2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差(1)

第二章 概率 2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差（1）

学习目标

（1）理解随机变量的方差和标准差的含义；

（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题． 学习过程： 一、预习：

（一）问题：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．

我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？ （二）总结归纳：

1．

则2()(())i x E X μμ-=描述了(1,2,...,)i x i n =相对于均值μ的偏离程度，故 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，

（其中 120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离

程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()V X 或2

σ． 2．方差公式也可用公式2

21

()n

i

i i V X x

p μ==

-∑计算．

3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()V X 的算术平方根称为X

的标准差，即σ=

思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？ 练习：解答（一）中的问题。

二、课堂训练：

例1．若随机变量X 的分布如表所示：求方差()V X

．

例2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同.某学生一次从中摸出5个球,其中红球的个数为X,求X 的数学期望.方差和标准差.（超几何分布H(5,10,30)）

例3．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查,若这批产品的不合格品率为0.05,随机变量X 表示这10件产品中的不合格品数,求随机变量X 的方差和标准差。（二项分布B(10,0.5)）

说明：一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：

当~(,,)X H n M N 时，2()()

()(1)

nM N M N n V X N N --=

-，

当~(,)X B n p 时，()(1)V X np p =-．

例4．有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：

练习：

1、设X ～B( n, p )，如果E X= 12，V X= 4，求n, p

( )

A. E(2X-1)=2np

B. V(2X+1)=4np(1-p)+1 . E(2X+1)=4np +1

D. V(2X-1)=4np(1-p)

3、设X是一个离散型随机变量，其分布列如

三、课后巩固：

1、X～B(n,p),E(X)=0.8,V(X)=0.64,则n=____________,p=______________

2、某班学生有20名，其中女生3名，如果从全班选出4名学生去参观，则被选出的女学生人数X的期望、方差分别为___________、_________________

3、随机变量X、Y满足Y=3X+2则，E（Y）、V（Y）用E(X)、E(Y)表示为______________、E(Y)=______________，Y=aX+B时呢？___________________

4、设X为投掷两枚骰子所得的点数之和，求E（X）、V（X）

5.

求V（ξ）

ξ的概率分布为

6. 已知离散型随机变量

1

离散型随机变量

2

7、甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平