缓和曲线坐标计算实例
缓和曲线逐桩坐标计算（转载）
摘要：利用一缓和曲线算例，通过数学分析，推导出缓和曲线逐桩坐标计算公式，此公式可作为道路测设中的范例来运用，有很强的指导意义。
关键词：缓和曲线、公式、逐桩坐标
一、引言
道路建设中，由于受地形或地质影响，经常需要改变线路方向，为满足行车要求，往往要用曲线把两条直线连接起来。曲线的构成形式无外乎圆曲线和缓和曲线，本文以河北省沿海高速某曲线段为例推导出缓和曲线的逐桩坐标计算公式，以方便图纸的审核，满足施工放样的需求。本公式具有良好的操作性，方便施工、提高精度，可作为道路测设中的范例运用。
二、公式推导
1 、实例数据
河北省沿海高速公路一缓和曲线（如图）：AB 段为缓和曲线段，A 为ZH 点，B 为HY 点，R B=800m ；A 点里程为NK0+080 ，切线方位角为θA=100 ° 00 ′ 24.1 ″，坐标为X A=4355189.493,Y A=476976.267 ；B 点里程为NK0+158.125 ，切线方位角为θB=102 ° 48 ′ 15.6 ″，坐标为X B=4355174.669 ，Y B=477052.964 ，推求此曲线段内任意点坐标。
2 、公式推导及实例计算
方法一：弦线偏角法
1 ）公式推导
由坐标增量的计算方法我们不难理解，求一点坐标可以根据其所在直线的方位角以及直线上另一点的坐标和距待求点的距离。所以我们可以利用ZH 点，只要知道待求点距ZH 点的距离（弦长S ）和此弦与ZH 点切线方位角的夹角（转角a ），即可求出该点坐标。
根据回旋线方程C=RL ，用B 点数据推导出回旋线参数：
C=RL S=800*78.125=62500 （L S为B 点至ZH 点的距离）
设待求点距ZH 点距离为L
因回旋线上任意点的偏角β0=L2/2RL S, 且转角a=β0/3 ，
可得该点转角a 。（曲线左转时a 代负值）。
根据缓和曲线上的弧弦关系S=L-L5/90R2L S2，
可以求出待求点至ZH 点的弦长。
然后我们利用坐标增量计算公式可以推导出缓和曲线任意点坐标计算公式：
X=X A+S*cos （θA+a ）=4355189.493+ （L-L5/90R2L S2）*cos （θA+L2/6RL S）
Y=Y A+S*sin （θA+a ）=476976.267+ （L-L5/90R2L S2）* sin （θA+L2/6RL S）
式中θA=100 ° 0 ′ 24.1 ″
2 ）实例计算
现在我们利用此公式计算桩号为NK0+140 的坐标
第一步，求出L=140-80=60 米
第二步，求出a=180L2/6 π RL S=0 ° 33 ′ 00.14 ″
第三步，求出S=L-L5/90R2L S2=60-605/ （90*8002*78.1252）=59.998
第四步：将a ，S 值代入缓和曲线计算公式，可求出桩号为NK0+160 点的坐标为：
X=4355178.501 ，Y=477035.249 。
同理，我们可求出其它桩号的坐标。
方法二：坐标转换法
1 ）公式推导
首先我们建立坐标系，以ZH 点为坐标原点，其切线方向为X 轴，过该点的半径方向为Y 轴（如图）。根据缓和曲线参数方程：
x=L-L5/40R2L S2；
y=L3/6RL S
计算出曲线上各点在此坐标系下的坐标（x ，y ）。
然后利用坐标转换公式
X=X A+xco-,ysina
Y=Y A+xsina+ycosa
将(x,y) 代入该式，即可求出缓和曲线上各点的坐标计算公式：
X=4355189.493+ （L-L5/40R2L S2）cosθA - （L3/6RL S）sinθA；
Y=476976.267+ （L-L5/40R2L S2）sinθA + （L3/6RL S）cosθA。
式中θA=100 ° 0 ′ 24.1 ″
2 ）实例计算
现利用此公式计算桩号为NK0+140 的坐标。
第一步：求出L=140-80=60 米
第二步：求出该点在新坐标系下的坐标x=59.995 ；y=0.576 。
第三步：将L 、x 、y 的值代入公式可得NK0+140 的坐标为：
X=4355178.501 ，Y=477035.249 。
同理可计算出曲线上其他对应桩号的坐标：
NK0+100 ：X=4355185.997 ；Y=476995.959 。
NK0+120 ：X=4355182.375 ；Y=477015.628 。
为提高计算结果的准确性，提高工作效率和减轻计算的工作量，在实际应用中可以配合电子计算器使用，以下是CASIO4800P 计算器计算缓和曲线的公式：
Lbl 0:{EG}:A “ X0 ” ：B “ Y0 ” ：C “ C0 ” ：D “ 1/R1 ” ：E “ 1/R2 ” ：F “ DK1 ” ：G “ DK2 ”
Lbl 1:{HOR}:H “ DKi”:O “ DL”:R”DR”:H>G ＝＞Goto 2 ◣
P= （E-D ）/Abs(G-F):Q= Abs(H-F):I=P*Q
J=C+(I+2*D)*Q*90/ π◢
M=C+(I/4+2*D)*Q*45/2 π :N=C+(3*I/4+2*D)*Q*135/2/ π :K=C+(I/2+2*D)*Q*45/ π
X=A+Q*(cos C+4*( cos M + cos N)+2* cos K+ cos J)/12 ◢
Y=B+Q*(sinC+4*(sin M + sin N)+2* sin K+ sin J)/12 ◢
Goto 1 ◣
说明：A 为缓和曲线起点处的纵坐标（X 坐标）；
B 为缓和曲线起点处的横坐标（Y 坐标）；
C 为缓和曲线起点处的切线方位角；
D 为缓和曲线起点处的曲率半径；
E 为缓和曲线终点处的曲率半径；
F 为缓和曲线起点处的里程；
G 为缓和曲线终点处的里程；
H 为缓和曲线中所要放样点处的里程；
注意事项：D 和E 值分别为该缓和曲线前后两段曲线元半径的倒数（即1 / 半径），特别需要强调的是，当曲线右转的时候曲率半径输入时为正值，左转的时候输入时为负值，ZH 点的半径输“ 0 ”。
三、缓和曲线逐桩坐标计算公式应用
利用以上方法计算出对应桩号的坐标值，与图纸给出的数值相比较，看两者是否一致，以达到对图纸审核的目的。在施工过程中，利用此方法可以提高工作效率和精度，在设计图纸提供的点坐标不能满足实际要求时，可以计算出任意点的坐标值来解决实际问题，此计算方法在施工放样等道路测设中起到一定作用。
四、结语
在沿海高速公路的道路测设中运用此方法，提高了图纸复核的速度，对现场的施工放样和复核施工人员的测量资料都起到了一定的作用，通过实践验证了此方法在道路测设中有较强的实用价值，值得推广。
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高速公路的线路(缓和曲线)计算公式（转载）
一、缓和曲线上的点坐标计算
已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l
②圆曲线的半径：R
③缓和曲线的长度：l0
④转向角系数：K(1或－1)
⑤过ZH点的切线方位角：α
⑥点ZH的坐标：x Z，y Z
计算过程：
说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：
当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：
l为到点HZ的长度
α为过点HZ的切线方位角再加上180°
K值与计算第一缓和曲线时相反
x Z，y Z为点HZ的坐标
切线角计算公式：
二、圆曲线上的点坐标计算
已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l
②圆曲线的半径：R
③缓和曲线的长度：l0
④转向角系数：K(1或－1)
⑤过ZH点的切线方位角：α
⑥点ZH的坐标：x Z，y Z
计算过程：
说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，
公式中n的取值如下：
当只知道HZ点的坐标时，则：
l为到点HZ的长度
α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反
x Z，y Z为点HZ的坐标
三、曲线要素计算公式
公式中各符号说明：
l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度
l2——第二缓和曲线长度
l0——对应的缓和曲线长度
R——圆曲线半径
R1——曲线起点处的半径
R2——曲线终点处的半径
P1——曲线起点处的曲率
P2——曲线终点处的曲率
α——曲线转角值
四、竖曲线上高程计算
已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)
②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)
③变坡点桩号：S Z
④变坡点高程：H Z
⑤竖曲线的切线长度：T
⑥待求点桩号：S
计算过程：
五、超高缓和过渡段的横坡计算
已知：如图，
第一横坡：i1
第二横坡：i2
过渡段长度：L
待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i
解：d=x/L
i=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1
六、匝道坐标计算
已知：①待求点桩号：K
②曲线起点桩号：K0
③曲线终点桩号：K1
④曲线起点坐标：x0，y0
⑤曲线起点切线方位角：α0
⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)
⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y
②待求点的切线方位角：αT
计算过程：
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高速公路超高缓和段的超高旋转与计算（转载）
摘要：本文介绍了缓和曲线的超高缓和段的超高方式的旋转与计算, 有些对在旋转过程中的表述与以前不太一样, 计算公式简捷、准确。
关键词: 缓和曲线超高旋转计算
为使车辆在曲线段上安全行使, 依据设计超高横坡, 分析、理解超高在旋转过程中的动态情况, 准确计算超高值至关重要, 现在分别介绍超高缓和段的超高方式和计算。
1. 超高方式
1. 1 绕路面内侧边缘旋转( 简称边轴旋转)
它是使旋转轴在路面内侧边缘保留在水平位置( 不考虑路线纵坡) 。首先在超高缓和段起点之时, 迅速将外侧路肩横坡变为路拱横坡度。然后逐渐抬高外侧路面与路肩, 使之达到与内侧路拱坡度一致的单向横坡。继续旋转使整个断面达到超高横坡度为止。( 见图一)
1. 2 绕路中线旋转( 简称中轴旋转)
它是使旋转轴在路面中线保留在水平位置( 不考虑路线纵坡) 。首先在超高缓和段起点之时, 迅速将外侧路肩横坡度变为路拱横坡度。然后逐渐抬高外侧路面与路肩, 使之达到与内侧路拱坡度一致的单向横坡。继续旋转使整个断面达到超高横坡度为止。( 见图二)
2. 超高值计算
2.1 计算X 0
它是与路拱同坡度的单向超高点至超高缓和段起点距离的计算, 无论超高方式如何它都是由路拱坡度变为与路拱坡度
一致的单向坡度。
2.2 计算超高值( 见附表)
在计算超高缓和段超高值时，分三种情况考虑：
a. 当i c
在旋转过程中, 由外侧路拱-i g ( 相对内侧) 逐渐抬高至i g , 变化率为2 i g , 这时超高横坡未起作用, 无论边轴旋转、中轴旋转, 计算h cx
公式统为
b. 当i c >i g 时
这时超高旋转已进入超高横坡, 计算h cx公式为
c. 当i c =i g 时
上述计算h cx公式都可采用 .
例：江西省昌万公路某里程的缓和曲线为边轴旋转，已知：L c=85 ，b=9,a=1.5,i g=2% ，i j=3%,i c=5%, 求x=x0处的单向横坡的外侧边缘超高值h cx。
X
L c
原计算公式：h cx=a(i j-i g)+[ai j+(a+b)i c]
=0.243
现计算公式：
根据两者计算公式和结果可知，只有在Hy 处的h c相等外，其他任何处的h cx都有误差。式图中：b-- 路面宽度( m );
a-- 路肩宽度( m );
i g -- 路拱横坡;
i j -- 路肩横坡;
i c—超高横坡；
L c -- 超高缓和段长度( 或缓和曲线长度)( m );
X 0 -- 与路拱同坡度单向超高点至超高缓和起点距离( m );
X -- 超高缓和段上任一点至起点的距离( m );
h c -- 路基外缘最大超高值(m);
h ˊ c -- 路中线最大超高值( m) ;
h ˊˊ c -- 路基内缘最大降低值(m);
h cx -- x 距离处路基外缘抬高值(m);
h ˊcx -- x 距离处路中线抬高值(m);
h ˊˊcx -- x 距离处路基内缘降低值(m);
ZH-- 第一缓和曲线起点（直缓）；
HY-- 第一缓和曲线终点（缓圆）；
B j-- 路基加宽值(m);
B jx--x 距离处路基加宽值(m).
3. 结束语
正确分析、理解超高在旋转过程中的动态情况, 精确计算超高缓和段的超高值，是确保行车安全的关键。本文介绍了超高的旋转过程及超高值的计算公式。如有欠妥之处, 请读者指正。
参考文献
(1) 公路设计手册路线北京人民交通出版社1979
(2) 孙家驷道路勘测设计北京人民交通出版社2003
吴国文：1957 年9 月生，江西进贤人，身份证号码为：360121********* 。
1981 年元月毕业于陕西煤矿学校物探专业，工程师职称。
1999 年以前，在煤田地质行业从事本专业工作。1999 年以后服务于公路建设行业，任测量监理工程师。本人现编有“任意角、边的符合导线和闭合导线计算”、“任意曲线元坐标计算”和任意路线长的“纵断面高程计算”等计算器程序。
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曲线坐标计算公式
第一条缓和曲线部分：X=L- L 5/（40×R2×L 02）
Y=L3/(6×R×L 0)
这是以ZH点为坐标原点测设到YH点的计算公式
圆曲线部分X=R×sinａ+m
Y=R×(1-cosａ)+p
ａ=( L i- L)×1800/(R×π)+β0
m = L 0/2- L 03/(240×R2)
P= L 02/(24×R)- L 04/(2688×R3)
δ0= L 0×1800/(6×R×π)
β0= L 0×1800/(2×R×π)
T=（R+P）×tg（ａ/2）+m
L= R×（ａ-2β0）×π/1800+2L 0
切线角的计算β= L2×1800/（2×R×L0 ×π）
缓和切线角的弧度计算：β= L2/（2×R×L0）
圆曲线切线角的弧度计算：ａ=( L i- L 0) /R+ L 0/(2×R)
上式中：m表示切垂距。P表示圆曲线移动量。β0表示缓和曲线的切线角。δ0为缓和曲线的总偏角。T表示切线长。L表示曲线长。β表示缓和曲线上的切线角。ａ表示圆曲线的切线角。
第二条缓和曲线部分：X= L - L 5/（40×R2×L 02）
Y=L3/(6×R×L 0)
第二条缓和曲线部分是以HZ点为坐标原点计算到YH点的计算公式。
坐标转化：X=XHZ-X cosａ-Y sinａ
Y= YHZ- X sinａ+ Y cosａ
XHZ=T×（1+ cosａ）
YHZ= T×sinａ
Ｌi 为曲线点i的曲线长，T为切线长，ａ为转向角
各位兄弟，请教一下：
一个标段的线路由几段直线、圆曲线和缓和曲线组成，我们现在都是用4850等计算器或者Excel输入曲线要素计算线路中边桩坐标，但是对中边桩计算的公式和数学模型不是很清楚。
如何根据直曲表中的数据计算各段线元中的中桩、边桩坐标并把这些这些坐标转化成放样用的大地坐标，要用到复化辛普森公式吗？是不是按照下面的公式计算就可以了，请各位大哥指教。
平曲线直缓、缓直点的坐标计算公式
1. 字母所代表的意义：
U：JD的X坐标
V：JD的Y坐标
A：方位角（ZH～JD）
T：曲线的切线长，
D：JD偏角，左偏为-、右偏为+
2. 计算公式：
直缓（直圆）点的国家坐标：X′=U+Tcos(A+180°)
Y′=V+Tsin(A+180°)
缓直（圆直）点的国家坐标：X″=U+Tcos(A+D)
Y″=V+Tsin(A+D)
四、平曲线上任意点的坐标计算公式
1. 字母所代表的意义：
P：所求点的桩号
B：所求边桩～中桩距离，左-、右+
M：左偏-1，右偏+1
C：JD桩号
D：JD偏角
Ls：缓和曲线长
A：方位角（ZH～JD）
U：JD的X坐标
V：JD的Y坐标