内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心

1、内心

（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（2）三角形的内心的性质

①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

③s=(r是内切圆半径)

④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/2

2、外心

（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（2）三角形的外心的性质

①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

④OA=OB=OC=R

⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

⑥S△ABC=abc/4R

3、重心

（1）三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。（2）三角形的重心的性质

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心

（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

（2）三角形的垂心的性质

①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外

②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心

③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上

④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF

⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

⑥△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

⑦在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC

⑧三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

⑨设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

⑩锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半

径之和的2倍。

11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

有机化学之官能团性质总结

有机物的鉴别鉴别有机物，必须熟悉有机物的性质（物理性质、化学性质），要抓住某些有机物的特征反应，选用合适的试剂，一一鉴别它们。 1．常用的试剂及某些可鉴别物质种类和实验现象归纳如下：试剂名称酸性高锰酸钾溶液溴水银氨溶液新制 Cu(OH)2 FeCl3 溶液碘水酸碱指示剂 Na NaOH Na2CO3 NaHCO3 被鉴别物质种类含碳碳双键、三键的物质、烷基苯。但醇、醛有干扰。含碳碳双键、三键的物质。但醛有干扰。苯酚溶液含醛基化合物及葡萄糖、果糖、麦芽糖含醛基化合物及葡萄糖、果糖、麦芽糖苯酚溶液淀粉羧酸（酚不能使酸碱指示剂变色）羧酸现象酸性高锰酸钾紫红色褪色溴水褪色且分层出现白色沉淀出现银镜出现红色沉淀呈现紫色呈现蓝色使石蕊或甲基橙变红放出无色无味气体溴苯、氯苯归为卤代烃，不过水解是酚，不是醇啊。硝基能被还原为氨基（铁粉还原）类型概念举例（化学方程式）反应物类属取代反应分子里某些原子或原子团被其它原子或原子团所代替卤代反应 CH 4 + Cl 2 CH 3 Cl + HCl 烷烃、环烃、芳烃硝化反应芳烃、苯酚磺化反应芳烃酯化反应酸、醇分子间脱水 2C 2 H 5 OH C 2 H 5 OC 2 H 5 + H 2 O 醇水解反应 CH 3 CH 2 X + H 2 O CH 3 CH 2 OH + HX 卤代烃、酯

加成反应有机物分子中的双键（或三键）两端的碳原子与其它原子或原子团直接结合生成新的化合物加氢气芳烃、烯烃、炔烃加卤素烯烃、炔烃加水 CH 2 ＝CH 2 + H 2 O CH 3 －CH 2 OH（工业制醇） CH 2 ≡CH 2 + H 2 O CH 3 －CHO（工业制醛）烯烃、炔烃加卤代烃 CH≡CH + HCl CH 2 ＝CHCl 烯烃、炔烃加氢气 CH 3 CHO + H 2 CH 3 CH 2 OH 醛聚合反应由相对分子质量小的化合物互相结合成相对分子质量大的高分子化合物加聚反应烯烃、炔烃、醛、酚等缩聚反应：生成高分子的同时还有小分子消去反应有机化合物在一定的条件下，从一个分子中脱去一个小分子而生成不饱和（含双键或三键）的分之内脱水 CH 3 CH 2 OH CH 2 ＝CH 2 ↑+ H 2 O 醇、烃、卤代烃等卤代烃脱卤化氢 CH 3 CH 2 CH 2 Br + NaOH CH 3 CH＝CH 2 + NaBr + H 2 O 裂化（深度裂化也叫裂解） C 4 H 10 CH 4 + C 3 H 6

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ? =++0OC OB OA ?? ?=-+-+-=-+-+-0 )()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ??? ?++=++=?3 3321321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心（2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为A B C ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为A B C ?的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O OC c OB b OA a ?=++0为A B C ?的内心. 证明：b AC c AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b AC c AB + 平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a b c ++= λ O A B C D E O A B C D E

三角形的各个心总结与归纳资料讲解

三角形的各个心总结与归纳

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X 2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好． 2三角形垂心的性质设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

三角形内心、外心专项训练

三角形内心、外心专项训练内心相关知识一、判断题 1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个 2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个 3、三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心） 4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题 6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF. 7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________. 8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG ⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF. 9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N. 求证：A、M、N在一条直线上. 证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC 过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC ∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC ∴NF__________NH，NH__________NK ∴NF__________NK ∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB ∴__________=__________，__________=__________ ∴__________=__________ ∴M在∠A的__________上 ∴M、N都在∠A的__________上 ∴A、M、N在一条直线上三、作图题 10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.

三角形垂心的性质总结

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三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。证明：如图：作BE于点E，CF AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD BC即可。因为CF AB，BE 所以四边形BFEC为圆内接四边形。四边形AFHE为圆内接四边形。所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB 由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD BC。点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。求证：H为三角形DFE的内心。证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）

由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE 所以H为三角形DFE的内心。点评：以上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。证明：由得，所以。同理OB，，则点O为垂心。三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以

官能团性质归纳

1、卤代烃官能团：卤原子（-X）。性质：在碱的溶液中发生“水解反应”，生成醇。在碱的醇溶液中发生“消去反应”，得到不饱和烃 2、醇官能团，醇羟基（-0H）。性质：能与钠反应，产生氢气能发生消去得到不饱和烃（与羟基相连的碳直接相连的碳原子上如果没有氢原子，不能发生消去）③能与羧酸发生酯化反应④能被催化氧化成醛（伯醇氧化成醛，仲醇氧化成酮，叔醇不能被催化氧化） 3、醛官能团：醛基.（-CHO）O 性质：能与银氨溶液发生银镜反应能与新制的氢氧化铜溶液反应生成红色沉淀③能被氧化成羧酸④能被加氢还原成醇 4、酚官能团：酚羟基（-0H）性质：具有酸性能钠反应得到氢气酚羟基使苯环性质更活泼，苯环上易发生取代，酚羟基在苯环上是邻对位定位基③能与羧酸发生酯化 5、羧酸官能团：羧基（-COOH）性质：具有酸性（一般酸性强于碳酸）能与钠反应得到氢气不能被还原成醛（注意是 “不能”）③能与醇发生酯化反应 6、酯官能团：酯基（-COOR）性质：能发生水解得到酸和醇醇、酚：羟基（-OH）;伯醇羟基可以消去生成碳碳双键，酚羟基可以和NaOH反应生成水, 与Na2CO3反应生成NaHCO3，二者都可以和金属钠反应生成氢气 7.、醛

官能团：醛基（-CHO ）; 性质：可以发生银镜反应，可以和斐林试剂反应氧化成羧基。③与氢气加成生成羟基。 8.、酮: 官能团：羰基（＞ C=O ）；性质：可以与氢气加成生成羟基。不能被高锰酸钾氧化。 9.、羧酸: 官能团：羧基（-COOH ）；反应生成水，与 NaHCO3、Na2CO3反应生成二氧化碳酯化反应。 10、硝基化合物： 11、胺: 16、腈：官能团：氰基（-CN ）性质：酸性，与NaOH 官能团：硝基（-NO2）；性质：一定条件下，硝基可被还原为 -NH 2 官能团：氨基（-NH2）. 性质：弱碱性 12、烯烃：官能团: 碳碳双键（＞ C=C ＜）性质：加成反应能被高锰酸钾等强氧化剂氧化，使高锰酸钾溶液褪色 13、炔烃：官能团: 碳碳三键（-C 三C-）性质：加成反应能被高锰酸钾等强氧化剂氧化，使高锰酸钾溶液褪色 14、醚：官能团：醚键（毛-O-C 茅性质：可以由醇羟基脱水形成。 15、磺酸：官能团：磺基（-SO3H ）酸性，可由浓硫酸取代生成

三角形各种心的性质归纳

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三角形各种心的性质研究一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨． 1．重心：设G 是ABC ?的重心，AG 的延长线交BC 于D ，则，DC BD =)1(，（ 2）3:2:=AD AG ；（3）4222222 BC AC AB AD -+=，（4）3 ABC GBC S S ??=． 2.外心：设⊙O （R ）是ABC ?的外接圆，BC OD ⊥于D 交⊙O 于E ，则（1）R OC OB OA ===；（2）A BOC ∠=∠2或)180(20A ∠-；（3）DC BD =⌒BE =⌒EC ；（4）C B A R R abc S ABC sin sin sin 24==?（正弦定理） 3.内心：设ABC ?的内心圆⊙I （)r 切边AB 于P ，AI 的延长线交外接圆于D ，则（1） A BIC ∠+?=∠2190; (2)a c b a a c b A r AP -++=-+=∠=)(21 221cot ；(3)DC DI DB ==； (4)2 ) (c b a r S ABC ++=?; 4.垂心：设H G O ,,分别是ABC ?的外心，重心，垂心，BC OD ⊥于D ，AH 的延长线交外接圆于1H ，则，（1）OD AH 2=；（2）H 与1H 关于BC 成轴对称；（3）⊙=BCH ⊙ABC ；（4）,,,H G O 三点共线，且2:1:=GH OG ； 5．旁心：设ABC ?在A ∠内的旁切圆⊙1I （)1r 与AB 的延长线切于1P ，则，（1） A C BI ∠-=∠2 1 9001；（2）2211c b a A ctg r AP ++=∠=；（3）21c b a BP -+=；（4）2 1 C B AI ∠=∠；（5）2) (1a c b r S ABC -+=? 6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在△ABC 中，内切圆⊙O 分别与三边相切于点K M ,L ，BC 边上的帝切圆⊙a O 与BC 边切于点H ，且分别与AB 边和AC 这的延长线相切于点Q 、点P ．设三边BC 、CA 、AB 分别为c b a ,,， C B A ∠∠∠,,分别为γβα,,，)(2 1 c b a p ++= ，内切圆半径为r ，旁切圆半径分别为c b a r r r ,,，外接圆半径为R ，三角形面积为?S ，则有如下关系式：（1）p AP =，a p AK -=，c b LH -=；（2） a p rp r a -= ；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）))((1 c p b p r r a --=；（5）c b a r r r r 1111--=；（6）2 tan 2 tan γ β ?= r r a M

三角形的内心、外心、垂心

一、三角形内心（一）定义在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心, （二）三角形内心的性质：设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 2、∠BIC=90°+A/2． 3、如图在RT△ABC中，∠A=90°△内切圆切BC于D则S△ABC=BD*CD 4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 6、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a +c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 10、（内角平分线定理） △ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. （三）三角形内接圆半径 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 2、在RT△ABC中，∠C=90°，r=ab/a+b+c 3任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长）二、三角形外心（一）定义三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上（二）三角形外心的性质：设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；

三角形各性质总结

在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。在同一三角形中，有两个底角（底角指三角形最下面的两个角）相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。（简称：三线合一）。主要特点 1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（三线合一”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

1、定义 2、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 2、性质 1.等边三角形的内角都相等，且均为60度。 2.等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。 3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 3、判定 ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 ⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系． 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：

官能团的性质及有机化学知识总结大全

有机物官能团与性质 [知识归纳] —R —OH 其中： 1、能使KMnO4褪色的有机物：烯烃、炔烃、苯的同系物、醇、酚、醛、葡萄糖、麦芽糖、油脂 2、能使Br2水褪色的有机物：烯烃、炔烃、酚、醛、葡萄糖、麦芽糖、油脂 3、能与Na反应产生H2的有机物：醇、酚、羧酸、氨基酸、葡萄糖 4、具有酸性（能与NaOH、Na2CO3反应）的有机物：酚、羧酸、氨基酸 5、能发生银镜反应或与新制Cu(OH)2反应的有机物：醛、甲酸、甲酸盐、甲酸酯、葡萄糖、麦芽糖 6、既有氧化性，又有还原性的有机物：醛、烯烃、炔烃 7、能发生颜色（显色）反应的有机物：

[有机合成的常规方法] 1．引入官能团： ①引入-X 的方法：烯、炔的加成，烷、苯及其同系物的取代 ②引入-OH 的方法：烯加水，醛、酮加氢，醛的氧化、酯的水解、卤代烃的水解、糖分解为乙醇和CO 2 ③引入C=C 的方法：醇、卤代烃的消去，炔的不完全加成，*醇氧化引入C=O 2．消除官能团 ①消除双键方法：加成反应 ②消除羟基方法：消去、氧化、酯化 ③消除醛基方法：还原和氧化 3．有机反应类型常见的有机反应类型有取代(包括酯化、水解)、加成、加聚、消去、氧化、还原等。能够发生各种反应类型的常见物质如下： ①烷烃、芳香烃与X 2的反应 (1)取代反应 ②羧酸与醇的酯化反应 ③酯的水解反应 ①不饱和烃与H 2、X 2、HX (2)加成反应的反应 ②醛与H 2的反应 (3)加聚反应：烯烃、炔烃在一定条件下的聚合反应。 C H COOH O O O O C H 2CH 2Br Br C H 2CH O O C OCH 2CH 2O C []n CHO

初中三角形有关知识点总结及习题大全-带答案

. A一、三角形内角和定理一、选择题 40°120°BCD1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A．75B．60C．45D．30 3.如图，直线m∥n，∠1=55，∠2=45，则∠3的度数为（） A．80B．90C．100D．110 【解析】选C.如图，由三角形的外角性质得 000 4125545100，由m∥n，得34 0 100 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130°，250°，则3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15° 【解析】选C在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°，所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20° B.35° C.45° D.55° 【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形 .

. 【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 4.（2008·聊城中考）如图，1100，2145，那么3（） 6 A．55°B．65°C．75°D．85° 答案：选B 二、填空题 oo 5.（2009·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130，∠2=30，则∠C=．【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130 o，∴∠C=180°-∠1- ∠AEC=180°-130 o- 30o=20o o答案： 20 6.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30 0, 则∠PFC=__________。 0 【解析】由EP平分 ∠AEF,∠PEF=30 0 得∠AEF=60 0 ，由AB//CD得∠EFC=120 0 ，由FP⊥EP得 ∠P=90 ， ∴∠PFE=180 0-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600. 答案：60° 7.（2008·长沙中考）△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C=. 答案：100° 8.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，这块三角形木板另外一个角是度．

有机化学之官能团性质总结

类别通式官能团代表物分子结构结点主要化学性质卤代烃一卤代烃： R—X 多元饱和卤代烃： C n H2n+2-m X m 卤原子 —X C2H5Br （Mr：109）卤素原子直接与烃基结合 β-碳上要有氢原子才能发生消去反应 1.与NaOH水溶液共热发生取代（水解）反应生成醇 2.与NaOH醇溶液共热发生消去反应生成烯 3.在碱性条件下，水解更彻底，若卤原子与苯环相连，则难水解醇一元醇： R—OH 饱和多元醇： C n H2n+2O m 醇羟基 —OH CH3OH （Mr：32） C2H5OH （Mr：46）羟基直接与链烃基结合，O—H及C—O 均有极性。 β-碳上有氢原子才能发生消去反应。 α-碳上有氢原子才能被催化氧化，伯醇氧化为醛，仲醇氧化为酮，叔醇不能被催化氧化。 1.跟活泼金属反应产生H2 2.跟卤化氢或浓氢卤酸发生取代反应生成卤代烃 3.脱水反应:存在浓H2SO4 140℃分子间脱水成醚 170℃分子内脱水生成烯 4.催化氧化为醛或酮 5.去掉氢，发生酯化反应 6.能被重铬酸钾酸性溶液氧化，由橙红色变为绿色醚R—O—R′醚键C2H5O C2H5 （Mr：74） C—O键有极性性质稳定，一般不与酸、碱、氧化剂反应酚C n H n O 酚羟基 —OH （Mr：94）C6H5OH —OH直接与苯环上的碳相连，受苯环影响能微弱电离。 1.弱酸性，比碳酸还弱 2.与浓溴水发生取代反应生成白色沉淀，在浓H2SO4存在下，可与硝酸生成三硝基苯酚 3.遇FeCl3呈紫色 4.易被氧化醛C n H2n O 醛基 HCHO （Mr：30）（Mr：44）CH3CHO HCHO相当于两个 —CHO 有极性、能加成 1.与H2、HCN等加成为醇 2.被氧化剂(O2、多伦试剂、斐林试剂、酸性高锰酸钾溴水等)氧化为羧酸 3．能发生银镜反应，能与新制的氢氧化铜悬浊液反应酮CnH2n O 羰基（Mr：58） CH3COCH3 有极性、能加成与H2、HCN加成为醇不能被氧化剂氧化为羧酸羧酸C n H2n O2羧基（Mr：60）CH3COOH (醋酸乙酸) 受羰基影响，O—H能电离出H+，受羟基影响不能被加成。 1.具有酸的通性 2.酯化反应时脱去羟基，不能被H2 加成 3.能与含—NH2物质缩去水生成酰胺 (肽键) 4.醋酸能使苯酚钠变浑浊 5.甲酸既有酸的性质，又有醛的性质酯C n H2n O2酯基HCOOCH3 （Mr：60）酯基中的碳氧单键易断裂 1.发生水解反应生成羧酸和醇 2.也可发生醇解反应生成新酯和新醇硝酸酯RONO2硝酸酯基 —ONO2 不稳定易爆炸硝基化合物R—NO2硝基—NO2一硝基化合物较稳定一般不易被氧化剂氧化，但多硝基化合物易爆炸氨基酸RCH(NH)COOH 氨基—NH2 羧基 H2NCH2COOH —NH2能以配位键结合H+；—COOH能部两性化合物

相似三角形的性质与判定知识点总结+经典题型总结(学生版)

板块考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念 1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．知识点睛中考要求相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．

三角形的各个心总结与归纳

三角形的心三角形只有五种心重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称. 当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心. 1三角形重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC= S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+ X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y 1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．

2三角形垂心的性质设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、 B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·H D=BH·HE=CH·HF。 5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。 7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB /AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 12、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。 3三角形内心定义在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心, 三角形内心的性质设⊿ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．

三角形内心、外心专项训练

三角形内心、外心专项训练 -CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1

内心相关知识三角形内心、外心专项训练一、判断题在同一平面内，在同一平面内，三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心） 1 、 2 、 3> 4 、 5 、到三角形三边距离相等的点只有一个到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个等腰三角形底边中点到两腰的距离相等三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题 6、如图（1）,点P为△A8C三条角平分线交点，PD丄AB, PE丄BC, PF丄AC,则 PD __________ PE __________ PF. 7、如图（2） , P是ZAOB平分线上任意一点，II PD=2cm,若使P&2cm,则PE与 0B的关系是___________ . 8、如图（3） , CD为RtAAfiC斜边上的高，ZBAC的平分线分别交CD、CB于点￡, F, FG 丄AB,垂足为G,则CF _________________ F G, Z1+Z 3= ____________ 度，Z 2+Z 4= FG. Z 1+ Z 3= CF. 度，Z3Z4, CE 9.如右图，￡、D分别是&& BED、ZEDC的角平分线交于M 求证；A、M、W在一条直线上. 证明：过点W作WF丄AB, NH丄ED, NKLAC 过点M 作MJ丄BC, MPMQ丄AC V￡/V￥分Z8￡6 DN 平分ZEDC :.NF _________ NH, NH NK :.NF _________ NK 代W在ZA的平分线上乂TBM 半分ZABC, CM 半分ZACB AC匕的一点, ZffiC. /BCD的角平分线交于点Z AM在ZA的_____________ 上 AM. W都在ZA的 _____________ 上：4、W在一条直线上三、作图题 10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点 C

三角形重心、外心、垂心、内心性质

三角形重心性质定理 1三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。 2重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 3重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 4重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 5在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 ((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标： (Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 6重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 7重心是三角形内到三边距离之积最大的点。三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。三角形的外心的性质 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 6.S△ABC=abc/4R 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形的内心的性质 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的垂心的性质 1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上 4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF 5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。 7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC 8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

三角形知识点总结(完)

三角形知识点全面总结 1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL （R t △≌R t △） 2、等腰三角形的判定及性质性质：①两腰相等 ②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”） ③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高【即：DE+DF=CP ，（D 为BC 上的任意一点）】 3、等边三角形的性质及判定定理性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度 ③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”） ④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。结论总结：① 高= 23边【即： AB AD 23=】 ② 面积= 243边【即：24 3 AB S ABC =?】 4、直角三角形的性质及判定性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。④斜边中线等于斜边一半判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形 ②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。”） ③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形结论总结：直角三角形斜边上的高= 斜边直角边的乘积【即：AB BC AC CD ?=】 5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线:分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线。 6、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：①定义法②在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线 A B C D A B D A B C D O E P D A B A B C D E P F B