概率试卷A11-12-1 本科

2011－2012学年 第1学期 概率论与数理统计A 卷评分标准

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.

1.设,A B 为两个随机事件，其中0()1P B <<，若(|)=(|)P A B P A B ,则必有

（A ）A B ?事件； （B ）A B 事件,互不相容； （C ）B A ?事件； （D ）A B 事件,相互独立.

答:（ ）

2.设随机变量X 的分布函数为0,

012,01()23,131,

3x x F x x x

=?≤

（A ）2/3； （B ）1/2； （C ）1/6； （D ）0.

答:（ ）

3.设X 服从区间(0,5)上的均匀分布，则关于t 的一元二次方程24420t Xt X +++=有实根的概率为

（A ）0.6； （B ）0.4； （C ）0； （D ）1.

答:（ ）

4. 随机变量X 和Y 独立同分布，方差存在且不为0. 记U X Y =-, V X Y =+, 则 (A) U 和V 一定不独立； (B) U 和V 一定独立； (C) U 和V 一定不相关； (D) 以上选项都不对.

答:（ ）

5.总体X 的分布为(0,1)N ，15,,X X 为取自X 的简单样本，则下列选项不正确的是

~(4)t ； (B) 22

212

32245

2~(2,3)3X X X F X X +++；

(0,1)N ； (D) 22

2231()(2)2X X X χ++ . 答:（ ）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）. 6．设,A B 为随机事件，()0.5,()0.2P A P A B =-=，则()P AB =0.7.

7. 设连续型随机变量X 的分布函数为0,1()(arcsin 2),111,1x F x k x x x π<-?

?

=+-≤

，则常数

k =___.

8．已知,X Y 相互独立,4,1DX DY ==,则(2)D X Y +=___.

9．随机从一批香烟中抽取16包测其尼古丁含量的毫克数，从抽取的样本算得样本均

值25.5x =，样本标准差 2.4s =. 设香烟中尼古丁含量的分布是正态的，则总体均值μ的置信度为95%的置信区间为_____．

（已知0.025(16) 2.1199t =，0.025(15) 2.1315t =，0.05(15) 1.7531t =）

10．某保险公司接受了某辖区内600辆电动自行车的保险，每辆每年的保费为50元．若车丢失，则得赔偿车主1000元．假设车的丢失率为125.由中心极限定理，保险公司这年亏损的概率为____．（已知(1.25)0.8944,(2.5)0.9938Φ=Φ=） 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）.

11．某商店购进甲厂生产的产品20箱, 乙厂生产的同种产品15箱, 其中甲厂每箱装有一等品74个，二等品6个；乙厂每箱装有一等品95个，二等品5个. 从这35箱中任取一箱,从中任取一个，(1)求取到二等品的概率；(2) 若取到二等品，问这个二等品来自甲厂的概率．

解：（1）设B :取到二等品；1A :取到甲厂生产的箱子, 2A :取到乙厂生产的箱子，则取到二等品的概率为

1122()(|)()(|)()...................................(3')620515

....................................................................(4')803510035

9140...................................P B P B A P A P B A P A =+=

?+?=.....................................................(5')

（2）二等品来自甲厂的概率为

1111()(|)()

(|)........................................(8')()()

620

803523...........................................................................(10')9140

P A B P B A P A P A B P B P B =

=?=

= 12．设随机变量X 的概率密度函数为,01

()0,

b ax x f x ?<<=??其它,且(12)18P X ≤=，求：（1）

常数,;a b （2）设2X Y e =，求Y 的概率密度函数()Y f y . 解：（1）由密度函数的性质

1012

01()1

...................................................(3')18(12)b b f x dx ax dx P X ax dx

+∞-∞

?===???=≤=?

??? 可得 3, 2................................................................................(5')a b == （2）由题意

223ln ,18()............................................(10')0,Y y y e

y f y ?<

其它

13.二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为：24,01,0(,),0,

x x y x

f x y ?<<<<=??其它

求：（1）2()P Y X ≤；（2）(,)X Y 关于X 的边缘密度函数()X f x ； （3）条件概率(18|14)P Y X ≤=. 解：（1）由题意

2

21

2

2

{(,):}

1

40

()(,)4.................(3')

445.........................................................................(4')

x x y y x P Y X f x y dxdy x dx dy x dx ≤≤=

===?????

（2）由边缘密度函数的定义

2304,014,

01

()..............(7')0,0,

x

X x dy x x x f x ??<<<

????其它

其它 （3）由条件概率的定义

18

|18

180

(18|14)(|14)...................................(9')

(14,)

412..............................................(10')(14)Y X X

P Y X f y dy f y dy dy f -∞

-∞≤=====?

?? 14. 设随机变量Y 在区间(0,3)上服从均匀分布，随机变量

0,,1,21,k Y k X k Y k

≤?==?>?.

求：（1）12(,)X X 的联合分布律；（2）12(,)X X 的相关系数12X X ρ.

解：（1）由题意

12(0,0)(1,2)1P X X P Y Y ===≤≤=；12(0,1)(1,2)0P X X P Y Y ===≤>=；

12(1,0)(1,2)1P X X P Y Y ===>≤=；12(1,1)(1,2)1P X X P Y Y ===>>=. 故12(,)X X 的联合分布律为

....................................(5')

（2）由（1）可得

11221223,213,29;()13........................(8')

EX DX EX DX E X X ===== 故

1212......................(10')X X ρ===

15. 据以往经验，某种能力测试的得分服从正态分布(62,25)N ，随机抽取 9个学生参

与这一测试，他们的得分记为19,,X X ，设9

1

19i i X X ==∑.（1）求(|62|2)P X -≤；（2）

若得分超过70分就能得奖，求至少一个人得奖的概率.(结果用标准正态分布的分布函数()Φ?表示) 解：（1）由题意

|62|2(|62|2).........................................(2')

5532(1.2) 1..................................................................................(5')

X P X P ??

--≤=≤ ???

=Φ- （2）由题意

19919

11(70,70)..........................................................(7')1[(70)].......................................................................(8')6270621[(

)]1[(1.6)55

P X X P X X P -≤≤=-≤--=-≤=-Φ 9]...............................(10')

16．设总体X 的概率密度函数为

)(x f =1,00x

e x λ

λ-?>????

,其它，

其中(0)λλ>是未知参数. 设1,,n X X 为该总体的一个容量为n 的简单样本.（1）求λ

的最大似然估计量 λ；（2）判断 λ

是否为λ的无偏估计量. 解：（1）11

()............................................................................(2')i

x n

i L e

λλ

-

==∏似然函数为

1

1

ln[()]ln ........................................................(3')n

i i L n x λλλ

==--

∑对数似然函数

2

1^

1

ln[()]100...............................................................(4')

........................................................................(5')

n

i

i n

i

i d L n x

d X

n

λλλλ

λλ===?-+==

∑∑令

的最大似然估计量

（2）由题意

,1,,............................................................(7')i EX i n λ==

而

^

1

.........................................................(9')n

i

i EX

E n

λλ==

=∑

^

.....................................................................................................(10')λλ故是的无偏估计量

四、解答题（本大题共1个小题，5分）.

17．设随机变量X 在区间[,]ππ-上服从均匀分布，求[min(||,1)]E X . 解：X 的概率密度函数为

1

,().................................................(1')20,

x f x πππ?-<

故

{:||1}{:||1}

1

0[min(||,1)]min(||,1)().............................................................(3')

||()()..........................................(4')

1

1222x x x x E X x f x dx x f x dx f x dx x dx π

π+∞

-∞<≥-==+=?+??

?

?111112...........................(5')

2dx dx ππππ-+=-??

五、应用题（本大题共1个小题，5分）.

18. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0万元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求这部机器在一周内产生的期望利润（结果保留到小数点后面两位）. 解： 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则

~(5,0.2).........................................................(1')X b

因此

(0)0.328P X ==；(1)0.410P X ==；(2)0.205P X ==；

(3)10.3280.4100.2050.057................................(3')P X ≥=---= 又设Y

........................................(4') 因此

100.328+50.410+00.205+(-2)0.057=5.22()..............(5')EY =????万元

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）. 1. D 2.C 3.A 4. C 5.B

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.

6．0.7. 7. 1. 8．17.

9．（24.2211,26.7789）． 10．0.1056．