一元二次方程的运用(一)

一元二次方程的运用(一)
一元二次方程的运用(一)

内容:一元二次方程的运用(一)

学习目标:

1、让学生在经历运用一元二次方程解决代数问题的过程中体会地元二次方程的应用价值。

在应用一元二次方程解决问题的过程中,提高学生的分析问题、解决问题的能力。

学习过程:

一、创设情境,导入新课

1、回顾,我们已经学过了用什么样的方程解解应用题?“列方程解应用题”你有什么经验?

2、填空:

(1)当x=____时,代数式3x -5与3 +2x的值为相反数。

(2)、当x=____时,代数式3x -5的值大于3 +2x的值

(3)、一元二次方程ax2+ bx +c=0(A0)当b2-4ac ____时,方程有两个相等的实数根;当 b2-4ac ____时,方程有两个不相等的实数根; 当b2-4ac ____时,方程没有实数根。

我们能否用所学的一元二次方程解决一些生活的实际问题呢?

二、合作交流,探究新知

探究1:当x取什么值时,多项式x2 -3x -1与多项式4x +1的值相等?

探究2:当y取什么值时,多项式(y -5)2+6y2的值等于40

探究3:当t取什么值时,关于x的一元二次方程x2+(x +t)2=2t2+4t -1

(1)有两个相等的实数根。

(2)有两个不相等的实数根。

(3)没有实数根。

三、知识运用

1、当x为何值时,代数式x2 -x -2与2x -1的值为相反数?

2:当k取什么值时,关于x的一元二次方程x2-(2k-t)x =-k2+2k +3

(1)、有两个相等的实数根。?

(2)、有两个不相等的实数根?

(3)、没有实数根?

2、已知关于x方程:①x2(2m+1)+m2+m=0和②mx2+(m -

1)x-1=0.问m为何值时,两方程都是一元二次方程?

求证:不论m为何值时,方程①总有两个不相等的实数根,方程②总有实数根。

四,课堂小结:

通过这节课的学习,你有什么收获?还有那些疑惑?说说看.

一元二次方程的实际应用题

一元二次方程的实际应用题 (一)传播问题 1.市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至 128元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了个人。 3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每 个支干长出小分支。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有个队参加比赛。 5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有个队参加比赛。 6.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,这个小组共有多少 名同学? 7.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,这个小组共有多少人? 8.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分 析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450公斤,水稻每公顷产量的年平均增长 率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均每次降价率是。 3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500 元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 。 4.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3 月份价格的平均增长率。 5.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率? 6.为了绿化校园,某中学在2007年植树400棵,计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵,求该校植树平 均每年增长的百分数。

一元二次方程专题复习讲义(知识点-考点-题型总结)-----hao---use--ok

一元二次方程专题复习 一、知识结构: 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义:①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式:)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0”; ②未知数指数为“2”; ③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。 针对练习: ★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程, ⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范 围是 。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( ) 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 ⑵应用:利用根的概念求代数式的值; 典型例题: 例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根, 则m 的值为 。 针对练习: ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值; ⑵方程的另一个解。

一元二次方程及其应用练习题

一元二次方程及其应用 一、选择题 1(2015?酒泉)今年来某县加大了对教育经费的投入,2013年投入2500万元,2015年投入3500万元.假设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是() A.2500x2=3500 B.2500(1+x)2=3500 C.2500(1+x%)2=3500 D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3500 2.(2015?安徽)我省2013年的快递业务量为亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业务迅猛发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到亿件,设2014年与2013年这两年的平均增长率为x,则下列方程正确的是()A.(1+x)= B.(1+2x)= C.(1+x)2= D.(1+x)+(1+x)2= 3.(2015?日照)某县大力推进义务教育均衡发展,加强学校标准化建设,计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造,2014年县政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,预计2016年投资亿元人民币,那么每年投资的增长率为()A.20% B.40% C.-220% D.30% ( 1. (2016·湖北随州)随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2014年约为20万人次,2016年约为万人次,设观赏人数年均增长率为x,则下列方程中正确的是() A.20(1+2x)= B.(1+x)2=20 C.20(1+x)2= D.20+20(1+x)+20(1+x)2= 2. (2016·江西)设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根,则αβ的值是() A.2B.1C.﹣2D.﹣1 3. (2016·辽宁丹东)某公司今年4月份营业额为60万元,6月份营业额达到100万元,设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为. 4.(2016·四川攀枝花)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根,则a的值为()A.﹣1或4 B.﹣1或﹣4 C.1或﹣4 D.1或4 5.(2016·广西桂林)若关于x的一元二次方程方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是() A.k<5 B.k<5,且k≠1 C.k≤5,且k≠1 D.k>5 ] 6.(2016·贵州安顺)已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,必有实数解”是假命题,则在下列选项中,b的值可以是() A.b=﹣3B.b=﹣2C.b=﹣1D.b=2 8. (2016·云南省昆明市)一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.无实数根D.无法确定 9.(2016河北3分)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为0

一元二次方程解法的综合运用

一元二次方程解法的综合运用 [内容] 教学目标 (一)巩固、掌握解一元二次方程的四种解法: (二)提高题目难度,培养计算能力和计算技巧,渗透换元思想; (三)培养观察能力,根据题目结构,选择恰当的解法. 教学重点的难点 重点:四种方法的综合运用,选择恰当的解法. 难点:选择恰当的解法.要有一定的计算能力和技巧. 教学过程设计 (一)复习 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2.不完全的一元二次方程有哪几种? 3.解一元二次方程有哪四种方法? (二)新课 同一个题目可能会有多种解法,我们应该根据题目的结构选取恰当的解法.在解题过 程中应该根据算理,发挥计算技能,要有毅力计算到底,并在解题过程中随时检查可能出现 的错误. 例1 解方程:x(x-1)=3x(x+1) 分析:(启发学生一起想)先化为一般形式. 解:原方程化为(1-3)x 2-(1+3)x=0,提取公因式x,得x[(1-3)x-(1+3)]=0,x=0,(1-3)x-(1+3)=0. (二次根式运算的结果,应化为最简二次根式) 例2 解方程:(3x+2)2-8(3x+2)+15=0. 分析:(启发学生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展开整理为一元二次方程一般形式. 观察题目的结构可见,把3x+2换元为t ,则原方程就是t 的一元二次方程. 解:设3x+2=t,原方程变为t 2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以t 1=3,t 2=5.即3x+2=3或3x+2= 5.故x 1=31 1 3,x 2=1. 注:本题也可直接写为[(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故x 1=1 3,x 2=1. 例3 解方程:144x 2=61-208x. 解:原方程化为144x 2+208x-61=0,则 a=144,b=208,c=-61.b 2-4ac=2082-4×144(-61)=2082+4×144×61. (此题数据太大,不宜大乘大除,应注意计算技巧.分解因数,提取公因数,化为连乘积) b 2-4ac=(16×13) 2+22×42×9×61=82 (4×169+9×61)=82×1225=(8×35) 2>0,原方程有实根.

实际问题与一元二次方程的应用

《实际问题与一元二次方程的应用》说课稿尊敬的各校评委、各位老师: 大家好!我是永靖县第六中学的数学教师张红红,今天我说课的内容是人教版九年级数学第二十三章实际问题与一元二次方程应用的第二课时,下面我谈一下,我对这部分教材的理解、以及自己课后的一点体会。 一、教材分析 1、教材的地位与作用 一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中数学中占有重要的地位,其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性,它是一元一次方程应用的继续,又是函数学习的基础,它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要的数学模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体,通过对它的学习和研究,体现数学建模的过程,帮助学生形成应用意识,其应用的广泛性让学生激发出学习数学的兴趣,能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。由于列出一元二次方程解应用题及应用相当广泛,在几何,物理及其它学科中都有大量的问题存在;因此,它是学习的重点。本节课侧重于几何方面的应用,现代心理学的研究表明,学生解应用题最常见的困难是,不会将实际问题提炼成数学问题,鉴于学生比较缺乏社会生活经历,搜集信息,处理信息的能力较弱,由此,这些是本节课的难点。而用一元二次方程解应用题的数量关系也比用一元一次方程解应用题的数量也要复杂一些,根据教学大纲的要求,以及本节教材的内容和九年级学生的认知特点,我这样设定了教学目标。 2、说教学目标 知识方面:以一元二次方程解决的实际问题为载体,让学生初步掌握数学建模的基本方法。 能力方面:通过对一元二次方程的应用问题的学习和研究,让学生体验数学建模的过程,从而学会发现、提出日常生活、生产或其它学科中可以用一元二次方程来解决的实际问题,并能用正确的语言表述问题、及其解决过程。

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能: 一、填空题: 1.下列方程中是一元二次方程的序号是 . 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2.已知,关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程,则a 3.当=k 时,方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程. 4.解一元二次方程的一般方法有 , , , · 5.一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为: . 6.(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 . 7.不解方程,判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 . 8.(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根,则k 的取值范围是 . 9.已知:当m 时,方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根. 10.关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 . 二、选择题: 11.(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立,则a 的值为( ) A .5 8.4 C .3 D .2 12.把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后,a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13.方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

(完整版)一元二次方程知识点及其应用

一、相关知识点 1.理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式; 2.正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 (1)明确只有当二次项系数0≠a 时,整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 (2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). (3)熟练整理方程的过程 3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4.列出实际问题的一元二次方程 二.解法 1.明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解; 2.根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程; 3.体会不同解法的相互的联系; 4.值得注意的几个问题: (1)开平方法:对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法: 当0>n 时,n x ±=; 当0=n 时,021==x x ; 当0-ac b 时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等; 当042 =-ac b 时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为a b x x 221- ==;

一元二次方程的实际应用只是分享

一元二次方程的实际 应用

一元二次方程的实际应用 1、阅读下面解题过程,解方程x2-1x1-2=0 解分以下两种情况:(1)当x≥0时,原方程可化为x 2、阅读下面解题过程,解方程x2-1x1-2=0 3、解分以下两种情况: 4、(1)当x≥0时,原方程可化为x2-x=0,解得x1=2 x2=-1(不和题意,舍去) 5、(2)当x<0时,原方程可化为x2+x-2=0,解得x1=-2 x2=1 (不合题意,舍去)∴原方程的根是x1=2 x2=-2 6、请照此方法解方程 x2-| x-1 |-1=0 7、已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. 8、(1)求证:无论k取任意实数值,方程总有实数根. 9、(2)若等腰三角形ABC的一边a=1,另两边长b、c恰是这个方程的两个根,求△A BC的周长. 10、已知函数y=2/x和y=kx+1(k不等于0). (1)若这两个函数的图像都经过(1,a),求a和k的值 (2)(2)当K取何值时,这两个函数的图像总有公共点 4、已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动. (1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°; (2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与 证明;若不存在,请说明理由; (3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由. 5、已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0 (1)求证:方程有两个不相等的实数根 (2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长. 如图,要设计一幅宽20cm、长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2,如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度(结果保留

2.2《一元二次方程的解法》专题训练题及答案

湘教版九年级数学上册 第2章 反比例函数 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 根据平方根的意义解一元二次方程 专题训练题 1.已知x =2是一元二次方程x 2-2mx +4=0的一个解,则m 的值为( ) A .2 B .0 C .0或2 D .0或-2 2.若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0有一个根为1,则下列结论正确的是( ) A .a +b +c =1 B .a +b +c =0 C .a -b +c =0 D .a -b +c =1 3.已知m 是一元二次方程x 2-x -1=0的一个根,那么代数式m 2-m 的值等于( ) A .1 B .0 C .-1 D .2 4.已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 5.已知关于x 的一元二次方程(x +1)2-m =0有实数根,则m 的取值范围是( ) A .m ≥-34 B .m ≥0 C .m ≥1 D .m ≥2 6.方程x 2-3=0的根是( ) A .x =3 B .x 1=3,x 2=-3 C .x = 3 D .x 1=3,x 2=- 3 7.一元二次方程(x +6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x +6=4,则另一个一元一次方程是( ) A .x -6=-4 B .x -6=4 C .x +6=4 D .x +6=-4 8.方程-4x 2+1=0的解是( ) A .x =12 B .x =-12 C .x =±12 D .x =±2 9.方程(x -4)2=11的根为( ) A .x 1=-4+11,x 2=-4-11 B .x 1=4+11,x 2=4-11 C .x 1=11+4,x 2=11-4 D .x 1=4+11,x 2=-4-11 10.对于形如(x +m )2=n 的方程,它的解的正确表述为( ) A .都能用直接开平方法求解得x =-m ±n B .当n ≥0时,x =m ±n C .当n ≥0时,x =-m ±n D .当n ≥0时,x =±n -m 11.下列方程中,适合用直接开平方法求解的是( ) A .x 2+5x +1=0 B .x 2-6x -4=0 C .(x +3)2=16 D .(x +2)(x -2)=4x 12.方程4x 2-81=0的解为________. 13.解下列方程: (1)16x 2=25; (2)(2x +1)2-1=0.

一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者: 设计时间 : 文档类型: 文库精品文档,欢迎下载使用。Word 精品文档,可以编辑修改,放心下载 1.如果2是一元二次方程x 2 +bx +2=0的一个根,那么常数b 的值为 . 2.方程042=-x x 的解______________. 3.方程240x -=的根是( ) A .2x = B .2x =- C .1222x x ==-, D .4x = 4.由于甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响,在一个月内猪肉价格两次大幅下降.由原来每斤16元下调到每斤9元,求平均每次下调的百分率是多少?设平均每次下调的百分率为x ,则根据题意可列方程为 . 【参考答案】1.-3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念,会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 (1)判断一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后再进行判断, 注意一元二次方程一般形式中0≠a . (2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. (3)用配方法时二次项系数要化1. (4)用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接

1.一元二次方程:在整式方程中,只含 个未知数,并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项, 叫做一次项, 叫做常数项; 叫做二次项的系数, 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法: (1)直接开平方法:形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程,就可用 直接开平方的方法. (2)配方法:用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是:①化二 次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项,③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方,④化原方程为2 ()x m n +=的形式,⑤如果是非负数,即0n ≥,就可以用直接开平方求出方程的解.如果n <0,则原方程无解. (3)公式法:一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. (4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:①将方程的右边化为 ;②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1(湖南长沙)已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =,则实数k 的值为( ) A .1 B .1- C .2 D .2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根,所以将x=3代入原方程, 原方程成立,即06332 =--k 成立,解得k=1。故选A 。 例2(湖北仙桃)解方程:2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点,可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-

一元二次方程的解法综合练习题及答案

一元二次方程之概念 一、选择题 1.在下列方程中,一元二次方程的个数是(). ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③(x-2)(x+5)=x2-1 ④3x2-5 x =0 A.1个B.2个C.3个D.4个 2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为().A.2,3,-6 B.2,-3,18 C.2,-3,6 D.2,3,6 3.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则(). A.p=1 B.p>0 C.p≠0 D.p为任意实数 二、填空题 1.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________,一次项系数为_________,常数项为_________.2.一元二次方程的一般形式是__________. 3.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a的取值范围是________. 三、综合提高题 1.a满足什么条件时,关于x的方程a(x2+x)x-(x+1)是一元二次方程? 2.关于x的方程(2m2+m)x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗?为什么? 一元二次方程之根 一、选择题 1.方程x(x-1)=2的两根为(). A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2 2.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是(). A.x1=b,x2=a B.x1=b,x2=1 a C.x1=a,x2= 1 a D.x1=a2,x2=b2 3.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0)(). A.1 B.-1 C.0 D.2 二、填空题 1.如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________.2.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________. 3.方程(x+1)2x(x+1)=0,那么方程的根x1=______;x2=________.

一元二次方程及一元二次方程的解法测试题(绝对经典)

. 第二章一元二次方程单元测验 一、选择题:(每小题3分,共36分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是 ( ) (A )22)1(2-=-x x (B )01232=+-x x (C )042=-x x (D )02352 =-x x 2. 方程1)14(2 =-x 的根为( ) (A )4121==x x (B )2121==x x (C ),01=x 212=x (D ),2 1 1-=x 02=x 3. 解方程 7(8x + 3)=6(8x + 3)2 的最佳方法应选择( ) (A )因式分解法 (B )直接开平方法 (C )配方法 (D )公式法 4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是( ) (A )x 2 –3x + 4=0 (B )x 2–x –3=0 (C )x 2–12x + 36=0 (D )x 2–2x + 3=0 5、已知m是方程012 =--x x 的一个根,则代数m2 -m的值等于 ( ) A 、1 B 、-1 C 、0 D 、2 6、若方程0152 =--x x 的两根为的值为则 、212111,x x x x +( ) A 、5 B 、51 C 、5- D 、5 1- 7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x 2 –14x + 48=0的解, 则这个三角形 的周长是( )(A )11 (B )17 (C )17或19 (D )19 8. 下列说法中正确的是 ( )(A )方程2 80x -=有两个相等的实数根; (B )方程252x x =-没有实数根;(C )如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,那么0?=; (D )如果a c 、异号,那么方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根. 9. 若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10=0有实数根, 则K 的最大整数值为( ) (A )1 (B )2 (C )–1 (D )0 10.把方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ??- = ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ?? ; D.以上都不对 11、 若方程02 =++q px x 的两个实根中只有一个根为0,那么 ( ) (A )0==q p ; (B )0,0≠=q p ; (C )0,0=≠q p ; (D )0,0≠≠q p . 12、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题,其中答对的是 ( ) A . 若x 2=4,则x =2 B .方程x (2x -1)=2x -1的解为x =1 C .若x 2 +2x +k =0有一根为2,则8=-k D .若分式1 2 32-+-x x x 值为零,则x =1,2 二、填空题:(每小题3分,共30分) 1、方程()()-267-x 5x =+,化为一般形式为 ,其中二次项系数和一次项系数的和为 。 2. 当x =________时,分式1 4 32+--x x x 的值为零。 3. 若关于x 的方程02)1(2 =+--m mx x m 有实数根,则m 的取值范围是______ 4.若方程042 2 =++m x x ,则m= . 5.已知0822 =--x x , 那么=--7632 x x _______________. 6. 若关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax (a ≠0)的两根分别为1,—2,则b a -的值为______. 7. 若2 2 2 (3)25a b +-=,则22 a b +=____ 8.若一元二次方程02 =++c bx ax 中,024=+-c b a ,则此方程必有一根为________. 9、若两个连续整数的积是20,则他们的和是________。 10.某企业前年的销售额为500万元,今年上升到720万元,如果这两年平均每年增长率相同,则去年销售额为 11. 如果x x 12、是方程x x 2 720-+=的两个根,那么x x 12+=____________。 13. 已知一元二次方程x x 2 350--=的两根分别为x x 12、,那么x x 12 22 +的值是____。 14. 若方程x x k 2 20-+=的两根的倒数和是 8 3 ,则k =____________。 15.已知关于x 的方程(2k+1)x 2 -kx+3=0,当k______时,?方程为一元二次方程,? 当k______时,方程为一元一次方程,其根为______.

一元二次方程的起源和应用

一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义:(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数,所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,在公元前4、5世纪时,古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一。公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种不同的形式,令a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一次给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数

学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解 外,还给出根与系数的关系。我国《九章算术.勾 股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、 一元二次方程的广泛应用x例1:下列关于的方程, 哪些是一元二次方程?;(1)(2); (3);(4);22222(5); (6);(7)(8); x注意点:① 二次项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③是整 式方程;④只含有一个未知数.22例1:当k 时,关于x的方程是一元二次方程。 m例2:方程是关于x的一元二次方程,则m的 值为。2例3:若方程是关 于x的一元二次方程,则m的取值范围 是。mn2例4:若方程nx+x-2x=0是一元二次方程, 则下列不可能的是() A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2(一)、一元二次方程的一般 形式:,它的特征是:等式左2边是一 个关于未知数的二次多项式,等式右边是零,其中 叫做二次项,叫ax xa做二次项系数;叫做一次项,叫

小专题(一)-一元二次方程的解法

专题(一)一元二次方程的解法 1.用直接开平方法解下列方程: (1)x2-16=0;(2)3x2-27=0; (3)(x-2)2=9;(4)(2y-3)2=16. 2.用配方法解下列方程: (1)x2-4x-1=0; (2)2x2-4x-8=0; (3)3x2-6x+4=0; (4)2x2+7x+3=0.

3.用公式法解下列方程: (1)x2-23x+3=0; (2)-3x2+5x+2=0; (3)4x2+3x-2=0; (4)3x=2(x+1)(x-1). 4.用因式分解法解下列方程: (1)x2-3x=0; (2)(x-3)2-9=0;

(3)(3x-2)2+(2-3x)=0; (4)2(t-1)2+8t=0; (5)3x+15=-2x2-10x; (6)x2-3x=(2-x)(x-3). 5.用合适的方法解下列方程: (1)4(x-3)2-25(x-2)2=0; (2)5(x-3)2=x2-9;

(3)t 2-22t +18=0. 参考答案 1.(1)移项,得x 2=16,根据平方根的定义,得x =±4,即x 1=4,x 2=-4. (2)移项,得3x 2=27,两边同除以3,得x 2=9,根据平方根的定义,得x =±3,即x 1=3,x 2=-3. (3)根据平方根的定义,得x -2=±3,即x 1=5,x 2=-1. (4)根据平方根的定义,得2y -3=±4,即y 1=72,y 2=-12. 2.(1)移项,得x 2-4x =1.配方,得x 2-4x +22=1+4,即(x -2)2=5.直接开平方,得x -2=±5,∴x 1=2+5,x 2=2- 5. (2)移项,得2x 2-4x =8.两边都除以2,得x 2-2x =4.配方,得x 2-2x +1=4+1.∴(x -1)2=5.∴x -1=± 5.∴x 1=1+5,x 2=1- 5. (3)移项,得3x 2-6x =-4.二次项系数化为1,得x 2-2x =-43.配方,得x 2-2x +12=-43+12,即(x -1)2=-13.∵ 实数的平方不可能是负数,∴原方程无实数根. (4)移项,得2x 2+7x =-3.方程两边同除以2,得x 2+72x =-32.配方,得x 2+72x +(74)2=-32+(74)2,即(x +74)2=2516. 直接开平方,得x +74=±54.∴x 1=-12,x 2=-3. 3.(1)∵a =1,b =-23,c =3,b 2-4ac =(-23)2-4×1×3=0,∴x =-(-23)±02×1 = 3.∴x 1=x 2= 3. (2)方程的两边同乘-1,得3x 2-5x -2=0.∵a =3,b =-5,c =-2,b 2-4ac =(-5)2-4×3×(-2)=49>0,∴x =-(-5)±492×3=5±76,∴x 1=2,x 2=-13. (3)a =4,b =3,c =--4ac =32-4×4×(-2)=41>=-3±412×4=-3±418.∴x 1=-3+418,x 2=-3-418 . (4)将原方程化为一般形式,得2x 2-3x -2=0.∵a =2,b =-3,c =-2,b 2-4ac =(-3)2-4×2×(- 2)=11>0,∴x =3±1122 =6±224.∴x 1=6+224,x 2=6-224.

一元二次方程解法举例

https://www.360docs.net/doc/4d10447162.html, ------------------华夏教育资源库 https://www.360docs.net/doc/4d10447162.html, ------------------华夏教育资源库 一元二次方程解法举例 教学目标:1.巩固一元二次方程的四种解法 2.灵活选用一元二次方程的四种解法解方程 教学重点: 一元二次方程的四种解法的灵活运用 教学难点:能准确把握方程的特征,选用适当的解法. 教学准备:小黑板 教学过程: 复习引入:1. 一元二次方程02 =++c bx ax 的求根公式为 . 2.一元二次方程解法有哪几种?各有那些步骤? 对于方程02=++c bx ax (a ≠0,042≥-ab b ) 若b=0,则宜用 法解,其根为 ; 若c=0,则宜用 法解,其根为 ; 若b ≠0,c ≠0,则要准确把握方程的特征,选用适当的解法. 讲授新课: 范例讲解 例1 选用适当的方法解方程: (1)()922=-x ;(直接开平方法) (2)222 =-t t ;(配方法) (3)()()052432922=--+x x ;(因式分解法) (4)4.013.001.02 -=-x x ;(化小数系数为整数系数后再因式分解) (5)x x 2 21232=-;(去分母后用公式法) (6)1417522-=mx x m (m ≠0).(因式分解法) (7)()()x x x 211=-+;(先整理后,再确定适当的方法,配方法) (8)()()742322 +=+m m ;(先整理后,再确定适当的方法,公式法) (9)()()0812151222 =-+++x x .(因式分解法) 例2 (1)当x= 时,31432 +-x x 的值与22-x 的值相等.

一元二次方程的实际应用教案(供参考)

教学过程 一、复习预习 我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法,下面我们一块来复习一下: 1. 用直接开平方法解方程2 (3)8x -=,得方程的根为( )

A. 3x =+ B. 1233x x =+=- C. 3x =- D. 1233x x =+=- 2. 方程2(1)0x x -=的根是( ) A .0 B .1 C .0,-1 D .0,1 3. 设(1)(2)0x x --=的两根为12x x 、,且1x >2x ,则122x x -= 。 4. 已知关于x 的方程22440x kx k ++=的一个根是-2,那么k = 。 5.243 x x ++ =2(________)x + 今天我们将继续学习列方程解应用题。大家先来看这样一道题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少 库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每 件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均 每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下: 解:设每件衬衫应降价x 元,则每件所获得的利润为 (40-x)元,但每天可多销出2x 件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程: (40-x)(20+2x)=1200 x 2-30x+200=0 解得:x 2=20 x 2=10 答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元. 当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗? 当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件,所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。 二、知识讲解 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤是: “审、设、列、解、答”.

一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 ◆课前热身 1.如果2是一元二次方程x 2+bx +2=0的一个根,那么常数b 的值为 . 2.方程042=-x x 的解______________. 3.方程240x -=的根是( ) A .2x = B .2x =- C .1222x x ==-, D .4x = 4.由于甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响,在一个月内猪肉价格两次大幅下降.由原来每斤16元下调到每斤9元,求平均每次下调的百分率是多少?设平均每次下调的百分率为x ,则根据题意可列方程为 . 【参考答案】1.-3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.216(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念,会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型:

考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 (1)判断一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后 再进行判断,注意一元二次方程一般形式中0≠a . (2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. (3)用配方法时二次项系数要化1. (4)用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接 1.一元二次方程:在整式方程中,只含 个未知数,并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项, 叫做一次项, 叫做常数项; 叫做二次项的系数, 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法: (1)直接开平方法:形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程, 就可用直接开平方的方法. (2)配方法:用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是: ①化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方

一元二次方程的解法(综合)

环球教育学科教师辅导讲义 学员姓名:xxx年级:初三课时数:3 班主任:xxx 辅导科目:数学学科教师:王兴华 课题一元二次方程的解法 授课时间及时段2014-06-19 授课类型T T C 教学目标 1.学习掌握通公式法和因式分解法解一元二次方程 2.灵活选择合适的方法解一元二次方程 一、回顾 ?1.一元二次方程的含义:_____________________________________________________________. ?2.一元二次方程的一般形式:_____________________________________________________. ?3.一元二次方程的解法: ①直接开平方法 *适用形式: *答题基本步骤: ②配方法 *含义: *答题基本步骤: *可以解决的题型: *处理一元二次方程和二次三项式有什么不同: 友情提醒:请在不熟的知识点上用着重符号标出,课后及时巩固训练哦!! XXX,很高兴在环球之家又见面了,孔子曰:温故而知新,可以为师矣!我们一起回 顾上次所学习的知识吧!

二、引入与讲解 ?1.求根公式法: ①用公式法解一元二次方程的前提是: *必须是一般形式的一元二次方程: )0(02 ≠=++a c bx ax . *042 ≥-ac b ②解一元二次方程的基本步骤: Step1:化为一元二次方程的一般形式; Step2:确定c b a ,,和ac b 42 -的值; Step3:代入求根公式 1.用公式法解一元二次方程。 (1)x x x 3)1)(1(=-+ (2)03322 =+-x x 练一练: (1)6)6(=+x x (2)01222=+-x x )0(02≠=++a c bx ax 还记得如何用配方法推导出一元二次方程 的解吗?(请你快速的推导一遍) XXX ,你知道为什么要确定 ac b 42-的值吗? a ac b b x 242-±-=小博士提醒:求根公式一定要熟练记忆和运用。

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