圆ax2+by2=l 与直线y=l-x 交于A 、B 两点,过原点与銭段AB 中点的直线的斜率为车,则?的值为< ) 2 b A.更 B.生 C.距 D.生 2 3 2 27 2. 点F 为椭圆W-J=l (a>b>0)的一个焦点,若棉圆上存在点A 使△AOF 为正三角形,那么棉圆的离心率为( ) A.亭 B.学 C.早 0. JJ-1 1 2 3. 已知P 是以F|, F2为焦点的棉圖(?>b>0)上的一点,若PFilPFj, tanZPF,F 24,则此神圖的码心率为( ) a l 戸 2 A. - B. - C. - D.亞 2 3 3 3 4. 设F2是戏曲线力>°)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使(乔十折)?和=。(0为坐 a 1 标原点),且1戶尸11 = 51”2|,则双曲线的离心率为( ) A.罕 B.「+l C.擊 D.网 5. 如圍所示,A, B, C 是双曲线打土=1 <*>0, b>0>上的三个点,AB 经过原点0, AC 经过右焦点F,若 \ [ / BF 丄AC 目|BF| = |CF|,则该双曲线的高心率是< ) \ m A.罗 B. J10 C. I D. 3 6. 已知点F“ F2分别是双曲线W~4=l(a>0, d>0)的左、右焦点,ilFifi 垂直于x 轴的宜线与双曲线交于A, B 两点,若 a 2 b 2 F2是锐角三角形,则该戏曲线高心率的取值范围是( ) A. (1, JI) 7.设双曲线日-4=1仏>0, 6>0) 的右焦点为F (c, 0),方程?x 2-bx-c=0的两支根分别为x“ x 2,则P (x o x 2 A 2 b 2 A.必在Sx 2-y 2=2内 C.必在Sx 2-y 2=Z± 8.已知点A (2, 0),抛物线C: x 2=4y 的焦点为F,射銭FA 与抛物銭C 相交于点II,与其准线相交于点N,则|FM|: |MN| 9. 已知点A (-1, 0) , B (1, 0)及抛物线円2x,若抛物銭上点P 淆足iPAdlPBl,则m 的最大値为( ) A. 3 B. 2 C. D. J2 B.(卩,2j) D. (1,1+41) B.必在圖x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能

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