2012年高考数学真题汇编3 导数 理( 解析版)

2012高考真题分类汇编：导数

一、选择题

1.【2012高考真题重庆理8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,

()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f

（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f

（C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -

（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f

【答案】D

【解析】由图象可知当2--=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.当12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('-=x f x y ，所以此时0)('x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f 有极大值)2(-f ，极小值)2(f ,选D.

2.【2012高考真题新课标理12】设点P 在曲线12x y e =

上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）

()A 1ln 2- ()B

ln 2)- ()C 1ln 2+ ()

D ln 2)+

【答案】B 【解析】函数12

x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =

的距离为d

设函数

min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-?=-?=-?=

由图象关于y x =对称得：PQ 最小值为min 2ln 2)d =

-, 3.【2012高考真题陕西理7】设函数()x f x xe =，则（ ）

A. 1x =为()f x 的极大值点

B.1x =为()f x 的极小值点

C. 1x =-为()f x 的极大值点

D. 1x =-为()f x 的极小值点[学

【答案】D.

【解析】x x x xe e x f xe x f +=∴=)(',)( ，令0)('=x f ，则1-=x ，当1-x 时0)('>x f ，所以1-=x 为)(x f 极小值点，故选D.

4.【2012高考真题辽宁理12】若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是

(A)21x e x x ++ (2111)

24x x <-+ (C)21cos 12x x -

… (D)21ln(1)8

x x x +-… 【答案】C 【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--

=-+，则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cos 10g x x '=-+≥，

所以当[0,)x ∈+∞时，()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥ 同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12

x x -…，故选C 【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。

5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为

A ．

2π5 B ．43 C ．32 D ．π2

【答案】B

【解析】根据图像可得： 2()1y f x x ==-+，再由定积分的几何意义，可求得面积为

12311114(1)()33

S x dx x x --=-+=-+=?. 6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y ＝x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝

（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1

【答案】A

【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为

2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，

解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.

二、填空题

7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______。 【答案】4

9 【解析】曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离为2222211|

40|22=-=-+-=d ，

曲线C 1：y=x 2+a 对应函数的导数为x y 2=，令12=x 得21=x ，所以C 1：y=x 2+a 上的点为)4

1,21(a +，点)41,21(a +到到直线l:y=x 的距离应为2，所以211|4

121|

22=+--a ，解得49=a 或47-=a （舍去）。 8.【2012高考真题江西理11】计算定积分

=+?-dx x x 112)sin (___________。 【答案】3

2 【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。 【解析】

32)cos 31()sin (113112=-=+--?x x dx x x 。 9.【2012高考真题山东理15】设0a >.

若曲线y =

与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =______. 【答案】9

4=a 【解析】由已知得223023032|32a a x x S a a

====?，所以3221

=a ，所以94=a 。

10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．

【答案】012=+-y x

【解析】132-='x y ，当1=x 时，2='y ，此时2=k ，故切线方程为)1(23-=-x y ，即012=+-y x 。

11.【2012高考真题上海理13】已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 。 【答案】4

5 【解析】当210≤

≤x ，线段AB 的方程为x y 10=，当121≤

???????≤<+-≤≤==121,1010210,10)(22x x x x x x xf y ，函数与x 轴围成的图形面积为

dx x x dx x )1010(1021212

1

02+-=+??12

1232103

)5310(310x x x +-+=45=。 12.【2012高考真题陕西理14】设函数ln ,0()21,0

x x f x x x >?=?--≤?，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线

在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 .

【答案】2．

【解析】函数)(x f y =在点)0,1(处的切线为)1)(1('0-=-x f y ，即1-=x y .所以D 表示的平面区域如图当目标函数直线经过点M 时z 有最大值，最大值为2)1(20=-?-=z .

三、解答题

13.【2012高考真题广东理21】（本小题满分14分）

设a ＜1，集合}0|{>∈=x R x A ，}6)1(32|{2

a x a x R x B ++-∈=，B A D =。

（1）求集合D （用区间表示）；

（2）求函数ax x a x x f 6)1(32)(23++-=在D 内的极值点．

【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.

14.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分） 设1()(0)x x

f x ae b a ae =++>。 （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；

（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32

y x =；求,a b 的值。 【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，

代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。

【解析】（I ）设(1)x

t e t =≥；则2222111a t y at b y a at at at -'=++?=-=， ①当1a ≥时，0y '>?1y at b at

=+

+在1t ≥上是增函数， 得：当1(0)t x ==时，()f x 的最小值为1a b a

++。 ②当01a <<时，12y at b b at

=++≥+， 当且仅当11(,ln )x at t e x a a

====-时，()f x 的最小值为2b +。 （II ）11()()x x x x f x ae b f x ae ae ae '=++?=-， 由题意得：222

2212(2)333131(2)222f ae b a ae e f ae b ae ??=++==???????????'=???-==?????

。 15.【2012高考真题福建理20】（本小题满分14分）已知函数f （x ）=e x ＋ax 2

-ex ，a ∈R.

（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线y=f （x ）上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.

16.【2012高考真题全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

【答案】

17.【2012高

考真题北京理18】（本小题共13分）

【答案】解：（）由()1c ，为公共切点可得：

2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，

3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，

∴23a b =+①

又(1)1f a =+，(1)1g b =+，

∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：3

3a b =??=?．

（2）24a b =，∴设3221

()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++ 则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26a

x =-；

0a >，∴26

a a -<-， ∴原函数在2a ??-∞- ???，单调递增，在26a a ??-- ???，单调递减，在6a ??-+∞ ???

，上单调递增 ①若12

a --≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-； ②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ??-= ???

③若16a --

≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ??-= ???． 综上所述：

当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ??-= ???

． 18.【2012高考真题新课标理21】（本小题满分12分）

已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+

； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2

f x x ax b ≥

++，求(1)a b +的最大值. 【答案】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+

?==?= 得：21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+

?==-+

()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增

()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?<

得：()f x 的解析式为21()2

x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞

（2）21()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增

x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+

得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥

22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>

令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>?<<

当x =max ()2e F x =

当1,a b ==(1)a b +的最大值为

2e 19.【2012高考真题天津理20】本小题满分14分）

已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明

∑=<+--n

i n i 12)12ln(122（*N n ∈）. 【答案】

20.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．

（1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；

（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．

【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。

∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，

∴ (1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，解得==3a b -0，。

（2）∵ 由（1）得，3()3f x x x =- ，

∴()()23()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。

∵当2x <-时，()0g x <'；当21'，

∴=2x -是()g x 的极值点。

∵当21时，()0g x >'，∴ =1x 不是()g x 的极值点。

∴()g x 的极值点是－2。

（3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ，注意到()f x 是奇

函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。 当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。

由（1）知()()()=311f'x x x +-。

① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，无实根。

② 当()1 2x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。

又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，

∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当()1 1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。

又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，

∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。 因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d < 时

()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x

。 现考虑函数()y h x =的零点：

( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，

。 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点。

( 11 ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t

。 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点。 综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零

点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可。

（3）比较复杂，先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑函数()y h x =的零点。

21.【2012高考真题辽宁理21】本小题满分12分)

设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =++

+∈为常数，曲线()y f x =与 直线32

y x =在(0，0)点相切。 (Ⅰ)求,a b 的值。

(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6

x f x x <

+。 【答案】

【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本题容易忽略函数)(x f 的定义域，根据条件曲线()y f x =与直线32y x =

在(0，0)点相切，求出,a b 的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明9()6

x f x x <+即可。从近几年的高考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。本题属于中档题。

22.【2012高考真题重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）

设13()ln 1,22

f x a x x x =+++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. （Ⅰ） 求a 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的极值.

【答案】

23.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a ＞0，b ∈R ，函数()342f x ax bx a b =--+．

(Ⅰ)证明：当0≤x ≤1时，

(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a －b |﹢a ；

(ⅱ) ()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0；

(Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围．

【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知识点综合运用能力，同时考查抽象概括、推理论证能力。

【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性，

(Ⅰ)(ⅰ)()2122f x ax b '=-．

当b ≤0时，()2122f x ax b '=-＞0在0≤x ≤1上恒成立，

此时()f x 的最大值为：()1423f a b a b a b =--+=-＝|2a －b |﹢a ；

当b ＞0时，()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断，

此时()f x 的最大值为：

()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b a f x f f b a a b a b b a ->?==--=?-

＝|2a －b |﹢a ； 综上所述：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ；

(ⅱ) 要证()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0，即证()g x ＝﹣()f x ≤|2a －b |﹢a ．

亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a ，

∵()342g x ax bx a b =-++-，

∴令(

)21220g x ax b x '=-+=?=． 当b ≤0时，()2122g x ax b '=-+＜0在0≤x ≤1上恒成立，

此时()g x 的最大值为：()03g a b a b =-<-＝|2a －b |﹢a ；

当b ＜0时，()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断，

(

)max max{1}g x g g =，（）

4max{2}346362a b b a b a a b b a b a =--?≤-?=?>?-?，，，

≤|2a －b |﹢a ；

综上所述：函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a ．

即()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ，

且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a －b |﹢a )要大．

∵﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，

∴|2a －b |﹢a ≤1．

取b 为纵轴，a 为横轴．

则可行域为：21b a b a ≥??

-≤?和231

b a a b

由图易得：当目标函数为z ＝a ＋b 过P(1，2)时，有max 3z =．

∴所求a ＋b 的取值范围为：(]3-∞，．

24.【2012高考真题山东理22】(本小题满分13分) 已知函数ln ()x

x k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.

（Ⅰ）求k 的值；

（Ⅱ）求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意2

0,()1x g x e -><+.

【答案】

25.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）

已知函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0.

（1） 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.

（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax e x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，

故0a >.

而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a

'==得 当11ln x a a <

时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a

=时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当

111ln 1a a a

-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-

当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.

故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当

11a

=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21

212121

()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令21

21()(),ax ax ax

e e x

f x k ae x x ?-'=-=--则 121()12121

()()1,ax a x x e x e a x x x x ?-??=----??- 212()21221

()()1.ax a x x e x e a x x x x ?-??=---??- 令()1t F t e t =--，则()1t F t e '=-.

当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.

故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t -->

从而21()21()10a x x e a x x ---->，12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-221

0,ax e x x >- 所以1()0,x ?<2()0.x ?>

因为函数()y x ?=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使

0()0,x ?=2()0,()ax

x a e x ??'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()

ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为

212211(ln ,)()

ax ax e e x a a x x --.