江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试

数学试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 将答案填在答题纸上

1.已知集合{}()(){}

1,2,3,|120,A B x x x x Z ==+-<∈,则A B = _________. 2.函数(

)f x =_________. 3.已知角α的终边经过点(),6P x --，且4

cos 5

α=

，则x 的值为_________. 4.已知向量()()1,,3,2a m b ==- ，且()

a b b +⊥

，则m = _________.

5.已知命题2

:,20p x R x x a ?∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________. 6.函数(

)()sin 0f x x x x π=-≤≤的单调增区间是_________.

7.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的

_________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件”）

8. 在ABC ?中，()

30AB AC CB -=

，则角A 的最大值为 _________. 9.已知函数()2

a

y x a R x

=+

∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________. 10.已知函数()sin 0,062f x A A ππ?????

?=+><<

??????

?的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点

和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23

PRQ π

∠=，则()y f x =的最大值是_________.

11. 设数列{}n a 首项12a =,前n 项和为n S ，且满足()

123n n a S n N *

++=∈，则满足

234163315

n n S S <<的所有n 的和为

_________.

12. 已知函数()()23,0

(01)log 11,0

a x a x f x a a x x ?+≠?

++≥??且在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.

13.在平面内，定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-

，动点,P M 满足2,AP PM MC == ，则BM

的最大值是__________.

14. 定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当()1,4x ∈-时，则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________.

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. （本小题满分14分）在中,角、、所对的边分别为、、，设向量

()(),,cos ,cos m a c n C A ==

.

（1

）若,m n c =

,求角A ;

（2） 若4

3sin ,cos 5

m n b B A == , 求cos C 的值.

16. （本小题满分14分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）等比数列{}n b 满足:1122,1b a b a ==-, 若数列n n n c a b =

，求数列{}n c 的前n 项和n S . 17.（本小题满分14分）已知函数()22

1f x x x kx =-++,且定义域为()0,2.

（1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；

（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个的解12,x x ，求k 的取值范围.

18.（本小题满分16分）如图，太湖一个角形湖湾,2AOB AOB θ∠=（ 常数θ为锐角）.拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；

ABC ?A B C a b c

（1）求方案一中养殖区的面积1S ； （2）求方案二中养殖区的最大面积2S ；

（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.

19.（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列.记

n n n c b a =-.

（1）求证:数列{}1n n c c d +-+为等比数列 ; （2）已知数列{}n c 的前4项分别为9,17,30,53. ①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

②是否存在元素均为正整数的集合{}()

12,,...,,4,k A n n n k k N *

=≥∈，使得数列12,,...,k n n n c c c 等差数列？

证明你的结论.

20.（本小题满分16分）已知函数()22ln f x ax x =+. （1）求()f x 的单调区间;

（2）若 ()f x 在(]0,1上的最大值是2-，求a 的值;

（3）记()()()1ln 1g x f x a x =+-+,当2a ≤-时，若对任意()12,0,x x ∈+∞，总有

()()1212g x g x k x x -≥-成立，试求k 的最大值 .

江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试数学试题参考答案

一、填空题（每小题5分，共70分）

1.{}1

2.(

3.8-

4.8

5. 1a ≤

6. ,06π??

-???? 7. 必要不充分条件 8.6π 9.0 10.

11.4 12.123,334????

???????? 13.1 14.605

二、解答题

15.解：（1）,cos cos m n a A c C ∴=

.由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =,化简，得

()sin2sin2.,0,,2222A C A C A C A C ππ=∈∴=+= 或.从而A C =（舍）或,2

2

A C

B π

π

+=

∴=

.

在Rt ABC ?中，tan 36

a A A c π

=

==. （2）3cos ,cos cos 3sin m n b B a C c A b B =∴+=

,由正弦定理，

得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=,

从而

()()2sin 3sin ,,sin sin A C B A B C A C B

π+=++=∴+= .从而

()143sin ,cos 0,0,,0,,sin .sin sin ,3525B A A A A A B a b

ππ??

==>∈∴∈=>∴> ???

,从而,A B B >为

由3655a a =

,得()()112555a d a d ++= ② 由①得12167a d =- 将其代入②得()()163163220d d -+=. 即222569220,4d d -=∴=,又0,2d d >∴=代入①得

()11,11221n a a n n =∴=+-=- .

（2）()1

1121,2,2

,212n n n n n n b b b c a b n --==∴=∴==- ,

()()011121232...212,21232...212n n n n S n S n -=+++-=+++- .两式相减可得:

()0121122222...22212n n n S n --=++++-- ()()12121221212

n n n --=+?

--- ，

()()()()11141212121242122321212

n n n n n n n S n n n -++-∴-=+

--=+---=---- ，

()()1321223232n n n n S n n +∴=+--=+-

17.解：（1） ()()221,3f x x x kx f x kx =-++∴=+ ，即2213x x -+=.当01x <≤时，

2222111x x x x -+=-+=，此时该方程无解. 当12x <<时，222121x x x -+=-，原方程等价于：

22x =

综上可知：方程()3f x kx =+在()0,2

（2）当01x <≤时,1kx =-, ① 当12x <<时，2

210x kx +-=, ②

若0k =则①无解

，②的解为()1,2x =，故0k =不合题意.若0k ≠，则①的解为1x k =-.

(i)当(]1

0,1k

-

∈时，1k ≤-时，方程②中280k ?=+>，故方程②中一根在()1,2内，一根不在()1,2内.设()221g x x kx =+-，而12102x x =-<，则()()110,7

202k g k g <-?

??>->????，又1k ≤-，故712k -<<-. (ii) 当(]10,1k -

?时，即10k -<<或0k >时，方程②在()1,2须有两个不同解，而121

02

x x =-<，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故7

12

k -<<-.

18.解：（1）设OP r =，则2l r θ=，即12r θ=，所以 211,0,242l S lr πθθ??

==∈ ???

.

（2）设,OC a OD b ==.由余弦定理，得2

2

2

2cos 2l a b ab θ=+-,所以2

2cos 2l ab θ≥,所以

()221cos 2l ab θ≤-,当且仅当a b =时，“=”成立.所以()22

1sin 2sin 2241cos 24tan OCD l l S ab θθθθ

?=≤=

- ,即2

24tan l S θ

=.

（3） ()221114tan ,0,2S S l πθθθ??-=-∈ ???,令()tan f θθθ=-,则()22

sin sin ''1cos cos f θθθθθ??

=-= ???

.

当0,

2πθ??

∈ ??

?

时，()'0f θ>, 所以()f

θ在0,

2π??

???

?

上单调增，

所以，当0,2πθ?

?

∈ ??

?

，总有()()00f f θ>=.所以

21

11

0S S ->, 得12S S >.答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一. 19.解：（1）证明:依题意，

()()()()()1111110n n n n n n n n n n n c c d b a b a d b b a a d b q ++++-+=---+=---+=-≠,

从而

()()

121111n n n n n n b q c c d q c c d b q ++++--+==-+-, 又

()21110c c d b q -+=-≠,所以{}1n n c c d +-+是首项为

()11b q -，公比为q 的等比数列 .

（2）① 由（1）得，等比数列{}1n n c c d +-+的前3项为8,13,23d d d +++, 则()()()2

13823d d d +=++,解得3d =-, 从而2q =, 且()11119

2317

b a b a -=???

--=??, 解得114,5a b =-=,所以131,52n n n a n b -=--= .

②假设存在满足题意的集合A ,不妨设(),,,l m p r A l m p r ∈<<<, 且,,,l m p r c c c c 等差数列, 则

2m p l c c c =+, 因为0l c >, 所以2m p l c c c =+ ① 若1p m >+, 则2p m ≥+,结合①得,

()15231n n c n -=++ , 则()()()111

25231523152321m p m m p m --+??++>++>+++??

, 化简得, 32105m m -

<-<, ② 因为2,m m N *≥∈, 不难知3205

m m

->,这与②矛盾，所以只能1p m =+,同理2r p l m =+=+, 所以,,m p r c c c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+,即

()()()11222m m m m m m b a b a b a ++++-=-+-,又122m m m a a a ++=+.故122m m m b b b ++=+,又212m m m b b b ++=

，故1q =， 这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A .

20.解：（1）()f x 的定义域是()0,+∞.()2222'2ax f x ax x x +=+=.当0a ≥时，()'0f x >,故()f x 在

()0,+∞上是增函数;当0a <时，令()'0f x =，

则12x x ==;

当x ?∈ ?时，()'0f x >,故()f x

在? ?上是增函数;

当x ?∈+∞???时，()'0f x <,故()f x

在?+∞???

上是减函数.

（2）①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是增函数; 故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,显然不合题意.

②若0

1

a

]0,1?? ?,则()f x 在(]0,1上是增函数，故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,不合题意，舍去.

③

若0

1

a

在? ?上是增函数 ，

在????上是减函数，故在(]0,1上的最大值是

12f =-+=-, 解得a e =-，符合.综合①、②、③得:a e =-. （3）()()2

1ln 1g x a x ax =+++, 则()2121

'2a ax a g x ax x x +++=+=,当2a ≥-时，()'0g x <,故2a ≤-时，当()g x 在()0,+∞上是减函数，不妨设210x x ≥>，则()()21g x g x ≤，故

()()1212g x g x k x x -≥-等价于()()()1221g x g x k x x -≥-，即()()1122g x kx g x kx +≥+，记

()()x g x kx ?=+，从而()x ?在()0,+∞上为减函数，由()()21ln 1x a x ax kx ?=++++得:

()221

'0ax kx a x x ?+++=≤,故()12a k ax x

-+≤-+恒成立，()

12a ax x -+-+

≥ ，又 ()()21h a a a =+在(],2-∞-上单调递减，()()()

124,24a h a h ax x

-+∴≥-=∴-+

≥≥,4k ∴≤.故当2a ≥-时，k 的最大值为4.