中学数学教案 导数在函数中的应用

导数在函数中的应用

一.基础知识

1.函数的导数与单调性

在某个区间内，若()f x '>0，则函数)(x f y =在这个区间内单调递增；若()f x '<0, 则函数)(x f y =在这

个区间内单调递减.

2.函数的导数与极值

（1）极大值：如果在

0x 附近的左侧()f x '>0，右侧()f x '<0，且()f x '=0，那么0()f x 是极大值； （2）极小值：如果在

0x 附近的左侧()f x '<0，右侧()f x '>0，且()f x '=0，那么0()f x 是极小值；

3.函数的导数与最值

(1)函数)(x f y =在区间[a,b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a,b]上，函数)(x f y =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2) 求函数)(x f y =在区间[a, b]上最大值与最小值的步骤：

①求函数)(x f y =在区间（a,b ）内的极值；

②将函数)(x f y =的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f(x)；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；

(4)回归实际问题作答．

注意事项

1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．

2.(1)f′(x)＞0在(a ，b)上成立是f(x)在(a ，b)上单调递增的充分条件．

(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x ＝x0处有极值的必要不充分条件．

3.求函数单调区间的步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x 的范围．

当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．

4.(1)注意实际问题中函数定义域的确定．

(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

二.题型训练

题型一 求曲线切线的方程

例1.已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.

(1)求曲线f (x )在x ＝2处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．

变式1.曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( )

A ．x －y ＋1＝0

B ．2x －y ＋1＝0

C ．x －y －1＝0

D ．x －2y ＋2＝0

2.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则a －b 的值为( )

A ．－4

B ．－1

C ．3

D ．－2

题型二.求函数的单调区间

例2. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.

(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．

练习：1. 设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．

2. 已知函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )．

(1)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝13

，且函数f(x)在????0，12上不存在极值点，求a 的取值范围．

题型三.分类讨论求函数的单调区间

例3. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ln x (x >0，实数a ，b 为常数)．

(1)若a ＝1，b ＝－1，求函数f (x )的极值；(2)若a ＋b ＝－2，讨论函数f (x )的单调性．

练习：

1. 已知函数f(x)＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x ＋2a ＋2，其中a ≤

2.

(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．

2. 已知a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+

（1）求()f x 的单调区间（2）证明：当0≤x ≤1时，()f x + 2a -＞0.

3. 设函数()x f x e ax 2=－－(Ⅰ)求()f x 的单调区间

(Ⅱ)若a=1，k 为整数，且当x>0时，()()x k f x x 10'>-++，求k 的最大值

小结：

利用导数研究函数的单调性关注四点

(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论．

(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．

(3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．

(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．

题型四.单调性的逆用

例4. 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .

(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；

(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．

练习：

1. 已知函数f (x )＝(x ＋a )2－7b ln x ＋1，其中a ，b 是常数且a ≠0.

(1)若b ＝1时，f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；

(2)当b ＝47

a 2时，讨论f (x )的单调性．

2. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在????12

，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)

3. 函数f (x )＝13x 3－x 2

＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的范围是________． 4. 已知函数f （x ）=

3213

x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 (Ⅰ)求实数a,b 的值；(Ⅱ)设g （x ）=f(x)+1m x -是[2,+∞]上的增函数，求实数m 的最大。

5. 已知函数)0(ln 1)(>+-=a x ax

x x f （1）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；

（2）当1=a 时，求)(x f 在]2,2

1[上的最大值和最小值.

题型五.求函数的极值、最值

例5. 已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -

（1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值．

练习：

1. 关于x 的方程x 3－3x 2

－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．

2. 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．

（1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；

（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，

，求函数()y h x =的零点个数．

3. 已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数f (x )的极值；

(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．

4. 已知函数f (x )＝ax －2x

－3ln x ，其中a 为常数． (1)当函数f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在[32

，3]上的最小值； (2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．

题型六.导数与方程

例6. 设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+

（1）求()f x 极值 （2）求()f x 与x 轴只有一个交点时a 的取值范围

变式：若与 x 轴有2个交点时a 的取值范围？

练习：

1. 设函数

R x x x x f ∈+-=,56)(3 （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.

2. 已知函数),2()(3

1)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围；（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.

题型七.利用导数证明不等式

例7. 设a 为实数，函数f (x )＝e x

－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1.

练习：

1. 已知m ∈R ，函数f (x )＝(x 2＋mx ＋m )e x

(1)若函数没有零点，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝0时，求证f (x )≥x 2＋x 3.

2. 已知函数(x)1

x

x e f xe =+.证明：0(x)1f <≤；

3. 已知()1ln ++-=a x x x f

（1）若存在 ()+∞∈,0x 使得()f x ≥0成立，求a 的范围

（2）求证：当x ＞1时，在（1）的条件下，

2

1ln 212+>-+x x a ax x 成立

题型八.恒成立问题

例8.