黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版).doc

2016-2017学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中

高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则?U（A∪B）=（）A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】由全集U={x∈N+|x＜6}，可得U={1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．

【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，

∴A∪B={1，3，5}，

∵U={x∈N+|x＜6}={1，2，3，4，5}，

∴?U（A∪B）={2，4}，

故选C．

2．若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）

A．B．C．

D．

【考点】函数的概念及其构成要素．

【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答时可以就选项逐一排查．对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可获得解答；对B满足函数定义，故可知结果；对C出现了一对多的情况，从而可以否定；对D值域当中有的元素没有原象，故可否定．

【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；

对B满足函数定义，故符合；

对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；

对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．

故选B．

3．设α∈{1，2，3，，﹣1}，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）

A．﹣1，3 B．﹣1，1 C．1，3 D．﹣1，1，3

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【分析】写出幂函数的解析式，判断定义域与函数的奇偶性即可．

【解答】解：α∈{1，2，3，，﹣1}，则幂函数y=xα的分别为：y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x﹣1．

显然y=x，y=x3，是定义域为R且为奇函数．

故选：C．

4．若函数，则f（﹣1）+f（2）的值为（）

A．5 B．﹣1 C．1 D．0

【考点】函数的值．

【分析】先分别求出f（﹣1）=1﹣（﹣1）2=0，f（2）=22﹣2﹣1=1，由此能求出f（﹣1）+f（2）．

【解答】解：∵，

∴f（﹣1）=1﹣（﹣1）2=0，

f（2）=22﹣2﹣1=1，

∴f（﹣1）+f（2）=0+1=1．

故选：C．

5．下列函数中与函数y=x相等的函数是（）

A．y=（）2B．y=C．y=2D．y=log22x

【考点】判断两个函数是否为同一函数．

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的函数是同一函数，进行判断即可．

【解答】解：对于A，y==x（x≥0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；

对于B，y==|x|（x∈R），与y=x（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；

对于C，y==x（x＞0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；

对于D，y=log22x=x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．

故选：D

6．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．

【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，

而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，

f（1）f（2）＜0，

∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），

故选：B．

7．已知集合M={x||x|=1}，N={x|＜2x＜4，x∈Z}，则M∩N等于（）

A．{﹣1，1} B．{1} C．{0} D．{﹣1，0}

【考点】交集及其运算．

【分析】分别求出集合M和集合N，利用交集的定义能求出M∩N．

【解答】解：∵集合M={x||x|=1}={﹣1，1}，

N={x|＜2x＜4，x∈Z}={x|﹣1＜x＜2，x∈Z}={0，1}，

∴M∩N={1}．

故选：B．

8．三个数0.76，60.7，log0.25的大小关系为（）

A．0.76＜l log0.25＜60.7B．0.76＜60.7＜l log0.25

C．log0.25＜60.7＜0.76D．log0.25＜0.76＜60.7

【考点】对数值大小的比较．

【分析】判断三个数的范围，然后比较大小．

【解答】解：三个数0.76∈（0，1）；60.7＞1；log0.25＜0；

可得：log0.25＜0.76＜60.7．

故选：D．

9．已知f（x）=ax3+bx﹣4，若f（2）=6，则f（﹣2）=（）

A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．10

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】根据f（x）=ax3+bx﹣4，可得f（x）+f（﹣x）=﹣8，从而根据f（2）=6，可求f （﹣2）的值．

【解答】解：∵f（x）=ax3+bx﹣4

∴f（x）+f（﹣x）=ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4=﹣8

∴f（x）+f（﹣x）=﹣8

∵f（2）=6

∴f（﹣2）=﹣14

故选A．

10．已知集合A={2，3}，B={x|mx﹣6=0}，若B?A，则实数m=（）

A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3

【考点】集合关系中的参数取值问题．

【分析】由A={2，3}，B={x|mx﹣6=0}={}，B?A，知2=，或3=，或不存在，由此能求出实数m．

【解答】解：∵A={2，3}，B={x|mx﹣6=0}={}，

∵B?A，

∴2=，或3=，或不存在，

∴m=2，或m=3，或m=0，

故选D．

11．设f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（﹣1）=0，则xf（x）＜0的解集是（）

A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】由题意，先求出不等式xf（x）＜0在（0，+∞）上的解集，再求出不等式xf（x）＜0在（﹣∞，0）上的解集．

【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（1）=f（﹣1）=0；

又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，

∴当0＜x＜1时，f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＜0；

∴不等式xf（x）＜0在（0，+∞）上的解集是（1，+∞）；

又f（x）是偶函数，

∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，

当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣1时，f（x）＜0；

不等式xf（x）＜0在（﹣∞，0）上的解集是（﹣1，0）；

综上，xf（x）＜0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）；

故选：C．

12．若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．

【考点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点．

【分析】由函数是单调减函数，则有a﹣2＜0，且注意2（a﹣2）≤．

【解答】解：∵函数是R上的单调减函数，

∴

∴

故选B

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数y=|x|的单调递增区间为（0，+∞）．

【考点】函数的单调性及单调区间．

【分析】根据y=x的性质，求出函数的零点，函数y=|x|的图象是函数y=x关于x轴对称得到，通过图象求解单调增区间

【解答】解：函数y=|x|的零点为x=0，

其图象如下，

通过图象可知，函数单调递增区间为（0，+∞）．

故答案为：（0，+∞）．

14．已知3x=2，log3=y，则2x+y的值为2．

【考点】对数的运算性质．

【分析】化指数式为对数式，然后利用对数的运算性质化简求值．

【解答】解：由3x=2，得：x=log32，又log3=y，

∴2x+y==log39=2．

故答案为：2．

15．函数f（x）=的定义域是（，1]．

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据函数成立的条件，即可得到结论．

【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，

即，

则0＜3x﹣2≤1，

解得＜x≤1，

故函数的定义域的（，1]，

故答案为：（，1]

16．给出下列命题：

①函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；

②已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）=x2﹣|x|；

③若，则a的取值范围是；

其中所有正确命题的序号是②．

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】求出函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象所过定点，可判断①；求出函数的解析式，可判断②；求出满足条件的a的范围，可判断③．

【解答】解：当x=1时，函数f（x）=﹣1恒成立，

故函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故①错误；

∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），

∴当x＞0时，f（x）=x（x﹣1），

综上可得：f（x）的解析式为f（x）=x2﹣|x|；

故②正确；

若，则a∈，故③错误；

故答案为：②

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（1）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，求A∩B、（?

A）∪（?U B）；

U

（2）求值：若x＞0，求．

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】（1）求出集合B，然后直接求A∩B，通过（C U A）∪（C U B）C U（A∩B）求解即可；

（2）根据指数幂的运算性质即可求出．

【解答】解：（1）∵B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3}，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，∴A∩B={x|1＜x＜3}，

∴?U A={|﹣4≤x≤1}，?U B={x|x＜﹣2，或x＞3}，

∴（C U A）∪（C U B）={x|x≤1，或x＞3}

（2）原式==﹣23

18．已知函数f（x）=3x﹣3ax+b且，．

（1）求a，b的值；

（2）判断f（x）的奇偶性，并用定义证明．

【考点】函数奇偶性的判断；函数的零点．

【分析】（1）由条件利用待定系数法求得a、b的值，可得函数的解析式．

（2）根据的定义域为R，关于原点对称，再根据f（﹣x）=﹣f（x），从而得出结论．

【解答】解：（1）∵函数f（x）=3x﹣3ax+b，，，

∴，即，即，∴a=﹣1，b=0．

（2）由（1）可得f（x）=3x﹣3﹣x，它的定义域为R，关于原点对称，

再根据f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（3x﹣3﹣x）=﹣f（x），故该函数为奇函数．

19．设函数f（x）=

（1）求方程f（x）=的解；

（2）求不等式F（x）≤2的解集．

【考点】指、对数不等式的解法．

【分析】（1）分段求解方程f（x）=的解；

（2）分段求解不等式f（x）≤2的解集，取并集得答案．

【解答】解：（1）当x＜1时，由f（x）=，得，即x=2；

当x≥1时，由f（x）=，得，即x=．

（2）由f（x）≤2，得①，或②．

解①得：﹣1≤x＜1．解②得：1≤x≤16．

∴不等式f（x）≤2的解集为[﹣1，16]．

20．（1）求不等式a2x﹣1＞a x+2（a＞0，且a≠1）中x的取值范围（用集合表示）．

（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=+1，求函数f（x）的解析式．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】（1）根据指数函数的性质，求底数a进行讨论，求解不等式．

（2）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），当x＞0时，f（x）=+1，可求函数f（x）的解析式．

【解答】解：（1）不等式a2x﹣1＞a x+2（a＞0，且a≠1），

∵当a＞1时，2x﹣1＞x+2，即x＞3．

当0＜a＜1时，2x﹣1＜x+2，即x＜3．

故不等式a2x﹣1＞a x+2（a＞0，且a≠1）的解集：

当a＞1时，{x|x＞3}，

当0＜a＜1时，{x|x＜3}

（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0；

当x＞0时，f（x）=+1，

当x＜0时，则﹣x＞0，

故得f（﹣x）=+1，

∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣f（x）=+1，

∴f（x）=﹣﹣1，

∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，

∴f（x）=

21．已知函数f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数，且满足f[f（x）]=x+2，g（1）=﹣1

（1）求函数f（x）和g（x）；

（2）设h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．

【分析】（1）设出函数的解析式，通过待定系数法求出函数的解析式即可；

（2）求出h（x）的解析式，根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．

【解答】解：（1）因为f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数

∴设f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=（k≠0），

∵f[f（x）]=x+2，

∴a（ax+b）+b=x+2，

∴a2x+（a+1）b=x+2，

∴，解得：a=1，b=1，

故f（x）=x+1；

∵g（1）=﹣1，故k=﹣1，

故g（x）=﹣；

（2）判断：函数h（x）在（0，+∞）上是增函数，

由（1）知h（x）=+1，设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，

h（x1）﹣h（x2）=（x1﹣）﹣（x2﹣）=（x1﹣x2）（1+），

∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，

∴h（x1）﹣h（x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），

∴函数h（x）在（0，+∞）递增．

22．已知函数f（x）=x2+2ax+a+1．

（1）当a=1时，求函数在区间[﹣2，3]上的值域；

（2）函数f（x）在[﹣5，5]上单调，求实数a的取值范围；

（3）求函数f（x）在[0，2]上的最小值g（a）的解析式．

【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．

【分析】（1）将a=1的值代入f（x）的表达式，求出函数f（x）的解析式，从而求出函数的值域即可；

（2）先求出函数的对称轴，结合函数的单调性判断即可；

（3）通过讨论a的范围，根据函数的单调性判断g（a）的解析式即可．

【解答】解：（1）因为函数f（x）=x2+2ax+a+1，

当a=1时：f（x）=x2+2x+2，x∈[﹣2，3]，

考虑函数f（x）的对称轴x=﹣1∈[﹣2，3]，

∴f min（x）=f（﹣1）=1，

∴f max（x）=f（3）=17；

∴函数的值域是[1，17]；

（2）∵函数f（x）在[﹣5，5]上单调，

∴函数的对称轴x=﹣a?[﹣5，5]，

∴a∈（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）；

（3）①当﹣a＜0时，即a＞0函数f（x）=x2+2ax+a+1在区间[0，2]上是增函数，故当x=0时，函数取得最小值是f（0）=a+1；

②当0≤﹣a≤2时，即﹣2≤a≤0由于函数f（x）=x2+2ax+a+1对称轴是x=﹣a，故当x=﹣a时，函数在区间[0，2]上取得最小值是f（﹣a）=a2+a+1．

③当﹣a＞2时，即a＜﹣2函数f（x）=x2+2ax+a+1在区间[0，2]上是减函数，

故当x=2时，函数取得最小值是f（2）=5a+5．

综上可得g（a）=．

2016年12月22日