2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学案苏教版必修2(含解析)

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学案苏教版必修2(含解析)
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学案苏教版必修2(含解析)

2.2.1 第1课时圆的标准方程

1.会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特点.(重点、难点)

2.会根据已知条件求圆的标准方程.(重点)

3.能准确判断点与圆的位置关系.(易错点)

[基础·初探]

教材整理1 圆的定义及标准方程

阅读教材P107~P108例1,完成下列问题.

1.圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其中定点是圆的圆心;定长是圆的半径.

2.圆的标准方程

1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是________.

【答案】(2,-3), 2

2.以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是________.

【答案】x2+y2=4

3.以原点为圆心,且过点(2,2)的圆的标准方程为________________.

【解析】由题意可设圆的标准方程为x2+y2=r2,又(2,2)在圆上,故22+22=r2,即r2=8.

故所求圆的标准方程为x2+y2=8.

【答案】x2+y2=8

教材整理2 点与圆的位置关系

阅读教材P 107~P 108,完成下列问题.

设点P 到圆心的距离为d ,圆的半径为r ,则点与圆的位置关系对应如下:

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程(x -a )2

+(y -b )2

=m 2

一定表示圆.(×) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(√)

(3)圆(x +1)2

+(y +2)2

=4的圆心坐标是(1,2),半径是4.(×) (4)点(0,0)在圆(x -1)2

+(y -2)2

=1上.(×)

2.若点P (-1,3)在圆x 2

+y 2

=m 2

上,则实数m =__________. 【解析】 把点P (-1,3)代入x 2

+y 2

=m 2

,得1+3=m 2

,∴m =2或-2. 【答案】 2或-2

[小组合作型]

求圆的标准方程

求下列各圆的标准方程.

(1)圆心为点C (8,-3),且经过点P (5,1); (2)以P 1(1,2),P 2(-3,4)为直径的端点.

(3)与x 轴相交于A (1,0),B (5,0)两点且半径为 5.

【精彩点拨】 (1)(2)直接求出圆心半径代入求解;(3)设出圆的标准方程,由已知条件列方程组求解.

【自主解答】 (1)由题意可知,圆的半径r =PC = 8-5 2

+ -3-1 2

=5,所以圆的标准方程为(x -8)2

+(y +3)2

=25,

(2)由题意可知,P 1,P 2的中点P 的坐标为(-1,3). 又P 1P 2= 1+3 2

+ 2-4 2

=25, 所以圆的半径为1

2

P 1P 2= 5.

即所求圆的标准方程为(x +1)2

+(y -3)2

=5.

(3)法一:设圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2

=5. 因为点A ,B 在圆上,所以可得到方程组:

?????

1-a 2

+ 0-b 2

=5, 5-a 2+ 0-b 2=5,

解得???

??

a =3,

b =1

或?????

a =3,

b =-1.

所以圆的标准方程是(x -3)2

+(y -1)2

=5或(x -3)2

+(y +1)2

=5.

法二:由于A ,B 两点在圆上,所以线段AB 是圆的一条弦,根据平面几何知识,知这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x =3上,于是可以设圆心为C (3,b ),又由AC =5,得 3-1 2

+b 2

=5,解得b =1或b =-1,

所以圆的标准方程为(x -3)2

+(y -1)2

=5或(x -3)2

+(y +1)2

=5.

求圆的标准方程的常用方法:

(1)待定系数法(代数法):设出圆的标准方程,方程中有三个未知数a ,b ,r ,根据题目条件列出a ,b ,r 的方程组求解,代数法体现了方程思想.

(2)几何法:即利用圆的几何性质直接求出圆心和半径的方法,几何法体现了数形结合的思想.

[再练一题]

1.已知圆心为C 的圆经过点A (0,2)和B (-3,3),且圆心C 在直线l :x +y +5=0上.求圆C 的标准方程.

【解】 法一:设圆的方程为(x -a )2

+(y -b )2

=r 2

则?????

a +

b +5=0, 0-a 2+ 2-b 2=r 2

, -3-a 2+ 3-b 2=r 2,

解得????

?

a =-3,

b =-2,

r =5.

∴圆的标准方程为(x +3)2

+(y +2)2

=25.

法二:因为A (0,2),B (-3,3),所以线段AB 的中点坐标为? ??

??-32,52,直线AB 的斜率

k AB =

3-2-3-0=-1

3

, 故线段AB 的垂直平分线方程是y -52=3?

????

x +32,即3x -y +7=0.

由?

??

??

3x -y +7=0,x +y +5=0,得?

??

??

x =-3,

y =-2,所以圆心C 的坐标为(-3,-2).

∴圆的半径r =AC = 0+3 2

+ 2+2 2

=5, 所以圆C 的标准方程为(x +3)2

+(y +2)2

=25.

圆的方程的实际应用

如图2-2-1所示是一座圆拱桥,当水面距拱顶2 m 时,水面宽12 m ,当水面

下降1 m 后,水面宽多少m ?(结果保留两位小数)

图2-2-1

【精彩点拨】 由条件,此问题应首先建立坐标系,转化为求圆的方程,再利用条件求水面宽度.

【自主解答】 以拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y 轴建立直角坐标系如图所示,设圆拱所在圆的圆心为C ,水面所在弦的端点为A ,B ,则A (6,-2).

设圆的方程为x 2

+(y +r )2

=r 2

,将A (6,-2)代入方程,得r =10,∴圆的方程为x 2

+(y +10)2

=100,当水面下降1 m 后,可设点A ′(x 0,-3)(x 0>0).如图所示,将A ′(x 0,-3)代入圆的方程,求得x 0=51,

∴水面下降1 m ,水面宽为2x 0=251≈14.28(m).

本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题,因此,要建立适当的坐标系,利用圆的方程来解决.一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系,把实际问题转化为数学问题,通过待定系数法设圆的方程进行求解.

[再练一题]

2.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为3 m ,高为3.5 m 的货车能不能驶入这个隧道?

【解】 如图,以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB 所在的直线为x 轴,

建立直角坐标系,那么半圆的方程为x2+y2=16(y≥0),将x=3代入得y=16-32=7<9=3<3.5,

即在离中心线3 m处,隧道的高度低于货车的高度.

因此,该货车不能驶入这个隧道.

[探究共研型]

点与圆的位置关系

探究1 点(1,1)是否在圆(x-1)2+y2=2上?

【提示】点(1,1)不在圆(x-1)2+y2=2上,因为将点(1,1)代入圆的方程左边得(1-1)2+12=1≠2.

探究2 在探究1中,点(1,1)与圆(x-1)2+y2=2是什么关系?

【提示】点(1,1)在圆内.

探究3 如何判断点(m,n)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系?

【提示】将点A(m,n)代入方程左边,若(m-a)2+(n-b)2=r2,点A在圆上;若(m -a)2+(n-b)2r2,点A在圆外.

已知圆C的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).

(1)若点M(6,9)在圆上,求半径a;

(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的取值范围.

【精彩点拨】(1)点在圆上,满足圆的方程求得a值.

(2)点在圆内(外),则点与圆心的距离小于(大于)圆的半径,求a的范围.

【自主解答】(1)∵点M(6,9)在圆上,

∴(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10.

又a>0,∴a=10.

(2)∵PC= 3-5 2+ 3-6 2=13,

QC= 5-5 2+ 3-6 2=3,

PC>QC,故点P在圆外,点Q在圆内,

∴3<a<13.

判断点与圆的三种位置关系有两种方法:

高二数学圆的一般方程 人教版

高二数学圆的一般方程人教版 (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件、 (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程、 (3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、 教学重点和难点 重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数, D、E、F、 难点:圆系的理解和应用、 教学过程设计 (一)教师讲授: 请同学们看出圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径r、 把圆的标准方程展开,并整理:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0、 我们把它看成下面的形式: x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 这个方程是圆的方程、

反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线是圆、 ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆? (1)当D2+E2-4F>0时,方程②表示 (2)当D2+E2-4F=0时,方程②表示 (3)当D2+E2-4F<0时,方程②不表示任何图形 ∴当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0、 做圆的一般方程、 现在我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同,不等于0、 ②没有xy这样的二次项、 同学们不难发现,x2和y2的系数相同,不等于0、且没有xy 这样的二次项,是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件、但不是充分条件、 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了、 (二)研究问题1,求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标、 [解法一]设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0、 把已知三点的坐标代入,得三个方程,解这三个方程组成的方程组

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中数学公式大全(必备版)

高中数学公式大全(必备版) 高中数学公式大全(必备版) 篇一 篇二 篇三 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意:在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变),然后在前面加上把α看成锐

高中数学说课稿:《圆的标准方程》.doc

高中数学说课稿:《圆的标准方程》 "说课"有利于提高教师理论素养和驾驭教材的能力,也有利于提高教师的语言表达能力,因而受到广大教师的重视,登上了教育研究的大雅之堂。下面是我为大家收集的关于高中数学说课稿:《圆的标准方程》,欢迎大家阅读借鉴! 高中数学说课稿:《圆的标准方程》 【一】教学背景分析 1.教材结构分析 《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形,在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识,是研究二次曲线的开始,对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习,无论在知识上还是方法上都有着积极的意义,所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 2.学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后,又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅,且对坐标法的运用还不够熟练,在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构和

心理特征,我制定如下教学目标: 3.教学目标 (1) 知识目标:①掌握圆的标准方程; ②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出圆的标准方程; ③利用圆的标准方程解决简单的实际问题. (2) 能力目标:①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力; ②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用; ③增强学生用数学的意识. (3) 情感目标:①培养学生主动探究知识、合作交流的意识; ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 根据以上对教材、教学目标及学情的分析,我确定如下的教学重点和难点: 4. 教学重点与难点 (1)重点:圆的标准方程的求法及其应用. (2)难点:①会根据不同的已知条件求圆的标准方程; ②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 为使学生能达到本节设定的教学目标,我再从教法和学法上进行分析: 【二】教法学法分析 1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性,本节课采用"

2018年高考数学新课标3理科真题及答案

1.(2018 年新课标Ⅲ理)已知集合 A ={x |x -1≥0},B ={0,1,2},则 A ∩B =( ) A .{0} B .{1} C .{1,2} D .{0,1,2} C 【解析】A ={x |x -1≥0}={x |x ≥1},则 A ∩B ={x |x ≥1}∩{0,1,2}={1,2}. 2.(2018 年新课标Ⅲ理)(1+i)(2-i)=( ) A .-3-i B .-3+i C .3-i D .3+i D 【解析】(1+i)(2-i)=2-i +2i -i = 3+i . 3.(2018 年新课标Ⅲ理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 .构件的凸出部分叫榫头 ,凹 进部分叫卯眼 ,图中木构件右边的小长方体是榫头 .若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木 构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A B C D A 【解析】由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是榫头,从 图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外 3 边是虚线.故选 A . 1 4.(2018 年新课标Ⅲ理)若 sin α= ,则 cos 2α=( ) 8 7 7 A . B . C .- 9 9 9 1 7 B 【解析】cos 2α=1-2sin α=1-2× = . 2 5.(2018 年新课标Ⅲ理) x + 的展开式中 x 的系数为( ) A .10 B .20 C .40 8 D .- 9 D .80 2 3 2 9 9 2 5 4 x

2 2 C 【解析】 x + 的展开式的通项为 T =C (x ) =2 C x r +1 5 5 .由 10-3r =4,解得 r 2 =2.∴ x + 的展开式中 x 的系数为 2 C =40. 5 6.(2018 年新课标Ⅲ理)直线 x +y +2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A ,B 两点,点 P 在圆(x -2) + y =2 上, △则△ ABP 面积的取值范围是( ) A .[2,6] B .[4,8] C .[ 2,3 2] D .[2 2,3 2] A 【解析】易得 A (-2,0), B (0,-2),|AB |=2 2.圆的圆心为(2,0),半径 r = 2.圆心(2,0)到 直线 x +y +2=0 的距离 d = |2+0+2| =2 2,∴点 P 到直线 x +y +2=0 的距离 h 的取值范围 1 +1 1 为[2 2-r ,2 2+r ],即[ 2,3 2].又△ ABP 的面积 S = |AB |·h = 2h ,∴S 的取值范围是 [2,6]. 7.(2018 年新课标Ⅲ理)函数 y =-x + x +2 的图象大致为( ) A B C D D 【解析】函数过定点(0,2),排除 A ,B ;函数的导数 y ′=-4x +2x =-2x (2x -1),由 y ′>0 解得 x <- 2 2 或 0<x < ,此时函数单调递增,排除 C .故选 D . 2 2 8.(2018 年新课标Ⅲ理)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ,各成员的支付方式 相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,DX =2.4,P (X =4)<P (X =6), 2 5 r 2 5 r r r r 10 3r - - x x 2 5 4 2 2 x 2 2 2 2 2 4 2 3 2

高中数学-圆的标准方程练习题

高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析:以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案:D 2.以点A(-5,4)为圆心,且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析:∵圆与x 轴相切,∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案:A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为____________. 解析:设其圆心为P(a,a),而切点为A(1,0),则P A⊥x 轴,∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立,得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决,若圆与x 轴相切于点(1,0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0,1). 答案:(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3,那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析:令 x y =k,即y=kx ,直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案:D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解:由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0),直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此,所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案:C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析:由平面几何性质,所求最大值为P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径,即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=. 线段21P P 的中点是),(00y x M ,则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x .

高三数学必背公式总结

高三数学必背公式总结 高三数学必背公式总结汇总 一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′,c,斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a)

tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa

高中数学必修二《圆的标准方程》教案

教案说明 圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。 一、设计理念 设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与,课堂上建立平等、互助、融洽的关系,师生共同研究,共同提高。 二、设计思路 (1)突出重点抓住关键突破难点 求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路。在例题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成。 (2)学生主体教师主导探究主线 本节课的设计用问题做链,环环相扣,使学生的探究活动贯穿始终。从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下,由学生探究完成的。另外,我在例题2的教学,要求学生分组讨论,合作交流,为学生设立充分的探究空间,学生在交流成果的过程中,既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛,又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功,他们体验到成功的快乐,感受到数学的魅力。在一个个问题的驱动下,高效的完成本节的学习任务。 三、媒体设计 本节采用powerpoint媒体,知识容量大,同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容,故采用演示文稿的方式,增加信息量,节省时间。同时

动态演示图形,刺激学生的感官,引起更强的注意,提高课堂教学效率。

2018年高中数学知识点全程归纳总结(珍藏版)

数学知识点总结

引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点:

高考数学必背公式大全

高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多,同学们复习的时候不方便查阅,下面是我给大家带来的高考必背数学公式,希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积

1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为: an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为: Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为: an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

2018年高考数学全国卷III

2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题:本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥,{}2,1,0=B ,则=?B A ( ) .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 ( ) .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ,则cos 2α= ( ) .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 ( ) .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点,点P 在圆()2 2 22x y -+=上,则ABP ?面积 的取值范围是 ( ) .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 ( )

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ,各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,4.2=DX ,()()64=<=X P X P ,则=P ( ) .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-,则=C ( ) . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为,则三棱锥ABC D -积的最大值为 ( ) .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=(0,0>>b a )的左、右焦点,O 是坐标原点,过2F 作C 的一 条渐近线的垂线,垂足为P ,若1PF =,则C 的离心率为 ( ) .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ,3.0log 2=b ,则 ( ) .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+

高中数学必背公式

高中数学必背公式、常用结论 一.二次函数和一元二次方程、一元二次不等式 1. 二次函数 y ax 2 bx c 的图象的对称轴方程是 x b b 4a c b 2 ,顶点坐标是 2a , 。 2a 4a 2. 实系数一元二次方程 ax 2 bx c 0的解: ①若 b 2 4ac 0, 则 x 1,2 b b 2 4a c ; 2a ②若 b 2 4ac 0, 则 x 1 x 2 b ; 2a ③ 若 b 2 4a c 0,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根 x b(b 2 4ac)i (b 2 4ac 0) . 2a 3. 一元二次不等式 ax 2 bx c 0(a 0) 解的讨论 : 二次函数 y ax 2 bx c ( a 0 )的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax 2 bx c 0 x 1, x 2 ( x 1 x 2 ) x 1 x 2 b 无实根 a 0 的根 2a ax 2 bx c 0 x x 1 x 2 x x b (a 的解集 x 或x 2a R 0) ax 2 bx c 0 x x 1 x x 2 (a 0)的解集 二、指数、对数函数 1.运算公式 m n m m 1 ⑴分数指数幂: a n ; a n (以上 a 0, m,n N ,且 n 1 ) . a m a n ⑵ . 指数计算公式: a m a n a m n ; (a m )n a mn ;( a b)m a m b m ⑶对数公式:① a b N log a N b ; ② log a MN log a M log a N ; ③ log a M log a M log a N ; ④ log a m b n n log a b . N m

高中数学必修2公式

高中数学必修2知识点 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时,0≥k ; 当() 180,90∈α时,0

新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》教学设计

高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能:1、掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径; 2、会用两种方法求圆的标准方程:(1)待定系数法;(2)利用几何性质 教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程: 情境设置: 问题:①圆的定义? 学生回忆所学知识:①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,确定圆的要素是圆心和半径。 问题:②如果把直线放在直角坐标系下,那么其对应的方程是二元一次方程,那么如果把一个圆放在坐标系下,其方程有什么特征?如何写出这个圆的所在的方程? 二、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出) P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得:222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法: (1)2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 (2)2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 (3)2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 (一)练习 1、指出下列方程表示的圆心坐标和半径: (1) 222=+y x ; (2) 5)1()3(22=-+-y x ; (3)222)1()2(a y x =+++(0≠a )。

2018年河北省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅰ)

2018年河北省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5分)设z=+2i,则|z|=() A.0 B.C.1 D. 2.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2>0},则?R A=() A.{x|﹣1<x<2}B.{x|﹣1≤x≤2}C.{x|x<﹣1}∪{x|x>2}D.{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 3.(5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是() A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=() A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12 5.(5分)设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为() A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x 6.(5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=() A.﹣B.﹣C.+D.+ 7.(5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()

高中数学学业水平必背公式定理知识点默写

高中数学学业水平测试必背公式定理知识点 1、空集定义:_____________________________________; 空集是任何集合的______________。 N ____________ Z __________ Q ___________ R ___________(常用集合字母表示) 2、含n 个元素的集合其子集个数为_____________________。 3、函数定义:对定义域内任意x ,都有___________y 值与之对应,称y 是x 的函数。 4、求函数定义域三种基本形式: ①分式要求:__________________; ②根式,开偶次方根,则_______________________; ③对数式则要求__________________________。 5、①指数函数定义:__________________________________________; 其定义域为_____________;值域为_________________; 当_______________时函数单调递增;当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ②对数函数定义:__________________________________。 其定义域为_____________;值域为_________________; 当_______________时函数单调递增;当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ③幂函数定义:_______________________________________。 当0>α时,图像恒过______________和_______________;在第一象限内单调_________; 当0<α时,图像恒过______________;在第一象限内单调_________; 6、如果函数是奇偶函数,其定义域一定关于_______________对称; 如果对定义域内任意x ,当________________时,函数为奇函数; 如果对定义域内任意x ,当________________时,函数为偶函数; 7、函数单调性定义:在区间D 内任取两个值1x 、2x ,设21x x <, 如果______________,则函数在此区间内单调递增; 如果______________,则函数在此区间内单调递减。 8、空间两直线位置关系:_____________、________________、_________________; 空间两平面位置关系:________________、______________; 空间直线与平面位置关系_____________、_____________、___________________; 9、空间两直线所成角的范围:____________________; 直线与平面所成角的范围:____________________; 两异面直线所成角的范围:_____________________; 10、线面平行判定定理:_________________________________________________________; 线面平行性质定理:_________________________________________________________; 线面垂直判定定理:_________________________________________________________; 线面垂直性质定理:_________________________________________________________; 面面平行判定定理:_________________________________________________________; 面面平行性质定理:_________________________________________________________; 面面垂直判定定理:_________________________________________________________;

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