量子力学第七章
第七章 近似方法
7.1 粒子处于宽度为a 的一维无限深势阱中，若加进微扰
???
???
?≤≤+≤
≤-='a x a
b a
x b H 2
2
0?当当
计算粒子的能量和波函数的一级修正值。
解 （1）能量的一级修正公式为
τ??d H E n
n n 00'?*
'=? 代入
a
x n a n π?sin
20=
???
????
≤≤+≤≤-='a x a b a x b H 220?当当
得 'n E xdx a n a b xdx a n a b a a a ππ220sin 2sin 22
??+-
= 2
cos sin 212a
a x n x a n x a n n a a
b ??????-??-=ππππ a
a a x n x a n x a n n a a
b 2
cos sin 212??????-??+ππππ
02
2122212=???+???-
=ππππn n a a b n n a a b 可见能量的一级修正为零。
（2）波函数的一级修正为
0'''k
kn k
n A ψψ∑=
90 式中 00'
000*0'?k
n kn k
n n
k kn
E E H E E d H A
-≡-'=
?τψψ 注意到 2
2
2202ma n E n
π=， a
x n a n πψsin
20
= ???
????
≤≤+≤≤-='a x a b a x b H 220?当当
∴ )(2222222
k
n H n ma A kn kn -'=' π
其中 dx H
H n
k a
kn
0*00
?ψψ'='?
dx a x k a x n a b dx a x k a x n a b a a a ππππsin sin 2sin sin 22
0??+=
dx a
x n k a b dx a x n k a b dx
a
x n k a b dx a x n k a b a a a a a a ππππ)cos()cos()cos()cos(222
200+--+++--=????
2
)
sin()(2)sin()(2
)
sin()(2)sin()(π
πππππππn k n k b n k n k b n k n k b n k n k b +++--+++---=
]2
)sin()(12)sin()(1[2π
πππn k n k n k n k b ---++=
∴ 2)sin()(1[
1422222π
π
πn k n k k n b ma A kn ++-?='
91
)(]
2
)sin()(1n k n k n k ≠---
π
π
∴ ?-='∑≠a x
k k n a b ma n k n ππψsin )(12422222
]2
)sin()(12)sin()(1[
π
πππn k n k n k n k ---++? 其中当n k +及n k -为偶数时为零。
7.2 实际原子核不是一个点电荷，可近似地认为是一个均匀分布、半径为0r 的球体。由电动力学可知，核电荷为eZ 的原子核产生的电势为
???????><-=0020
2
0,),223()(r r r
Ze
r r r r r Ze r ?
试计算这种非点电荷效应对原子基态1s 的能级修正。
提示：非点电荷效应相当于加进微扰
??
???><+--='00
22020,0,)223(?r r r r r Ze r r r Ze H
解 根据电动力学，当0r r >时，即在荷电小球外处，势能分布情况和点电荷所产生的势能分布一样，在0r r <处，势能为
)223(20
2
0r r r Ze -- 因此，微扰势能可以写成
??
???><+--='00
22020,0,)223(?r r r r r Ze r r r Ze H
92 上式中
r Ze
的出现是因为把核看作点电荷时考虑了这项，故应减去它。
类氢原子处于基态时一级能量修正为 τψψd H H E 100*10011)1(1?'='=? ，
注意到
01a Z a =，2
2
0e
a μ =是玻尔第一轨道半径，于是 ?∞-???
?????+???? ??--?=0
2
2202202/23
)1(1
22341dr r r Ze r r r Ze e a E a
r ππ， 为了计算方便，作一些近似：
cm r 12010~-， cm a 801058.0-?=
对于最大的100~Z ，有
2
8
122010~10
10102~22---??=a Zr a r 故近似可取1~2a
r
e
-，于是 ?∞????????+???? ??--=02
22022
23)
1(12234dr r r Ze r r r Ze a E ?
?????+?+??-=25232342
0250202302023r Ze r r Ze r r Ze a
3
20
2432025252a r e Z a r Ze ?=?= 故基态能量为
3
2022
)
1(1)0(11522a r Ze a Ze E E E ?+-=+= ??
?????-=???????--=2020
2022220254125412a r Z a e Z a r a Ze
93
7.3 用微扰法计算一维谐振子受2?x H
β='微扰引起的能级一级修正。
解 解法I
?
∞
∞
-'=
'dx H E n n n 0*?ψψ ?
∞
∞
--=dx x H e x N
n x n
)(2
222
2αβα
?
∞
∞
--=
ξξξαβξd H e N n n
)(2
23
2
2
利用厄密多项式递推公式： )()(21
)(11ξξξξ-++=
n n n nH H H )()1()()2
1
()(41)(222ξξξξξ-+-+++=n n n n H n n H n H H
于是
?∞∞-+-='ξξξαβξd H H e N E n n n n )()(4
1[232
2
?
∞
∞
--++ξξξξd H H e n n n )()()2
1
(2
?
∞
∞
----+ξξξξd H H e
n n n )()()
1(22
?∞∞--+=ξξξαβξd H H e N n n n n )()()21(2
2232
?∞∞-+=dx x x n n n )()()21(*
3ψψαβ
)21
()21(3+=
+=n n μωβα
β 其中用了厄密多项式正交性和波函数)(x n ψ的归一化条件。
解法II
22220
2
2???x x p H H H βωμμ++='+=
94 2
22)2(22x p μ
βωμμ++=
设p p '→
222ωμβω'→+
， 则 2222
2?x p H ωμμ'+'= 谐振子的能量应为
μ
β
ωω2)2
1()21(2+
+='+= n n E n
2
21)2
1(μωβ
ω++= n
而 ++
=+
=22121μωβ
μωβ
∴
++++=μω
βω)
21()21(n n E 第一项是未受微扰的能量，第二项就是能量的一级修正。
7.4 求在均匀磁场z e B 0=B 中原子能级的一级修正。不考虑电子的自旋磁矩。
提示：由磁场B 引起的微扰='H ??M -B =μ2e ?L B =B L e z
μ
2 解 设磁场强度为H ，方向沿z 方向，即
0==y x H H ， H H =z 这个磁场可用下列矢势和标势表示：
?????
===-=0
,
2
1
,
2
1?x x A A A x y y H H
95
电荷为e -的粒子在电磁场中的哈密顿算符
)()(21?2r U e A c
e p H
+-+=?μ
)(2222
2222r U A c
e c ie c ie ++??-??-?-=μμμμA A 式中 0=??+??+??=??z
A y A x A z
y x A ，
)(2x
y y x z A y A x A z y x ??-??=??+??+??=??H A
)(4
2
22
2
2
2
y x A A A A z y x +=++=H 因而
H c
ie H μμ -?-=22
2?228)(c e x y y x μ+??-??)()(222r U y x ++H ， 薛定谔方程是
ψψE H
=? 即 c
ie μψμ2222H
-
?-+??-??ψ)(x y y x 2
28c
e μψψψE r U y x =++)()(2
22H （1） 式中 z L x
y y x i ?)(=??-??- 含2
H 项可忽略，于是薛定谔方程化为
ψψμψψμE L c
eH r U z =++?-?
2)(222 （1）
外场不存在时薛定谔方程是
96 ψψψμ
E r U =+?-)(32
2 （2）
它的解是
),()(?θψlm nl nlm Y r R =， （3）
即 nlm nl nlm nlm E r U ψψψμ
=+?-)(22
2 （4）
当外场存在时，由于nlm
ψ也是z
L
?的本征函数： nlm
nlm z m L ψψ =? （5） 所以，n l m ψ也是（1）式的解：
nlm
nlm r U ψψμ
)(22
2+?- nlm nlm z E L c e ψψμ=?2H 注意到（4）、（5）式有
nlm nlm nlm nl E m c
e E ψψμψ=+
2H
故 H m c
e E E nl nlm μ2
+= 对碱金属而言，磁场不存在时能级对m 而言是简并的，当加
上外磁场后，由于轨道磁矩与外磁场耦合而产生附加能量，这时总能量与m 有关，原来重迭的能级现在分裂了，简并解除了，这就是简单的塞曼效应。
7.5 一体系在能量表象中哈密顿算符为矩阵
???
?????++='a E b b a E H )
0(2)0(1? 其中)0(1E 和)
0(2E 分别为未受微扰时的两个能级，b a ,均为实数。
求：
（1）用微扰公式，求能量至二级修正值； （2）直接求能量，并将结果与（1）比较。
解 （1） H H H '+=???0
λ
97
dx H
H n m mn )0(*)0(?ψψ?
= dx H H n
m
)0(*)0()??(ψλψ
'+=? m n m n n H E '+=λδ0
已知在能量表象中
???? ??+???? ??=???? ?
?++=a b b a E E a E b b a E H 0201
020100 可见 a H ='11λ ， a H ='22λ b H ='12λ ， b H ='21λ
准确到二级时按微扰公式： 002
2
n
m mn
m
n mm m m E E H H E E -'+'+=∑
≠λ
λ
1=m 时 001
211
2
1101
1n
n
n E
E H H E E -'+'+=∑
≠λ
λ
02
012
1
E E b a E -++=
2=m 时 0
022
22
2
220
22n
n
n E E H H E E -'+'+=∑
≠λ
λ
1
022
02
E E b a E -++= （2）为了直接在能量表象中求解本征方程，设H
?的本征矢为???
?
??βα，本征值为E ，则本征方程为 ???? ?
?++a E b b a E 0201???? ??=???? ??βαβαE 即
98 ???
? ??-+-+E a E b b E a E 02010=???
?
??βα 非零解的条件是
00
2
01=-+-+E
a E b
b E
a E
即 0))((2
0201=--+-+b E a E E a E 或 0)()())((2202010201=-++-+-++b E a E E a E E a E a E ∴ 0}))({()2(2020102012=-+++++-b a E a E a E E E E
上式是关于E 的二次方程，其解为 24))((4)2()2(2
02
01202010201b a E a E a E E a E E E +++-++±++=
而2
020*******))((4)2(b a E a E a E E +++-++
2
202
010201020102012202201444444424b a a E a E E E a E a E E E a E E +----+++++=2
20201020122022014)(24b E E E E b E E +-=-++=
??
????+??? ??-+-=??? ??-+-= 2202010
201020102012211)(21)(E E b E E E E b E E
+-+-=02
012
02
01
2E E b E E
∴ 2
)
2()2(02
012
02
01
02
1
+-+-±++=
E E b E E a E E E 故 ???
?
???-++=-++=01022
0220
20120
11E E b a E E E E b a E E
99
与微扰公式求得的结果一致。
7.6 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子，受一均匀微弱外电场E 作用，用微扰法求转子基态能量的一级修正。
解 转子是粒子在中心场中运动的特例，它是约束在球面上
运动的体系，对于这样的体系，=V 常数，因而势能=
=)()(0r V r V 常数=0，（为了方便取为零），并且H
?中不含r
??项，这时体系的哈密顿为
]sin 1)(sin sin 1[12?22
22020?
θθθθθμ??+????-=r H 因此定态薛定谔方程为
0000
?ψψE H = 令转子转动惯量 20r I μ=， 则得
002?21ψψE L I
= 故本征函数0
?是球函数，本征值是
02)1(21
l E l l I
=+ 以上是未受微扰的定态波函数和定态能级。
对于基态，能级是非简并的，其波函数为
π
ψ41000=
=Y
定态能级为 000=E
加进外场E 后，若选取E 的方向为球极坐标的极轴方向，则微扰算符为
θcos ?E D H
-=?-='E D 式中θ是转子的轴（平行于D ）与场E 之间的夹角。
现在我们来计算从基态)0,0(跃迁到激发态),(m l 的微扰矩阵元。
ΩΩd Y d Y d Y H Y H lm lm lm 00*
00*00,)cos (?θE -='='??
100 π
4100=
Y ， θπ
cos 43
10=
Y ∴ 10003
1cos Y Y =
θ
于是 Ωd Y Y D H lm lm 00*
00,3
1?-
='E
利用球谐函数的正交归一性
0110*m l lm d Y Y δδ=?
Ω
∴ E D H lm 3
100,-
='01m l δδ
可见除E D H 3
100,10-
='外，其余矩阵元皆为零。由于这个矩阵元
是非对角的，故能级的一级修正为零，即 000)1(0='=H E
能量的二级修正为
)0(1)0(02
00
,10)0()0(02
00
,0
)2(0E E H E E H E l lm l -'=-'=∑
≠ 2222
3)(0)3
1( E E D I I
D -=-
-=
7.7 一电荷为e -，质量为μ的各向同性二维振子（频率
1ω=ωω=2）处于沿z 方向的恒定均匀弱磁场z B e 0=B 中，求：
（1）基态能量至二级修正；
（2）第一激发态能量的一级修正； （3）零级近似波函数。
提示：同第7.4题，)(2)(2?x
y y
x eB i L eB H z
??-??-=='μ
μ
101
解 谐振子基态波函数2
2
2
21
)(
)(0x e
a
x απ
ψ-=，第一激发态
波函数2
2
2212)2()(x xe x ααπ
αψ-=，
μω
α= 。
二维谐振子体系
)(2
12??22220y x p H ++=μωμ 加入磁场后
)(2
1)?(21?2222y x c e H
++=μωμA p 略去B 的二次项（弱磁场近似）后
H H y x L c eB p H z '+=+++=??)(2
1?22??022220μωμμ （1）至二级修正的基态能量
基态能量的一级修正
0?00*00)
1(0='=
?
dxdy H E ψψ
基态能量的二级修正
0)0()
0(02
0'
)2(0=-'=∑l
l
l
E E H E
因为其中
0)()()??(2)
()(00*
2*1=-='?dxdy y x p y p x c
eB
y x H x y l l ol ψψμψψ 基态能量至二级修正
ωωω 22
3
212=+=
'E （2）第一激发态
波函数 )()(1001y x ψψψ=， )()(0110y x ψψψ=
能量 ωωω 22
3
21)0(1
=+=
E
102 是二重简并的，令
011ψ?=， 102ψ?=
0?1*111='='?dxdy H H ??
0?2
*222='='?dxdy H H ?? c
ieB dxdy H H μ??2?2*112
=
'='? c
ieB dxdy H H μ??2?1
*221 -='='? 由久期方程
0)1(1
2221
12)
1(1
11=-'''-'E
H H H E H
求得第一激发态的能量修正
c eB E μ2)
1(1
±
= 故 c
eB c eB E E μωμ222)0(11 +=+=
和 c
eB c eB E E μωμ222)0(11 -=-='
（3）波函数的零级近似 将c
eB E μ2)
1(1 =
和求出H
'?的矩阵元代入下式 0)()0()1(12
1
=-'∑
=i li li i C E H δ
1=l )
0(2)0(1iC C -= 2=l )0(2
)0(1iC C -= 得零级近似波函数
103
)(2
12101??ψi +=
当c
eB E μ2)
1(1
-
=时，同理可得 1=l )
0(2
)0(1iC C = 2=l )
0(2
)0(1iC C = 得零级近似波函数
)(2
12102??ψi -=
7.8 在能量表象中哈密顿量为矩阵
)0(1)0(2)0(2**)0(1)0(1,00E E E b a b E a E >????
?
????? （1）用简并微扰法求能量到二级修正；
（2）求能量的准确解，并与（1）的结果比较。
解 （1） H H H '+=???0
λ ∴ dx H H H n
m mn )0(0*)0()??(ψλψ'+=? mn mn n n m n m H dx H dx H '+='
+=??λδεψλψψψ0)0(*)0()0(0*)0(?? 又已知 ?
??
??????
?=02**01
01
00E b a b E a E H λλλλ 注意
?????===03
0302020
10
1E E E εεε ∴
104 ???
??='='='a H H H 13
121100
???
??='='='b H H H 23
222100 ?????='='='033*32*31H b H a H 从上表知0332211='='='H H H ，0)
1(=n ε，即能量的一级修正为零，
在此情况下，能量的二极修正由下列久期方程确定：
0)2()
0()0(=--'-'''
∑
n n m
n n m nm m
E H H δεε 注意到0101E =ε，0102E =ε，0
203E =ε，将已知mn H '代入上式得
00
0)
2(01
0222)2(02
0120
2
01*
201*
)
2(02012=--+------E E E b a E E E a E E ab E E ab E E E a
即 ??
? ??--+??? ??--??? ??--)2(010222)2(02012)2(02012E E E b a E E E b E
E E a 0)2(010********0201*=??
? ??--+??? ??-??? ??--E E E b a E E ab E E b a ???---??????--+02
012)
2(2020122)2(010222)(E E a E E E b a E E E b a
0)()()(20201222)2(2
02012
)2(=????--+--E E b a E E E b E 0020122)2()
2(010222)
2(=?????
?-+-??????--+E E b a E E E E b a E
105
∴ ???????????-+-+=02
0122010222)
2(0E E b a E E b a E 或
????
?????-+=
=-+-=0
10
22
2)2(3)
2(20
1
022
2)2(10
E E b a E E E E b a E 于是
????
?????-++
=+==+=-+-=+=0
1022
202)2(30330
1
)2(20220
1
022
20
1)2(1011E E b a E E E E E E E E b a E E E εεε （2）求解本征方程：设本征矢为???
?
? ??321C C C ，则
????? ??02**010100E b a b E a E λλλλ????? ?
?321C C C ????? ??=321C C C E 1C ，2C ，3C 有非零解的条件是
00
002*
*
0101=---E
E b a b
E
E a E E λλλλ
即 0)()()()(*20
1*20
10
22
1=------b b E E a a E E E E E E λλ 或 0)]())()[((2
2
2
20
10
1=+----b a E E E E E E λ
即 0
1E E = （1）
106 及 0)()(2
22020102012=+-++-b a E E E E E E λ，
其解为
})(44)(){(2
12
220201202010201b a E E E E E E E ++-+±+=
λ ?
?????-++-±+=2
02012220
2010201)()(41)()(21E E b a E E E E λ ?
?????+??????-+?+-±+= 2
02012220
2010201)()(4211)()(21E E b a E E E E λ ∴ ???????-++-+-=01
022
220201
0222201)()(E E b a E E E b a E E λλ （2） 合并（1）式与（2）式得
?????
????-+-==-+-=01
022*********
1022220
11E E b a E E E E E E b a E E λλ
当1=λ时即得
01
022
201
1E E b a E E -+-=
12E E =
1
022
2023E E b a E E -+-
=
7.9 取一维谐振子的尝试基态波函数为2
x ce λ-的形式，λ为
107
参数，c 为归一化常数。用变分法求基态波函数和基态能量，并把归一化常数计算出来。将结果与严格解比较。
解 首先求H
? 的平均值 τ
ψψτψψd d H H *
*???=
已知 222222
12?x dx d H μωμ+= 2ax ce -=ψ， 2
**ax e c -=ψ
∴ dx
ce
e
c dx ce x dx
d e
c H ax ax ax ax 2
2
22
*22222*212--∞∞
---∞∞
-?
?
???
? ??+-=
μωμ
注意到 2
2
222
242(ax ax e x e dx d --+-=αα 则 dx
e dx e x x H ax ax 2
2222
22222
212-∞
∞--∞∞-????
??
??+-=μωμαμα 利用积分公式
1
2222)12(,5,3,12
+-∞∞
--=
=?
k k ax k k a
k dx e x I π
则 απμαμα22222 =
-∞∞
-?
dx e ax
α
π
μ
απμαμα22)2(21222
32222222 a dx e x ax =?=-∞∞
-?
a
dx e x ax 28)2(2121212
322222
π
α
μωαπμωμω=?=-∞∞
-?
108 ∴ 22222281222812μωα
μαα
π
α
πμωαμαμα+=??? ??+-=
H 其次求H 的极小值
0=??α
H
即 08122
22=-μωα
μ ∴ 2
2
2241 ωμα=
， 2μωα±= 但a 取负值时，代入2
ax ce -中不能满足波函数有限性要求，故α只
取正值，即
2μω
α=
于是，基态波函数为
2
2
x ax ce
ce
μωψ?--==
与0=n 时谐振子的精确解相符。基态能量为
ωμωμωμωμ
21
2
1821220=?
?+
??
?
???==最小H E
亦与0=n 谐振子的零点能相符。
最后求归一化常数，由
?τψψd *
=1， 即
12
22
=?
-∞∞
-?
dx e
c
x
μω
积分得 12=μωπ c ， 取 4
1??
? ??= πμωc 亦与21
21)!
2(
n N n
n πα
=当0=n 时的结果相同。
量子力学教程课后习题答案
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学作业习题
第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅； ( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率； ( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射． [2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ） 经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， ( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0 介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命． [4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由． ( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射． [5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器 能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1 2 ；（3）hc
量子力学思考题及解答
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
第七章-自旋和全同粒子
第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 21±=z s ；
(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： S e s m e -=μ, (7. 2) B e s 2μμ±=±=m e z , (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电 子的质量，B μ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁 矩/自旋角动量） e s e s 2m e g m e s z z =-=μ, (7. 4)
g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ●相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程 狄拉克 方程，运动的粒子必有量子数为 1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述 ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投 影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ?? ? ??-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于/2z s = ，波函数 写为 (,/2)(,) 0z s ψψ??= ??? r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答
目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)
第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 科学出版社第7章
第七章：粒子在电磁场中的运动 P367——7.1，7.2 证明在磁场B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： [] z y x c q i v v B ?,2μ = （1） [] x z y c q i v v B ?,2μ = （2） []y x z c q i v v B ? ,2 μ = （3） [证明]根据正则方程组： x x p H x v ??== ? ，Φ+?? ? ??-=q A c q p H 2 21? μ ? ? ? ?? -=x x x A c q p v ??1?μ 同理 ? ? ? ? ?-=y y y A c q p v ??1?μ ()z y x p p p p ?,?,?? 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： [] ? ? ????--=y y x x y x A c q p A c q p v v ??,??1,2μ ] [] y x A A c q ?,?2 2 μ+ （4） [] 0?,?=y x p p 又A ? [] z x y y x B c y x i c v v 22 ,μμ = ??? ??-?? = （因A B ??=??） 其余二式依轮换对称写出。 P368证明在规范变换下 ψψρ* = （1） [ ]ψψμψψψψμ * * *- -=A c q p p j ??21 （2）
??? ? ?-=A c q p v ?μ （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式） ψψc iqf e → （4） 则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度： ρ ρψ ψψψψψ ρ='=?=??? ? ? ???? ? ? ?='* * -* c iqf c iqf c iqf c iqf e e e e 又设变换后几率流密度是j '，将（4）代入（2）式右方，同时又代入 ()t r f A A , ?+→ ψψψψμc iqf c iqf c iqf c iqf e P e e p e j * - * -????? ?-='21 （5） 注意到算符的对易关系 推广到三维：() )(F )(F ,?r i r p ??=? 6） 令c iqf e r =)(F 则有： c iqf e p -=e p c iqf （7） =-e p c iqf (8) 将（7）（5）式成为： ()() j A c q p p f A c q f c q p e e f c q p e e j c iqf c iqf c iqf c iqf =--=?+-????????? ???--??? ???+=* ***-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121 （9） 在证明第3式时，设变换后的v 是v ' 。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4('的矢势的变换式：
2011量子力学期末考试题目
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2
代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱
中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是
量子力学(周世勋)课后答案-第七章
7.1.证明：i z y x =σσσ ??? 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσ ?2????=- 及 反对易关系 0????=+x y y x σσσσ ， 得 z y x i σσσ ???= 上式两边乘z σ ?，得 2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ ??? 7.2 求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的测不准关系： ?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ ???? ??=01102? x S ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(?2 22 2 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?222 2 121 =??? ? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S
16 )()(4 2 2 =??y x S S ① 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求 4 )()(2 2 2 2z y x S S S ≥?? 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ?? 可见①式符合上式的要求。 7.3.求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的本征方程为01102a a b b λ??????= ??? ? ?????? 移项得: 20 2 a b λ λ? ? - ???= ? ? ???- ??? x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ 可得 20)2(22 ±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 ±。 设对应于本征值2 的本征函数为 ???? ??=112/1b a χ 由本征方程 2 /12/12 ?χχ =x S ，得
量子力学思考题及解答
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=
量子力学典型例题分析解答1
浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用
第七章习题
第七章习题 1． 有一平凹氦氖激光器，腔长m 5.0，凹镜曲率半径为m 2，现欲用小孔光阑选出 00TEM 模，试求光阑放于紧靠平面镜和紧靠凹面镜处两种情况下小孔直径各为多少？（对于氦氖激光器，当小孔光阑的直径约等于基模半径的3.3倍时，可选出基横模。） 解：由R L g -=1，可计算出75.01=g ，0.12=g ，满足1021
北京大学量子力学期末试题
量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年
第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。
第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系，
周世勋量子力学习题及解答
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对
量子力学曾谨言第六章第七章习题详解
第六章：中心力场 ［1］质量分别为m, ,m 2的两个粒子组成的体系，质心座标R及相对座标r为: m" m zD “、 R = 一一⑴ m, m2 rr 二O -「1 ⑵ 试求总动量P = p,亠p2及总角动量L = h亠丨2在R，r表象中的 算符表示。 1.［解］(a)合动量算符p = P1 ? P2。根据假设可以解出r i，r2 - - m2 令 m 三m ,亠口2: 「=R_ ----- r (3) m 1 m1 r2= R ? r (4) m2 设各个矢量的分量是r1(x1, y1, z1) , r2 (x2, y 2, z2), r(x, y,z)和R(X,Y,Z)。为了计算动量的变换式先求对x , X2等的偏导数: L、L、# L、r L、L、L、 X x m1 ' ' ' '' 1(5) :x1；:x1；:X ；:x1；:x m ；:X ；：x jx2cX cx2 L、rx x ;X ；x2 a m2 e jx m ；X :x (6) 关于 L、L、 d d-可以写出与( 5) (6) 类似的式子，因而-71 -7 2 .z1.z2 A A A A A d e P - (P1 ■P2)x 二P 1x p2x -( - -) i ；x1；x2 L、L、*-?.L、
m1m2 =_(」2): i m ;X :x m ;:X ;:x i ;X --h d P 二i ' i _:X r d j i ；: Y -h k —
A " ■ ■ /t ■ ■ (b)总角动量 L = l i ?丨2 =— (「1 ：：甘 1 ?「2 ：：詁 2) i L x — (「i J j J)x i m 2 -(Z -z)(- m cY ^(yi--z) i Z -(y 2- i :z 利用(3), (4), ( 5), (6): L x {(丫一匹 i m m-:: y)(- m cZ m —-—) :-y m 1 (Y -y)( m m 2 m ；Z -) m i _(Z ? — z)( m m E -—)} ：-y -f Z i m ；Z c c )-(丫 一 -Z —) ；z .y m 1m 2 (y 「 z jz m 2 —(Y m -(Y - 'z -Z mm m 2 .L 、 ,l~. G C (y z ) :z :丫 (y — :z -z ：)} ：y h d =— c c -Z ) (y — Y 'z -z^)} -y h - = (—R I R i h _ ■ -r J)x i
量子力学试题及答案
2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A
量子力学习题汇集
. . 第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][] [][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 围找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场
. . ? ??∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并？ ２．由哈密顿算符 () 22322222122 22z y x m m H ωωω+++?-= 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-11212)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 () 222 22)2)(1()12()1(2+-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P == 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时，z L 没有确定值。