高等数学教案第十一章
第十一章无穷级数
教学目的：
1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。
4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。
6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。
7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。
8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性
质。
9、会利用幂级数的性质求和。
10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
教学重点：
1、级数收敛的定义及条件
2、判定正项级数的收敛与发散
3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；
4、泰勒级数
教学难点：
1、级数收敛的定义及条件
2、判定正项级数的收敛与发散
3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；
4、泰勒级数；
§1 常数项级数的概念和性质
一、教学目的与要求：
1．理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。 2．理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
二、重点（难点）：级数收敛的定义及条件 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体
讲授内容：
一、常数项级数的概念
常数项无穷级数: 一般地，给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ? ? ?, u n , ? ? ?, 则由这数列构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + ? ? ?+ u n + ? ? ?
叫做（常数项)无穷级数, 简称（常数项)级数, 记为∑∞
=1
n n u , 即
3211
???++???+++=∑∞
=n n n u u u u u ,
其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞
=1
n n u 的前n 项和
n n
i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211
称为级数∑∞
=1
n n u 的部分和.
级数敛散性定义: 如果级数∑∞
=1
n n u 的部分和数列}{n s 有极限s ,
即 s s n n =∞
→lim ,
则称无穷级数∑∞
=1
n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,
并写成
3211???++???+++==∑∞
=n n n u u u u u s ;
如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞
=1
n n u 发散.
余项: 当级数∑∞
=1
n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞
=1
n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值
r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ? ? ? 叫做级数∑∞
=1n n u 的余项.
例1 讨论等比级数(几何级数)
20
???++???+++=∑∞
=n n n aq aq aq a aq
的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比. 解： 如果q ≠1, 则部分和 q
aq q a q aq a aq
aq aq a s n n n n ---=--=+???+++=-111 1
2
. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞
=0
收敛, 其和为q a
-1.
当|q |>1时, 因为∞=∞
→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞
=0
发散.
如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞
=0
发散;
当q =-1时, 级数n n aq ∑∞
=0
成为
a -a +a -a + ? ? ?,
时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零,
所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞
=0也发散.
综上所述, 如果|q |<1, 则级数n n aq
∑∞
=0收敛,
其和为q a
-1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞
=0
发散.
仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞
=0
a ≠0)收敛, 其和为q a
-1.
例2 证明级数
1+3+5+? ? ?+（2n -1）+? ? ? 是发散的.
证 此级数的前n 项部分和为
135 (21)(1)n s n n n =+++???+-=+. 显然, ∞=∞
→n n s lim , 因此所给级数是发散的.
例3 判别无穷级数
)
1(1 431321211???+++???+?+?+?n n
的收敛性. 解 由于 1
1
1)1(1+-=+=n n n n u n ,
因此 )
1(1
431321211++???+?+?+?=
n n s n
1
11)111( )3121()211(+-=+-+???+-+-=n n n 从而
1)1
11(lim lim =+-
=∞
→∞
→n s n n n ,
所以这级数收敛, 它的和是1. 提示: 1
1
1)1(1+-=+=
n n n n u n .
二、收敛级数的基本性质
性质1 如果级数∑∞=1
n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞
=1
n n ku 也收敛, 且其
和为ks .
证明： 设∑∞
=1
n n u 与∑∞
=1
n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则
) (lim lim 21n n n n ku ku ku ???++=∞
→∞
→σks s k u u u k n n n n ==???++=∞
→∞
→lim ) (lim 21.
这表明级数∑∞
=1
n n ku 收敛, 且和为ks .
表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。
性质2 如果级数∑∞
=1
n n u 、∑∞
=1
n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1
n n n v u ±∑∞
=也收敛, 且其和为s ±σ.
证明： 如果∑∞
=1
n n u 、∑∞
=1
n n v 、)(1
n n n v u ±∑∞
=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则
)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+???+±+±=∞
→∞
→τ
)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +???++±+???++=∞
→
σσ±=±=∞
→s s n n n )(lim .
表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数
)
1(1 431321211???+++???+?+?+?n n 是收敛的,
加一项后级数1111
9895 122334(1)n n +
+++???++??????+也是收敛的, 减一项后级数
)
1(1 541431???+++???+?+?n n 也是收敛的.
性质4 如果级数∑∞
=1
n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.
注意: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数
（1-1)+（1-1) +? ? ?收敛于零, 但级数1-1+1-1+? ? ?却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件:
性质5 如果∑∞
=1
n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0
=→n n u .
证 ： 设级数∑∞
=1
n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞
→lim , 则
0lim lim )(lim lim 110
=-=-=-=-∞
→∞
→-∞
→→s s s s s s u n n n n n n n n n .
注意: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例如 调和级数
1
3121111
???++???+++=∑∞
=n n n
尽管它的一般项1
lim
0n n
→∞=，但它是发散的. 因为 假若级数∑
∞
=11n n
收敛且其和为s , s n
是它的部分和.
显然有s s n n =∞
→lim 及s s n n =∞
→2lim . 于是0)(lim 2=-∞
→n n n s s .
但另一方面, 2
121 212121 21112=+???++>+???++++=
-n n n n n n s s n n , 故0)(lim 2≠-∞
→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑
∞
=11n n
必定发散.
§ 2 常数项级数的审敛法
一、教学目的与要求：
1．掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。 2．掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。
3．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系 二、重点（难点）：判定正项级数的收敛与发散 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体
讲授内容：
一、正项级数及其审敛法
定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。 正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论： 定理1 正项级数∑∞
=1n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.
证 设级数
u 1+ u 2+ ? ? ? + u n + ? ? ?
是一个正项级数。其部分和为s n
显然s n 是一个单调增加数列，若部分和数列s n 有界. 则根据单调有界数列必有 极限的准则，可知级数∑u n 收敛；反之, 若级数∑u n 收敛，则部分和数列s n 有极限， 根据有极限的数列是有界数列的性质可知{s n }有界..
定理2 (比较审敛法) 设∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ? ? ? ). 若级数∑∞
=1
n n v 收敛, 则
级数∑∞
=1
n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞
=1
n n u 发散, 则级数∑∞
=1
n n v 发散.
证 设级数∑∞
=1
n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞
=1
n n u 的部分和
s n =u 1+u 2+ ? ? ? +u n ≤v 1+ v 2+ ? ? ? +v n ≤σ (n =1, 2, ? ? ?),
即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞
=1
n n u 收敛.
反之, 设级数∑∞
=1
n n u 发散, 则级数∑∞
=1
n n v 必发散.
因为若级数∑∞=1
n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞
=1
n n u 也收敛, 与假设矛盾.
推论 设
∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞
=1
n n v 收敛, 且存在自然数
N , 使当n ≥N 时有
u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞
=1
n n u 收敛; 如果级数∑∞
=1
n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立, 则级数
∑∞
=1
n n u 发散.
例1 讨论p -级数
1 413121111
???++???++++=∑
∞
=p
p p p p n n n 的收敛性, 其中常数p >0.
解 设p ≤1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞
=11n n
发散, 由比较审敛法知,
当p ≤1时级数p
n n 11
∑∞
=发散. 设p >1. 此时有
]1)1(1[111111111-------=≤=??p p n n p
n n p
p n n p dx x dx n n (n =2, 3, ? ? ?).
对于级数
]1
)1(1[112
--∞
=--∑p p n n n , 其部分和
1
11111)
1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+???+-+-
=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1
=+-
=-∞
→∞
→p n n n n s .
所以级数]1)1(1[11
2--∞
=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n
11∑∞
=当p >1时收敛.
综上所述, p -级数p n n
11∑
∞
=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 提示: 级数]1)1(1[
1
12
--∞
=-
-∑p p n n n 的部分和为
)
1(11])1(11[ ]3121[]211[+-=+-+???+-+-
=n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1
=+-
=-∞
→∞
→p n n n n s ,
所以级数
]1
)1(1[112
--∞
=--∑p p n n n 收敛.
p -级数的收敛性: p -级数p
n n 11
∑
∞
=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 例2 证明级数∑
∞
=+1
)
1(1n n n 是发散的. 证 因为
1
1)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 1
1 3121111
???+++???++=+∑
∞
=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3 (比较审敛法的极限形式) 设∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数,
(1)如果l v u n n
n =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1
n n u 收敛; (2)如果+∞=>=∞→∞→n n
n n n n v u l v u lim 0lim 或, 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1
n n u 发散. 证明 由极限的定义可知, 对l 2
1
=ε, 存在自然数N , 当n >N 时, 有不等式
l l v u l l n n
212
1+<<
-, 即n n n lv u lv 2
321<<, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数
1
1
tan n n ∞
=∑的收敛性. 解 因为1
tan
lim
11n n n
→∞
=, 而级数∑∞
=1
1n n 发散,
根据比较审敛法的极限形式, 级数
1
1
tan n n ∞
=∑发散.
例4 判别级数
1
1
(21)(21)n n n ∞
=-+∑的收敛性. 解 因为2
1
1
(21)(21) lim 14n n n n →∞-+=, 而级数211n
n ∑∞
=收敛,
根据比较审敛法的极限形式, 级数
11
(21)(21)
n n n ∞
=-+∑收敛. 定理4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
若正项级数∑∞
=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ: ρ=+∞→n
n n u u 1
l i m
,
则 当ρ<1时级数收敛;
当ρ>1(或∞=+∞→n
n n u u 1
lim
)时级数发散;
当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.
例5 证明级数 )
1( 3211 3211211111???+-?????+???+??+?+
+n 是收敛的.
解 因为101lim 321)1( 321lim lim
1<==?????-?????=∞→∞→+∞→n
n n u u n n n n n ,
根据比值审敛法可知所给级数收敛.
例6 判别级数
10! 10321102110132???++???+??+?+n n 的收敛性. 解 因为∞=+=?+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010
)!1(lim lim 11n n n u u n n
n n n n n ,
根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数
1
1
2(21)n n n ∞
=?+∑的收敛性.
解 12(21)
lim
lim 1(21)(22)n n n n
u n n u n n +→∞
→∞?+==+?+. 这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.
因为
211
(21)2n n n <+?, 而级数211n
n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 定理5 (根值审敛法, 柯西判别法)
设∑∞
=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:
ρ=∞
→n n n u lim ,
则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞
→n n n u lim )时级数发散;
当ρ=1时级数可能收敛也可能发散. 例8 证明级数 1 3121132???++???+++
n
n 是收敛的.
并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞
→∞
→n
n u n n
n n n n n ,
所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.
以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1||3
21???++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321???++++++<+++n n n n n n + n
n n )1(1+=
.
例9 判定级数∑∞
=-+1
2)1(2n n
n
的收敛性. 解 因为 21)1(22
1lim
lim =-+=∞→∞
→n n n n n n u ,
所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6 (极限审敛法) 设∑∞
=1n n u 为正项级数,
(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞
→∞
→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞
=1n n u 发散;
(2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞
→l l u n n p
n , 则级数∑∞
=1
n n u 收敛.
例10 判定级数∑∞
=+
1
2
)11ln(n n 的收敛性.
解 因为)(1~)11ln(2
2∞→+
n n n , 故
11lim )11ln(lim lim 2
2222=?=+
=∞→∞
→∞
→n n n n u n n n n n ,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 例11 判定级数)cos 1(11n
n n π
-+∑∞
=的收敛性.
解 因为
22223
232
1)(211lim )cos 1(1lim lim πππ=?+=-+=∞→∞
→∞→n n n n n n n u n n n n n ,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 二、交错级数及其审敛法
交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为
∑∞
=--1
1
)
1(n n n u , 或1
(1)n n n u ∞
=-∑ 其中0>n u .
例如,
1
)
1(1
1∑∞
=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(1
1∑∞
=---n n n n π不是交错级数.
定理7（莱布尼茨定理）
如果交错级数∑∞
=--1
1)1(n n n u 满足条件:
(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ? ? ?); (2)0lim =∞
→n n u ,
则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 证明: 设前2n 项部分和为s 2n .
由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ? ? ? +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ? ? ? +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n
看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n
设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n
=--n n n
收敛, 并估计和及余项.
证 这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)1111+=+>
=n n u n n u (n =1, 2,? ? ?), (2)01lim lim ==∞→∞→n
u n n
n ,
由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s
1||1+=≤+n u r n n .
三、绝对收敛与条件收敛:
绝对收敛与条件收敛: 若级数∑∞=1
||n n u 收敛, 则称级数∑∞
=1
n n u 绝对收敛;
若级数∑∞=1
n n u 收敛, 而级数∑∞=1
||n n u 发散, 则称级∑∞
=1
n n u 条件收敛.
例如 级数∑∞
=--1
21
1)
1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--1
11)1(n n n 是条件收敛的.
定理8 如果级数∑∞
=1
n n u 绝对收敛, 则级数∑∞
=1
n n u 必定收敛.
证明略
注意: 如果级数∑∞
=1
||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞
=1
n n u 也发散.
但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞
=1
||n n u 发散,
则我们可以断定级数∑∞
=1
n n u 必定发散.
这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞
=1
n n u 也是发散的.
例13 判别级数
4
1
sin n na
n ∞
=∑的收敛性. 解 因为|44sin 1|na n n ≤, 而级数4
11
n n
∞
=∑是收敛的, 所以级数41sin ||n na n ∞
=∑也收敛, 从而级数4
1
sin n na
n ∞
=∑绝对收敛. 例14 判别级数∑∞
=+-1
2)11(21)1(n n n
n
n 的收敛性.
解: 由2)11(21||n n
n n u +=
, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n n
n ,
可知0lim ≠∞
→n n u , 因此级数∑∞
=+-1
2)11(21)1(n n n
n
n 发散.
§ 3 幂级数
一、教学目的与要求：
1．理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。
2．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 3．会利用幂级数的性质求和。
二、重点（难点）：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体
讲授内容：
一、函数项级数的概念
函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列： u 1(x ) ， u 2(x ) ，u 3(x )，? ? ?? ? ? u n (x ) ? ?? ? ? 由这函数列构成的表达式
u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ?
称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞
=1)(n n x u .
对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞
=1
0)(n n x u 收敛, 则称
点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞
=1
0)(n n x u 发散, 则称
点x 0是级数∑∞
=1
)(n n x u 的发散点.。
函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域,
所有发散点的全体称为它的发散域.
在收敛域上, 函数项级数∑∞
=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),
s (x )称为函数项级数∑∞=1
)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞
==1
)()(n n x u x s .
∑u n (x )是∑∞
=1
)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.
在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ),
s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域。
函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ).
在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞
→或s n (x )→s (x )(n →∞) .
函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x )
叫做函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 的余项.
函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞
→x r n n .
二、幂级数及其收敛性 幂级数:
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ? ? ? +a n x n + ? ? ? ,
其中常数a 0, a 1, a 2, ? ? ? , a n , ? ? ?叫做幂级数的系数. 例如一下级数:
1+x +x 2+x 3+ ? ? ? +x n + ? ? ? , !
1 !2112???++???++
+n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是
a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ? ? ? +a n (x -x 0)n + ? ? ? ,
经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ? ? ? +a n t n + ? ? ? . 幂级数
1+x +x 2+x 3+ ? ? ? +x n + ? ? ?
可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有
11132???++???++++=-n x x x x x
. 由此例可得：
定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞
=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式
|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞
=0
n n n x a 当x =x 0时发散,
则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.
证 先设x 0是幂级数∑∞
=0
n n
n x a 的收敛点, 即级数∑∞
=0
n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件,
有0lim 0
=∞
→n
n n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ? ? ?).
这样级数∑∞
=0
n n n x a 的的一般项的绝对值
n n n n n n
n n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||0000
0?≤?=?=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数n
n x x M ||00
?∑∞
=收敛, 所以级数∑∞
=0||n n n x a 收敛,
也就是级数∑∞
=0
n n n x a 绝对收敛.
定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛,
则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.
推论 如果级数∑∞
=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全
确定的正数R 存在, 使得 当|x |
当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散. 收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数
∑∞
=0
n n n x a 的收敛半径. 开区间(-R , R )叫做幂级数
∑∞
=0
n n
n x
a 的收敛区间. 再由幂级数在x =±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数∑∞=0
n n n x a 的收
敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.
规定: 若幂级数∑∞
=0
n n
n x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞
=0
n n n x a 对一切x 都收敛,
则规定收敛半径R =+∞, 这时收敛域为(-∞, +∞). 关于幂级数的收敛半径求法，有下列定理：
定理2 如果ρ=+∞→||
lim 1
n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0
n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径
???????+∞
=≠=∞+=ρρρρ 00 1
0 R .
简要证明: || ||||lim ||lim 1
11x x a a x a x a n n n n
n n n n ρ=?=+∞→++∞→.
(1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ
1
=R .
(2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞.
(3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0. 例1 求幂级数∑∞
=--11
)
1(n n n n
x 的收敛半径与收敛域.
解 因为11
11
lim ||lim 1=+==∞→+∞→n
n a a
n n n n ρ,
所以收敛半径为11==
ρ
R .
当x =1时, 幂级数成为∑∞
=--1
1
1
)1(n n n
, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞
=-1
)1(n n
, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].
例2 求幂级数∑
∞
=0
!1n n
x n !1 !31!21132???++???++++n x n x x x
的收敛域.
解 因为0)!1(!lim !
1
)!
1(1
lim
||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞
=0
!n n x n 的收敛半径.
解 因为
+∞=+==∞→+∞
→!
)!
1(lim ||
lim 1n n a a n n n n ρ,
所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛.
例4 求幂级数∑
∞
=022
!)
()!2(n n
x n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为n
n x n n x u 22
)!()!2()(=. 因为 21||4 |)
()
(|
lim x x u x u n n n =+∞
→, 当4|x |2<1即21||<
x 时级数收敛; 当4|x |2>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R . 提示: 2
222
)
1(21)1()12)(22()
!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n x n n x n n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞
=-1
2)1(n n n
n x 的收敛域.
解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞
=12n n n
n
t .
因为 2
1)1(22 ||
lim 11=+??==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2.
当t =2时, 级数成为∑∞
=11
n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1
)1(n n , 此级数收敛.
因此级数∑
∞
=12n n
n
n
t 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算
设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区
间内有
加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .
乘法: )()(0
∑∑∞
=∞
=?n n n n n
n x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ? ? ? +(a 0b n +a 1b n -1+ ? ? ? +a n b 0)x n + ?
? ?
除法：
00
n
n
n n n n
n n n a x
c x b x
∞
∞
=∞
===∑∑∑
这里假定00b ≠。为了决定系数n c ，可以将
n
n n b x
∞
=∑与
n
n n c x
∞
=∑相乘，然后比较
与
n
n n a x
∞
=∑的同次幂项系数得出。
关于幂级数，有以下的重要性质
性质1 幂级数∑∞
=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.
如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续. 性质2 幂级数∑∞
=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式
∑
∑??∑?∞
=+∞
=∞
=+===0
1
000
01)()(n n n n x
n
n x
n n
n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
性质3 幂级数∑∞
=0
n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式
∑∑∑∞
=-∞=∞=='='='1
10
)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x | 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例6 求幂级数∑ ∞ =+0 11n n x n 的和函数. 解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设和函数为s (x ), 即∑∞ =+=0 11)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1. 在∑ ∞ =++=0 1 11)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞ =∞=+11)11( ])([0 01. 对上式从0到x 积分, 得 )1ln(11)(0x dx x x xs x --=-=? . 第一章 函数、极限、连续 教学要求 1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。 2.理解数列极限、函数极限的定义。 3.掌握极限的四则运算法则。 4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。理解无穷小的性质。 5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。熟练掌握两个重要极限求极限。 6.理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。 教学重点 函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 函数 一、函数的定义与性质 1.集合； 2.邻域； 3.常量与变量； 4.函数的定义； 5.函数的特性。 二、初等函数 1.反函数； 2.复合函数； 3.初等函数。 三、分段函数 一、 函数的定义与性质 1集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a 属于集 合A ，记作a A ∈, 元素a 不属于集合A, ,a A ? 2集合的表示法： 列举法 12{,, ,}n A a a a = 描述法 {}M x x =所具有的特征 3集合间的关系: 若,x A ∈则必,x B ∈就说A 是B 的子集,记做A B ?；若A B ?且A B,≠ A B 则称是的真子集；若A B ?且B A ?，则A B =。 4常见的数集 N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集 它们间关系: ,,.N Z Z Q Q R ??? 5例 {1,2}A =，2{320}C x x x =-+=，则A C = 不含任何元素的集合称为空集, 记作? 例如, 2 {,10}x x R x ∈+==? 规定 空集为任何集合的子集. 6运算 设A 、B 是两集合, 则 1) 并 A ?B ? {x ∣x ∈A 或x ∈B}; 2) 交 A ?B ?{x ∣x ∈A 且x ∈B} 3) 差“A \B” ?{x ∣x ∈A 且x ?B} 4) 补（余）?S/A ,其中S 为全集 5) 其运算律 (1) A ?B= B ?A , A ?B =B ?A (2)（A ?B )?C =A ?(B ?C) , (A ?B)= A ?(B ?C) (3)（A ?B ) ? C =(A ? C )?(B ? C) （A ? B ) ? C =(A ? C ) ? (B ? C) (4) (),()c C C c c c A B A B A B A B ?=??=? 注意A 与B 的直积A ?B ?{(x,y)∣x ∈A 且y ∈B} 例如：R ?R={(x,y)∣x ∈R 且y ∈R} 表示xoy 面上全体点的集合, R R ?常记为2 R 7邻域: 设a 与δ是两个实数且0δ>，称集合{}x a x a δδ-<<+为点a 的δ邻域。点a 叫做这邻域的中心，δ叫做这邻域的半径。记作(){}U a x a x a δδδ=-<<+ 点a 的去心δ邻域记做0 ()U a δ ，0(){0}U a x x a δδ=<-<。 注意：邻域总是开集。 8常量与变量: 在某个过程中变化着的量称为变量，保持不变状态的量称为常量, 注意：常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的. x δ δ 百以内数的认识（16课时） 教学内容： 实用数学十一册19页2、写数、读数④。 学情分析： 本班学生10人，张快脑瘫、行动不便，基本没有学习能力；王好癫痫，有简单的模仿能力，跟读能力较强，写字较困难；余佳佳唐氏综合症，高度近视，能跟读、写简单的数字；韩韦婷、杜凌华、田浩然三人有多动症，需要在老师的引导下完成一些简单的学习任务；漆维伊、田香玲、唐正家、张佳佳四人生活自理能力较强，有一定的学习能力，能完成一些基本的学习任务。 教学目标： 1、让学生学会写100以内的数。 2、培养学生数数的兴趣及合作能力。 教学重点： 1、让学生学会写100以内的数。 教学难点： 1、培养学生数数的兴趣和及合作能力。 教学方法： 讲授法、演示法、练习法、启发法。 教学准备： 电子课件、图片、练习本。 教学过程： 一、讲授新知。 二、巩固练习。 三、练一练。 四、课堂小结。 今天我们学习了写百以内的数，同学们都学得很认真。 五、课后作业。 课本20页1—3题。 教学反思： 通过本课的学习，班上少数学生会写一百以内的数。能认识计数单位“百”，了解几十几数是由几个十和几个一组成，知道个位、十位、百位以及这三个数位的顺序。但是大多数学生还需要多次练习，加强对知识的巩固。 百以内数的认识（17课时） 教学内容： 实用数学十一册20—21页2、写数、读数⑤。 学情分析： 本班学生10人，张快脑瘫、行动不便，基本没有学习能力；王好癫痫，有简单的模仿能力，跟读能力较强，写字较困难；余佳佳唐氏综合症，高度近视，能跟读、写简单的数字；韩韦婷、杜凌华、田浩然三人有多动症，需要在老师的引导下完成一些简单的学习任务；漆维伊、田香玲、唐正家、张佳佳四人生活自理能力较强，有一定的学习能力，能完成一些基本的学习任务。 教学目标： 1、让学生学会写100以内的数。 2、培养学生数数的兴趣及合作能力。 教学重点： 1、让学生学会写100以内的数。 教学难点： 1、培养学生数数的兴趣和及合作能力。 教学方法： 讲授法、演示法、练习法、启发法。 教学准备： 电子课件、图片、练习本。 教学过程： 一、讲授新知。 小学数学第十一册教案_六年级数学教案_模板 小学数学第十一册教案 点击浏览该文件 分数、百分数应用题整理和复习教学内容：九年义务教育六年制小学数学第十二册第84~87（苏教版）教学目的：1、通过复习使学生把稍复杂的分数和百分数应用题的有关知识系统化。2、使学生牢固掌握分数和百分数应用题的基本数量关系和解题方法。3、使学生能够比较灵活地运用这些知识正确解答稍复杂的分数、百分数应用题，提高学生独立解决实际问题的能力。4、培养学生认真审题和学会联系实际的良好学习习惯。教学重点：综合运用所学知识解答分数、百分数应用题教具准备：电脑、课件。教学过程：一、导入师：同学们，这节课让我们一起来对分数、百分数应用题进行整理和复习。（板书课题）二、复习运走一批货物的25%提问：看到这个带有分率的条件句，你知道了什么？你还能联想到什么？还有吗？三、新课教学1、教学例题（1）出示线段图水彩画：蜡笔画：师：看到这幅线段图你能提出哪些有关分数的问题？①蜡笔画比水彩画多几分之几？师：怎样列式？板书：（80－50）÷50=②水彩画比蜡笔画少几分之几？师：怎样列式？板书：（80－50）÷80=（2）归纳小结师：同学们提的这两个问题用一句话概括，它们都表示求什么？板书：求一个数比另一个数多或少几分之几。师：请同学们小结一下这样的题我们用什么方法解答？求一个数比另一个数多（或少）几分之几就是相差量除以单位“1”的量。2、教学较复杂的分数、百分数应用题。（1）用已知条件和问题编应用题。师：同学们，刚才我们已经复习了“求一个数比另一个数多（或少）几分之几”的题应该怎样解答，下面就让我们把求出的两个分率运用在实际中来练习一下吧！蜡笔画有80幅水彩画有50幅水彩画比蜡笔画少3/8 蜡笔画比水彩画多60%水彩画有多少幅？蜡笔画有多少幅？师：同学们请你从蓝、红两组条件中各选择一个条件，配上一个合适的问题，编出4道不同的分数应用题，并说说它们应该怎样列式解答？（小组讨论）学生编，屏幕显示：①蜡笔画有80幅，水彩画比蜡笔画少3/8，水彩画有多少幅？②水彩画有50幅，蜡笔画比水彩画多60%，蜡笔画有多少幅？③蜡笔画有80幅，蜡笔画比水彩画多60%，水彩画有多少幅？④水彩画有50幅，水彩画比蜡笔画少3/8，蜡笔画有多少幅？（2）对比4道应用题。师：同学们请你观察一下①、②两道题，它们都是用什么方法解答的？为什么？生：它们都用乘法解答，因为它们都表示已知一个数求它的几分之几是多少？（板书）师：③、④两道题又有什么共同点呢？生：它们都表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数。都用除法解答。（板书）师：这两道用除法解答的题你还可以用什么方法解答？（请学生口述方程解法）师：同学们，这4道题中有分数应用题，也有百分数应用题，它们有什么相同点和不同点？四、练习1、请学生完成练习纸上的题。（集体订正）蔬菜商店运来黄瓜210千克，运来的西红柿占黄瓜重量的2/3，运来西红柿多少千克？学校合唱队有39人，是舞蹈队人数的3/5，舞蹈队有多少人？六（1）班男生有15人，男生与女生人数的比是4：5，女生有多少人？五、巩固练习1、翻版游戏。师：同学们，你想知道翻版的背面是什么吗？请你为每张翻版上的题列出算式。1234（1）仓库里有15吨钢材。第一次用去总数的20%，第二次用去总数的1/2，还剩多少吨钢材？（2）仓库里有15吨钢材，第一次用去总数的20%，第二次用去1/2吨。还剩多少吨钢材？（3）光明制鞋厂四月份实际生产鞋26000双，实际比计划多生产1300双。实际完成了计划的百分之几？（4）某体操队 一年级下学期数学 教学计划 全册教学理念：让不同的孩子在数学上得到不同的发展。 全册教学内容：新人教版小学数学第二册 全册教材分析： 本册教材一共分为十个单元，包括下面一些内容：认识图形， 20以内的退位减法，分类与整理，100 以内数的认识，摆一摆、想一想，认识人民币， 100 以内的加法和减法（一），找规律。数学实践活动。本册的教学重点是 100 以内数的认识和 100 以内的加减法口算。在学生掌握了 20 以内各数的基础上，这册教材把认数的范围扩大到 100 ，使学生初步理解数位的概念，学会 100 以内数的读法和写法，弄清 100 以内数的组成和大小，会用这些数来表达和交流，形成初步的数感。100以内的加减法，分为口算和笔算两部分。同时，教材结合计算教学，安排了应用所学计算知识解决问题的内容，让学生了解所学知识的实际应用，学习解决现实生活中的相关计算问题，培养学生用数学解决问题的能力。 教育教养目标： 1、认识计数单位“一”和“十”，初步理解个位、十位上数表示的意义，能够熟练地数100 以内的数，会读写 100 以内的数，掌握 100 以内的数是由几个十和几个一组的，掌握100 以内数的顺序，会比较 100 以内数的大小。会用 100 以内的数表示日常生活中的事物，并会进行简单的估计和交流 2、能够比较熟练地计算 20 以内的退位减法，会计算 100 以内两位数加、减一位数和整十数，经历与他人交流各自算法的过程，会用加减法计算知识解决一些简单的实际问题。 3、经历从生活中发现并提出问题、解决问题的过程，体验数学与日常生活的密切联系，感受数学在日常生活中的作用。 4、会用上、下、前、后、左、右描述物体的位置，能用自己的语言描述长方形、正方形的物征，初步感知所学的图形之间的关系。 5、认识人民币单位元、角、分，知道 1 元=10 角， 1 角=10 分：知道爱护人民币。 《高等数学》授课教案 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数???-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，， 四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。 (1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求== 例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+= 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则] 第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3 的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数a x是单调增加的。若0 第一单元位置 教学目标： 1．在具体的情境中，探索确定位置的方法，能用数对表示物体的位置。 2. 使学生能在方格纸上用数对确定位置。 教学重点：能用数对表示物体的位置。 教学难点：能用数对表示物体的位置，正确区分列和行的顺序。 一、导入 1、我们全班有53名同学，但大部分的同学老师都不认识，如果我要请你们当中的某一位 同学发言，你们能帮我想想要如何表示才能既简单又准确吗？ 2、学生各抒己见，讨论出用“第几列第几行”的方法来表述。 二、新授 1、教学例1 （1）如果老师用第二列第三行来表示××同学的位置，那么你也能用这样的方法来表示其他同学的位置吗？ （2）学生练习用这样的方法来表示其他同学的位置。（注意强调先说列后说行） （3）教学写法：××同学的位置在第二列第三行，我们可以这样表示：（2，3）。按照这样的方法，你能写出自己所在的位置吗？（学生把自己的位置写在练习本上，指名回答）2、小结例1： （1）确定一个同学的位置，用了几个数据？（2个） （2）我们习惯先说列，后说行，所以第一个数据表示列，第二个数据表示行。如果这两个数据的顺序不同，那么表示的位置也就不同。 3、练习： （1）教师念出班上某个同学的名字，同学们在练习本上写出他的准确位置。 （2）生活中还有哪里时候需要确定位置，说说它们确定位置的方法。 4、教学例2 （1）我们刚刚已经懂得如果表示班上同学所在的位置。现在我们一起来看看在这样的一张示意图上（出示示意图），如何表示出图上的场馆所在的位置。 （2）依照例1的方法，全班一起讨论说出如何表示大门的位置。（3，0） （3）同桌讨论说出其他场馆所在的位置，并指名回答。 （4）学生根据书上所给的数据，在图上标出“飞禽馆”“猩猩馆”“狮虎山”的位置。（投影讲评） 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 北师大版数学11册《比的化简》教学设计与反思 一、内容简析 《比的化简》是北师大版实验教材第十一册第四单元第二节的内容。在此之前，学生已学习了比的认识,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是比的化简部分，因此，在本章中有承上启下的作用。 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生：自主探究，合作交流。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标： 知识与能力目标 1、在实际情境中体会化简比的必要性，进一步体会比的含义。 2、会运用商不变的性质或分数的基本性质化简比，并能解决一 些简单的实际问题。 3、通过对问题的探究，培养学生自主探索问题的能力、发散性 思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力； 过程与方法目标 1、经历比的基本性质的探索过程，引导学生初步认识从“特殊”到“一般”的规律，将未知转化为已知，合理运用归纳思想、整体思想，发展学生的逆向思维，渗透探索问题的思想与方法。 2、在形成猜想与作出决策的过程中，形成解决问题的一些基本 策略，发展实践能力。 情感态度与价值观目标： 1、本节课突出学生的主体地位，让学生高高兴兴地进入数学世界，在探索中激发兴趣，从发祥地中寻找快乐。 2、由旧知识引入新知识，培养学生应用数学的意识，并激发学 生学习数学的兴趣。 3、通过由旧到新、由新到旧的训练发展学生主动探索，合作交流的意识。 三、教学重点、难点、关键 重点：比的化简的方法。通过同学们自主探究，突出重点 难点：运用比的化简，解决一些简单的实际问题。 四、本节课采用的主要教法 数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，《新课标》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。本节课有分数的基本性质作为基础，我采用自主探究，合作交流的教学方法。注重学生在自主探索，合作交流中的知识建构。采用小组合 浙教版小学六年级数学教案（第十一册）（第十二册）一、全册教学内容及教时安排（以单元为单位） （一）百分数（9 课时） 1．百分数的意义和写法２课时 2．百分数和分数、小数的互化２课时 3．百分数的应用4课时 4．整理和复习1课时（二）分数乘法（18 课时） 1．分数的乘法12课时 2．分数(百分数)乘法应用题4课时 3．整理和复习2课时（三）分数除法（21 课时） 1．分数除以整数2课时 2．一个数除以分数13课时 3．分数(百分数)除法应用题3课时 4．复习3课时（四）分数、小数四则混合运算和应用题（20课时） 1．四则混合运算6课时 2．应用题11课时 3．复习和整理3课时（五）圆的周长和面积(9课时) 1.圆的认识1课时 2.圆的周长2课时 3.圆的面积5课时 4.复习1课时 (六)总复习（5 课时） 合计大约83课时 二、教材分析： 本册教材包括百分数、分数乘法、分数除法、分数四则混合运算和应用题、圆、总复习等。 第一单元百分数 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，它与分数既有联系又有区别。百分数通常只表示两个数量的比。把它单独编一单元，可以加强学生对百分数的意义的认识，更好地掌握它的实际应用。为以后学习较复杂的百分数知识打好基础。 重点：百分数的意义，求一个数是另一个数的百分之几的应用题。 难点：求一个数是另一个数的百分之几的应用题。求一个数比另一个数多(少)百分之几的应用题 关键：通过实例，讲清百分数的意义。 第二单元分数乘法 本单元教材是在学生掌握了整数乘法，分数的意义、性质，以及分数加、减法的计算等知识的基础上进行教学的。利用本单元所学知识不仅可以解决有关的实际问题，而且也是后面学习分数除法，分数四则混合运算和应用题以及百分数的重要基础。 重点：分数乘法意义和计算法则。 第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： 第十一册第一单元教学计划 教学内容:第1～2页内容。 教学目的：使学生理解分数乘以整数的意义，在理解算理的基础上掌握分数乘以整数的计算法则，并能正确运用“先约分再相乘”的方法进行计算。 教学过程： 一、复习。 １、５个１２是多少？ 用加法算：12＋12＋12＋12＋12 用乘法算：12×5 问:12×5算式的意义是什么？被乘数和乘数各表示什么？ ２、计算： =++636261 =++10 3103103 问:103 103103++有什么特点?应该怎样计算? ３、小结： （１） 整数乘法的意义，就是求几个相同加数的和的简便运算。被乘数表示相 同的加数，乘数表示相同的加数的个数 。 （２） 同分母分数加法计算法则是分子相加作分子，分母不变。 二、新授 教学例１。 出示例１：小新爸爸、妈妈一起吃一块蛋糕，每人吃92 块，３人一共吃多少块？ 用加法算：3 29 69 2229 29 29 2==++=++（块） 用乘法算：32 969329222929292392==?=++=++=? (块) 问：这里为什么用乘法？乘数表示什么意思？ 得出：分数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同， 都是求几个相同的和的简便运算。学生齐读一遍。 练习：说一说下面式子各表示什么意思？（做一做第３题。） 问：那么分数乘以整数方法应该是怎样算？（通过观察例１，得出分数乘以整数 的计算法则） 三、巩固练习。 １．第２页做一做。 ２．练习一 353?35 3 ?53教学内容：教科书第４～６页，练习二第１～４题。 教学目的： １、使学生理解一个数乘以分数的意义，学会分数乘以分数的计算方法。 ２、通过操作、观察培养学生的推理能力，发展学生的思维。 教具准备：第４页例２的插图。长方形纸。 教学过程： 一、复习。 １．计算下列各题并说出计算方法。 ２．上面各题都是分数乘以整数，说一说分数乘以整数的意义。 二、新课。 引入：这节课我们来学习一人数乘以分数的意义和计算方法。（板书课题：一个数乘以分数） １．理解一个数乘以分数的意义。 （１）第一幅图：一瓶桔汁重千克，３瓶重多少千克？怎样列式？ 指名列式，板书： 问： 表示什么意思？指名回答，板书：求３个或求 的３倍。 （２）出示第二幅图：一瓶桔汁重 千克，半瓶重多少千克？怎样列式？怎样表示半瓶？ 指名回答：半瓶用 表示；式子为： 。 说明： 是求 的一半是多少，也就是求 的 是多少。板书：求 的 。 （３）出示第三幅图：一瓶桔汁重 千克， 瓶重多少千克？怎样列式？ 指名回答，板书： ，问： 表示什么意思？指名回答，板书：求 的 。 ２．引导学生小结。 ①．指出三个算式都是分数乘法，比较三个算式的不同点： 第一个算式与第二、三个算式中乘数有什么不同？ 想一想：第一个算式与第二、三个算式中乘法的意义有没有不同。有什么不同？ 引导学生得出：分数乘以整数的意义和整数乘法的意义相同；而一个数乘以分数的意义是求这个数的几分之几是多少。 学生齐读课本的结语。 练习： ．课本的做一做１、２题。 ．说一说下列算式的意义。 ３．理解分数乘以分数的计算方法。 （１）出示例３（先出示第一个问题）。 问：你根据什么列出式子？ 得出：根据 “工作效率×工作时间＝工作总量”列出式子： 。 问：如果我们用一个长方形表示１公顷，那么 公顷怎样表示？ 学生回答后，教师出示例３的图（１） 273?185?510 1?5 3535 3 212153?2153? 53532153215332 3253?3 253?5332438? 5 375?5121?2 1 1 1 第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §4 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21. 第一单元：分数乘法 第一课时:分数乘以整数 教学内容：第1～2页，例1及“做一做”，练习一1-7题。 教学目的： （1）使学生理解分数乘整数的意义，掌握分数乘整数的计算方法。 （2）使学生能够应用分数乘整数的计算法则，比较熟练地进行计算。 （3）通过观察比较，培养学生的抽象概括能力。 （4）引导学生探求知识的内在联系，激发学生学习兴趣。 （5）通过演示，使学生感悟到数学知识的魅力，领略到美。 学法引导：（1）通过演示，使学生初步感悟算理。 （2）指导学生通过体验，归纳分数乘整数的计算法则。 教学重、难点：（1）使学生理解分数乘整数的意义，掌握分数乘整数的计算方法。 （2）引导学生总结分数乘整数的计算法则。 教具准备：卡片、图片。 教学过程： （一）铺垫孕伏 1.出示复习题。（投影片） （1）整数乘法的意义是什么？ （2）列式并说出算式中的被乘数、乘数各表示什么？ 5个12是多少？ 9个11是多少？ 8个6是多少？ （3）计算： =++636261 =++10 3103103 计算10 3103103++时向学生提问：这道题的什么特点？计算时把什么做分子？使学生看到三个加数都相同，计算时3个3连加的结果做分子，分母不变。 2.引出课题。 分数加法是否也有简便算法？今天我们学习分数乘法。（板书课题：分数乘整数） （二）探究新知。 1.教学分数乘整数的意义。 出示例1，指名读题。 （1）分析演示： 师：每人吃9 2块蛋糕，每人吃的够一块吗？（不够一块）接着出示如课本的三个扇形图。问：一个人吃了 92块，三个人吃了几个92块？使学生从图中看到三个人吃了3个92块。让学生用以前学过的知识解答3个人一共吃了多少块？（教师在3个扇形下面画出大括号并标出？块）订正时教师板书：92＋92＋92=9222++=96=3 2（块），（教师将3个双层扇形图片拼成一个一块蛋糕的 3 2图片） （2）观察引导： 这道题3个加数有什么特点？使学生看到3个加数的分数相同。教师问：求三个相同分数的和怎样列式比较简便呢？引导学生列出乘法算式。教师板书：39 2?。再启发学生说出39 2?表示求3个92相加的和。 （3）比较39 2?和12×5两种算式异同： 提示：从两算式表示的意义和两算式的特点进行比较。（让学生展开讨论）。 通过讨论使学生得出： 相同点：两个算式表示的意义相同。 不同点：39 2?是分数乘整数，12×5是整数乘整数。 第一章函数 函数是积分的主要研究对象，后边关于微积分性质的研究都是对函数性质的研究。本章首先引入集合，然后研究两个实数集合之间的一种对应关系——函数关系，并介绍函数的基本性质和常见的初等函数。 §1.1 集合 一、概念 集合是具有某种属性的事物的全体，或者说是一些确定对象的汇总。构成集合的事物或对象，称为集合的元素。 举例： 有限集合：由有限个元素构成的集合。 无限集合：由无限个元素构成的集合。 集合通常用大写字母A、B、C、X、Y等表示。元素由小写字母a、b、c、x、y等表示。如果a是集合A的元素，记作a∈A；否则记作a?A。 二、表示方法 1、列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号“｛ ｝”括起来。如：A =｛a，b，c，d｝ 即列出集合中所有元素，不计较顺序，但不能遗漏和重复。 2、描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a 构成的集合，记为A =｛a∣P(a)｝。如：A =｛x∣x2－5x＋6＝0｝ 即把集合中元素所具有的某个共同属性描述出来，用｛a∣a具有的共同属性｝。 3、文氏图：可以表示集合以及集合间的关系。 三、全集与空集 由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为U。全集是相对的。 不包含任何元素的集合称为空集，记为Φ。 四、子集 1、定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，即“如果a∈A，则 a∈B”，则称A为B的子集。记为A?B或B?A。 如果A?B成立，且B中确有元素不属于A，则称A为B的真子集。记作A?B或B?A。 2、定义：设有集合A和B，如果A?B且B?A，则称A与B相等。 结论：（1）A?A，即“集合A是其自己的子集”； （2）Φ?A，即“空集是任意集合的子集”； （3）若A?B，B?C，则A?C，即“集合的包含关系具有传递性”。 五、集合的运算 1、定义：设有集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合，称为A和B 的并，记为A∪B。即A∪B =｛x∣x∈A或x∈B｝。 性质：（1）A?A∪B，B?A∪B； （2）A∪Φ = A，A∪U = U，A∪A = A。 2、定义：设有集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的集合，称为A 与B的交，记为A∩B。即A∩B =｛x∣x∈A且x∈B｝。 性质：（1）A∩B?A，A∩B?B； （2）A∩Φ =Φ，A∩U = A，A∩A = A。 3、定义：设有集合A和B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合，称为A与B的差，记为A－B。即A－B =｛x∣x∈A且x ? B｝。 4、定义：全集中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为A。即A=｛x∣x∈U且x ? A｝。 性质：A∪A =U，A∩A=Φ。 习题7、8： 一年级下学期数学学期教案 全册教学理念：让不同的孩子在数学上得到不同的发展。 全册教学内容：新人教版小学数学第二册 全册教材分析： 本册教材一共分为十个单元，包括下面一些内容：认识图形， 20以内的退位减法，分类与整理，100 以内数的认识，摆一摆、想一想，认识人民币， 100 以内的加法和减法（一），找规律。数学实践活动。本册的教学重点是 100 以内数的认识和 100 以内的加减法口算。在学生掌握了 20 以内各数的基础上，这册教材把认数的范围扩大到 100 ，使学生初步理解数位的概念，学会 100 以内数的读法和写法，弄清 100 以内数的组成和大小，会用这些数来表达和交流，形成初步的数感。100以内的加减法，分为口算和笔算两部分。同时，教材结合计算教学，安排了应用所学计算知识解决问题的内容，让学生了解所学知识的实际应用，学习解决现实生活中的相关计算问题，培养学生用数学解决问题的能力。 教育教养目标： 1、认识计数单位“一”和“十”，初步理解个位、十位上数表示的意义，能够熟练地数 100 以内的数，会读写 100 以内的数，掌握 100 以内的数是由几个十和几个一组的，掌握 100 以内数的顺序，会比较 100 以内数的大小。会用 100 以内的数表示日常生活中的事物，并会进行简单的估计和交流 2、能够比较熟练地计算 20 以内的退位减法，会计算 100 以内两位数加、减一位数和整十数，经历与他人交流各自算法的过程，会用加减法计算知识解决一些简单的实际问题。 3、经历从生活中发现并提出问题、解决问题的过程，体验数学与日常生活的密切联系，感受数学在日常生活中的作用。 4、会用上、下、前、后、左、右描述物体的位置，能用自己的语言描述长方形、正方形的物征，初步感知所学的图形之间的关系。 5、认识人民币单位元、角、分，知道 1 元=10 角， 1 角=10 分：知道爱护人民币。 6、会读、写几时几分，知道 1 时=60 分，知道珍惜时间。 对新课标体会： 随着新课改的实施，基础教育的课程环境得到了极大的改善。数学成为开发儿童潜能的重要工具，动手实践、自主探索、合作交流成为数学主要的学习方式，情感、态度、价值观已成为数学教学的重要目标，这一切使数学课堂教学发生了深刻的变化。下面结合自己的学习和工作实践，就新课标下小学数学课堂教学谈几点体会。 一、教师精心创设生活化情境，激发学生的学习兴趣。 与旧课程不同的是：新课程更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。在教学中我们要善于从学生的生活中抽象数学问题，从学生的已有生活经验出发，设计学生感兴趣的生活素材以丰富多彩的形式展现给学生，使学生感受到数学与生活的联系——数学无处不在，生活处处有数学。因此，通过学生所了解、熟悉的生活实际问题，为学生创设生动活泼的探究知识的情境，从而充分调动学生学习数学知识的积极性，激发学生的学习兴趣。 二、教师注重让学生经历数学知识的形成过程。 旧教材中这一点就强调的很少，新课程中知识的形成过程是在“动手实践”，“自主探索”，“合作交流”中让学生自己动脑、动手、动口完成的，因此我们可以在课堂上开展一些数学游戏，力求引导学生能在这些有趣的数学活动中逐步理解并掌握知识的来龙去脉。同时我们还注意到课本中每一章的新知识的引入也是以大量生动活泼的，或是贴近学生生活背景的事件作为引题引入的，这样大大激发了学生的好奇心和求知欲望。例如：在学习“分数”的这一节课时，我们就是通过生活中“分东西”引入分数的，使学生觉得很自然亲切，很快就接受了新的知识。当学生在他们心理愉悦的情况下掌握了新的知识，那么就会使他们能更好地理解数学知识的意义，从而使学生真正能体会到数学的价值，增强他们用数学的意识。 三、教师重视学生解决问题能力的培养，把解决问题与数学知识的学习融为一体。 解决问题能力的培养贯穿在小学数学教学过程的始终。目前各套教材的编写也体现了这种思路。一方面，各领域知识的学习都尽量从现实情境引入，目的是让学生在学习数学知识的同时，经历解决问题的过程，提高解决问题的能力；另一方面，又适当地设置了专门单元，对学生进行较集中的解决问题能力的培养与训练。 四、教师努力构建对话式的互动的课堂。 实施新课程以来，从大大小小的公开课来看，教师都精心设计生生、师生多重对话方式，让教学活动在平等、和谐的人际交往中进行。在平时的教学中，我们也处处可以听到“你们想听听老师的想法吗？”“你还想说什么吗？”这样的语言，充分体现出师生平等的地位，体现出教师对学生的尊重。这样的课堂，不再是单纯的“施予者”，学生也不再是单纯的“接受者”，教师与学生都是教学的主体，他们互相影响，互相分享经验与智慧，共同成长。 五、学生自主探索，合作交流，享受成功。 传统的教学模式是一种教师讲、学生听的灌输式做法，现在教师都在努力改变学生处于被动接受知识的局面，摒弃传统的数学学习单纯地依赖模仿与记忆的单调的学习方式，组织学生开展动手实践、自主探索、合作交流等多种形式的学习活动，从而形成学生对自己学习高职高专高等数学第一章教案
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