3.4基本不等式教案
§3.4 基本不等式：ab ≤
2
b a + 【学习目标】
1.了解基本不等式的证明过程。
2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 【学习重点】 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
【学习难点】用基本不等式求最大值和最小值。
【考纲要求】能利用基本不等式求最大（小）值问题，并了解证明过程。
【教学方法】引导、合作探究法
【教学课时】1课时
【学习过程】 D
导入 【探究1】 在正方形ABCD 中有4个全等的
直角三角形，设直角三角形的两条直角边的长为
a 、b,那么
（1）正方形ABCD 的面积S =
（2）4个全等的直角三角形的面积S ′=
（3）S 与S ′的大小关系为
新课 ：一、基本不等式的探究 根据探究1得到
1、重要不等式
说明：
2、基本不等式 （＊）
说明：
你能根据不等式的性质分析推导出（＊）式吗？
要证 ab b a ≥+2
① 只要证 ≥+b a ②
要证②，只要证 -+b a 0≥ ③
要证③,只要证 ( - )2
0≥ ④
E F G H a b 22a b +
显然, ④是成立的,当且仅当a b =时, ④的等号成立
【探究2】 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ，则CD= ， 半径R=
2a b +的几何解释吗？ 3、基本不等式的意义
“形”：
“数”：
二、应用： 课本P99例1、例2分析
归纳：
练习1 当x
＞0时，1x x
+有最 值为 ，此时x = 思考：当x ＜0时，1x x +有最 值为 ，此时x = 练习2（06陕西）设y x ,为正数，则()???
? ??++y x y x 41的最小值为
总结利用基本不等式求解实际问题的步骤：
练习3 做一个体积为323m ，高为2m 的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？
【小结】1、公式；2、应用；3、数学思想
【作业】1.必做题：习题3.4A 组1、2、4
2.选做（探究）题：（1）求1
432-++=x x y 的最小值（其中x ＞1）。 （2）求()x x y 21-=的最大值（其中0＜x ＜2
1）。 （3）（08重庆）函数()1
+=x x x f 的最大值为（ ） A ．52 B.21 C.2
2 D.1 【板书设计】
《基本不等式》教案
《基本不等式》教案 教学三维目标： 1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神. 教学重点、难点： 重点：基本不等式在解决最值问题中的应用. 难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导： 基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习. 教学过程： 一、基础梳理 基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b + （当且仅当a b 时取""=号 ） 代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思 想得到基本不等式） 几何背景：半径不小于半弦。 常见变形： （1）ab 22 2a b + （2）222a b + 2 2a b +?? ??? （3）b a a b + 2（a ，b 同号且不为0） 3、算术平均数与几何平均数
如果a 、b 是正数，我们称 为a 、b 的算术平均数，称 的a 、b 几何平均数. 4、利用基本不等式求最值问题（建构策略） 问题： （1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式： 已知x ，y 都大于0则 （1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ； （2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 . 二、课前热身 1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ） A. 22a b + B. C. 2ab D. a b + 2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若x x x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=?≥+ x x x x 21的最小值是x x +∴ （2）2121,2=?≥+ ≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+ >a a a 三、课堂探究 1、答疑解惑 方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。 2、典例分析 例1、设02,x <<求函数y =. 例2、41,3lg lg x y x x >=++ 设求函数的最值. 变式1：将条件改为01x << 变式2：去掉条件1x > 变式3：将条件改为1000≥x 例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式：求a b +的取值范围.
高中数学基本不等式及其应用教案设计
实用标准 文档大全基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0} ．． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 实用标准 文档大全二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥∴a2＋b2≥2ab ．． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．
数学苏教版必修5基本不等式(教案)
基本不等式（一） 教学目标： 1． 学会推导并掌握均值不等式定理； 2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab 4a ＋b ≥2ab 即 a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义 问：a ，b ∈R －？ 例题讲解： 例1 已知x ，y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14 S 2.
基本不等式及其应用-沪教版必修1教案
基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式： 宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为:
【新教材】 新人教A版必修一 基本不等式 教案
基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）； （4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． （2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立，
对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立． 对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ， 则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1， 当且仅当x ＝－错误!时，等号成立， 所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。 因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2）， 所以1a ＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系 下列不等式一定成立的是
高中数学《基本不等式》优质课教学设计
《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过
(word完整版)高中数学基本不等式及其应用教案
基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式
1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc；
基本不等式教案第一课时
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】
【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+
基本不等式完整版(非常全面)教案资料
基本不等式完整版(非 常全面)
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取 “=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时 取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时 取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a + ≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、
基本不等式的应用教学设计说明
教学设计与反思 课题：3.4.3 基本不等式 2b a a b + ≤的应用（二） 科目：数学教学对象：高二(290)学生课时：1课时提供者：和安单位：安一中 一、教学容分析 本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实. 根据本节课的教学容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助. 二、教学目标 （一）知识目标：构建基本不等式解决函数的值域、最值问题； （二）能力目标：让学生探究用基本不等式解决实际问题 （三）情感、态度和价值观目标： 通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯； 三、学习者特征分析 在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应
1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学； 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用； 3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣. 教学重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题. 2.让学生探究用基本不等式解决实际问题； 教学难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题； 2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；
基本不等式公开课教案
基本不等式 2 a b + 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤ 的证明过程。 难点：2a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程
1.课题导入 2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和 是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为222)(2b a ab b a -=-+
基本不等式 教案
澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【基本不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：刘世杰 郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 一、教材分析：本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 二、教学目标： 1、知识与技能： （1）掌握基本不等式2 a b ab +≤ ,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法： （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度与价值观： （1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 三、教学重点： 应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式 2 a b ab +≤ 的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。 四、教学难点：基本不等式2 a b ab +≤使用限制条件 基本不等式2 a b ab +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用 五、教学准备 1、课时安排： 2课时 2、学情分析：高三的学生对于基本不等式已经有了初步认识，但是知识不成体系，通过课前的预习和课上两个例题及其变式的解决，使得学生对于基本不等式的使用注意点会有更
基本不等式教学设计-教学教材
基本不等式教学设计-
《基本不等式》教学设计 刘敏 教材分析： 这节课是必修5第三章第四节的第一课时，主要内容是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用。不等关系和相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。 学情分析： 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，逻辑能力不强，很难用数学的观点和思想提炼生活中的实际问题。所以这节课应通过一系列的具体问题情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解一些不等式产生的实际背景的前提下，学习基本不等式的有关内容使学生感受到不等式的广泛应用，增强学习的兴趣，动员学生实际参与能力。 教学目标：1.理解并掌握基本不等式的证明及其应用。 2. 探索基本不等式的证明过程，进一步领悟不等式 2b a a b + ≤ 成立的条件，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。 3.体验探究的乐趣，培养学生主动运用数形结合的思想，去分析问题，解决问题和应用问题的能力。 教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同的角度 探索基本不等式 2b a a b + ≤的证明过程。
教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。 教学方法：引导，启发与讲授相结合 教学过程： 一、 问题情境（5分钟） 北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表ab 2中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为)(,b a b a ≠，这样，4个直角三角形的面积和为ab 2，正方形的面积为22b a +。由于正方形大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式ab b a 222>+。当直角三角形为等腰直角三角形，即b a =，正方形中空白处缩为一个点。这是有ab b a 222=+。 一般的，对于任意实数b a ,，我们有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
教学设计 基本不等式教学设计
基本不等式教学设计 海南省文昌中学 王姿婷 一．教学目标： 知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，掌握基本不等式的证明，并能应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 二．教学重点： 应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式 2 a b ab +≤ 的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。 三．教学难点: 基本不等式2 a b ab +≤使用限制条件 基本不等式2 a b ab +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用 四．教学过程： （一）课题引入：卖家诚信吗？ 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤短两，于是他想出了一个办法： 先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售，你觉得，店主这个买卖做到诚信无欺了吗？请说明理由.
利用几何画板演示，让学生清楚的看到两个互为倒数的正实数算术平均值是不小于1 的，留下疑问。 （二）知识建构： 1. 重要不等式： 下图是根据赵爽的弦图设计的，初中时，曾利用该图证明过勾股定理（2 22c b a =+），现在，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？你能给出它的证明吗？ 对于任意实数b a ，,有2 2b a +___ab 2，当且仅当_______时，等号成立. 2. 代数证明：实为求证：已知R b a ∈,，证明：ab b a 222≥+ 简单变形：2 2 2b a +___ab 思考：如果用x 与y 整体替换2a 和2b ，式子会变形为？此时的x 与y 有没有什么限制？ （三）要点直击： 1. 基本不等式：对于任意∈b a ， ，有2 b a +___ab ，当且仅当_______时，等号成立. 2. 两个子概念： b a ，的算术平均： ； b a ，的几何平均： 思考：基本不等式与重要不等式对b a ，的范围限制相同吗？
3.4《基本不等式》(1)教案
普安县第五届中小学优质课评选授课教案 【课题】 3．4 基本不等式（1） 【执教人】吴应艳 【上课时间】 2013、12、 【教学方法】探究学习、学案导学 【教学手段】投影仪、彩笔 【课型】新授课 【总课时数】 1课时 【教学内容分析】 本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。 【学生学习情况分析】 授课的班级学生程度不太高，基础差不多，学习的知识结构较为合理。因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。【教学目标】 知识目标：1、使学生了解基本不等式及其证明；2、让学生感知与基本不等式相近的一些不等式的证明与几何背景。 能力目标：1、通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、让学生初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力与逻辑思维能力 情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于探索精神及灌输问题教学法。 【教学重点与难点】 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程，并能说明基本不等式的意义 难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式
一、教学过程 (一)情景设置 【探究】右图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 现将图中的“风车”抽象成下图， 这个会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 问题1:我们把“风车”造型抽象成图一.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 如果设直角三角形的两直角边长为ａ、ｂ，你能用ａ、ｂ表示哪些图形的面积，这些面积有什么关系？那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 4个直角三角形的面积和是多少呢？（由学生回答，培养学生独立思考问题的能力） （，22a b +、2ab ） 问题2：比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等 关系？ （根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可容易得到一个不等 式， > (a ≠b)） 问题3：什么时候这两部分面积相等呢？（让学生直接回答，老师黑板板演，或借助多媒体投影，提高学生的数学表达和交流能力。） （当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点， 22b a +ab 2
【公开课教案】《基本不等式》教案
基本不等式教案 一、教学目标： 1、知识与技能： ①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件； ②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。 2、过程与方法： 本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。 3、情感与价值： 培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。 二、教学重点和难点： 重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 2 a b +≤的多种解释； 难点：理解“当且仅当a b =时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。 三、学法与教学用具：
先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。 四、教学设想： 1、几何操作，引入问题： 给出如右的所示的几何图形，AB 是O 的直 径，点C 是AB 上任意一点，过点C 作垂直于AB 的 弦交O 于DD '，连结AD 、BD ，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗? 提问一：现在我们不妨假设2AC a =，2BC b =，那么CD 的长度是多少？、 由AB 为直径可知ABD ?是直角三角形，再根据DC AB ⊥，容易证得ACD ?∽DCB ?，即得CD ab =； 提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？ 任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。 提问三：结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，若可以，等号成立的条件是什么？ 首先由垂径定理可知，12 CD DD '=，因此有2DD ab '=，即为O 的一条弦长，而22a b +表示的是O 直径的长度，根据上一问的结论可以得知有不等式222a b ab +≥，两边同时除以2，不等式可以表示为：
基本不等式教学设计
基本不等式教学设计 一、教学目标 1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想； 2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力； 3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想； 4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件 （一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节． 二、教学重点和难点 重点：利用一个表格进行对式子大小进行猜测，应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式2 b a a b +≤的证明过程及应用。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 三、教学过程 2 b a ab +≤
1.探究引入 用一个表格，对表格中后两组数据比较得出一般情况下猜测： ab b a 222≥+当且仅当b a =时等号成立。 2．动手操作，证明基本不等式。 如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的． ⑴几何证明一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为， 那么正方形的边长为 ．于是， 4个直角三角形的面积之和， ABCD b a ,2 2b a +ab S 21=
(基本不等式)公开课教案
基本不等式 2 a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2 a b +的证明过程。 难点：2 a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22 a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：22 2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有22 2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22 ,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(2 2ab b a ≥+ 4．12a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， (a>0,b>0)2a b ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤ 的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本 2a b ab +≤ 的几何解释吗？
基本不等式及其应用-沪教版必修1教案
基本不等式及其应用 砀山中学 郑永超 高考命题趋势： 基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。考察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1． 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2． 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 3． 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b ∈R,则a 2+b 2≥2ab,当且仅当a=b 时取“=” 若a 、b ∈R +,,则ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时取“=” 2、常用变形形式： ① ()0,02222≥≥+≤+≤b a b a b a ab ④ ab b a 222≥+
② 22222b a b a ab +≤???? ??+≤ ⑤ ③ 同号）、b a a b b a (2≥+ 3、求最大值、最小值问题 （1）如果x 、y ∈(0,+∞),且xy=p （定值），那么当x=y 时，x+y 有 。 （2）如果x 、y ∈(0,+∞),且x+y=s （定值），那么当x=y 时，xy 有 。 概括为：“一正，二定，三相等” 二、 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围。 例2、已知x>0、y>0,且191=+y x ，求x+y 的最小值。 变式训练：设x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值 例3、已知a>0,求函数a x a x y +++= 221的最小值。 练习:设x>-1求函数()()125+++= x x x y 的最值。 三、基础巩固 1、函数f(x)=x+421--x (x>2),则f(x)有( ) A.最大值0 B.最小值0 C. 最大值-2 D. 最小值-2 2、下列各式中最小值是2的是（ ） A.x y y x + B.4 522++x x +cot D.x x -+22 3、已知2a 为1-b 、1+b 的等比中项，则ab 的最大值是 ； a+2 b 的最大值是 。 21≥+x x